苏州市实验中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)
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苏州市实验中学2019-2020学年高一下学期3月月考数学试题(解析版)

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资料简介
高一年级数学学科 3 月月考试题 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.函数 的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数定义域 求法,求得函数的定义域. 【详解】依题意 ,解得 ,所以函数的定义域为 . 故选:D 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,属于基础题. 2.已知函数 ( 且 )的图象恒过定点 ,若角 的终边经过点 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数型函数过定点求得 ,利用诱导公式和三角函数的定义,求得 . 【 详 解 】 依 题 意 , 故 , 由 诱 导 公 式 和 三 角 函 数 的 定 义 得 . 故选:C 【点睛】本小题主要考查对数型函数过定点,考查诱导公式和三角函数的定义,属于基础题. 的 1 3 log (2 3)y x= − 3[ , )2 +∞ [2, )+∞ 3[ ,2]2 3( ,2]2 0 2 3 1x< − ≤ 3 22 x< ≤ 3( ,2]2 ( ) log ( 3) 1af x x= + + 0a > 1a ≠ P α P cos( )2 π α+ 2 5 5 − 2 5 5 5 5 − 5 5 P cos( )2 π α+ ( )2 log 1 1 1af − = + = ( )2,1P − ( )2 2 1 5cos( ) sin2 52 1 π α α+ = − = − = − − +3.在 中, 为 边上的中线, 为边 的中点,若 ,则 可用 表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量加法和减法的运算,求得 的表达式. 【详解】依题意, . 故选:B 【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的运算,属于基础题. 4.已知直线 与直线 垂直,则 ( ) A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线方程的一般式,直线垂直: 即可求解. 【详解】由直线 与直线 垂直, 所以 , 解得 或 . 故选:A 【点睛】本题主要考查两直线垂直根据系数之间的关系求参数,需熟记公式,属于基础题. ABC∆ AD BC E AD ,AB a AC b= =    EB ,a b  1 3 4 4a b−  3 1 4 4a b−  3 1 4 4a b+  1 3 4 4a b+  EB ( )1 1 1 3 1 3 1 2 2 2 4 4 4 4EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC a b= − = − = − ⋅ + = − = −            1 : 2 0l ax y+ = 2 :( 1) 1 0l a x y a+ − + − = a = 2− 1 2− 1 2 3 − 1 2 1 2 0A A B B+ = 1 : 2 0l ax y+ = 2 :( 1) 1 0l a x y a+ − + − = ( )1 2 0a a + − = 2a = − 15.一个三角形的两个内角分别为 30º 和 45º,如果 45º 角所对边的长为 8,那么 30º 角所对边的长为( ) A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 用正弦定理即可求出 【详解】设 30º 角所对边的长为 由正弦定理得: 解得: 故选:B 【点睛】本题考查的是利用正弦定理解三角形,较简单. 6.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 , , ,则 b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得 , 解得 ( 舍去),故选 D. 【考点】余弦定理 【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于 b 的一元二次方程,再通过解方程求 b. 运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记! 7.在 中,已知 ,则此三角形一定为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 将 , 化 简 为 , 即 4 2 4 3 4 6 x 8 sin30 sin 45 x =° ° 4 2x = 5a = 2c = 2cos 3A = 2 3 ABC sin 2sin cosA B C= sin 2sin cosA B C= ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + =,即可求得答案. 