2020年4月普通高考数学全真模拟卷（1）（江苏卷解析版）

1 / 15 2020 年 4 月普通高考（江苏卷）全真模拟卷（1） 数学 第 I 卷（必做题，共 160 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 14 个小题，每题 5 分，满分 70 分. 1．已知集合 ， ，且 ________． 【答案】 【解析】∵ ，∴ ，解得 ，∴ ，∵ ，∴ . 2． 是虚数单位，复数 ，则复数 =______. 【答案】 【解析】依题意， ，所以 . 3．函数 的定义域为________ 【答案】 【解析】因为 ，所以 ，解得 .故答案为： 4．执行下图所示的程序框图，如果输入的 ，则输出的 _____． ( )2{ }2| 1A x log x= − < { | 2 6}B x x= < < A B = ( )2,5 ( )2log 1 2x − < 1 0 1 4 x x − >  −  0 1x≤ < [0,1) 918, 238a b= = n =2 / 15 【答案】3 【解析】由题意得，执行上述循环结构，可得，第 1 次循环： ； 第 2 次循环： ；第 3 次循环： ， 此时终止循环，输出结果 . 5．已知 为等比数列， ，则 _______ 【答案】 【解析】 6．为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查， 所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在 [70,80)(单位：分钟)内的学生人数为____． 【答案】900 204, 238, 204, 1r a b n= = = = 34, 204, 34, 2r a b n= = = = 0, 34, 0, 3r a b n= = = = 3n = { }na 2 3 5 1 , 42a a a= = q = 2± 2 2 4 3 5 4 2 4 2 14 4, 0 2 4 22 aa a a a a q qa = ⇒ = = > ∴ = ∴ = = ∴ = ±3 / 15 【解析】由 1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1＝0.3，故 a＝0.03，故阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生 人数为：0.3×3000＝900. 7．如图，已知 分别是矩形 的边 的中点， 与 交于点 .若 ， 用 表示 ，则 _________. 【答案】 【解析】 . 8．函数 在点 处的切线的斜率为________ 【答案】1 【解析】 ,因此函数 在点 处的切线的斜率为 . 9．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为 ________. 【答案】 【解析】袋中有 2 个红球，3 个白球和 4 个黄球，从中任取 4 个球，基本事件总数 n 126， 其中三种颜色的球都有，可能是 2 个红球，1 个白球和 1 个黄球或 1 个红球，2 个白球和 1 个黄球或 1 个红 球，1 个白球和 2 个黄球，所以包含的基本事件个数 m 72， ∴其中三种颜色的球都有的概率是 p ． 10．已知 ， ，则 _______. 【答案】 【解析】由二倍角公式可知： ， ， ,E F ABCD ,BC CD EF AC G ,AB a AD b= =   ,a b AG AG = 3 3 4 4a b+  ( )3 3 3 3 4 4 4 4AG AC AB AD a b= = + = +      ( ) cosxf x e x= (0,1) ' ' '( ) cos ( ) ( ) cos (cos ) (cos sin )x x x xf x e x f x e x e x e x x= ⇒ = + = − ( ) cosxf x e x= (0,1) ' 0(0) (cos0 sin 0) 1f e= − = 4 7 4 9C= = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4C C C C C C C C C= + + = 72 4 126 7 m n = = = (0, )2 πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα = 5 5 sin 2 2sin cosα α α= 2cos2 2cos 1α α= −4 / 15 又 ，即 ， 11．设奇函数 满足对任意 都有 ，且 时， ，则 的值等于_____ 【答案】 【解析】由于 ，故函数的对称轴为 ，又因为函数是奇函数，故函数是周期为 的周期函数.故 . 12．已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 到右焦点 的距离 为 ，则 的方程为______. 【答案】 【解析】设双曲线 的半焦距为 ，因为点 到右焦点的距离为 ，所以 ，解得 或 （舍去）.因为 ，所以 ，所以 ， ，所以双曲线 的方程为 . 13．如图，直三棱柱 的各条棱长均为 2， 为棱 上任意一点，则三棱锥 的体 积是___． 