江门市 2019 年普通高中高三调研测试
理科数学
本试卷 5 页，23 题，满分 150 分，测试用时 120 分钟.
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B
铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按
以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷与答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由 中不等式变形得 ，解得 或 ，即 或 ， ，
，故选 A.
2.设复数 满足 ，则复数 的共轭复数 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由复数的乘方运算解得 ，其共轭复数实部相同，虚部互为相反数，即可得答案.
【详解】因为 ，所复数 的共轭复数 .
故选：A
{ }1,0,1,2,3A = − { }2 3 0B x x x= − > A B =
{ }1− { }1,0− { }1,3− { }1,0,3−
B ( )3 0x x − > 0x < 3x > { | 0B x x= < }3x > { }1,0,1,2,3A = −
{ }1A B∴ = −
z 2(1 ) 4z i i− = z z =
2− 2i− 2i
z
( )2 2(1 ) (1 2 ) 2 4 2z i z i i z i i z− = − + = − = ⇒ = − z 2z = −【点睛】本题考查求通过复数的乘方运算化简，进而求其共轭复数，属于基础题.
3.已知平面向量 满足 ，且| |=2，| |=1，则向量 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设 向 量 的 夹 角 为 ， 且 ， 由 ， 可 得 ， 代 入 数 据 可 得
，解得 ，可得 ，故选 B.
4.若 ，且 ，则 的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用同角三角函数的关系将原式化简成关于 的二次方程,求得 ,继而根据 可得
的值与 的值即可.
【详解】由 ,得 ,
即 ,解得 或 (舍).
∵ ,∴ ,
∴ .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的运用,属于基础题.
5.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）
,a b ( ) 5a a b⋅ + = a b a b
π
6
π
3
2π
3
5π
6
,a b θ [ ]0,θ π∈ ( ) 5a a b⋅ + = 2
5a a b+ ⋅ =
22 2 1 cos 5θ+ × × = 1cos 2
θ =
3
πθ =
0( )α π∈ ， 2 1
4sin cosα α+ = tanα
2
2
3
3 2− 3−
cosα 1cos 2
α = − 0( )α π∈ ，
α tanα
2 1
4sin cosα α+ = 2(4 1 1) 4 0cos cosα α− + − =
24 4 3 0cos cosα α− − = 1
2cosα = − 3
2cosα =
0( )α π∈ ， 2
3
πα =
2 33tan tan
πα = = −A. B. 1 C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
该三视图还原之后是如图所示的三棱锥，由棱锥的体积公式求得答案.
【详解】该三视图还原之后是如图所示 三棱锥，所以体积
故选：C
【点睛】本题考查由三视图还原立体图形求体积，属于基础题.
6.已知向量 ， ，则 是向量 与向量 垂直的
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由 可得向量 与向量 垂直；反之，由向量 与向量 垂直，不一定得到 ．然后结合充分必要
条件 判定方法得答案．
【详解】解：向量 ， ，
若 ，则 ， ，此时 ，向量 与向量 垂直；
若向量 与向量 垂直，则 ，即 ，解得 或 ．
是向量 与向量 垂直的充分不必要条件．
故选： ．
【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，考查充分必要条件的判定方法，属于基础题．
7.某程序框图如图所示，若输出的 ，则判断框内应填（ ）
的
的
1
6
4
3
1 1 42 2 23 2 3V = × × × × =
( , 2)a µ= − (1 ,1)b µ= + 1µ = a b ( )
1µ = a b a b 1µ =
( , 2)a µ= − (1 ,1)b µ= +
1µ = (1, 2)= −a (2,1)=b 1 2 2 1 0× − × = a b
a b (1 ) 2 0µ µ+ − = 2 2 0µ µ+ − = 2µ = − 1µ =
1µ∴ = a b
B
26S =A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容.
【详解】由程序框图可知, ,则
所以此时输出 的值,因而 时退出循环.因而判断框的内容为
故选:A
【点睛】本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题.