【详解】 故 ,即 ,故此三角形是等腰三角形 故选:C. 【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档 题. 8.在锐角三角形 ABC 中, 所对的边长分别为 a,b,若 ,则 等于( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】 已知等式利用正弦定理化简,根据 不为 0 求出 的值,再由 为锐角,利用特殊角的三角函数值 即可求出 的度数. 【详解】解:利用正弦定理化简已知等式得: , , , 锐角, , 故选:C. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形,属于基础题. 二.多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.有下列命题:其中错误的是( ) A. 若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应; B. 若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应; C. 坐标平面上所有的直线都有倾斜角; 为 ( )sin 0B C− =  sin 2sin cosA B C= ∴ ( )sin sin sin cos cos sin 2sin cosA B C B C B C B C= + = + = sin cos cos sin 0B C B C− = ( )sin 0B C− = ∴ B C= A B∠ ,∠ 2 sin 3a B b= A∠ 6 π 6 π 5 6 π 3 π 3 π 2 3 π sin B sin A A A 2sin sin 3sinA B B= sin 0B ≠ 3sin 2A∴ = A 3A π∴ =D. 坐标平面上所有的直线都有斜率. 【答案】BD 【解析】 【分析】 任何一条直线都有倾斜角,但不是任何一条直线都有斜率,即可得到答案 【详解】任何一条直线都有倾斜角,但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为 时,斜率不存在 故选:BD 【点睛】本题考查的是直线的倾斜角和斜率,较简单. 10.要得到函数 的图象,只要将函数 的图象( ) A. 每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个长度 B. 每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个长度 C. 向左平移 个长度,再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) D. 向左平移 个长度,再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据三角函数图象变换的知识选出正确选项. 【详解】(1)先伸缩后平移时:每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移 个 长度.所以 A 选项错误,B 选项正确. (2)先平移后伸缩时:向左平移 个长度,再将所得图象每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变). 所以 C 选项正确,D 选项错误. 故选:BC 【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换,属于基础题. 11.下列命题中,不正确的有( ) A. 若函数 的定义域是 ,则它的值域是 B. 若函数 的值域是 ,则它的定义域是 90° sin(2 )3y x π= + siny x= 2 3 π 1 2 6 π 3 π 1 2 6 π 1 2 1 2 6 π 3 π 1 2 2xy = { | 1}x x ≤ { | 2}y y ≤ 2logy x= { | 2}y y ≤ { | 0 4}x x< ≤C. 若函数 的定义域是 ,则它的值域是 D. 若函数 的值域是 ,则它的定义域一定是 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数的定义域和值域,由此判断不正确选项. 【详解】对于 A 选项, 在定义域 上为增函数,而 ,所以值域为 ,所 以 A 选项不正确. 对于 B 选项,函数 的值域是 ,则由 得 ,所以函数的定义域是 ,所以 B 选项正确. 对于 C 选项,当 时 ,所以函数的值域不是 ,所以 C 选项不正确. 对于 D 选项,函数 的值域是 ,它的定义域可能是 ,所以 D 选项不正确. 故选:ACD 【点睛】本小题主要考查函数的定义域和值域,属于基础题. 12.已知函数 是偶函数,且 ,若 , ,则下 列说法正确的是( ) A. 函数 是偶函数 B. 10 是函数 的一个周期 C. 对任意 ,都有 D. 函数 的图象关于直线 对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】 采用排除法,先根据已知推出函数 为奇函数,可判断 A;根据 是偶函数及 推 出 , 可 判 断 B ; 再 根 据 已 知 条 件 求 出 、 , 可 判 断 C ; 求 出 ,说明 的图象关于直线 对称,可判断 D. 