八年级数学下册第17章《勾股定理》单元测试题7（新人教版）

1 第 17 章《勾股定理》单元测试题 7 考试范围：第 17 章勾股定理；考试时间：100 分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 一、选择题（每题 2 分，共 24 分） 1．以下列长度（单位：cm）为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A．5，6，7 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，7，9 2．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 3．如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重 合，则 AF 长为（ ） A． cm B． cm C． cm D．8cm 4．如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线 DE 交 AB 于 E，交 BC 于 D，若 AB=10，AC=6， 则△ACD 的周长为（ ） A．14 B．16 C．18 D．20 5．若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，c，且 a2=9，b2=16，则 c2 为（ ） A．25 B．7 C．7 或 25 D．9 或 16 6．如图，四边形 ABCD 中，AB=15，BC=12，CD=16，AD=25，且∠C=90°，则四边形 ABCD 的 面积是（ ） 25 8 25 4 25 22 A．246 B．296 C．592 D．以上都不对 7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折 叠，使它落在斜边 AB 上且与 AE 重合，则 CD 等于（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．如图，由四个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中最多可 以作长为 的线段（ ） A．4 条 B．6 条 C．7 条 D．8 条 9．（2 分）某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线 的夹角为 45°，下方是一个直径为 70cm，高为 100cm 的圆柱形容器，若使容器中的液面与 上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（） A.30cm B.35cm C.35 cm D.65cm 10．如图，在△ABC 中 AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为 D、E，AD、CE 交于点 H，已知 EH=EB=3，AE=4，则 CH 的长是（ ）3 A．1 B．2 C．3 D．4 11．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点 C 到 AB 的距离是（ ） A． B． C． D． 12．如图，∠MON=20°，A、B 分别为射线 OM、ON 上两定点，且 OA=2，OB=4，点 P、Q 分别 为射线 OM、ON 两动点，当 P、Q 运动时，线段 AQ+PQ+PB 的最小值是（ ） A．3 B．3 C．2 D．2 评卷人 得分 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 13．已知一个三角形的三条边的长分别为 、 和 ，那么这个三角形的最大内角度数 为 ． 14 ．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AC=2 ，点 D 在 BC 上，∠ADC=2 ∠B ，AD= ，则 BC= ． 15．如图，矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴 影部分的面积 ． 16．如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点 C 与点 A 重合， 折痕为 DE，则△ABE 的周长为 ． 54 17 ．如图，每个小正方形的边长为 1 ，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数 为 ． 18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20dm、3dm、2dm．A 和 B 是这个 台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶 面爬行到点 B 的最短路程为 dm． 评卷人 得分 三、解答题（共 58 分） 19．（本题 5 分）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，∠B=60°，∠C=45°． （1）求∠BAC 的度数． （2）若 AC=2，求 AD 的长． 20．（本题 7 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，EC 平分∠BED． A B C5 （1）△BEC 是否为等腰三角形？为什么？ （2）若 AB＝1，∠ABE＝45°，求 BC 的长． 21．（本题 6 分）下边左图和右图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小 正方形的边长均为 1，点 A 和点 B 在小正方形的顶点上． （1）在左图的小正方形顶点上找到一个点 C，画出△ABC，使△ABC 为直角三角形； （2）在右图的小正方形顶点上找到一个点 D，画出△ABD，使△ABD 为等腰三角形． 22．（本题 5 分）如图，折叠矩形纸片 ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠 AD 边与对 角线 BD 重合，得折痕 DG，如图所示，若 AB=8，BC=6，求 AG 的长． 23．（本题 6 分）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长． 