高一年级数学学科
3 月月考试题
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一．单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.函数 的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数定义域 求法，求得函数的定义域.
【详解】依题意 ，解得 ，所以函数的定义域为 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
2.已知函数 ( 且 )的图象恒过定点 ，若角 的终边经过点 ，则
的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对数型函数过定点求得 ，利用诱导公式和三角函数的定义，求得 .
【 详 解 】 依 题 意 ， 故 ， 由 诱 导 公 式 和 三 角 函 数 的 定 义 得
.
故选：C
【点睛】本小题主要考查对数型函数过定点，考查诱导公式和三角函数的定义，属于基础题.
的
1
3
log (2 3)y x= −
3[ , )2
+∞ [2, )+∞ 3[ ,2]2
3( ,2]2
0 2 3 1x< − ≤ 3 22 x< ≤ 3( ,2]2
( ) log ( 3) 1af x x= + + 0a > 1a ≠ P α P
cos( )2
π α+
2 5
5
− 2 5
5
5
5
− 5
5
P cos( )2
π α+
( )2 log 1 1 1af − = + = ( )2,1P −
( )2 2
1 5cos( ) sin2 52 1
π α α+ = − = − = −
− +3.在 中， 为 边上的中线， 为边 的中点，若 ，则 可用 表示为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的运算，求得 的表达式.
【详解】依题意，
.
故选：B
【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算，属于基础题.
4.已知直线 与直线 垂直，则 （ ）
A. 或 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线方程的一般式，直线垂直： 即可求解.
【详解】由直线 与直线 垂直，
所以 ，
解得 或 .
故选：A
【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数，需熟记公式，属于基础题.
ABC∆ AD BC E AD ,AB a AC b= = EB ,a b
1 3
4 4a b− 3 1
4 4a b− 3 1
4 4a b+ 1 3
4 4a b+
EB
( )1 1 1 3 1 3 1
2 2 2 4 4 4 4EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC a b= − = − = − ⋅ + = − = −
1 : 2 0l ax y+ = 2 :( 1) 1 0l a x y a+ − + − = a =
2− 1 2− 1 2
3
−
1 2 1 2 0A A B B+ =
1 : 2 0l ax y+ = 2 :( 1) 1 0l a x y a+ − + − =
( )1 2 0a a + − =
2a = − 15.一个三角形的两个内角分别为 30º 和 45º，如果 45º 角所对边的长为 8，那么 30º 角所对边的长为（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
用正弦定理即可求出
【详解】设 30º 角所对边的长为
由正弦定理得：
解得：
故选：B
【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形，较简单.
6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 ， ， ，则 b=
A. B. C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【详解】由余弦定理得 ，
解得 （ 舍去），故选 D.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.
运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
7.在 中,已知 ,则此三角形一定为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
将 , 化 简 为 , 即
4 2 4 3 4 6
x
8
sin30 sin 45
x =° °
4 2x =
5a = 2c = 2cos 3A =
2 3
ABC sin 2sin cosA B C=
sin 2sin cosA B C= ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + =,即可求得答案.
【详解】
故 ,即
,故此三角形是等腰三角形
故选:C.
【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档
题.
8.在锐角三角形 ABC 中， 所对的边长分别为 a，b，若 ，则 等于（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
已知等式利用正弦定理化简，根据 不为 0 求出 的值，再由 为锐角，利用特殊角的三角函数值
即可求出 的度数．
【详解】解：利用正弦定理化简已知等式得： ，
，
，
锐角，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题．
二．多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
9.有下列命题：其中错误的是（ ）
A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；
B. 若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；
C. 坐标平面上所有的直线都有倾斜角；
为
( )sin 0B C− =
sin 2sin cosA B C=
∴ ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + =
sin cos cos sin 0B C B C− = ( )sin 0B C− =
∴ B C=
A B∠ ，∠ 2 sin 3a B b= A∠
6
π
6
π 5
6
π
3
π
3
π 2
3
π
sin B sin A A
A
2sin sin 3sinA B B=
sin 0B ≠
3sin 2A∴ =
A
3A
π∴ =D. 坐标平面上所有的直线都有斜率．
【答案】BD
【解析】
【分析】
任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，即可得到答案
【详解】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率
当倾斜角为 时，斜率不存在
故选：BD
【点睛】本题考查的是直线的倾斜角和斜率，较简单.
10.要得到函数 的图象，只要将函数 的图象( )
A. 每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个长度
B. 每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个长度
C. 向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)
D. 向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换的知识选出正确选项.
【详解】（1）先伸缩后平移时：每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移 个
长度.所以 A 选项错误，B 选项正确.
