2020 届高三第七次月考理科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题.每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合 ，求得 ，根据交集定义，即可求得答案．
【详解】
又
故
故选：A.
【点睛】本题主要考查了集合运算，解题关键是掌握集合运算的基础知识和一元二次不等式的解法，考查
了分析能力和计算能力,属于基础题.
2.已知实数 ， 满足 ，其中 是虚数单位，若 ，则在复平面内，复数
所对应的点位于（ ）
{ }2| 5 4 0A x x x= + − < 1
3B x x
=
a b< sin sina b>
a b
1 1 12 2
a b < >
0a b> > 1 1
a b
<
0a b> > 2 2log loga b>对于 C，由 ，可得 ，故 C 错误；
对于 D，根据 图象可得，由 ， 与 的大小无法确定，故 D 错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，
考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
4.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.
【详解】由已知可得 ，设 的夹角为 ，则有
，又因为 ，所以 ，故选 C.
【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.
5.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二倍角公式求得 ，再利用诱导公式求得结果.
【详解】
0a b> > a b>
siny x= 0a b> > sin a sin b
a b 4b a= ( )2a a b⊥ + a b
3
π
2
π 2
3
π 5
6
π
a b与
1cos 6 3
πα + = sin 2 6
πα − =
8
9
− 8
9
7
9
7
9
−
cos 2 3
πα +
1cos 6 3
πα + =
2 2 7cos 2 2cos 1 13 6 9 9
π πα α ⇒ + = + − = − = −
7cos 2 cos 2 sin 23 6 2 6 9
π π π πα α α ∴ + = − + = − − = − 本题正确选项：
【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.
6.若函数 在 上的最大值为 4，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
要求函数 的最大值，可先分别探究函数 与
的单调性，从而得到 的最大值．
【详解】易知 在 上单调递增， 上单调递增.
因为 ， ，所以 的取值范围为 .
【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.
7.17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄
金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底
与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 的等腰三角形（另一种是
顶角为 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个
黄金 中， .根据这些信息，可得 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7sin 2 6 9
πα ∴ − =
C
( ) ( )2
2 2, 1
log 1 , 1
x xf x x x
+ ≤= − >
( ],a−∞ a
[ ]0,17 ( ],17−∞ [ ]1,17 [ )1,+∞
( )f x ( )1 2 2, 1xf x x= + ≤
( ) ( )2 2log 1 , 1f x x x= − > ( )f x
( )1 2 2, 1xf x x= + ≤ ( ],1−∞ ( ) ( )2 2log 1 , 1f x x x= − > ( )1,+∞
( )1 4f = ( )17 4f = a [ ]1,17
36°
108°
ABC∆ 5 1
2
BC
AC
−= sin 234° =
1 2 5
4
− 3 5
8
+− 5 1
4
+− 4 5
8
+−【解析】
【分析】
要求 的值，需将角 用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有 ，正
五边形内角 ， ，已知三角函数值有
，所以 ，从而 ．
【详解】由题可知 ，且 ， ，
则 .
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.
8.已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 函数 的周期为 B. 函数 的一条对称轴为
C. 函数 在 上单调递增 D. 函数 的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】
化简 ，可得 ，逐项判断，即可求得答案.
【详解】
对于 A，函数 的周期为： ,故 A 说法正确；
sin 234° 234° 36°
108° 72ACB∠ = °
1
5 12cos72 4
BC
AC
−° = = 234 =2 72 +90 =144 +90° × ° ° ° ° sin 234 =cos144° °
72ACB∠ = °
1
5 12cos72 4
BC
AC
−° = = 2 5 1cos144 2cos 72 1 4
+° = °− = −
( ) 5 1sin 234 sin 144 90 cos144 4
+° = °+ ° = ° = −
( ) 23 3 34 3sin cos 4sin 22 2 2xf x x x= + −
( )f x 2
3
π ( )f x
9x
π= −
( )f x 10 ,9
π π − −
( )f x 4−
( ) 23 3 34 3sin cos 4sin 22 2 2xf x x x= + − ( ) 4sin 3 6xf x
π = −
( ) 23 3 34 3sin cos 4sin 22 2 2xf x x x= + −
1 cos32 3sin3 4 22
xx
−= + × −
2 3sin3 2cos3x x= −
4sin 3 6x
π = −
( )f x 2
3T
π=对于 B， 时，
是函数 的一条对称轴，故 B 说法正确；
对于 C，当 时，
此时 不单调，故 C 说法错误；
对于 D，
函数 最小值为 ，故 D 说法正确，
故选：C.
【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档
题.
9.已知函数 的图象的一部分如下图所示，若 在
上是单调递增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根已知条件求得 ，可得 ，根据 在 上
的
9x
π= − 4sin 49 3 6f
π π π − = − − = −
∴
9x
π= − ( )f x
10
9 x
π π− ≤ ≤ −
21 1936 6 6x
π π π− ≤ − ≤ −
( )f x
( ) 4sin 3 6f x x
π = −
∴ ( )f x 4−
( ) ( )sin 0, 0, 2f x A x A
πω ϕ ω ϕ = + > >
5 ,4 4
π π − a
30, 4
40, 3
10, 3
30, 2
( ) sin 2 3f x x
π = + ( ) sin 2 3f ax ax
π = +
( )( )0f ax a > 5 ,4 4
π π − 是单调递增函数，即可求得答案.