24．（本题 5 分）如图，有一块长为 6.5 单位长度，宽为 2 单位长度的长方形纸片，请把它 分成 6 块，再拼成一个正方形，先在图中画出分割线，再画出拼后的图形，并标出相应的数 据．6 25．（本题 7 分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45º降 为 30º，已知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0.01） （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地， 像这样改造是否可行？说明理由 （参考数据： ） 26．（本题 7 分）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边 AD 使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB = 8cm，BC = 10 cm，求 EC 的长 27．（本题 10 分）（本题 12 分）如图，ABCD 是一张矩形纸片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到△ MNK． （1）若∠1=70°，求∠MKN 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1 的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大 值． 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449= = = 1 27 参考答案 1．C． 【解析】 试题分析：选项 A 中，52+62≠72；选项 B 中，72+82≠92；选项 D 中，52+72≠92；根据勾股定 理的逆定理可得，选项 A、B、D 中的三条线段都不能组成直角三角形；选项 C 中，62+82=102， 根据勾股定理的逆定理可得，选项 C 中三条线段能组成直角三角形．故答案选 C． 考点：勾股定理的逆定理． 2．D 【解析】 试题分析：根据题意可分两种情况：①当 4 是最长边，这时直角三角形的性质勾股定理得第 三边为 ，第三边的平方为 7；②当 3，4 均为直角边时，斜边为 5，则第三边 的平方为 25. 故选 D 考点：勾股定理 3．B． 【解析】 试题解析：设 AF=xcm，则 DF=（8-x）cm， ∵矩形纸片 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合， ∴DF=D′F， 在 Rt△AD′F 中，∵AF2=AD′2+D′F2， ∴x2=62+（8-x） 2， 解得：x= （cm）． 故选 B． 考点：翻折变换（折叠问题）． 4． 【解析】 试题分析：∵△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6， ∴BC= ， ∵DE 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AD=BD， ∴AD+CD=BD+CD，即 AD+CD=BC， ∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14． 故选 A． 考点：1.线段垂直平分线的性质；2.勾股定理． 5．C 【解析】 试题分析：根据勾股定理可知此题可分两种情况讨论： 当 a，b 为直角边时，c2=a2+b2=9+16=25， 当 a，c 为直角边，b 为斜边时，c2=b2﹣a2=16﹣9=7． 故选 C． 考点：勾股定理 2 24 3 7− = 25 4 2 2 2 210 6 8AB AC− −= =8 6．A 【解析】解：连接 BD． ∵∠C=90°，BC=12，CD=16， ∴BD= =20， 在△ABD 中，∵BD=20，AB=15，DA=25， 152+202=252， 即 AB2+BD2=AD2， ∴△ABD 是直角三角形． ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD = AB•BD+ BC•CD = ×15×20+ ×12×16 =150+96 =246． 故选：A． 7．B 【解析】解：在 RT△ABC 中，∵AC=6，BC=8， ∴AB= = =10， △ADE 是由△ACD 翻折， ∴AC=AE=6，EB=AB﹣AE=10﹣6=4， 设 CD=DE=x， 在 RT△DEB 中，∵DEDE2+EB2=DB2， ∴x2+42=（8﹣x）2 ∴x=3， ∴CD=3． 故选 B． 8．D 【解析】解：根据勾股定理得： = ， 即 1，2， 是一组勾股数，9 如图所示，在这个田字格中最多可以作出 8 条长度为 的线段． 故选 D． 9．D． 【解析】 试题分析：由题意可知，进入容器内的三角形可看作是一个斜边为 70cm 的等腰直角三角形， 即可求得这个三角形斜边上的高应该为 35cm，使容器中的液面与上方装置相接触，容器中 液体的高度至少应为 100﹣35=65cm．故答案选 D． 考点：等腰直角三角形. 10．A 【解析】 试 题 分 析：本 题 可 先 根 据 AAS 判 定 △AEH ≌ △ CEB ，可 得 出 AE=CE ，从 而 得 出 CH=CE﹣EH=4﹣3=1． 解：在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠AEH=∠ADB=90°； ∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°， ∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等）， ∴∠EAH=∠DCH（等量代换）； ∵在△BCE 和△HAE 中 ， ∴△AEH≌△CEB（AAS）； ∴AE=CE； ∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1． 故选 A． 考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质． 11．