备战2020年高考数学各地优质试题重组卷全真模拟卷(江苏版解析版)
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备战2020年高考数学各地优质试题重组卷全真模拟卷(江苏版解析版)

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资料简介
1 / 15 2020 年 4 月普通高考(江苏卷)全真模拟卷(1) 数学 第 I 卷(必做题,共 160 分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围:高中全部内容。 一、填空题:本题共 14 个小题,每题 5 分,满分 70 分. 1.已知集合 , ,且 ________. 【答案】 【解析】∵ ,∴ ,解得 ,∴ ,∵ ,∴ . 2. 是虚数单位,复数 ,则复数 =______. 【答案】 【解析】依题意, ,所以 . 3.函数 的定义域为________ 【答案】 【解析】因为 ,所以 ,解得 .故答案为: 4.执行下图所示的程序框图,如果输入的 ,则输出的 _____. ( )2{ }2| 1A x log x= − < { | 2 6}B x x= < < A B = ( )2,5 ( )2log 1 2x − < 1 0 1 4 x x − >  −  0 1x≤ < [0,1) 918, 238a b= = n =2 / 15 【答案】3 【解析】由题意得,执行上述循环结构,可得,第 1 次循环: ; 第 2 次循环: ;第 3 次循环: , 此时终止循环,输出结果 . 5.已知 为等比数列, ,则 _______ 【答案】 【解析】 6.为调查某校学生每天用于课外阅读的时间,现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查, 所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该校学生中每天用于阅读的时间在 [70,80)(单位:分钟)内的学生人数为____. 【答案】900 204, 238, 204, 1r a b n= = = = 34, 204, 34, 2r a b n= = = = 0, 34, 0, 3r a b n= = = = 3n = { }na 2 3 5 1 , 42a a a= = q = 2± 2 2 4 3 5 4 2 4 2 14 4, 0 2 4 22 aa a a a a q qa = ⇒ = = > ∴ = ∴ = = ∴ = ±3 / 15 【解析】由 1﹣0.05﹣0.35﹣0.2﹣0.1=0.3,故 a=0.03,故阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生 人数为:0.3×3000=900. 7.如图,已知 分别是矩形 的边 的中点, 与 交于点 .若 , 用 表示 ,则 _________. 【答案】 【解析】 . 8.函数 在点 处的切线的斜率为________ 【答案】1 【解析】 ,因此函数 在点 处的切线的斜率为 . 9.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为 ________. 【答案】 【解析】袋中有 2 个红球,3 个白球和 4 个黄球,从中任取 4 个球,基本事件总数 n 126, 其中三种颜色的球都有,可能是 2 个红球,1 个白球和 1 个黄球或 1 个红球,2 个白球和 1 个黄球或 1 个红 球,1 个白球和 2 个黄球,所以包含的基本事件个数 m 72, ∴其中三种颜色的球都有的概率是 p . 10.已知 , ,则 _______. 【答案】 【解析】由二倍角公式可知: , , ,E F ABCD ,BC CD EF AC G ,AB a AD b= =   ,a b AG AG = 3 3 4 4a b+  ( )3 3 3 3 4 4 4 4AG AC AB AD a b= = + = +      ( ) cosxf x e x= (0,1) ' ' '( ) cos ( ) ( ) cos (cos ) (cos sin )x x x xf x e x f x e x e x e x x= ⇒ = + = − ( ) cosxf x e x= (0,1) ' 0(0) (cos0 sin 0) 1f e= − = 4 7 4 9C= = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4C C C C C C C C C= + + = 72 4 126 7 m n = = = (0, )2 πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα = 5 5 sin 2 2sin cosα α α= 2cos2 2cos 1α α= −4 / 15 又 ,即 , 11.设奇函数 满足对任意 都有 ,且 时, ,则 的值等于_____ 【答案】 【解析】由于 ,故函数的对称轴为 ,又因为函数是奇函数,故函数是周期为 的周期函数.故 . 12.已知双曲线 的渐近线方程为 ,点 到右焦点 的距离 为 ,则 的方程为______. 