24sin cos 2cosα α α∴ = 0, 2 πα  ∈   cos 0α∴ ≠ 2sin cosα α∴ = 1tan 2 α = 5sin 5 α∴ = ( )( )y f x x R= ∈ t R∈ ( ) (1 )f t f t= − 1[0, ]2x∈ 2( )f x x= − 3(3) ( )2f f+ − 1 4 − ( ) (1 )f t f t= − 1 2x = 14 22 × = ( ) ( ) ( )3 1 1 1 13 1 0 02 2 2 4 4f f f f f f     + − = + = + = − = −           ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 2 2y x= ± ( )1,2A F 2 2 C 2 2 18 yx − = C c ( )1,2A 2 2 ( ) ( )2 21 2 0 2 2c− + − = 3c = 1c = − 2 2b a = 3ce a = = 1a = 2 2b = C 2 2 18 yx − = 1 1 1ABC A B C− D 1 1B C 1D A BC−5 / 15 【答案】 【解析】由题意，三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，则 到平面 等于正三角形 的高，直三棱柱 的各条棱长均为 ，三棱锥 的体积为 ，故答案为 . 14．已知 ，若存在 ，使得 ，则 的取值范围为 ______． 【答案】 【解析】作出函数 的图象如图所示： 因为存在 ，使得 ，所以 ，且 ， 所以 . 2 3 3 1D A BC− 1A BCD− 1A BCD 1 1 1A B C 1 1 1ABC A B C− 2 1A BCD− ( )1 1 2 32 2 2 603 2 3V sin = × × × × × = 2 3 3 ( ) [ ) [ ] e 1, 0,2 2, 2,6 x xf x x x  + ∈=  − ∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= ( )2 1x f x [8,24] ( )f x 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= 1 2e 1 2x x+ = − 24 6x≤ ≤ ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2( ( [8,24]e 1) 2) 2x xx xf x x x x ∈+ == = − −6 / 15 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 . (1)证明： ； (2)若 ，求 边上的高. 【解析】（1）证明：因为 ， 所以 ， 所以 ，故 . (2)解：因为 ，所以 . 又 ，所以 ，解得 ，所以 ， 所以 边上的高为 . 16．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点． （1）求证：PC // 平面 BDE； （2）若 PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面 BDE⊥平面 PAB． 【解析】 ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin cos sin cos sinb A C c A B ac B+ = bc a= 13,cos 6c C= = AC sin sin cos sin sin cos sin sinB A C C A B c A B+ = sin cos sin cos sinB C C B c B+ = sin sinA c B= a bc= 3,c a bc= = 2 2 10 93 ,cos 6 ba b C b −= = 1cos 6C = 2 2 10 9 1 6 6 b b − = 1b = 3, 1a c b= = = AC 21 359 2 2  − =  7 / 15 证明: （1）连结 ,交 于 ,连结 . 因为 是平行四边形,所以 . 因为 为侧棱 的中点 所以 ∥ . 因为 平面 , 平面 所以 ∥平面 . （2）因为 为 中点, 所以 因为 , ∥ 所以 . 因为 平面 , 平面 , 所以 平面 . 因为 平面 所以平面 平面 . 17．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程； (2)设直线与圆 相切，与椭圆 相交于 两点，求证： 是定值. 