A 【解析】 试题分析：根据题意画出相应的图形，如图所示，在直角三角形 ABC 中，由 AC 及 BC 的长， 利用勾股定理求出 AB 的长，然后过 C 作 CD 垂直于 AB，由直角三角形的面积可以由两直角 边乘积的一半来求，也可以由斜边 AB 乘以斜边上的高 CD 除以 2 来求，两者相等，将 AC，AB 及 BC 的长代入求出 CD 的长，即为 C 到 AB 的距离． 解：根据题意画出相应的图形，如图所示：10 在 Rt△ABC 中，AC=9，BC=12， 根据勾股定理得：AB= =15， 过 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D， 又 S△ABC=AC•BC=AB•CD， ∴CD= = = ， 则点 C 到 AB 的距离是 ． 故选 A 考点：勾股定理；点到直线的距离；三角形的面积． 12．D 【解析】 试题分析：首先作 A 关于 ON 的对称点 A′，点 B 关于 OM 的对称点 B′，连接 A′B′，交于 OM ，ON 分别为 P ，Q ，连接 OA′ ，OB′ ，可求得 AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′ ，∠ A′OB′=60°，然后由特殊角的三角函数值，判定∠OA′B′=90°，再利用勾股定理求得答 案． 解：作 A 关于 ON 的对称点 A′，点 B 关于 OM 的对称点 B′，连接 A′B′，交于 OM，ON 分 别为 P，Q，连接 OA′，OB′， 则 PB′=PB，AQ=A′Q，OA′=OA=2，OB′=OB=4，∠MOB′=∠NOA′=∠MON=20°， ∴AQ+PQ+PB=A′Q+PQ+PB′=A′B′，∠A′OB′=60°， ∵cos60°=， =， ∴∠OA′B′=90°， ∴A′B′= =2 ， ∴线段 AQ+PQ+PB 的最小值是：2 ． 故选 D． 考点：轴对称-最短路线问题． 13．90° 【解析】解：∵（ ）2+（ ）2=（ ）2， ∴三角形为直角三角形， ∴这个三角形的最大内角度数为 90°， 故答案为：90° 14．1+ 511 【解析】 试题分析： （外角的性质）， 又 ∠ADC=2∠B（已知）， , BD=AD= （等角对等边）, 中， DC= =1， BC==BD+DC=1+ 考点：三角形外角的性质. 15．90 【解析】 试题分析：根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出 BE=DE，由勾股定理就可以得出 DE 的值，由三角形的面积公式就可以求出结论． 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD∥BC，∠A=90°， ∴∠EDB=∠CBD． ∵△CBD 与△C′BD 关于 BD 对称， ∴△CBD≌△C′BD， ∴∠EBD=∠CBD， ∴∠EBD=∠EDB， ∴BE=DE． 设 DE 为 x，则 AE=24﹣x，BE=x，由勾股定理，得 122+（24﹣x）2=x2， 解得：x=15， ∴DE=15cm， ∴S△BDE= =90cm2． 故答案为 90． 考点：翻折变换（折叠问题）． 16．7. 【解析】 试题解析：∵在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5， ∴BC= ， ∵△ADE 是△CDE 翻折而成， ∴AE=CE， ∴AE+BE=BC=4， ∴△ABE 的周长=AB+BC=3+4=7． 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理． 17． BADBADC ∠+∠=∠  BBAD ∠=∠∴ ∴ 5 ADCRt∆ 22 ACAD − ∴ 5 2 22 2 5 3 4AC AB = − =− 4512 【解析】 试题分析：分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到 AB2=12+22=5 ，BC=12+22=5 ， AC=12+32=10，继而可得出∠ABC=90°，然后根据等腰直角三角形可求得∠BAC=45°． 考点：1．勾股定理，2．等腰三角形 18．25 【解析】 解：三级台阶平面展开图为长方形，长为 20dm，宽为（2+3）×3dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得 x=25． 故答案为 25． 19．（1）75°；（2） . 【解析】 试题分析：（1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC 的度数； （2）由题意可知 AD=DC，根据勾股定理，即可推出 AD 的长度． 试题解析：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°； （2）∵AD⊥BC， ∴△ADC 是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC， ∵AC=2， ∴AD= . 考点：勾股定理． 20．（1）是，理由见试题解析；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）求出∠DEC=∠ECB=∠BEC，推出 BE=BC 即可； （2）求出 AE=AB=1，根据勾股定理求出 BE 即可． 试题解析：（1）△BEC 是等腰三角形，理由是：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEC= ∠BCE，∵EC 平分∠DEB，∴∠DEC=∠BEC，∴∠BEC=∠ECB，∴BE=BC，即△BEC 是等腰三角 形； （2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=90°，∵∠ABE=45°，∴∠ABE=AEB=45°，∴AB=AE=1， 由勾股定理得：BE= = ，即 BC=BE= ． 2 2 2 2 21 1+ 2 213 考点：1．矩形的性质；2．等腰三角形的判定． 21．（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析． 【解析】 试题分析：（1）以 A 所在的列与 B 所在的行的交点就是 C 的位置．（答案不唯一）； （2）根据勾股定理可以求得 AB=5，则以 A、B 为圆心，5 为半径的圆经过的格点可以是 D， 线段 AB 的中垂线经过的格点也可是 D． 试题解析：（1）直角三角形如图 1， （2）等腰三角形如图 2． 