【答案】 【解析】设双曲线 的半焦距为 ,因为点 到右焦点的距离为 ,所以 ,解得 或 (舍去).因为 ,所以 ,所以 , ,所以双曲线 的方程为 . 13.如图,直三棱柱 的各条棱长均为 2, 为棱 上任意一点,则三棱锥 的体 积是___. 24sin cos 2cosα α α∴ = 0, 2 πα  ∈   cos 0α∴ ≠ 2sin cosα α∴ = 1tan 2 α = 5sin 5 α∴ = ( )( )y f x x R= ∈ t R∈ ( ) (1 )f t f t= − 1[0, ]2x∈ 2( )f x x= − 3(3) ( )2f f+ − 1 4 − ( ) (1 )f t f t= − 1 2x = 14 22 × = ( ) ( ) ( )3 1 1 1 13 1 0 02 2 2 4 4f f f f f f     + − = + = + = − = −           ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > 2 2y x= ± ( )1,2A F 2 2 C 2 2 18 yx − = C c ( )1,2A 2 2 ( ) ( )2 21 2 0 2 2c− + − = 3c = 1c = − 2 2b a = 3ce a = = 1a = 2 2b = C 2 2 18 yx − = 1 1 1ABC A B C− D 1 1B C 1D A BC−5 / 15 【答案】 【解析】由题意,三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积,则 到平面 等于正三角形 的高,直三棱柱 的各条棱长均为 ,三棱锥 的体积为 ,故答案为 . 14.已知 ,若存在 ,使得 ,则 的取值范围为 ______. 【答案】 【解析】作出函数 的图象如图所示: 因为存在 ,使得 ,所以 ,且 , 所以 . 2 3 3 1D A BC− 1A BCD− 1A BCD 1 1 1A B C 1 1 1ABC A B C− 2 1A BCD− ( )1 1 2 32 2 2 603 2 3V sin = × × × × × = 2 3 3 ( ) [ ) [ ] e 1, 0,2 2, 2,6 x xf x x x  + ∈=  − ∈ 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= ( )2 1x f x [8,24] ( )f x 1 2x x< ( ) ( )1 2f x f x= 1 2e 1 2x x+ = − 24 6x≤ ≤ ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2( ( [8,24]e 1) 2) 2x xx xf x x x x ∈+ == = − −6 / 15 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在 中,内角 的对边分别为 ,已知 . (1)证明: ; (2)若 ,求 边上的高. 【解析】(1)证明:因为 , 所以 , 所以 ,故 . (2)解:因为 ,所以 . 又 ,所以 ,解得 ,所以 , 所以 边上的高为 . 16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (1)求证:PC // 平面 BDE; (2)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB. 【解析】 ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin cos sin cos sinb A C c A B ac B+ = bc a= 13,cos 6c C= = AC sin sin cos sin sin cos sin sinB A C C A B c A B+ = sin cos sin cos sinB C C B c B+ = sin sinA c B= a bc= 3,c a bc= = 2 2 10 93 ,cos 6 ba b C b −= = 1cos 6C = 2 2 10 9 1 6 6 b b − = 1b = 3, 1a c b= = = AC 21 359 2 2  − =  7 / 15 证明: (1)连结 ,交 于 ,连结 . 因为 是平行四边形,所以 . 因为 为侧棱 的中点 所以 ∥ . 因为 平面 , 平面 所以 ∥平面 . (2)因为 为 中点, 所以 因为 , ∥ 所以 . 因为 平面 , 平面 , 所以 平面 . 因为 平面 所以平面 平面 . 17.在平面直角坐标系 中,已知椭圆 的离心率为 ,点 在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程; (2)设直线与圆 相切,与椭圆 相交于 两点,求证: 是定值. 