【详解】由图可知 ，函数的周期为
则 ，可得
又 ，故可得
则
又 在函数图象上，则
故
故函数 的单调增区间为
可得
即
又 在 上是单调递增函数
，解得
故选:C.
【点睛】本题主要考查了根据三角函数图象求解函数表达式和根据三角函数在指定区间上单调性求参数范
围，解题关键是掌握三角形函数图象的基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
10.在正方体 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，现有下面三个结论：①
为正三角形；②异面直线 与 所成角为 ；③ 平面 .其中所有正确结论的编
1A = T
1
4 3 12 4T
π π π= − = T π=
2π πω = 2ω =
( ) sin(2 )f x x ϕ= +
,03
π
2sin 0,| |3 2
π πϕ ϕ + =
5 , ,12 12
k k k Za a a a
π π π π − + ∈
5 ,4 4
π π −
∴
5 5
4 12
12 4
a
a
π π
π π
− ≥
≥
10 3a< ≤
1 1 1 1ABCD A B C D− E F G 1AA BC 1 1C D
EFG∆ 1AG 1C F 60° / /AC EFG号是（ ）
A. ① B. ②③ C. ①② D. ①③
【答案】D
【解析】
【分析】
①计算出三边是否相等；②平移 与 ，使得它们的平行线交于一点，解三角形求角的大小；③探究
平面 内是否有与 平行的直线．
【详解】
易证 的三边相等，所以它是正三角形.
平面 截正方体所得截面为正六边形，且该截面与 的交点为 的中点 ，
易证 ，从而 平面 .取 的中点 ，连接 ， ，
则 ，易知 ，
所以 与 所成角不可能是 ，从而异面直线 与 所成角不是 .
故①③正确.
【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查直观想象与数学运算的核心素养.
11.过双曲线 的右顶点 作斜率为 的直线，该直线与 的渐近线交于
两点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
1AG 1C F
EFG AC
EFG∆
EFG 1CC 1CC N
/ /AC EN / /AC EFG 1 1A B H 1C H FH
1 1/ /AG C H 1 1C H C F HF= ≠
1C H 1C F 60° 1AG 1C F 60°
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yE a ba b
− = > > A 1− E ,B C
2 0BC BA+ = E
3y x= ± 4y x= ± 2y x= ± 2y x= ±直线 l:y=-x+a 与渐近线 交于 ,直线 l:y=-x+a 与渐近线 交于
,A ,因为 ,所以 ,
双曲线 的渐近线方程为 ,故选 D.
点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,先求出过右顶点且斜
率为-1 的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入 中,通过化
简计算,即可得到 a,b 的关系式,结合双曲线中 ,即可求得离心率.
12.设函数 ．若存在 的极值点 满足 ，则 m 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由题意知： 的极值为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，所以 即 ，所以 ，即
3，而已知 ，所以 3，故 ，解得 或
，故选 C
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题
.
1 : 0l bx ay− =
2
,a abB a b a b
+ + 2 : 0l bx ay+ =
2
,a abB a b a b
− −
( ),0a 2 0BC BA + = 3AC AB= 2 2
3 , 2 ,a aa a b aa b a b
∴ − = − ∴ = ∴ − +
E 2y x= ±
2 0BC BA + =
2 2 2c a b= +
( ) 3sin xf x m
π= ( )f x 0x ( ) 22 2
0 0x f x m + 2m >
2m < −与解决问题的能力.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
第 13~21 题为必考题，每道试题考生都必须作答.第 22~23 为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：每小题 5 分，满分 20 分.其中第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分.
13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设在运输
中每箱苹果出现碰伤的概率为 0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购 2 箱苹果恰有 1 箱在运输中出现碰
伤的概率为_________.
【答案】0.42
【解析】
【分析】
要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解．
【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做 2 次试验，每次事件发生的概率为 0.7，
则恰有 1 次发生的概率为 .
【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养.
14.设 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边.已知 ，则
______.
【答案】2
【解析】
【分析】
要求 的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算．
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 .
【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.
15.已知点 满足 ，则 的取值范围为______.
【答案】
【解析】
( )1
2 0.7 1 0.7 0.42C × × − =
a b c ABC∆ A B C sin 2 cos cos 2 cos cosa A b A C c A B= +
tan A =
tan A
sin 2 cos cos 2 cos cosa A b A C c A B= + 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= ⋅ = ⋅ = ⋅
( ) ( )2sin 2cos sin cos cos sin 2cos sin 2cos sinA A B C B C A B C A A= + = + =
tan 2A =
( ),x y
3
4 6
2 6
x y
x y
x y
− ≤
− ≥
+ ≤
y
x
[ ]2,1−【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用两点间的斜率公式进行求解,即可求得答案.
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，
的几何意义是区域内的点到原点的斜率，
由图象知 OA 的斜率最小，OC 的斜率最大，
由 ,可得
此时 OC 斜率
由 ,可得
此时 OB 斜率 ，
则 的取值范围为
故答案为： .