考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理． 22．3． 【解析】 试题分析：根据勾股定理可得 BD=10，由折叠的性质可得△ADG≌△A 1DG，则 A1D=AD=6， A1G=AG，则 A1B=10-6=4，在 Rt△A1BG 中根据勾股定理求 AG 的即可． 试题解析：如图 在 Rt△ABD 中，AB=8，AD=6， 则 BD= ， 由折叠的性质可得：△ADG≌△A1DG， ∴A1D=AD=6，A1G=AG， ∴A1B=10-6=4， 设 AG=x，则：A1G=AG=x，BG=8-x， 在 Rt△A1BG 中，x2+42=（8-x）2 解得：x=3， 即 AG 长为 3． 考点：翻折变换（折叠问题）． 23．CD 的长为 3cm． 【解析】 试题分析：先由勾股定理求 AB=10．再用勾股定理从△DEB 中建立等量关系列出方程即可求 CD 的长． 解：∵两直角边 AC=6cm，BC=8cm， 在 Rt△ABC 中，由勾股定理可知 AB=10， 现将直角边 AC 沿直线 AD 对折，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD=DE，AE=AC=6， 2 2 2 26 8 10AB AD+ = + =14 ∴BE=10﹣6=4， 设 DE=CD=x，BD=8﹣x， 在 Rt△BDE 中，根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42， 解得 x=3． 即 CD 的长为 3cm． 考点：勾股定理． 24．分割线并标出数据正确 3 分，正方形画对得 2 分 【解析】 试题分析：利用宽为 2cm，长为 6.5cm 的矩形纸片面积为 13 ，那么组成的大正方形的 边长为 cm，而直角边长为 3cm，2cm 的直角三角形的斜边长为 cm. 试题解析：如图所示： 考点：1.图形的剪拼；2.勾股定理.． 25．（1）2.07 m ．（2）这样改造能行． 【解析】 试题分析：本题中两个直角三角形有公共的边，那么可利用这条公共直角边进行求解． （1）求 AD 长的时候，可在直角三角形 ADC 内，根据∠D 的度数和 AC 的长，运用正弦函数 求出 AD 的长． （2）根据∠D 的度数和 AC 的长，用正切函数求出 CD 的长；求 BC 的长，可在直角三角形 ABC 内，根据∠ABC 的度数和 AC 的长，用正切函数求出 BC，进而求出 BD． 试题解析：（1）Rt△ACB 中，AC=AB×sin45°= （m） Rt△ADC 中，BC=AB×COS45°= （m）， AD= . ∴AD-AB≈ 2.07（m）． 改善后的滑梯会加长 2.07 m ． （2）这样改造能行． 因为 CD-BC≈ 2.59（m），而 6-3 > 2.59． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 26．CE=3cm 【解析】 试题分析：要求 CE 的长，应先设 CE 的长为 x，由将△ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 可得 Rt △ADE ≌Rt △AEF ，所以 AF=10cm ，EF=DE=8-x ；在 Rt △ABF 中由勾股定理得： AB2+BF2=AF2，已知 AB、AF 的长可求出 BF 的长，又 CF=BC-BF=10-BF，在 Rt△ECF 中由勾股 定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的 BF 的值代入该方程求出 x 的值，即求出了 CE 的长． 2cm 13 13 5 52 5 52 5 2sin30 AC =°15 试题解析：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF， ∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE， 设 CE=xcm，则 DE=EF=CD-CE=8-x， 在 Rt△ABF 中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2， 即 82+BF2=102， ∴BF=6cm， ∴CF=BC-BF=10-6=4（cm）， 在 Rt△ECF 中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2， 即（8-x）2=x2+42， ∴64-16x+x2=x2+16， ∴x=3（cm）， 即 CE=3cm． 考点：1．勾股定理；2．翻折变换（折叠问题）． 27．40°；不能；1．3 【解析】 试题分析：根据折叠图形的性质求出角的度数；过 M 点作 ME⊥DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1, 然后得出三角形的面积大于等于 即可得出答案；分两种情况进行讨论计算，得出最大 值． 试题解析：（1）40° （2）不能． 过 M 点作 ME⊥DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1, 由（1）知∠KNM=∠KMN．∴ MK=NK． 又 MK≥ME, ∴NK≥1． ∴ ． ∴△MNK 的面积最小值为 ，不可能小于 ． （3）分两种情况： 情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合． 设 MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得 , 解得， ．即 ． ∴ ． 情况二：将矩形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC． 1 2 1 1 2 2MNKS NK ME∆ = ⋅ ≥ 1 2 1 2 2 2 21 (5 )x x+ − = 2.6x = 2.6MD ND= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × =16 设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得 即 ． ∴ ． ∴△MNK 的面积最大值为 1．3． 考点：折叠图形的性质、勾股定理． 2.6MK NK= = 1 1 2.6 1.32MNK ACKS S∆ ∆= = × × =