【解析】(1)由题意得: ,即 椭圆方程为 将 代入椭圆方程得: AC BD O OE ABCD OA OC= E PA OE PC PC ⊄ BDE OE ⊂ BDE PC BDE E AP PD AD= PA DE⊥ PC PA⊥ OE PC PA OE⊥ OE BDE DE ⊂ BDE OE DE E∩ = PA ⊥ BDE PC ⊂ PAB BDE ⊥ PAB xOy ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 ( )2,1 C C 2 2: 2O x y+ = C ,P Q POQ∠ 2 2 ce a = = 2 21 2c a= 2 21 2b a∴ = ∴ 2 2 2 2 2 1x y a a + = ( )2,1 2 6a = 2 3b∴ =8 / 15 椭圆 的方程为: (2)①当直线 斜率不存在时, 方程为: 或 当 时, , ,此时 当 时,同理可得 ②当直线 斜率存在时,设 方程为: ,即 直线与圆相切 ,即 联立 得: 设 , , 代入 整理可得: 综上所述: 为定值 18.如图为某公园的绿化示意图,准备在道路 的一侧进行绿化,线段 长为 , ,设 . (1)为了类化公园周围的环境,现要在四边形 内种满郁金香,若 ,则当 为何值时,郁 ∴ C 2 2 16 3 x y+ = PQ PQ 2x = 2x = − 2x = ( )2, 2P ( )2, 2Q − 0OP OQ⋅ =  OP OQ∴ ⊥  90POQ∴∠ =  2x = − 90POQ∠ =  PQ PQ y kx m= + 0kx y m− + =  2 2 1 m k ∴ = + 2 22 2m k= + 2 2 0 16 3 kx y m x y − + = + = ( )2 2 21 2 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 1 2 2 4 1 2 kmx x k ∴ + = − + 2 1 2 2 2 6 1 2 mx x k −= + ( )( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21OP OQ x x y y x x kx m kx m k x x km x x m∴ ⋅ = + = + + + = + + + +  ( ) 2 2 2 2 2 2 6 41 1 2 1 2 m kmk km mk k −  = + × + × − + + +  2 22 2m k= + 0OP OQ⋅ =  OP OQ∴ ⊥  90POQ∴∠ =  POQ∠ 90 AB AB 2km 1OC OD OA OB km= = = = COB θ∠ = ABCD 3COD π∠ = θ9 / 15 金香种植面积最大; (2)为了方便游人散步,现要搭建一条栈道,栈道由线段 , 和 组成,若 ,则当 为何 值时,栈道的总长 最长,并求 的最大值. 【解析】(1)由图可得: ,则 , ,此时 ,可得 , 则当 时,郁金香种植面积最大; (2)由余弦定理, , , , 令 ,则 , , ,即 时, 的最大值为 3. 19.已知函数 . (1)设 ,若函数 恰有一个零点,求实数 的取值范围; (2)设 ,对任意 ,有 成立,求实数 的取值范围. 【解析】(1)函数 的定义域为 ,∴ . ①当 时, ,所以 在 上单调递增, BC CD DA BC CD= θ l l 1 1 1 3 3sin sin sin sin2 2 3 2 3 2 6 4ABCD BOC COD DOAS S S S πθ π πθ θπ   = + + = + + − − = + +         20 3 θ π∴ < < 5 6 6 6 π πθ π< + < sin 16 πθ ∴ + ≤   6 2 π πθ + = 3 πθ = ∴ 3 πθ = 1 1 2cos 2sin 2BC θθ= + − = 1 1 2cos2 2cosDA θ θ= + + = 4sin 2cos 02 2l θ πθ θ ∴ = + < 1 2 1, [ , ]x x ee ∈ 1 2( ) ( ) 2g x g x e− ≤ − b ( ) ( )2ln 0f x a x x a= + ≠ ( )0,+∞ ( ) 222a x af x xx x =′ += + 0a > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞10 / 15 取 ,则 , (或:因为 且 时,所以 .)因为 ,所以 ,此时函数 有一个零点. ②当 时,令 ,解得 .当 时, , 所以 在 上单调递减; 当 时, ,所以 在 上单调递增. 要使函数 有一个零点,则 ,即 , . 综上所述,若函数 恰有一个零点,则 或 . (2)因为对任意 ,有 成立, 因为 ,所以 . 所以 ,所以 . 当 时, ,当 时, , 所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增, , ∵ 与 ,所以 . 