（2）先平移后伸缩时：向左平移 个长度，再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变).
所以 C 选项正确，D 选项错误.
故选：BC
【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于基础题.
11.下列命题中，不正确的有( )
A. 若函数 的定义域是 ，则它的值域是
B. 若函数 的值域是 ，则它的定义域是
90°
sin(2 )3y x
π= + siny x=
2 3
π
1
2 6
π
3
π 1
2
6
π 1
2
1
2 6
π
3
π 1
2
2xy = { | 1}x x ≤ { | 2}y y ≤
2logy x= { | 2}y y ≤ { | 0 4}x x< ≤C. 若函数 的定义域是 ，则它的值域是
D. 若函数 的值域是 ，则它的定义域一定是
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数的定义域和值域，由此判断不正确选项.
【详解】对于 A 选项， 在定义域 上为增函数，而 ，所以值域为 ，所
以 A 选项不正确.
对于 B 选项，函数 的值域是 ，则由 得 ，所以函数的定义域是
，所以 B 选项正确.
对于 C 选项，当 时 ，所以函数的值域不是 ，所以 C 选项不正确.
对于 D 选项，函数 的值域是 ，它的定义域可能是 ，所以 D 选项不正确.
故选：ACD
【点睛】本小题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题.
12.已知函数 是偶函数，且 ，若 ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A. 函数 是偶函数
B. 10 是函数 的一个周期
C. 对任意 ，都有
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】
采用排除法，先根据已知推出函数 为奇函数，可判断 A；根据 是偶函数及
推 出 ， 可 判 断 B ； 再 根 据 已 知 条 件 求 出 、 ， 可 判 断 C ； 求 出
，说明 的图象关于直线 对称，可判断 D．
的
1y x x
= + { | 0 2}x x< < 5{ | }2y y ≥
2y x= { | 0 9}y y≤ ≤ { | 3 3}x x− ≤ ≤
2xy = { | 1}x x ≤ 2 0x > { | 0 2}y y< ≤
2logy x= { | 2}y y ≤ 2log 2x ≤ 0 4x< ≤
{ | 0 4}x x< ≤
1x = 2y = 5{ | }2y y ≥
2y x= { | 0 9}y y≤ ≤ { | 0 3}x x≤ ≤
( )f x (5 ) (5 )f x f x− = + ( ) ( )sing x f x xπ= ( ) ( )cosh x f x xπ=
( )y g x=
( )f x
x∈R ( 5) ( 5)g x g x+ = −
( )y h x= 5x =
( )y g x= ( )f x (5 ) (5 )f x f x− = +
( ) ( 10)f x f x= + ( 5)g x + ( 5)g x −
(5 ) (5 )h x h x+ = − ( )y h x= 5x =【详解】解：∵函数 是偶函数，且 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴10 是函数 的一个周期，B 对；
又∵ 是偶函数，且 ，
∴ ，
∴函数 是奇函数，A 错；
∵ ，
，
又 ，
∴ ，故 C 对；
∵ 是偶函数，且 ，
∴ ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴函数 的图象关于直线 对称，D 对；
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性的判断，属于中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，若 ，
则 的形状是_______．
【答案】等边三角形
( )f x (5 ) (5 )f x f x− = +
(5 ) ( 5) (5 )f x f x f x− = − = +
[ ] [ ]( 5) 5 ( 5) 5f x f x+ − = + + ( ) ( 10)f x f x= +
( )f x
( )f x ( ) ( )sing x f x xπ=
( )( ) ( )sing x f x xπ− = − − ( )( ) sinf x x π= − ( )sin ( )f x x g xπ= − = −
( )y g x=
( 5)g x + = ( 5)sin ( 5)f x xπ+ + ( 5)sin(5 )f x xπ π= + + ( 5)sinf x xπ= − +
( 5)g x − = ( 5)sin ( 5)f x xπ− − ( 5)sin( 5 )f x xπ π= − − + ( 5)sinf x xπ= − −
( 5) ( 5)f x f x− = +
( 5) ( 5)g x g x+ = −
( )f x ( ) ( )cosh x f x xπ=
(5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − +
(5 )h x− = (5 )cos (5 )f x xπ− − (5 )cos(5 )f x xπ π= − − (5 )cosf x xπ= − −
(5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − +
(5 ) (5 )f x f x− = +
(5 )h x+ = (5 )h x−
( )y h x= 5x =
ABC 、 、A B C a b c、 、 2 2 2b c a bc+ = + 2sin sin sinB C A⋅ =
ABC【解析】
【分析】
由 和余弦定理可得 ，由 得 ，然后将 化
为 即可.