【解析】（1）由题意得： ，即 椭圆方程为 将 代入椭圆方程得： AC BD O OE ABCD OA OC= E PA OE PC PC ⊄ BDE OE ⊂ BDE PC BDE E AP PD AD= PA DE⊥ PC PA⊥ OE PC PA OE⊥ OE BDE DE ⊂ BDE OE DE E∩ = PA ⊥ BDE PC ⊂ PAB BDE ⊥ PAB xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2,1 C C 2 2: 2O x y+ = C ,P Q POQ∠ 2 2 ce a = = 2 21 2c a= 2 21 2b a∴ = ∴ 2 2 2 2 2 1x y a a + = ( )2,1 2 6a = 2 3b∴ =8 / 15 椭圆 的方程为： （2）①当直线 斜率不存在时， 方程为： 或 当 时， ， ，此时 当 时，同理可得 ②当直线 斜率存在时，设 方程为： ，即 直线与圆相切 ，即 联立 得： 设 ， ， 代入 整理可得： 综上所述： 为定值 18．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路 的一侧进行绿化，线段 长为 ， ，设 . (1)为了类化公园周围的环境，现要在四边形 内种满郁金香，若 ，则当 为何值时，郁 ∴ C 2 2 16 3 x y+ = PQ PQ 2x = 2x = − 2x = ( )2, 2P ( )2, 2Q − 0OP OQ⋅ =  OP OQ∴ ⊥  90POQ∴∠ =  2x = − 90POQ∠ =  PQ PQ y kx m= + 0kx y m− + =  2 2 1 m k ∴ = + 2 22 2m k= + 2 2 0 16 3 kx y m x y − + = + = ( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 4 1 2 kmx x k ∴ + = − + 2 1 2 2 2 6 1 2 mx x k −= + ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m∴ ⋅ = + = + + + = + + + +  ( ) 2 2 2 2 2 2 6 41 1 2 1 2 m kmk km mk k −  = + × + × − + + +  2 22 2m k= + 0OP OQ⋅ =  OP OQ∴ ⊥  90POQ∴∠ =  POQ∠ 90 AB AB 2km 1OC OD OA OB km= = = = COB θ∠ = ABCD 3COD π∠ = θ9 / 15 金香种植面积最大; (2)为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段 ， 和 组成，若 ，则当 为何 值时，栈道的总长 最长，并求 的最大值. 【解析】(1)由图可得： ，则 ， ，此时 ，可得 ， 则当 时，郁金香种植面积最大； (2)由余弦定理， ， ， ， 令 ，则 ， ， ，即 时， 的最大值为 3. 19．已知函数 . （1）设 ，若函数 恰有一个零点，求实数 的取值范围； （2）设 ，对任意 ，有 成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1）函数 的定义域为 ，∴ . ①当 时， ，所以 在 上单调递增， BC CD DA BC CD= θ l l 1 1 1 3 3sin sin sin sin2 2 3 2 3 2 6 4ABCD BOC COD DOAS S S S πθ π πθ θπ   = + + = + + − − = + +         20 3 θ π∴ < < 5 6 6 6 π πθ π< + < sin 16 πθ ∴ + ≤   6 2 π πθ + = 3 πθ = ∴ 3 πθ = 1 1 2cos 2sin 2BC θθ= + − = 1 1 2cos2 2cosDA θ θ= + + = 4sin 2cos 02 2l θ πθ θ ∴ = + < 1 2 1, [ , ]x x ee ∈ 1 2( ) ( ) 2g x g x e− ≤ − b ( ) ( )2ln 0f x a x x a= + ≠ ( )0,+∞ ( ) 222a x af x xx x =′ += + 0a > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞10 / 15 取 ，则 ， （或：因为 且 时，所以 .）因为 ，所以 ，此时函数 有一个零点. ②当 时，令 ，解得 .当 时， ， 所以 在 上单调递减； 当 时， ，所以 在 上单调递增. 要使函数 有一个零点，则 ，即 ， . 综上所述，若函数 恰有一个零点，则 或 . （2）因为对任意 ，有 成立， 因为 ，所以 . 所以 ，所以 . 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ∵ 与 ，所以 . 