设 , 则 , 1 0 ax e −= 21 1 1 0a af e e − −   = − + − ( ) 0f x′ > ( )f x 2 a − + ∞    , ( )f x ln 02 2 2 a a af a  − = − − =    ln 12 a − =   2a e= − ( )f x 2a e= − 0a > 1 2 1, ,x x ee  ∈   ( ) ( )1 2 2g x g x e− ≤ − ( ) ( )1 2g x g x− ≤ ( ) ( ) max min g x g x   −    ( ) ( ) max min 2g x g x e   − ≤ −    ( ) ln bg x b x x= − + ( ) ( )1 1b b b xbg x bxx x − −−= =′ + 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( ) 0g x′ > ( )g x 1 ,1e     ( ]1 e, ( ) ( ) min 1 1g x g  = =  1 bg b ee −  = +   ( ) bg e b e= − + ( ) ( ) max 1max ,g x g g ee     =        ( ) ( ) 1h b g e g e  = − =   2 ( 0)b be e b b−− − > ( ) 2 2 · 2 0b b b bh b e e e e− −= + − > − =′11 / 15 所以 在 上单调递增,故 , 所以 .从而 . 所以 即 , 设 ,则 .当 时, , 所以 在 上单调递增.又 , 所以 ,即 ,解得 .因为 , 所以 的取值范围为 . 20.设数列{푎푛}的前 n 项和为푆푛,已知푎1 = 푎2 = 1, ,数列{푏푛}是公差为푑的等差数列,n ∈N*. (1)求푑的值; (2)求数列{푎푛}的通项公式; (3)求证: . 【解析】(1) ,푏2 = 2푆2 + (2 + 2)푎2 = 2푎2 +6푎2 = 8 (2)因为数列{푏푛}是等差数列 ,即푆푛 + 푛 + 2 푛 푎푛 = 4① 当 时, ② ①-②,得: ,即 则 以上各式相乘得: 因为푎1 = 1, 8 分 ( )h b ( )0 + ∞, ( ) ( )0h b h> ( ) 1g e g e  >    ( ) ( ) max bg x g e b e  = = − +  1 2bb e e− + − ≤ − 1 0be b e− − + ≤ ( ) 1( 0)bb e b e bϕ = − − + > ( ) 1bb eϕ′ = − 0b > ( ) 0bϕ′ > ( )bϕ ( )0 + ∞, ( )1 0ϕ = 1 0be b e− − + ≤ ( ) ( )1bϕ ϕ≤ 1b ≤ 0b > b ( ]0,112 / 15 (3) 则 ③ 因为当푛 = 1时, ,所以上式等号不成立. 则 第 II 卷(附加题,共 40 分)理科附加题 21.设二阶矩阵 A= . (1) 求 A-1; (2) 若曲线 C 在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 C′:6x2-y2=1,求曲线 C 的方程. 【解析】(1) 根据逆矩阵公式,可得 A-1= . (2) 设曲线 C 上任意一点 P(x,y)在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P′(x′,y′), 则 = = ,所以 因为(x′,y′)在曲线 C′上,所以 6x′2-y′2=1,代入得 6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得 8y2-3x2=1, 所以曲线 C 的方程为 8y2-3x2=1. 22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为: ( 为参数),以坐标原点 为极 点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 . (Ⅰ)求 的极坐标方程和 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 的极坐标方程为 ,设 与 的交点为 , , 与 的交点为 , , 求 的面积. 【解析】(Ⅰ)消去参数 ,曲线 的普通方程为 , 1 2 3 4      2 1 3 1 2 2 −     −  x y ′ ′       1 2 3 4 x y            2 3 4 x y x y +   +  2 3 4 x x y y x y = +  = + ′ ′ xOy 1C 2 2 5 cos 4 2 5 sin x y α α  = + = + α O x 2C ( )3 θ ρπ= ∈R 1C 2C 3C ( )6 R πθ ρ= ∈ 2C 1C O M 3C 1C O N OMN∆ α 1C ( ) ( )2 22 4 20x y− + − =13 / 15 即 ,把 , 代入方程得 ,所以 的极坐标方程为 . 直线 的直角坐标方程为 . (Ⅱ)设 , ,分别将 , 代入 , 得 , , 则 的面积为 . 23.已知 6 只小白鼠有 1 只被病毒感染,需要通过对其化验病毒 来确定是否感染.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定感染为止.方案乙:将 6 只分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验, 若存在病毒 ,则表明感染在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染为止;若结果不含病毒 , 则在另外一组中逐个进行化验. (1)求依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率. (2)首次化验化验费为 10 元,第二次化验化验费为 8 元,第三次及其以后每次化验费都是 6 元,列出方 案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要体验费多少元? 