的 1y x x = + { | 0 2}x x< < 5{ | }2y y ≥ 2y x= { | 0 9}y y≤ ≤ { | 3 3}x x− ≤ ≤ 2xy = { | 1}x x ≤ 2 0x > { | 0 2}y y< ≤ 2logy x= { | 2}y y ≤ 2log 2x ≤ 0 4x< ≤ { | 0 4}x x< ≤ 1x = 2y = 5{ | }2y y ≥ 2y x= { | 0 9}y y≤ ≤ { | 0 3}x x≤ ≤ ( )f x (5 ) (5 )f x f x− = + ( ) ( )sing x f x xπ= ( ) ( )cosh x f x xπ= ( )y g x= ( )f x x∈R ( 5) ( 5)g x g x+ = − ( )y h x= 5x = ( )y g x= ( )f x (5 ) (5 )f x f x− = + ( ) ( 10)f x f x= + ( 5)g x + ( 5)g x − (5 ) (5 )h x h x+ = − ( )y h x= 5x =【详解】解:∵函数 是偶函数,且 , ∴ , ∴ ,即 , ∴10 是函数 的一个周期,B 对; 又∵ 是偶函数,且 , ∴ , ∴函数 是奇函数,A 错; ∵ , , 又 , ∴ ,故 C 对; ∵ 是偶函数,且 , ∴ , , ∴ , 又 , ∴ , ∴函数 的图象关于直线 对称,D 对; 故选:BCD. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性的判断,属于中档题. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 三.填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在 中,角 所对的边分别为 ,且 ,若 , 则 的形状是_______. 【答案】等边三角形 ( )f x (5 ) (5 )f x f x− = + (5 ) ( 5) (5 )f x f x f x− = − = + [ ] [ ]( 5) 5 ( 5) 5f x f x+ − = + + ( ) ( 10)f x f x= + ( )f x ( )f x ( ) ( )sing x f x xπ= ( )( ) ( )sing x f x xπ− = − − ( )( ) sinf x x π= − ( )sin ( )f x x g xπ= − = − ( )y g x= ( 5)g x + = ( 5)sin ( 5)f x xπ+ + ( 5)sin(5 )f x xπ π= + + ( 5)sinf x xπ= − + ( 5)g x − = ( 5)sin ( 5)f x xπ− − ( 5)sin( 5 )f x xπ π= − − + ( 5)sinf x xπ= − − ( 5) ( 5)f x f x− = + ( 5) ( 5)g x g x+ = − ( )f x ( ) ( )cosh x f x xπ= (5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − + (5 )h x− = (5 )cos (5 )f x xπ− − (5 )cos(5 )f x xπ π= − − (5 )cosf x xπ= − − (5 )h x+ = (5 )cos (5 )f x xπ+ + (5 )cos(5 )f x xπ π= + + (5 )cosf x xπ= − + (5 ) (5 )f x f x− = + (5 )h x+ = (5 )h x− ( )y h x= 5x = ABC 、 、A B C a b c、 、 2 2 2b c a bc+ = + 2sin sin sinB C A⋅ = ABC【解析】 【分析】 由 和余弦定理可得 ,由 得 ,然后将 化 为 即可. 【详解】因为 所以 ,因为 所以 因为 ,所以 所以 ,即 ,所以 所以 ,因为 , 所以 所以 是等边三角形 故答案为:等边三角形 【点睛】本题考查 是用正余弦定理判断三角形的形状,较为典型. 14.已知点 ,则以线段 为直径的圆的一般方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】 由线段 的中点为圆心,线段 为直径算出即可 【详解】因为点 所以圆心为: , 所以圆的标准方程为: 所以圆的一般方程为: 故答案为: 【点睛】本题考查的是求圆的一般方程,较简单. 的 2 2 2b c a bc+ = + 3A π= 2sin sin sinB C A⋅ = 2bc a= 2 2 2b c a bc+ = + ( )2 0b c− = 2 2 2b c a bc+ = + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = ( )0,A π∈ 3A π= 2sin sin sinB C A⋅ = 2bc a= 2 2 2b c bc+ = ( )2 0b c− = b c= B C= 3A π= A B C π+ + = 3B C π= = ABC ( 4 5) (6 1)A B- ,- , ,- AB 2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − = AB AB ( 4 5) (6 1)A B- ,- , ,- ( )1, 3− 100 16 292 2 ABr += = = ( ) ( )2 21 3 29x y− + + = 2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − = 2 2 2 6 19 0x y x y+ − + − =15.