2020 届高三年级摸底考试
数学试题
命题人：余书胜 审核人：文德良
（考试用时为 120 分钟，满分分值为 150 分.）
注意事项：
1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法化简集合 ，利用求值域得出集合 ，根据交集的定义可得 .
详解：因为集合 ，
，
所以 ，故选 A.
点睛：本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意交集时要考
虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
2. 是虚数单位，则复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
{ }2| 4 3 0P x x x= − + ≤ { }| 2Q y y x= = − P Q =
[1,3] [2,3] [0, )+∞ ∅
P Q P Q
{ }2| 4 3 0P x x x= − + ≤ { } [ ]|1 3 1,3x x= ≤ ≤ =
{ }| 2Q y y x= = − { } [ )| 0 0,y y= ≥ = +∞
[ ]1,3P Q∩ =
i 2 i
iz
−=，在复平面上对应的点 位于第三象限．故选 .
3.已知点 在幂函数 图像上，设 ， ， ，则 、
、 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据点在幂函数上，可求得幂函数解析式，进而判断大小即可．
【详解】因为点 在幂函数 图像上
所以 ，所以
即 ，
， ，
即
为 R 上的单调递增函数
所以
所以选 A
【点睛】本题考查了指数幂与对数大小比较，函数单调性的简单应用，属于基础题．
4.某地区的高一新生中，来自东部平原地区的学生有 2400 人，中部丘陵地区的学生有 1600 人，西部山区的
学生有 1000 人.计划从中选取 100 人调查学生的视力情况，现已了解到来自东部、中部、西部三个地区学生
的视力情况有较大差异，而这三个地区男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方
法是（ ）
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 系统抽样 D. 按地区分层抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
2
2 i (2 i)i 2i 1 1 2ii i 1z
− − += = = = − −− ( 1, 2)− − C
(2,8) ( ) nf x x=
0.34
5a f
=
0,25
4b f
= 1
2
5log 4c f
=
a
b c
b a c> > a b c> > c b a> > b c a> >
( )2,8 ( ) nf x x=
8 2n= 3n =
( ) 3f x x=
0.340 15
< 1
2
5log 04
<
0.3 0.2
1
2
5 4 5log 4 5 4
<
a
(0, 3) 3( 4,2) 3[ 4,2) 3[ 4,2]
( ) log ( 2) 0( 1)af x x a− + = >
( )y f x= ( )log 2ay x= +
( )f x
( )log 2ay x= + 2x =
6x =
log 4 3,log 8 3a a
< >
a∈ 3( 4,2)二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量 ， ，若 ，则向量 与向量 的夹角为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
由 ， 利 用 数 量 积 为 零 可 求 得 ， 从 而 得 ， 求 得 ， 利 用
，从而可得结果.
【详解】 ，
则 ，
，
即 ，解得 ，
，
则 ，
则 ，
又 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，
一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，
（此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则
;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.
14.当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是_______.
【答案】
( )1,3a = − ( )1,b t= ( )2a b a− ⊥ a b
4
π
( )2a b a − ⊥ 2t = ( )1,2b = 1 6 5a b⋅ = − + =
2cos , 2
a ba b
a b
⋅= =
( ) ( )1,3 , 1,a b t= − =
( ) ( ) ( )2 1,3 2 1, 3,3 2a b t t − = − − = − −
( ) ( )2 , 2 0a b a a b a − ⊥ ∴ − ⋅ =
( )3 3 3 2 0t+ × − = 2t =
( )1,2b∴ =
1 6 5a b⋅ = − + =
5 2cos , 210 5
a ba b
a b
⋅= = =
×
[ ], 0, , , 4a b a b
ππ∈ ∴ = 4
π
cosa b a b θ⋅ =
1 2 1 2a b x x y y⋅ = + cos a b
a b
θ =
a b
a b a b
b
⋅
,a b
0a b⋅ = ma nb+ a b⋅
(1,2)x∈ 2 2 0x mx+ + > m
( 2 2, )− +∞【解析】
【分析】
将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可.
【详解】当 时，不等式 恒成立
等价于 在 时恒成立
即等价于 ；
而因为 ，
故 ,当且仅当 时取得最大值.
故：
故答案为： .
【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还
涉及利用均值不等式求最值.属综合题.
15.已知 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：令 ，得 ，令 ，得 ，
联立得： ，故答案为 .
考点：二项式定理的应用.