【解析】(1)方案乙所需化验恰好为 2 次的事件有两种情况:第一种,先化验一组,结果不含病毒 ,再 从另一组中任取一个样品进行化验,则恰含有病毒的概率为 ,第二种,先化验一组,结果含病毒 ,再从中逐个化验,恰第一个样品含有病毒的概率为 . 所以依据方案乙所需化验恰好为 2 次的概率为 (2)设方案甲化验的次数为 ,则 可能的取值为 1,2,3,4,5,对应的化验费用为 元,则 , , , , 则其化验费用 的分布列为 2 2 4 8 0x y x y+ − − = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 4 cos 8 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 1C 4cos 8sinρ θ θ= + 2C 3y x= ( )1 1,M ρ θ ( )2 2,N ρ θ 1 3 πθ = 2 6 πθ = 4cos 8sinρ θ θ= + 1 2 4 3ρ = + 2 4 2 3ρ = + OMN∆ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1sin 2 4 3 4 2 32 2 ρ ρ θ θ− = × + × + sin 8 5 36 π× = + DNA DNA DNA DNA 3 5 3 1 6 3 1 1 6 C C C × = DNA 2 5 3 1 6 3 1 1 6 C C C × = 1 1 1 6 6 3 + = ξ ξ η ( ) ( ) 11 10 6P Pξ η= = = = ( ) ( ) 5 1 12 18 6 5 6P Pξ η= = = = × = ( ) ( ) 5 4 1 13 24 6 5 4 6P Pξ η= = = = × × = ( ) ( ) 5 4 3 1 14 30 6 5 4 3 6P Pξ η= = = = × × × = ( ) ( ) 5 4 3 2 15 36 6 5 4 3 3P Pξ η= = = = × × × = η14 / 15 所以 (元). 所以甲方案平均需要化验费 元 24.已知函数 . (1)求 和 的值; (2)记 ,求 ; (3)对(2)中的 和任意 ,均有 成立,求实数 的取值范围.(直接写出答案即可, 不要求写求解过程.) 【解析】(1) ,所以 , ; (2)由(1)可知 , 又 , 即 , 两式相加得: , 所以 ; 1 1 1 1 1 7710 18 24 30 366 6 6 6 3 3Eη = × + × + × + × + × = 77 3 3( ) 9 3xf x = + (1) (0)f f+ ( ) (1 )f x f x+ − 1 2 1 m m mS f f f fm m m m −       = + +⋅⋅⋅+ +               mS mS *m∈N 1 2 1 m m m m a a S S + + > a 3( ) 9 3xf x = + 3 3(1) (0) 19 3 1 3f f+ = + =+ + 1 3 3( ) (1 ) 9 3 9 3x xf x f x −+ − = ++ + 1 3 3 9 9 3 (9 3) 9 x x x x− ⋅= ++ + ⋅ 3 9 9 3 3 9 x x x = ++ + 1= 1( ) (1 ) 1, (1) 4f x f x f+ − = = 1 2 1 m m mS f f f fm m m m −       = + +⋅⋅⋅+ +               1 2 1 m m m mS f f f fm m m m − −       = + +⋅⋅⋅+ +               ( )1 1 2 2 1 12 2 1m m m mS f f f f f f fm m m m m m  −   −   −            = + + + + + + +                                 11 2m= − + 1 2m= − 2 1 4m mS −=15 / 15 (3)因为对任意 ,均有 成立,又由(2)知 ,因此 , 故化简 可得: , 令 ,则 ,又 在 上递减,在 上递增, 所以当 , 时, ,所以 . 故 的取值范围为 . *m∈N 1 2 1 m m m m a a S S + + > 2 1 04m mS −= > 0a > 1 2 1 m m m m a a S S + + > 2 2 1 1( )2 4 1 2 4 m m m Sa mS + + < = − 1 1 2 4 4 mt = − ≥ 21( ) 12 14 t a tt t + < = + + 1 14y t t = + + 1 1[ , ]4 2 1( , )2 +∞ 3t 4 = 2m = min 25 12y = 25 12a < a 25(0, )12

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