设 ， 则 ， 1 0 ax e −= 21 1 1 0a af e e − −   = − + − ( ) 0f x′ > ( )f x 2 a − + ∞    ， ( )f x ln 02 2 2 a a af a  − = − − =    ln 12 a − =   2a e= − ( )f x 2a e= − 0a > 1 2 1, ,x x ee  ∈   ( ) ( )1 2 2g x g x e− ≤ − ( ) ( )1 2g x g x− ≤ ( ) ( ) max min g x g x   −    ( ) ( ) max min 2g x g x e   − ≤ −    ( ) ln bg x b x x= − + ( ) ( )1 1b b b xbg x bxx x − −−= =′ + 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x 1 ,1e     ( ]1 e， ( ) ( ) min 1 1g x g  = =  1 bg b ee −  = +   ( ) bg e b e= − + ( ) ( ) max 1max ,g x g g ee     =        ( ) ( ) 1h b g e g e  = − =   2 ( 0)b be e b b−− − > ( ) 2 2 · 2 0b b b bh b e e e e− −= + − > − =′11 / 15 所以 在 上单调递增，故 ， 所以 .从而 . 所以 即 , 设 ，则 .当 时， ， 所以 在 上单调递增.又 ， 所以 ，即 ，解得 .因为 ， 所以 的取值范围为 . 20．设数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛，已知푎1 = 푎2 = 1， ，数列{푏푛}是公差为푑的等差数列，n ∈N*. （1）求푑的值； （2）求数列{푎푛}的通项公式； （3）求证： . 【解析】（1） ，푏2 = 2푆2 + (2 + 2)푎2 = 2푎2 +6푎2 = 8 （2）因为数列{푏푛}是等差数列 ，即푆푛 + 푛 + 2 푛 푎푛 = 4① 当 时， ② ①-②，得: ，即 则 以上各式相乘得： 因为푎1 = 1， 8 分 ( )h b ( )0 + ∞， ( ) ( )0h b h> ( ) 1g e g e  >    ( ) ( ) max bg x g e b e  = = − +  1 2bb e e− + − ≤ − 1 0be b e− − + ≤ ( ) 1( 0)bb e b e bϕ = − − + > ( ) 1bb eϕ′ = − 0b > ( ) 0bϕ′ > ( )bϕ ( )0 + ∞， ( )1 0ϕ = 1 0be b e− − + ≤ ( ) ( )1bϕ ϕ≤ 1b ≤ 0b > b ( ]0,112 / 15 （3） 则 ③ 因为当푛 = 1时， ，所以上式等号不成立. 则 第 II 卷（附加题，共 40 分）理科附加题 21．设二阶矩阵 A＝ . （1） 求 A－1； （2） 若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C′：6x2－y2＝1，求曲线 C 的方程． 【解析】（1） 根据逆矩阵公式，可得 A－1＝ . （2） 设曲线 C 上任意一点 P（x，y）在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P′（x′，y′）， 则 ＝ ＝ ，所以 因为（x′，y′）在曲线 C′上，所以 6x′2－y′2＝1，代入得 6（x＋2y）2－（3x＋4y）2＝1，化简得 8y2－3x2＝1， 所以曲线 C 的方程为 8y2－3x2＝1. 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求 的极坐标方程和 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 ， ， 与 的交点为 ， ， 求 的面积. 【解析】（Ⅰ）消去参数 ，曲线 的普通方程为 ， 1 2 3 4      2 1 3 1 2 2 −     −  x y ′ ′       1 2 3 4 x y            2 3 4 x y x y +   +  2 3 4 x x y y x y = +  = + ′ ′ xOy 1C 2 2 5 cos 4 2 5 sin x y α α  = + = + α O x 2C ( )3 θ ρπ= ∈R 1C 2C 3C ( )6 R πθ ρ= ∈ 2C 1C O M 3C 1C O N OMN∆ α 1C ( ) ( )2 22 4 20x y− + − =13 / 15 即 ，把 ， 代入方程得 ，所以 的极坐标方程为 . 直线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）设 ， ，分别将 ， 代入 ， 得 ， ， 则 的面积为 . 23．已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染，需要通过对其化验病毒 来确定是否感染.下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定感染为止.方案乙：将 6 只分为两组，每组三个，并将它们混合在一起化验， 若存在病毒 ，则表明感染在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染为止；若结果不含病毒 ， 则在另外一组中逐个进行化验. （1）求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率. （2）首次化验化验费为 10 元，第二次化验化验费为 8 元，第三次及其以后每次化验费都是 6 元，列出方 案甲所需化验费用的分布列，并估计用方案甲平均需要体验费多少元？ 