8.已知函数 为偶函数，则 （ ）
A. 1 B. 2
C. D. 3
【答案】C
【解析】
3?k > 4?k > 5?k > 6?k >
1, 1S k= =
2, 2 1 2 4k S= = × + =
3, 2 4 3 11k S= = × + =
4, 2 11 4 26k S= = × + =
S 4k = 3?k >
( ) ln(e 1)( )xf x ax a= − + ∈R a =
1
2【分析】
利用 列方程，解方程求得 的值.
【 详 解 】 由 于 为 偶 函 数 ， 所 以 ， 即 ， 所 以
，所以 .
故选：C.
【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，属于基础题.
9. 中， ， 、 是双曲线 的左、右焦点，点 在 上，且 ，则 的离心率
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线的简单几何性质表示 ，由余弦定理表示 ，再由双曲线的定义构建方程，求得答
案.
【详解】由题可知， 、 是双曲线 的左、右焦点，则
则由余弦定理
又点 在 上，显然在右支上，则
故选：D
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，属于简单题.
10.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，若三棱锥
体积的最大值为 2，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
在底面△ABC 中由余弦定理和正弦定理以及任意三角形的面积公式，可得 ，以及外接圆的半径 r，由
( ) ( )1 1f f− = a
( )f x ( ) ( )1 1f f− = ( ) ( )1ln 1 ln 1a e a e−− − + = − +
( ) ( )1
1
12 ln 1 ln 1 ln ln 11
ea e e ee
−
−
+= + − + = = =+
1
2a =
ABC
2π
3B∠ = A B E C E AB BC= E
5 1− 3 1+ 3 1
2
− 3 1
2
+
2AB BC c= = AC
A B E 2AB BC c= =
( ) ( ) ( )( )2 22 22 2 2 2 2 cos 2 33AC c c c c AC c
π= + − ⇒ =
C E 3 12 3 2 2 2
cAC BC c c a e a
+− = − = ⇒ = =
D ABC− O 2AB BC= = 2 3AC =
D ABC− O
8π 9π 64
3
π 121
9
π
ABCS∆题可知三棱锥 体积的最大值，则此时的点 D 应在垂直于面 ABC 且过球心的轴顶点位置，则可表
示该三棱锥此时的高 ，由三棱锥的体积公式构建方程求得 R，再带入球体的表面积公式即可得解.
【 详 解 】 在 底 面 △ABC 中 由 余 弦 定 理 可 知 , 则
，即
由正弦定理可知，
若三棱锥 体积的最大值，则此时的点 D 应在垂直于面 ABC 且过球心的轴顶点位置，则该三棱锥
的高
则此时的体积为 ，解得
所以球 的表面积为
故选：C
【点睛】本题考查三棱锥的外接球求表面积问题，应优先确定球心位置进而求得半径，属于中档题.
11.已知线段 的长为 6，以 为直径的圆有一内接四边形 ，其中 ，则这个内接四边
形的周长的最大值为（ ）
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
【答案】A
D ABC−
DO′
2 2 2 1cos 2 2
AB BC ACABC AB BC
+ −∠ = = −⋅
21 3sin 1 2 2ABC ∠ = − − =
1 1 3sin 2 2 32 2 2ABCS AB BC ABC∆ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
2 32 4 2sin 3
2
ACr rABC
= = = ⇒ =∠
D ABC−
2 2 2 4DO R R r R R′ = + − = + −
( )2
max
1 1 3 4 23 3ABCV S DO R R∆ ′= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + − = 4 3
3R =
O
2
2 4 3 644 4 3 3S R
ππ π = = ⋅ =
AB AB ABCD / /AB CD【解析】
分析】
连接 AC，用 表示出周长来，利用二次函数求解.
【详解】
连接 AC，过 C 作 于 E，设 ，如图，
因为 AB 为直径且为 6，所以 .
由题意可知 ABCD 为等腰梯形，故其周长为
，
所以当 时，周长取到最大值 15.
【点睛】本题主要考查利用三角函数求解最值问题.根据题意构造目标式，结合目标式的特点选择合适的方
法求解.