【详解】因为
所以 ，因为
所以
因为 ，所以
所以 ，即 ，所以
所以 ，因为 ，
所以
所以 是等边三角形
故答案为：等边三角形
【点睛】本题考查 是用正余弦定理判断三角形的形状，较为典型.
14.已知点 ，则以线段 为直径的圆的一般方程为____．
【答案】
【解析】
【分析】
由线段 的中点为圆心，线段 为直径算出即可
【详解】因为点
所以圆心为： ，
所以圆的标准方程为：
所以圆的一般方程为：
故答案为：
【点睛】本题考查的是求圆的一般方程，较简单.
的
2 2 2b c a bc+ = +
3A
π= 2sin sin sinB C A⋅ = 2bc a= 2 2 2b c a bc+ = +
( )2 0b c− =
2 2 2b c a bc+ = +
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = ( )0,A π∈
3A
π=
2sin sin sinB C A⋅ = 2bc a=
2 2 2b c bc+ = ( )2 0b c− = b c=
B C=
3A
π= A B C π+ + =
3B C
π= =
ABC
( 4 5) (6 1)A B－ ，－ ， ，－ AB
2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − =
AB AB
( 4 5) (6 1)A B－ ，－ ， ，－
( )1, 3− 100 16 292 2
ABr
+= = =
( ) ( )2 21 3 29x y− + + =
2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − =
2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − =15.圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为__________.
【答案】
【解析】
试 题 分 析 ： 可 设 圆 标 准 方 程 ： ， 则 根 据 题 意 可 列 三 个 条 件 ：
，解方程组可得 ，即得圆方程
试题解析：设
则 ，解得
所以（x-1）2+（y+4）2=8．
点睛：确定圆的方程方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心 和半径 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组，从而
求出 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组，
进而求出 D、E、F 的值．
16.设函数 ， .① 的值为_______；②若函数
恰有 个零点，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 (1). 1 (2).
【解析】
【分析】
①根据分段函数 的解析式，求得 的值. ②求得 的部分解析式，由此画出 和
两个函数图象，根据两个函数图象有 个交点，确定 的取值范围.
【详解】① .
4y x= − 1 0x y+ − = (3 2)P ，−
2 2( 1) ( 4) 8− + + =x y
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
2 214 , , (3 ) ( 2)
2
a bb a r r a b
+ −= − = = − + + 1, 4, 2 2a b r= = − =
2 2 2( ) ( )x a y b r− + − =
2 214 , , (3 ) ( 2)
2
a bb a r r a b
+ −= − = = − + + 1, 4, 2 2a b r= = − =
( , )a b r , ,a b r
, ,a b r
1 1, 0( ) 2
( 2), 0
x
xf x
f x x
− ≤ =
− >
( ) log ( 1)ag x x= − ( 1)a > (2019)f
( ) ( ) ( )h x f x g x= − 3 a
( 3 33, 5
( )f x ( )2019f ( )f x ( )f x ( )g x
3 a
( ) ( ) ( ) 112019 2017 1 1 12f f f
− = = = − = − = ②当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 .
当 时， ，所以 .