圆心在直线 ,且与直线 相切于点 的圆的标准方程为__________. 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 可 设 圆 标 准 方 程 : , 则 根 据 题 意 可 列 三 个 条 件 : ,解方程组可得 ,即得圆方程 试题解析:设 则 ,解得 所以(x-1)2+(y+4)2=8. 点睛:确定圆的方程方法 (1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心 和半径 有关,则设圆的标准方程依据已知条件列出关于 的方程组,从而 求出 的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 D、E、F 的方程组, 进而求出 D、E、F 的值. 16.设函数 , .① 的值为_______;②若函数 恰有 个零点,则实数 的取值范围是___________. 【答案】 (1). 1 (2). 【解析】 【分析】 ①根据分段函数 的解析式,求得 的值. ②求得 的部分解析式,由此画出 和 两个函数图象,根据两个函数图象有 个交点,确定 的取值范围. 【详解】① . 4y x= − 1 0x y+ − = (3 2)P ,− 2 2( 1) ( 4) 8− + + =x y 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 214 , , (3 ) ( 2) 2 a bb a r r a b + −= − = = − + + 1, 4, 2 2a b r= = − = 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = 2 214 , , (3 ) ( 2) 2 a bb a r r a b + −= − = = − + + 1, 4, 2 2a b r= = − = ( , )a b r , ,a b r , ,a b r 1 1, 0( ) 2 ( 2), 0 x xf x f x x   − ≤ =    − > ( ) log ( 1)ag x x= − ( 1)a > (2019)f ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 3 a ( 3 33, 5 ( )f x ( )2019f ( )f x ( )f x ( )g x 3 a ( ) ( ) ( ) 112019 2017 1 1 12f f f − = = = − = − =  ②当 时, ,所以 . 当 时, ,所以 . 当 时, ,所以 . 当 时, ,所以 . 画出 和 两个函数图象如下图所示,由 ,由 .由 图可知,当两个函数图象有 个交点,也即函数 恰有 个零点时, 取值范围是 故答案为:(1) ;(2) 【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值,考查分段函数解析式的求法,考查分段函数的图象与性质, 考查函数零点问题的求解策略,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题. 四.解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 ,且 . 的 0 2x< ≤ 2 2 0x− < − ≤ ( ) ( ) 212 12 x f x f x − = − = −   2 4x< ≤ 0 2 2x< − ≤ ( ) ( ) 412 12 x f x f x − = − = −   4 6x< ≤ 2 2 4x< − ≤ ( ) ( ) 612 12 x f x f x − = − = −   6 8x< ≤ 4 2 6x< − ≤ ( ) ( ) 812 12 x f x f x − = − = −   ( )f x ( )g x ( ) 3log 4 1 3, 3a a− = = ( ) 3log 6 1 3, 5a a− = = 3 ( ) ( ) ( )h x f x g x= − 3 a ( 3 33, 5 1 ( 3 33, 5 0 2 πα< < 5 13sinα =求 的值; 求 的值. 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 由 . ,利用同角三角函数关系式先求出 ,由此能求出 的值. 利用同角三角函数关系式和诱导公式化简为 ,再化简为关于 的齐次 分式求值. 【详解】(1)因为 . , 所以 , 故 . (2) . 【点睛】本题考查三角函数值的求法,考查同角三角函数关系式和诱导公式等基础知识,考查运算求解能 力,属于基础题型. 18.