【解析】（1）方案乙所需化验恰好为 2 次的事件有两种情况：第一种，先化验一组，结果不含病毒 ,再 从另一组中任取一个样品进行化验，则恰含有病毒的概率为 ,第二种,先化验一组，结果含病毒 ，再从中逐个化验，恰第一个样品含有病毒的概率为 . 所以依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率为 （2）设方案甲化验的次数为 ，则 可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为 元,则 ， ， ， ， 则其化验费用 的分布列为 2 2 4 8 0x y x y+ − − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 4 cos 8 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 1C 4cos 8sinρ θ θ= + 2C 3y x= ( )1 1,M ρ θ ( )2 2,N ρ θ 1 3 πθ = 2 6 πθ = 4cos 8sinρ θ θ= + 1 2 4 3ρ = + 2 4 2 3ρ = + OMN∆ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1sin 2 4 3 4 2 32 2 ρ ρ θ θ− = × + × + sin 8 5 36 π× = + DNA DNA DNA DNA 3 5 3 1 6 3 1 1 6 C C C × = DNA 2 5 3 1 6 3 1 1 6 C C C × = 1 1 1 6 6 3 + = ξ ξ η ( ) ( ) 11 10 6P Pξ η= = = = ( ) ( ) 5 1 12 18 6 5 6P Pξ η= = = = × = ( ) ( ) 5 4 1 13 24 6 5 4 6P Pξ η= = = = × × = ( ) ( ) 5 4 3 1 14 30 6 5 4 3 6P Pξ η= = = = × × × = ( ) ( ) 5 4 3 2 15 36 6 5 4 3 3P Pξ η= = = = × × × = η14 / 15 所以 （元）. 所以甲方案平均需要化验费 元 24．已知函数 ． （1）求 和 的值； （2）记 ，求 ； （3）对（2）中的 和任意 ，均有 成立，求实数 的取值范围．（直接写出答案即可， 不要求写求解过程．） 【解析】(1) ,所以 , ; (2)由(1)可知 , 又 , 即 , 两式相加得: , 所以 ; 1 1 1 1 1 7710 18 24 30 366 6 6 6 3 3Eη = × + × + × + × + × = 77 3 3( ) 9 3xf x = + (1) (0)f f+ ( ) (1 )f x f x+ − 1 2 1 m m mS f f f fm m m m −       = + +⋅⋅⋅+ +               mS mS *m∈N 1 2 1 m m m m a a S S + + > a 3( ) 9 3xf x = + 3 3(1) (0) 19 3 1 3f f+ = + =+ + 1 3 3( ) (1 ) 9 3 9 3x xf x f x −+ − = ++ + 1 3 3 9 9 3 (9 3) 9 x x x x− ⋅= ++ + ⋅ 3 9 9 3 3 9 x x x = ++ + 1= 1( ) (1 ) 1, (1) 4f x f x f+ − = = 1 2 1 m m mS f f f fm m m m −       = + +⋅⋅⋅+ +               1 2 1 m m m mS f f f fm m m m − −       = + +⋅⋅⋅+ +               ( )1 1 2 2 1 12 2 1m m m mS f f f f f f fm m m m m m  −   −   −            = + + + + + + +                                 11 2m= − + 1 2m= − 2 1 4m mS −=15 / 15 (3)因为对任意 ,均有 成立,又由(2)知 ,因此 , 故化简 可得: , 令 ,则 ,又 在 上递减,在 上递增, 所以当 , 时, ,所以 . 故 的取值范围为 . *m∈N 1 2 1 m m m m a a S S + + > 2 1 04m mS −= > 0a > 1 2 1 m m m m a a S S + + > 2 2 1 1( )2 4 1 2 4 m m m Sa mS + + < = − 1 1 2 4 4 mt = − ≥ 21( ) 12 14 t a tt t + < = + + 1 14y t t = + + 1 1[ , ]4 2 1( , )2 +∞ 3t 4 = 2m = min 25 12y = 25 12a < a 25(0, )12