12.设函数 有且仅有一个零点，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
对 实行参变分离，对新函数的图象求导，研究其导函数的正负，得新函数的单调性，从而求出新函数的
最趋势和最值，求得 的范围.
【详解】令 因为 所以
令 得
时， 所以 在 上单调递增；
【
【
CAB∠
CE AB⊥ CAB θ∠ =
26sin , 6sinBC BEθ θ= =
2 2 216 12sin 6 12sin 12(1 sin sin ) 12(sin ) 152y θ θ θ θ θ= + + − = + − = − − +
1sin 2
θ =
[ ]( ) 2sin , 0,xf x ae x x π= − ∈ a
42e
π
42e
π−
22e
π
22e
π−
a
a
( ) 0,f x = 0xe > ( )2sin .x
xa g xe
= =
( ) ( )' 2 cos sin .x
x xg x e
−= ( )' 0,g x = .4x
π=
0, 4x
π ∈
( )' 0,g x > ( )g x 0, 4
π
时， 所以 在 上单调递减；
所以 在 处取得最大值,又
要使 有且仅有一个零点，
则 的值为 .
故选 B
【点睛】本题关键在于对 实行参变分离，转化为求新函数的图象趋势和最值，属于难度题.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.曲线 在 处的切线的斜率是_____
【答案】3
【解析】
【分析】
先求得函数的导函数，令 求得导数，也即切线的斜率.
【详解】 ，当 时，导数为 ，也即切线的斜率为 .
【点睛】本小题主要考查复合函数的导数，考查切线斜率的求法，属于基础题.
14.直线 与圆 相切，则实数 等于________.
【答案】 或
【解析】
由题将圆 化成标准方程，得
∴圆 的圆心为 ，半径
∵直线 与圆 相切，
∴点 到直线 的距离等于半径，即
解之得
故答案为 或 .
15.已知函数 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，
,4x
π π ∈
( )' 0,g x < ( )g x ,4
π π
( )g x
4x
π= ( ) ( )0 0g g π= =
[ ]( ) 2sin , 0,xf x ae x x π= − ∈
a 42e
π−
a
2xy e x= + 0x =
0x =
' 22 1xy e= + 0x = 02 1 3e + = 3
3 0x y m− + = 2 2 2 2 0x y x+ − − = m
3 3− 3
2 2 2 2 0x y x+ − − = 2 21 3x y− + =（ ） ，
2 2 2 2 0x y x+ − − = 1 0C（，） 3r = ．
3 0x y m− + ＝ 2 2 2 2 0x y x+ − − =
C 3 0x y m− + ＝ 3 0
3
3 1
m
，
− +
=
+
3 3 3m 或 ．= −
3 3− 3
( ) cos( )( 0, 0,0 )f x A x Aω ϕ ω ϕ π= + > > < *n N∈ 1 1n nS S+ −+ =
2( 1)nS + 10S
10S 9 8 22
×+ × =（一）必考题：共 60 分.
17.已知等差数列 ， ， ，数列 满足 ， .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求使得 成立的最小正整数 的值.
【答案】（1） ， （2）17
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列中任意两项求公差 ，再用广义通项公式求出 ，接着利用累加法求数列
；
（2）利用裂项相消法求数列 的前 项和为 ，再解不等式 求得最小正整数 为 17.
【详解】解：(1)设等差数列 的公差为 d，则 ，则 ，解得 ，
所以 .
因为
所以
， 也合适.
所以 ， .
(2)因为
所以
.