【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常
见的通法是通过赋值使得多项式中的 变为 和 ，在本题中要使 即给等式中的 赋值 ，求
出展开式的常数项 ；要使 即给等式中 赋值 求出展开式的各项系数和即
，两式相减得到要求的值．
16.若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _____．
(1,2)x∈ 2 2 0x mx+ + >
2m x x
> − + (1,2)x∈
2
max
m x x
> − +
(1,2)x∈
2 22 2 2x xx x
− + ≤ − ⋅ = −
2x x
=
2 2m > −
( 2 2, )− +∞
( )( ) ( ) ( ) ( )9 2 112
0 1 2 111 2 1 1 1x x a a x a x a x+ − = + − + − + + − 1 2 11a a a+ + +
y kx b= + exy = ln( 2)y x= + k =【答案】 或
【解析】
【分析】
设出两个切点坐标，利用导数的几何意义，以及过两点的直线斜率公式可列方程组，从而求出切点坐标，
进而可得切线斜率.
【详解】详解：设 与 和 ，分别切于点 ， ，
由导数的几何意义可得： ，即 ，①
则切线方程为 ，即 ，
或 ，即 ，②
将①代入②得 ，
又直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，
则 ，
即 ，
则 或 ，
即 或 ，
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查了应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，重点考查了运算能力，属中档题.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知 .
(1)求 的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1) ,单调递减区间为 ;(2)见解析
【解析】
1 1
e
y kx b= + exy = ( )ln 2y x= + ( )1
1, xx e ( )( )2 2,ln 2x x +
1
2
1
2
xk e x
= = + 12
12 xx e
+ =
1 1
1( )x xy e e x x− = − 1 1 1
1
x x xy e x e x e= − +
2 2
2
1ln( 2) ( )2y x x xx
− + = −+ 2 2
2
1ln( 2) ( )2y x x xx
− + = −+
1 1
12 1x xy e x e x= + − −
y kx b= + exy = ln( 2)y x= +
1 1
1
x xe x e− + = 1
12 1xe x− −
1
1( 1)( 1) 0xe x− + =
1 1x = − 1 0x =
0 1k e= = 1 1k e e
−= =
1 1
e
( )22sin ,cos , ( 3 cos ,2), ( )a x x b x f x a b= = = ⋅
( )f x
( )f x 0, 2
π
T π= 2, ,6 3k k k
π ππ π + + ∈ Z【分析】
（ 1 ） 利 用 二 倍 角 的 正 弦 公 式 ， 余 弦 公 式 和 两 角 和 的 正 弦 公 式 的 逆 用 将 函 数 解 析 式 化 为
，然后利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得
的递减区间；
（2）根据正弦函数的性质可得最大最小值.
【详解】（1） ，
∴ 的最小正周期 .
由 ，得 ，
∴ 的单调递减区间为 .
（2）∵ ，
∴ ，
当 ，即 时，函数 取得最小值，为 ；
当 ，即 时，函数 取得最大值，为 .
故函数 在区间 上 最大值为 3，最小值为 0.
【点睛】本题考查了二倍角的正弦，余弦公式，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了三角形函数的周
期，单调区间，最值，属于中档题.
18.已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ， ， 是等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（1） （2）
【解析】
的
( ) 2sin 2 16f x x
π = + + ( )f x
2( ) 2 3sin cos 2cosf x a b x x x= ⋅ = + 3sin 2 cos2 1 2sin 2 16x x x
π = + + = + +
( )f x 2
2T
π π= =
32 2 2 ,2 6 2k x k k Z
π π ππ π+ + + ∈
2 ,6 3k x k k Z
π ππ π+ + ∈
( )f x 2, ,6 3k k k Z
π ππ π + + ∈
0, 2x
π ∈
72 ,6 6 6x
π π π + ∈
72 6 6x
π π+ =
2x
π= ( )f x 72sin 1 06
π + =
2 6 2x
π π+ =
6x
π= ( )f x 2sin 1 32
π + =
( )f x 0, 2
π
{ }na n nS 2 2S = 4 16S = { }1na +
{ }na
( )2log 3 3n nb a= +
1
1
n nb b +
n
12 13
n
na
+
= −
2( 2)
n
n +【分析】
（1）由 为等比数列，根据特殊的几项，结合已知，即可求解；
（2）由（1）中所求 得 ，再裂项求和即可.
【详解】（1）设 的公比为 ，由题知 ，
且有： ，
所以： ，
即： ，代入 ，
得 ，
所以 或者 （舍去）
所以： ，
所以：
由
得： ，所以：
所以：
所以： .
（2）因为 ，所以 ，
，
所以数列 的前 项和为
.