画出 和 两个函数图象如下图所示，由 ，由 .由
图可知，当两个函数图象有 个交点，也即函数 恰有 个零点时， 取值范围是
故答案为：（1） ；（2）
【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，
考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
四．解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知 ，且 ．
的
0 2x< ≤ 2 2 0x− < − ≤ ( ) ( ) 212 12
x
f x f x
− = − = −
2 4x< ≤ 0 2 2x< − ≤ ( ) ( ) 412 12
x
f x f x
− = − = −
4 6x< ≤ 2 2 4x< − ≤ ( ) ( ) 612 12
x
f x f x
− = − = −
6 8x< ≤ 4 2 6x< − ≤ ( ) ( ) 812 12
x
f x f x
− = − = −
( )f x ( )g x ( ) 3log 4 1 3, 3a a− = = ( ) 3log 6 1 3, 5a a− = =
3 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 3 a
( 3 33, 5
1 ( 3 33, 5
0 2
πα< < 5
13sinα =求 的值；
求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
由 ． ，利用同角三角函数关系式先求出 ，由此能求出 的值．
利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为 ，再化简为关于 的齐次
分式求值．
【详解】(1)因为 ． ，
所以 ，
故 ．
(2)
．
【点睛】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识，考查运算求解能
力，属于基础题型．
18.在△ 中，角 的对边分别为 ，已知 ，（1）求
（2）若 ，△ 的面积为 ，求
【答案】：（1） （2） 或
【解析】
：（1）由 得
( )1 tanα
( )2
( )
2
2 2
2 22
sin sin sin
cos sin
α π α α
πα α
− −
+ +
5
12
7
17
( )1 5
13sinα = 0 2
πα< < cosα tanα
( )2
2
2
2sin cos 2sin
2sin 2sin cos
α α α
α α α
+
+ sin ,cosα α
5
13sinα = 0 2
πα< <
2 25 121 1 169 13cos sinα α= − = − =
5
12
sintan cos
αα α= =
( ) 2
2
2
2 2 2 2 1
2 2 12 22
sin sin sin sin cos sin cos sin tan
sin sin cos sin cos tancos sin
α π α α α α α α α α
π α α α α α αα α
− − − − −= = =+ + + + +
51 712
5 171 12
−
= =
+
ABC A B C、 、 a b c、 、 3cos( ) 1 6cos cosB C B C− − = cos A
3a = ABC 2 2 b c、
1cos 3A = 3{ 2
b
c
=
=
2
3
b
c
=
=
3cos( ) 1 6cos cosB C B C− − = 3(cos cos sin sin ) 1B C B C− = −即 从而
（2）由于 ，所以 又 ，即 ，解得 由
余弦定理 ，得
解方程组 ，得 或
19.直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴上.
（1）求 边所在直线的方程；
（2）圆 是三角形 的外接圆，求圆 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）计算出直线 的斜率，利用 可得出直线 的斜率，然后利用点斜式可得出 边所在
直线的方程；
（2）求出点 的坐标，计算出线段 的中点坐标作为圆 的圆心坐标，计算出 作为圆 的半径，
由此可得出圆 的标准方程.
【详解】（1）直线 的斜率为 ，
由题意可知 ，则直线 的斜率为 .
因此， 边所在直线的方程为 ，即 ；
（2）直线 的方程为 ，由于点 在 轴上，则点 .
由于 是以 为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段 的中点，
则 ，所以，圆 的半径为 .
1cos( ) 3B C+ = − cos A 1cos( ) 3B C= − + =
0 ,A π< < 1cos 3A = 2 2sin 3A = 2 2ABCS =
1 sin 2 22 bc A = 6bc =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 13b c+ =
2 2 13{
6
b c
bc
+ =
=
3{ 2
b
c
=
=
2
3
b
c
=
=
ABC ( )2,0A − ( )0, 2 2B − C x
BC
M ABC M
2 4 0x y− − = ( )2 21 9x y− + =
AB BC AB⊥ BC BC
C AB M MA M
M
AB 0 2 2 22 0ABk
+= = −− −
AB BC⊥ BC 1 2
2BC
AB
k k
= − =
BC 22 2 2y x+ = 2 4 0x y− − =
BC 2 4 0x y− − = C x ( )4,0C
ABC∆ ABC∠ AB
( )1,0M M 3MA =因此，圆 的标准方程为 .
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也
可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
20.△ABC 中，A（3，－1），AB 边上的中线 CM 所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B 的平分线方程 BT 为：
x－4y＋10=0，求直线 BC 的方程.
【答案】 .
【解析】
试题分析：设 则 的中点 在直线 上和点 在直线 上,得 ,求
得 ,再根据到角公式，求得 ，进而求得直线 的方程．
试题解析：
设 则 的中点 在直线 上,则 ,即
…………………①,
又点 在直线 上,则 …………………②联立①②得 ,
,
有 直线平分 ,则由到角公式得 ,得
的直线方程为: .
M ( )2 21 9x y− + =
2 9 65 0x y+ − =
0 0( , )B x y AB 0 03 1( , )2 2
x yM
+ −
CM BT (10,5)B
ABK BCK BC
( )0 0,B x y AB 0 03 1,2 2
x yM
+ −
CM 0 03 16 10 59 02 2
x y+ −× + × − =
0 03 5 55 0x y+ − =
BT 0 04 10 0x y− + = ( )10,5B
( )5 1 6
10 3 7ABK
− −∴ = =−
BT B∠
6 11
7 44
1 1 61 14 4 7
BC
BC
K
K
−−
=
+ + ×
2
9BCK = −
BC∴ 2 9 65 0x y+ − =21.如图，直线 ，点 是 之间的一个定点，过点 的直线 垂直于直线 ，
（ 为常数），点 分别为 上的动点，已知 .设 （ ）.
（1）求 面积 关于角 的函数解析式 ；
（2）求 的最小值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出 即可.