{ }na 2 12a = 5 24a = { }nb 1 4b = 1 ( )n n nb b a n ∗
+ − = ∈N
{ }na { }nb
1 2 3
1 1 1 1 8... 17nb b b b
+ + + + > n
4 4na n= + 22 2 ( )nb n n n N ∗= + ∈
4d = 4 4na n= +
22 2nb n n= +
1{ }
nb n 2( 1)
n
n +
8
2( 1) 17
n
n
>+ n
{ }na 5 2 12a a− = 3 12d = 4d =
2 ( 2) 4 4na a n d n= + − = +
1 4 4n nb b n+ − = +
1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )( 2)n n nb b b b b b b b n−= + − + − + + − ≥
[ ]4 (4 1 4) (4 2 4) (4( 1) 4)n= + × + + × + + + − +
4 4(1 2 ( 1)) 4( 1)n n= + + + + − + −
22 2 ( 2)n n n= + ≥ 1 4b =
4 4na n= + 22 2 ( )nb n n n N ∗= + ∈
2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 ( 1) 2 1nb n n n n n n
= = = − + + −
1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 12 2 2 3 1nb b b b n n
+ + + + = − + − + + − −
1 112 1 2( 1)
n
n n
= − = + + 即 ，解得 ，
所不等式成立的最小正整数 为 17.
【点睛】本题考查基本量法、累加法求数列通项公式、裂项相消法求和、不等式与数列的交会问题，考查
逻辑推理和运算求解能力.
18.在 中，角 的对应边分别为 .
（1）若 成等比数列， ，求 的值；
（2）若角 成等差数列，且 ，求 周长的最大值.
【答案】（1） （2）6
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数关系求得 ，由等比中项的性质构建方程，进而由正弦定理边化角，再将所求表
达式通分并由两角和的正弦公式的逆运用进行整理求得答案；
（2）由等差中项的性质和三角形三角和为 求得角 B，由正弦定理分别表示边 a,c，进而表示周长 L，利用
三角恒等变换整理，再由三角函数求最值方式求得最大值.
【详解】（1）在 中， ，
、 、 成等比数列， ，
由正弦定理得 ，
（2） ， 、 、 成等差数列，
，
，则 ，
由正弦定理，得
，
8
2( 1) 17
n
n
>+ 16n >
n
ABC , ,A B C , ,a b c
, ,a b c
3os 1c 12B = cos cos
sin sin
A C
A C
+
, ,A B C 2b = ABC
13
5
sin B
π
ABC
12cos 13B =Q (0, )B π∈
5sin 13B∴ =
a b c 2b ac∴ =
∴ 2sin sin sinB A C=
2
cos cos sin cos cos sin sin( )
sin sin sin sin sin
A C A C A C A C
A C A C B
+ +∴ + = = 2
sin 1 13
sin sin 5
B
B B
= = =
2b = A B C
2 180B A C B∴ = + = °−
60B∴ = ° 3sin 2B =
∴ 4 3
sin sin sin 3
a b c
A B C
= = =
4 3 sin3a A∴ = 4 3 sin3c C=，即 ，
周长为
.
， ，
，
，
当 时， 周长 取得最大值为 6.
【点睛】本题考查利用正弦定理表示边长进而求周长最值问题，还考查了正弦定理化简求值，属于中档题.
19.如图 1，在边长为 的正方形中 ， 、 分别为 、 的中点，沿 将矩形 折
起使得 ，如图 2 所示，点 在 上， ， 、 分别为 、 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）取 中点 ，连结 、 ，利用中位线可得 且 ，由直棱锥性质可知
且 ，即可证得四边形 是平行四边形，进而 ，再由线面平行的判定
定理说明即可；
（2）由余弦定理，已知以及勾股定理可说明 ，易证 ，由线面垂直的判定定理和性质
120A C+ = °Q 120C A= °−
ABC∴ ( )4 3 4 3(sin A sin ) 2 sin A 12sin 23 3 0L a b c C A= + + = + + = °−+ +
( )4 3 3 3cos sin 2 4cos 60 23 2 2A A A
= + + = − ° +
0 120A< < °Q 60 60 60A∴− ° < − ° < °
1 cos 6 12 ( )0A∴ < − ° ≤
(4 4cos 60 2 6)A∴ < − ° + ≤
∴ 60A B C= = = ° ABC L
2 3 ABCD E O AD BC EO ABOE
120BOC∠ = ° G BC 2BG GC= M N AB EG
//MN OBC
G ME B− −
42
7
OG F BF FN //FN OE 1
2FN OE=
//BM OE 1
2BM OE= BFNM //MN BF
OG OB⊥ OE OG⊥定理可说明 ，由等腰三角形说明 ，进而可证 平面 ， ，则
为二面角 的平面角，最后在 中求得答案.