{ }1na +
na nb
{ }1na + q 0q >
( )
( )
2
3 1
2
4 2
1 1
1 1
a q a
a q a
+ = + + = +
( )2
3 4 1 22 2a a q a a+ + = + +
( )2
4 2 22 2S S q S− + = + 2 42, 16S S= =
216 4q=
2q = 2q = −
( )2 11 2 1a a+ = +
2 12 1a a= +
2 1 2 1 12 2 1S a a a a= = + = + +
1
1
3a = 1
41 3a + =
( ) 1 1
1
41 1 23
n n
na a q − −+ = + ⋅ = ⋅
12 13
n
na
+
= −
12 13
n
na
+
= − ( )2log 3 3 1n nb a n= + = +
1
1 1 1 1
( 1)( 2) 1 2n nb b n n n n+
= = −+ + + +
1
1
n nb b +
n
1 1 1 1 1 1
2 3 3 4 1 2n n
− + − +…+ − + +
1 1
2 2 2( 2)
n
n n
= − =+ +【点睛】本题考查通项公式的求解，以及裂项相消求和法，属数列中综合基础题.
19.“中国人均读书 4.3 本（包括网络文学和教科书），比韩国的 11 本、法国的 20 本、日本的 40 本、犹太
人的 64 本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果
无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼
仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富
小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调
查，随机抽取了一天 40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成 6 段： ， ， ，
， ， 后得到如图所示的频率分布直方图.问：
（1）估计在 40 名读书者中年龄分布在 的人数；
（2）求 40 名读书者年龄的平均数和中位数；
（3）若从年龄在 的读书者中任取 2 名，求这两名读书者年龄在 的人数 的分布列及数学
期望.
【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：
0 1 2
数学期望
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10，进而得出 40 名
读 书 者 中 年 龄 分 布 在 [40 ， 70 ） 的 人 数 ．（ 2 ） 40 名 读 书 者 年 龄 的 平 均 数 为
25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为 处所对应的数据即可得出中位数．（3）年龄
在[20，30）的读书者有 2 人，年龄在[30，40）的读书者有 4 人，所以 X 的所有可能取值是 0，1，2．利用
[ )20,30 [ )30,40 [ )40,50
[ )50,60 [ )60,70 [ ]70,80
[ )40,70
[ )20,40 [ )30,40 X
X
X
P 1
15
8
15
6
15
4
3EX =
1
2超几何分布列计算公式即可得出．
试题解析：
（1）由频率分布直方图知年龄在 的频率为 ，
所以 40 名读书者中年龄分布在 的人数为 .
（2）40 名读书者年龄的平均数为
.
设中位数为 ，则
解得 ，即 40 名读书者年龄的中位数为 55.
（3）年龄在 的读书者有 人，
年龄在 的读书者有 人，
所以 的所有可能取值是 0,1,2，
，
，
，
的分布列如下：
0 1 2
数学期望 .
20.如图，四棱锥 中，底面 为菱形， ， ，点 为
中点.
的
[ )40,70 ( )0.020 0.030 0.025 10 0.75+ + × =
[ )40,70 40 0.75 30× =
25 0.05 35 0.1 45 0.2 55 0.3× + × + × + × 65 0.25 75 0.1 54+ × + × =
x ( )0.005 10 0.01 10 0.02 10 0.03 50 0.5x× + × + × + × − =
55x =
[ )20,30 0.005 10 40 2× × =
[ )30,40 0.01 10 40 4× × =
X
( ) 2 0
2 4
2
4
10 15
C CP X C
= = =
( ) 1 1
2 4
2
4
81 15
C CP X C
= = =
( ) 0 2
2 4
2
4
62 15
C CP X C
= = =
X
X
P 1
15
8
15
6
15
1 8 6 40 1 215 15 15 3EX = × + × + × =
P ABCD− ABCD 60ABC∠ = ° 2PA PB AB= = = N AB（1）证明： ；
（2）若点 为线段 的中点，平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
分析：（1）由正三角形的性质可得 ，由等腰三角形的性质可得 ，由线面垂直的判定
定理可得 平面 ，从而可得结论；（2）由（1）知 ，结合面面垂直的性质可得，
平面 ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
求出平面 的一个法向量取平面 的一个法向量 ，利用空间向量夹角余弦公式可得结
果.
详解：（1）连接 ，
因为 ， ，所以 为正三角形，又点 为 的中点，所以 .
又因为 ， 为 的中点，所以 .
又 ，所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
（2）由（1）知 .又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
AB PC⊥
M PD PAB ⊥ ABCD M NC P− −
21
7
AB NC⊥ AB PN⊥
AB ⊥ PNC PN AB⊥ PN ⊥
ABCD N NB NC NP x y z
MNC PNC ( )1,0,0m =
AC
AB BC= 60ABC∠ = ° ABC∆ N AB AB NC⊥
PA PB= N AB AB PN⊥
NC PN N∩ = AB ⊥ PNC PC ⊂ PNC AB PC⊥
PN AB⊥ PAB ⊥ ABCD AB PN ⊥ ABCD
N NB NC NP x y z
( )1,0,0B ( )0, 3,0C ( )0,0,0N ( )0,0, 3P ( )2, 3,0D − 3 31, ,2 2M
−
MNC ( ), ,n x y z=可得 得 ，
由（1）知 平面 ，则取平面 的一个法向量 ，
，故二面角 的余弦值为 .