(2)由(1)有 ,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二
倍角与辅助角公式化简成 再求最值即可.
【详解】（1）由题意 , ,∴ ,
在 中, , ,
,
在 中, .
∴ 的面积 ,
∴ 的面积 ,
∴梯形 的面积 .
1 2l l// A 1 2,l l A EF 1l ,AE m AF n= =
,m n ,B C 1 2,l l 60BAC∠ = ° ACF α∠ = 0 60α° < < °
ABC∆ S α ( )S α
( )S α
1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α
° = + + 3mn
( )S α
1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α
° = + +
3
1sin(2 30 ) 2
α °+ −
1EF l⊥ 1 2l l// 2EF l⊥
Rt ACF∆
tan
nCF α= 0 60α° < < °
180 60 (90 ) 30EAB α α° ° ° °∠ = − − − = +
Rt ABE∆ tan( 30 ) tan( 30 )EB AE mα α° °= + = +
ACF∆ 2
1
1 1 1
2 2 tanS AF CF n α= ⋅ = ⋅
ABE∆ 2
2
1 1 tan( 30 )2 2S AE EB m α °= ⋅ = +
EFCB 1 1( ) ( ) tan( 30 )2 2 tan
nS EB CF EF m n m α α
° = + ⋅ = + + + ∴
.
（2）令
.
∴当 时,即 时, 取得最小值 ,
此时 取得最小值 .
【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的
方法等.属于难题.
22.已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时， ．
求 的值；
当 时，求 的解析式；
若关于 x 的方程 在 上有两个不相等的实根，求 b 的取值范
围．
1 2( )S S S Sα = − −
2 21 1 1 1( ) tan( 30 ) tan( 30 )2 tan 2 tan 2
nm n m n mα αα α
° ° = + + + − ⋅ − +
1 1tan( 30 )2 tanmn α α
° = + +
1 sin( 30 ) costan( 30 ) tan cos( 30 ) siny
α αα α α α
°
°
°
+= + + = ++
sin( 30 )sin cos( 30 )sin
sin cos( 30 )
α α α α
α α
° °
°
+ + += +
cos[( 30) ]
3 1sin cos sin2 2
α α
α α α
+ −= −
2
cos30
3 1sin cos sin2 2
α α α
°
=
−
3
3 1 cos2sin 22 2
αα
=
−−
3
1sin(2 30 ) 2
α °
=
+ −
2 30 90α ° °+ = 30°=α y 2 3
( )S α 3mn
( )f x 0x > ( ) 2 1xf x = −
( )1 ( )0f
( )2 0x < ( )f x
( )3 ( ) ( ) ( )2 3 0f x bf x b b R+ + + = ∈ ( )0,1【答案】（1）0；（2） ， ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数性质，可得 ；（2）利用 及 求得解析式；（3）将方程化
简为关于 的二次方程，将方程看做二次函数，利用二次函数的图像得到不等式，求解出 的取值范围．
【详解】 是定义在 R 上的奇函数，
．
若 ，则 ，
当 时， ，
当 时， ，
则当
当 时， 等价为 ，
即 ，
设 ， ， ，
即方程 在 上有两个不相等的实根，
设 ， ，
要使 在 上上有两个不相等的实根，
则 ，即 ，即 ，
即实数 b 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查函数的性质应用以及二次函数图像问题．求解 的范围的关键在于确定二次函数图像特
点，通过图像得到不等式．在确定二次函数图像时，通常采用以下三点来约束图像：①判别式；②对称轴
位置；③区间端点值符号．
( ) 2 1xf x −= − + 0x < ( )3, 2 2− −
( )0 0f = 0x− > ( ) ( )f x f x− = −
2x b
( ) ( )1 f x
( )0 0f∴ =
( )2 0x < 0x− >
0x > ( ) 2 1xf x = −
∴ 0x− > ( ) ( )2 1xf x f x−− = − = −
( )0 2 1xx f x −< = − +时，
( )3 0 1x< < ( ) ( )2 3 0f x bf x b+ + + = ( )22 1 2 1 3 0x xb b− + − + + =
2(2 ) 2 2 0x xb+ ⋅ + =
2xt = 0 1x<
∴ 2 2 0t bt+ + = 1 2t< <
( )
( )
2 8 0
1 22
1 3 0
2 6 2 0
b
b
f b
f b
∆ = − >
< − = + >
( ) ( ), 2 2 2 2,
4 2
3
3
b
b
b
b
∈ −∞ − ∪ +∞
− < < −
> −
> −
3 2 2b− < < −
( )3, 2 2− −
b
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