【详解】（1）证明：（法一）
如图取 中点 ，连结 、 ，
则在 中由中位线定理可知 且 ，
又由原正方形可得 且
且 ，
四边形 是平行四边形，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
法二：
如图，延长 、 交于点 ，连结 ，
且 ，
，
为 中点，
OG QE⊥ OM QE⊥ QE ⊥ OMG QE MG⊥
OMG∠ G ME B− − Rt MOG△
OG F BF FN
EOG∆ //FN OE 1
2FN OE=
//BM OE 1
2BM OE=
//FN BM∴ FN BM=
∴ BFNM
//MN BF∴
MN ⊄ OBC BF ⊂ OBC
//MN∴ OBC
EM OB Q GQ
//BM OEQ 1
2BM OE=
1
2
QM BM
QE OE
∴ = =
M EQ中位线
又 平面 ， 面 ，
平面 .
（2）解：（法一）
如图，因为 ， ，
所以 ，
又 .所以 ， ，
，
，
， ，
又 ， ， ，
平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面 ， 面 ，
又 为 中点，即 ，所以 ，
， 平面 ， ，
为二面角 的平面角.
在 中， ， ，
，
二面角 的余弦值为 .
法二：
//MN QG
MN ⊄ OBC QG ⊂ OBC
//MN∴ OBC
3OB OC= = 120BOC∠ = °
2 2 2 cos120 3BC OB OC OB OC= + − ⋅ ⋅ ° =
2BG GC= 2 23BG BC= = 1GC =
2 2 2 cos30 1OG CG OC CG OC= + − ⋅ ⋅ ° =
2 2 2OB OG BG∴ + =
90BOG∴∠ = ° OG OB⊥
OE OB⊥ OE OC⊥ OB OC O=
OE∴ ⊥ OBC OG ⊂ OBC OE OG∴ ⊥
OB OE O=I OG∴ ⊥ OBE QE ⊂ OBE OG QE⊥
M EQ 2 3OQ OE= = OM QE⊥
OM OG O=I QE∴ ⊥ OMG QE MG⊥
OMG∠ G ME B− −
Rt MOG△ 2 2( 3) ( 3) 6OM = + = 2 2( 6) 1 7MG = + =
6 42cos 77
OMOMG MG
∠ = = =
∴ G ME B− − 42
7如图， ， ，
，
又 .所以 ， ，
，
，
， ，
又 ， ， ，
平面 ， 平面 ，
.
又 ，
平面 ， 面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ，
，
而 是平面 的一个法向量
设平面 的法向量为 ，
由 ，即 ，
令 ，则 ，
面 的一个法向量为 ，
3OB OC= =Q 120BOC∠ = °
2 2 2 cos120 3BC OB OC OB OC∴ = + − ⋅ ⋅ ° =
2BG GC= 2 23BG BC= = 1GC =
2 2 2 cos30 1OG CG OC CG OC= + − ⋅ ⋅ ° =
2 2 2OB OG BG∴ + =
90BOG∴∠ = ° OG OB⊥
OE OB⊥ OE OC⊥ OB OC O=
OE∴ ⊥ OBC OG ⊂ OBC
OE OG∴ ⊥
OB OE O=I
OG∴ ⊥ OBE QE ⊂ OBE OG QE⊥
O xyz−
( 3,0, 3)M (0,1,0)G (0,0,2 3)E
( 3,1, 3)MG = − −uuuur
( 3,0, 3)ME = −uuur
1 (0,1,0)n = BOE
MGE 2 ( , , )n x y z=
2
2
0
0
n MG
n ME
⋅ = ⋅ =
3 3 0
3 3 0
x y z
x z
− + − =
− + =
1z = 1x = 2 3y =
MGE 2 (1,2 3,1)n =uur设二面角 大小为 ，由图， .
.
二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查立体几何中线面平行的证明，还考查了二面角的余弦值的求值，属于中档题.