在△ 中,角 的对边分别为 ,已知 ,(1)求 (2)若 ,△ 的面积为 ,求 【答案】:(1) (2) 或 【解析】 :(1)由 得 ( )1 tanα ( )2 ( ) 2 2 2 2 22 sin sin sin cos sin α π α α πα α − −  + +   5 12 7 17 ( )1 5 13sinα = 0 2 πα< < cosα tanα ( )2 2 2 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos α α α α α α + + sin ,cosα α 5 13sinα = 0 2 πα< < 2 25 121 1 169 13cos sinα α= − = − = 5 12 sintan cos αα α= = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 12 22 sin sin sin sin cos sin cos sin tan sin sin cos sin cos tancos sin α π α α α α α α α α π α α α α α αα α − − − − −= = =+ + + + +   51 712 5 171 12 − = = + ABC A B C、 、 a b c、 、 3cos( ) 1 6cos cosB C B C− − = cos A 3a = ABC 2 2 b c、 1cos 3A = 3{ 2 b c = = 2 3 b c =  = 3cos( ) 1 6cos cosB C B C− − = 3(cos cos sin sin ) 1B C B C− = −即 从而 (2)由于 ,所以 又 ,即 ,解得 由 余弦定理 ,得 解方程组 ,得 或 19.直角三角形 的顶点坐标 ,直角顶点 ,顶点 在 轴上. (1)求 边所在直线的方程; (2)圆 是三角形 的外接圆,求圆 的方程. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)计算出直线 的斜率,利用 可得出直线 的斜率,然后利用点斜式可得出 边所在 直线的方程; (2)求出点 的坐标,计算出线段 的中点坐标作为圆 的圆心坐标,计算出 作为圆 的半径, 由此可得出圆 的标准方程. 【详解】(1)直线 的斜率为 , 由题意可知 ,则直线 的斜率为 . 因此, 边所在直线的方程为 ,即 ; (2)直线 的方程为 ,由于点 在 轴上,则点 . 由于 是以 为直角的直角三角形,则该三角形的外接圆圆心为线段 的中点, 则 ,所以,圆 的半径为 . 1cos( ) 3B C+ = − cos A 1cos( ) 3B C= − + = 0 ,A π< < 1cos 3A = 2 2sin 3A = 2 2ABCS =  1 sin 2 22 bc A = 6bc = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 13b c+ = 2 2 13{ 6 b c bc + = = 3{ 2 b c = = 2 3 b c =  = ABC ( )2,0A − ( )0, 2 2B − C x BC M ABC M 2 4 0x y− − = ( )2 21 9x y− + = AB BC AB⊥ BC BC C AB M MA M M AB 0 2 2 22 0ABk += = −− − AB BC⊥ BC 1 2 2BC AB k k = − = BC 22 2 2y x+ = 2 4 0x y− − = BC 2 4 0x y− − = C x ( )4,0C ABC∆ ABC∠ AB ( )1,0M M 3MA =因此,圆 的标准方程为 . 【点睛】本题考查直线方程的求解,同时也考查了三角形外接圆的方程,一般利用圆的一般方程求解,也 可以确定圆心坐标,利用标准方程求解,考查计算能力,属于中等题. 20.△ABC 中,A(3,-1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为:6x+10y-59=0,∠B 的平分线方程 BT 为: x-4y+10=0,求直线 BC 的方程. 【答案】 . 【解析】 试题分析:设 则 的中点 在直线 上和点 在直线 上,得 ,求 得 ,再根据到角公式,求得 ,进而求得直线 的方程. 试题解析: 设 则 的中点 在直线 上,则 ,即 …………………①, 又点 在直线 上,则 …………………②联立①②得 , , 有 直线平分 ,则由到角公式得 ,得 的直线方程为: . M ( )2 21 9x y− + = 2 9 65 0x y+ − = 0 0( , )B x y AB 0 03 1( , )2 2 x yM + − CM BT (10,5)B ABK BCK BC ( )0 0,B x y AB 0 03 1,2 2 x yM + −     CM 0 03 16 10 59 02 2 x y+ −× + × − = 0 03 5 55 0x y+ − = BT 0 04 10 0x y− + = ( )10,5B ( )5 1 6 10 3 7ABK − −∴ = =− BT B∠ 6 11 7 44 1 1 61 14 4 7 BC BC K K −− = + + × 2 9BCK = − BC∴ 2 9 65 0x y+ − =21.如图,直线 ,点 是 之间的一个定点,过点 的直线 垂直于直线 , ( 为常数),点 分别为 上的动点,已知 .设 ( ). (1)求 面积 关于角 的函数解析式 ; (2)求 的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 (1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出 即可. (2)由(1)有 ,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二 倍角与辅助角公式化简成 再求最值即可. 