点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问
题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线
的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将
空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
21.已知椭圆 ， 为椭圆与 轴的一个交点，过原点 的直线交椭圆于 两
点，且 ， .
（1）求此椭圆的方程；
（2）若 为椭圆上的点且 的横坐标 ，试判断 是否为定值？若是定值，求出该定值；
若不是定值，请说明理由.
【答案】（1） ;（2） 为定值 .
【解析】
【分析】
(1)由 求出 ，由已知条件可得点 的坐标，则椭圆的方程易求.
(2)利用斜率公式表示出 ，结合点 在椭圆上，可得 为定值.
【详解】(1)因为 为椭圆与 轴的一个交点，所以 .
0
0
n NC
n NM
⋅ =
⋅ =
3 ,0,12n
=
AB ⊥ PNC PNC ( )1,0,0m =
21cos , 7
m nm n m n
⋅= = M NC P− − 21
7
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > (2 0)A ， x O ,B C
• 0AC BC = 2BC AC=
( ),P x y P 1x ≠ ± •PB PCk k
2 2
144
3
x y+ = •PB PCk k 1
3
−
(2,0)A a C
PB PCk k P PB PCk k
(2,0)A x 2a =由 ，可得 ，
由等腰直角三角形的性质可得 ，
代入椭圆方程可得 ，解得 ，
所以此椭圆的方程为 .
(2)由(1)可得 ， ，
由 在椭圆上，可得 ，
所以 ，
即 是定值，定值为 .
【点睛】本题考查椭圆的方程，椭圆中的定值问题.判断是否为定值的一般思路是用参数表示出目标值，再
看能否消去参数.
22.己知 ;
(1)讨论函数的单调性;
(2)当 )时，函数有两个零点 ，证明: .
【答案】(1)见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）讨论 的零点与 的关系，判断出 的符号，即可得到函数的单调区间；
（2）根据 的单调性判断 的取值范围，构造函数 ，利用单调性得出
，判断 的符号得出 的大小关系，从而得到结论.
详解：（1）
①若 ， 在 上单调递增；
0,| | 2 | |AC BC BC AC= =
| | | |, 90AC OC OCA= ∠ = °
(1,1)C
2 2
2
1 1 14 b
+ = 2 4
3b =
2 2
144
3
x y+ =
(1,1)C ( 1, 1)B − −
( , )P x y
2 23 14 4
x y+ =
2 2
2
2 2 2
4 11 13 41 1 1 13 3
1 1 1 1 1 3PB PC
x x
y y yk k x x x x x
− − −+ − − = = = = = −+ − − − −
PB PCk k
1
3
−
( ) ( )1 1f x n x a ax= + − +
20 2a
∈
， 1 2,x x 1 2 0x x+ >
( )f x′ a− ( )f x′
( )f x 1 2,x x ( ) 2
2
1( )g a f a e
= − −
( ) 0g a < 1( )f x− 1 2,x x
( ) ( )2 11 ax a
f x ax a x a
+ −
= − = −′
+ +
0,a = ( ) ln 1f x x= + ( )f x ( )0,+∞②若
当 时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， ，所以 在 单调递增；
（2）由（1）的讨论可知当 时， 在 单调递增，在 单调递减，且
， ，所以两个零点 ，
①当 时， ，所以 ，显然 ；
②当 时， ，所以 ，
令
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，）
又 ，所以 1 a aa
− > − ( )f x 1,a aa
− −
1 ,aa
− +∞
0a < 1 a aa
− < − ( )f x ( ),a− +∞
20, 2a
∈
( )f x 1,a aa
− −
1 ,aa
− +∞
1 0aa
− > 2 21 1ln ln 0f a a a aa a
− = + = − > 1 2
1x a xa
< − <
1a e
< ( )0 ln 1 0f a= + < 1 2
10 x a xa
< < − < 1 2 0x x+ >
1a e
> ( )0 ln 1 0f a= + > 1 2
10x a xa
< < − <
( ) 2 2 2
2 2 2
1 1 1ln 1g a f a a a a ae e e
= − − = − − + − +
( )
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2
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2 2
2 2
1
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a aeg a a aea a ae e
−
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−
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− −
( )
2
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2
2 2 2
2 2 2
12 11 1
1 1 1
aa eg a a aea a ae e e
− −−= + − + =
− −
′
−
20, 2a
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2
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a e
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1 1ln 1 0g e e
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( )g a 2
2
1 0f a e
− − −
( ) ( )1 1 1ln 1 0,f x x a ax= + − + =
( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 1 1 1ln ln 2 ln 2 0,f x x a x a a x− = − + + + + = − + > 2 1x x> −
1 2 0x x+ >
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