20.已知椭圆 的焦距为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若不经过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 与直线 的斜率之和为 ，
证明：直线 的斜率为定值.
【答案】(1) 椭圆 的方程为 ;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）由已知条件先求出椭圆 的半焦距，再把 代入椭圆方程，结合性质 ，
求出 、 、 ，即可求出椭圆 的方程；（2）设直线 的方程为 与椭圆的方程联立，根据韦
达定理及过两点的斜率公式，利用直线 的斜率之和为零可得 ，从而可得结
果.
试题解析：（1）因为椭圆 的焦距为 ，且过点 ，所以 .因为
，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
（2）设点 ，则 ，由 消去 得
，（*）则 ，因为 ，即
，化简得 .即
G ME B− − θ 0, 2
πθ ∈
1 2
1 2
1 2
cos cos ,
n n
n n
n n
θ
⋅
∴ = = =
⋅
ur uur
ur uur
ur uur 2 3 2 3 42
71 12 1 14
= =
+ +
∴ G ME B− − 42
7
( )2 2
2 2
: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2 6 ( )2,1A
C
A :l y kx m= + C P Q AP AQ 0
PQ
C
2 2
18 2
x y+ =
C ( )2,1A 2 2 2a b c= +
a b c C l y kx m= +
,AP AQ ( )( )2 1 2 1 0k m k− + − =
C 2 6 ( )2,1A 2 2
4 1 1,2 2 6ca b
+ = =
2 2 2a b c= + 2 28, 2a b= = C
2 2
18 2
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 1 2 2,y kx m y kx m= + = + 2 2
,
1,8 2
y kx m
x y
= + + =
y
( )2 2 24 1 8 4 8 0k x kmx m+ + + − = 2
1 2 1 22 2
8 4 8,4 1 4 1
km mx x x xk k
−+ = − =+ + 0PA PQk k+ =
1 2
1 2
1 1
2 2
y y
x x
− −= −− − ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 22 4 0x y x y x x y y+ − + − + + =.（**）代入得 ，
整理得 ，所以 或 .若 ，可得方程（*）的一个根为 ，
不合题意，所以直线 的斜率为定值，该值为 .
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和过两点的斜率公式，属于难
题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，
还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程 或
；③找关系：根据已知条件，建立关于 、 、 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入
所设方程，即为所求.
21.设函数
（Ⅰ）设 ，讨论函数 F（x） 单调性；
（Ⅱ）过两点 的直线的斜率为 ，求证：
【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析
【解析】
试 题 分 析 ： （ Ⅰ ） ， 可 得 ，
． 对 分 类 讨 论 即 可 得 出 单 调 性 ． （ ⅠⅠ ） 由
， 要 证 明 ， 由 于 ， 只 要 证 明
即 可 ， 令 （ ），只 要 证 明 即 可 ． 分 别 构 造 函 数
，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明．
试题解析：（Ⅰ）解： ，所以 ，
函数 的定义域为 ，而 , 2 分
的
( )( )1 2 1 22 1 2 4 4 0kx x m k x x m+ − − + − + = ( ) ( )2
2 2
2 4 8 8 1 2 4 4 04 1 4 1
k m km m k mk k
− − −− − + =+ +
( )( )2 1 2 1 0k m k− + − = 1
2k = 1 2m k= − 1 2m k= − 2
PQ 1
2
x y
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 1x y
b a
+ =
( )0a b> > a b c
( ) ln .f x x x=
21( ) ( )( )2F x mx f x m R= + ∈′
1 1 2 2 1 2( , ( )), ( ( ))( )A x f x B x f x x x
2 1 2 2 1
2 1 1
lnx x x x x
x x x
− −< < 2
1
xt x
= 1t > 11 ln 1t tt
− < < −
( ) 1 lng t t t= − −
( ) ln 1f x x= +′ 21( ) ln 12F x mx x= + +
( )F x (0, )+∞ 21 1( ) mxF x mx x x
=′ += +①当 时，恒有 ，函数 在 上是增函数；
②当 时，令 ，得 ，解得 ；
令 ，得 ，解得 .