【详解】(1)由题意 , ,∴ , 在 中, , , , 在 中, . ∴ 的面积 , ∴ 的面积 , ∴梯形 的面积 . 1 2l l// A 1 2,l l A EF 1l ,AE m AF n= = ,m n ,B C 1 2,l l 60BAC∠ = ° ACF α∠ = 0 60α° < < ° ABC∆ S α ( )S α ( )S α 1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α ° = + +   3mn ( )S α 1 1( ) tan( 30 )2 tanS mnα α α ° = + +   3 1sin(2 30 ) 2 α °+ − 1EF l⊥ 1 2l l// 2EF l⊥ Rt ACF∆ tan nCF α= 0 60α° < < ° 180 60 (90 ) 30EAB α α° ° ° °∠ = − − − = + Rt ABE∆ tan( 30 ) tan( 30 )EB AE mα α° °= + = + ACF∆ 2 1 1 1 1 2 2 tanS AF CF n α= ⋅ = ⋅ ABE∆ 2 2 1 1 tan( 30 )2 2S AE EB m α °= ⋅ = + EFCB 1 1( ) ( ) tan( 30 )2 2 tan nS EB CF EF m n m α α ° = + ⋅ = + + +  ∴ . (2)令 . ∴当 时,即 时, 取得最小值 , 此时 取得最小值 . 【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的 方法等.属于难题. 22.已知 是定义在 R 上的奇函数,当 时, . 求 的值; 当 时,求 的解析式; 若关于 x 的方程 在 上有两个不相等的实根,求 b 的取值范 围. 1 2( )S S S Sα = − − 2 21 1 1 1( ) tan( 30 ) tan( 30 )2 tan 2 tan 2 nm n m n mα αα α ° ° = + + + − ⋅ − +   1 1tan( 30 )2 tanmn α α ° = + +   1 sin( 30 ) costan( 30 ) tan cos( 30 ) siny α αα α α α ° ° ° += + + = ++ sin( 30 )sin cos( 30 )sin sin cos( 30 ) α α α α α α ° ° ° + + += + cos[( 30) ] 3 1sin cos sin2 2 α α α α α + −=  −    2 cos30 3 1sin cos sin2 2 α α α ° = − 3 3 1 cos2sin 22 2 αα = −− 3 1sin(2 30 ) 2 α ° = + − 2 30 90α ° °+ = 30°=α y 2 3 ( )S α 3mn ( )f x 0x > ( ) 2 1xf x = − ( )1 ( )0f ( )2 0x < ( )f x ( )3 ( ) ( ) ( )2 3 0f x bf x b b R+ + + = ∈ ( )0,1【答案】(1)0;(2) , ;(3) 【解析】 【分析】 (1)根据奇函数性质,可得 ;(2)利用 及 求得解析式;(3)将方程化 简为关于 的二次方程,将方程看做二次函数,利用二次函数的图像得到不等式,求解出 的取值范围. 【详解】 是定义在 R 上的奇函数, . 若 ,则 , 当 时, , 当 时, , 则当 当 时, 等价为 , 即 , 设 , , , 即方程 在 上有两个不相等的实根, 设 , , 要使 在 上上有两个不相等的实根, 则 ,即 ,即 , 即实数 b 的取值范围是 . 【点睛】本题考查函数的性质应用以及二次函数图像问题.求解 的范围的关键在于确定二次函数图像特 点,通过图像得到不等式.在确定二次函数图像时,通常采用以下三点来约束图像:①判别式;②对称轴 位置;③区间端点值符号. ( ) 2 1xf x −= − + 0x < ( )3, 2 2− − ( )0 0f = 0x− > ( ) ( )f x f x− = − 2x b ( ) ( )1 f x ( )0 0f∴ = ( )2 0x < 0x− >  0x > ( ) 2 1xf x = − ∴ 0x− > ( ) ( )2 1xf x f x−− = − = − ( )0 2 1xx f x −< = − +时, ( )3 0 1x< < ( ) ( )2 3 0f x bf x b+ + + = ( )22 1 2 1 3 0x xb b− + − + + = 2(2 ) 2 2 0x xb+ ⋅ + = 2xt = 0 1x<  ∴ 2 2 0t bt+ + = 1 2t< < ( ) ( ) 2 8 0 1 22 1 3 0 2 6 2 0 b b f b f b ∆ = − >   < −  = + > ( ) ( ), 2 2 2 2, 4 2 3 3 b b b b  ∈ −∞ − ∪ +∞ − < < − > −  > − 3 2 2b− < < − ( )3, 2 2− − b

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