综上，当 时，函数 在 上是增函数；
当 时，函数 在 是增函数，在 上是减函数． 5 分
（Ⅱ）证明： ，
因为 ，所以 ；而 ，所以 ，所以 ；
要证 ，即证 ，令 ，则 ，则只要证 ，
设 ，则 ，故 在 上是增函数. 10 分
所以当 时， ，即 成立．
综上可知 成立，得证． 12 分.
考点：1．导数的运算；2．利用导数研究曲线上某点切线方程．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 分别交于 两点（异于原点 ），定点 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
0m ≥ ( ) 0F x′ ≥ ( )F x (0, )+∞
0m < ( ) 0F x′ > 2 1 0mx + > 10 x m
< < −
( ) 0F x′ < 2 1 0mx + < 1x m
> −
0m ≥ ( )F x (0, )+∞
0m < ( )F x 1(0, )m
− 1( , )m
− +∞
2 1 2 1
2 1 2 1
( ) ( ) ln lnf x f x x xk x x x x
− −= =− −
′ ′ 2
1
2 1
ln x
x
x x
= −
1 2x x< 2 1 0x x− > 2
1
1x
x
> 2
1
ln 0x
x
> 0k >
1
1k x
< 2 2 1
1 1
ln x x x
x x
−< 2
1
xt x
= 1t > ln 1t t< −
( ) 1 lng t t t= − − 1( ) 1 0( 1)g t tt
>′ = − > ( )g t [1, )+∞
1t > ( ) 1 ln (1) 0g t t t g= − − > = 1 lnt t− >
1
10 k x
< <
1C 2cos
2 2sin
x
y
θ
θ
=
= +
θ O x
2C 4cosρ θ=
1C
( 0)3
πθ ρ= ≥ 1 2,C C ,A B O (2,0)M MAB∆
4sinρ θ= 3 3−【解析】
【分析】
（1）将曲线 C1 化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）先求出定点 M 到射线的距离
为三角形的高，再由极坐标方程求出弦长|AB|为三角形的底，根据面积公式求解即可．
【详解】（1）解：曲线 C1 直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0，
由 ρ2=x2+y2，ρsinθ=y 得：
曲线 C1 极坐标方程为 ρ=4sinθ，
（2）法一:M 到射线 θ= 的距离为 d=2sin = ，
|AB|=ρB﹣ρA=4（sin ﹣cos ）=2（ ﹣1）
则 S△MAB= |AB|×d=3﹣ ．
法二：
解：将 θ= （ρ≥0）化为普通方程为 y= x（x≥0），
∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ，即 ρ2=4ρcosθ，
由 ρ2=x2+y2，ρcosθ=x 得：
曲线 C2 的直角坐标方程为 x2+y2﹣4x=0，
由 得 ∴A（ ，3）
得 ∴B（1， ），
，
点 M 到直线 ，
∴ ．
【点睛】本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及弦长公式，属于中档题．
23.已知函数 .
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 的值；
(2)在(1)的条件下，若 对一切实数 x 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 的取值范围 .
3
π
3
π
3
3
π
3
π
3
1
2 3
3
π
3
2 2
3
4 0
y x
x y y
= + − =
0 3
0 3
x x
y y
= = = =
或 3
2 2
3
4 0
y x
x y x
= + − =
10
0 3
xx
y y
或
== = = 3
( ) ( ) ( )2 2
1 3 3 3 2 3 1AB = − + − = −
2 3 0
y 3x 3x y 0 d 32
即 的距离为
−
= − = = =
1 3 3 32MABS AB= × = −
( ) | |f x x a= −
( ) 3f x ≤ { | 1 5}x x− ≤ ≤ a
( ) ( 5)f x f x m+ + ≥ m
2a = m ( 5]−∞，【解析】
【详解】（1）∵|x-a|≤3 ，∴a-3≤x≤a+3，
∵f（x）≤3 的解集为[-1,5] ，∴ ，∴a=2．
（2）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x+3）|=5
又 f（x）+f（x+5）≥m 恒成立 ,∴m≤5．
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