【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,
求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优
解.
16.如图，在四棱锥 中， ， 平面 ，底面 为正方形，且 .
若四棱锥 的每个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积的最小值为_____；当四棱锥
的体积取得最大值时，二面角 的正切值为_______.
y
x
2 6
4 6
x y
x y
+ =
− =
( )2,2C
1OCk =
3
4 6
x y
x y
− =
− =
( )1, 2B −
2OBk = −
y
x
[ ]2,1−
[ ]2,1−
P ABCD− PD AC⊥ AB ⊥ PAD ABCD 3CD PD+ =
P ABCD− O O
P ABCD− A PC D− −【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)．要求球 的表面积的最小值，需求出球 的表面积的算式，为此又需求出球 的半径，从而根据算式
的特点，用函数的单调性或不等式求出最小值．
(2)．列出四棱锥 的体积的算式，求出体积取得最大值时变量的取值，从而求出二面角
的正切值．
【详解】(1)．设 ，则 .∵ 平面 ，
∴ ，又 ，
∴ 平面 ，
则四棱锥 可补形成一个长方体，球 的球心为 的中点，
从而球 的表面积为 .
(2)．四棱锥 的体积 ，
则 ，当 时， ；当 时， .
故 ，此时 ， .
过 作 于 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角.
∵ ，∴ .
6π 5
O O O
P ABCD−
A PC D− −
( )0 3CD x x= < < 3PD x= − AB ⊥ PAD
AB PD⊥ PD AC⊥
PD ⊥ ABCD
P ABCD− O PB
O
( ) ( )
2
22 2
234 3 1 2 62
x x x xπ π π
+ + − = − + ≥
P ABCD− ( ) ( )21 3 0 33V x x x= × − < <
2 2V x x′ = − + 0 2x< < 0V′ > 2 3x< < 0V′ <
( )max 2V V= 2AD CD= = 1PD =
D DH PC⊥ H AH
AHD∠ A PC D− −
1 2 2 5
55
DH
×= = tan 5ADAHD DH
∠ = =【点睛】本题考查四棱锥的体积与球体的表面积，考查函数与方程的数学思想以及直观想象的数学核心素
养.
当棱锥中有线面垂直的条件时，可考虑将棱锥补形成长方体，简化思考便于计算．
找二面角平面角的常用方法有：定义法，三垂线法．
三、解答题：本大题共 7 小题.共 70 分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式：
（2）求数列 的前 项和 ；
（3）求数列 的前 项和 .
【答案】（1） .（2） .（3）
【解析】
【分析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式，即可求得答案；
（2）由 ，可得 ， ，进一步利用裂项相消法
求出数列的和，即可求得答案；
（3）由 ， ，可得 ，根据错位相减求和，即可求得答案.
【详解】（1）当. ，
当 时，由
{ }na ( )1 *32
1 2 1 2 22 2 2
nn
n
a aaa n N+
−+ + +⋅⋅⋅+ = − ∈ 4logn nb a=
{ }na
1
1
n nb b +
⋅
n nT
{ }n na b⋅ n nS
2 12 n
na −= 4
2 1n
nT n
= +
6 5
9
5
9 4n
n
nS
−+ ⋅=
2 12 n
na −= 2 1
4
2 1log 2 2
n
n
nb − −= =
1
1 1 12 2 1 2 1n nb b n n+
= − ⋅ − +
2 12 n
na −= 2 1
2n
nb
−= ( ) ( )2 12 1 2n n
nna b −− ⋅⋅ =
1n = 1 2a =
2n ≥ 132
1 2 1 2 22 2 2
nn
n
a aaa +
−+ + +…+ = −可得
两式相减可得：
即
且上式对于 也成立，
数列 的通项公式为：
（2）
（3） ，
①
②
由① ②可得：
3 12
1 2 2 2 22 2 2
nn
n
a aaa −
−+ + +…+ = −
1 22
nn
n
a
− =
2 12 n
na −=
1n =
∴ { }na 2 12 n
na −=
2 12 n
na −=
2 1
4
2 1log 2 2
n
n
nb − −= =
1
1 4 1 12(2 1)(2 1) 2 1 2 1n nb b n n n n+
= = − ⋅ − + − +
∴
∴
1 2 2 3 1
1 1 1
n
n n
T b b b b b b +
= + +…+⋅ ⋅ ⋅
1 1 1 1 12 1 3 3 5 2 1 2 1n n
= − + − +…+ − − +
1 42 1 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
2 12 n
na −=
2 1
2n
nb
−=
∴ ( ) ( )2 12 12 1 2 2 1 22
nn
n n
n na b −−− ⋅ − ⋅⋅ = =
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 10 2 41 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 2n n
nS n n− −∴ = + + + + +⋅ ⋅ ⋅ … − ⋅ − ⋅ — —
( ) ( ) ( )2 12 22 4 61 2 3 2 5 2 2 3 2 2 1 22 n n
nS n n−⋅ ⋅ ⋅ … − ⋅ −∴ + + + ⋅= + + — —
− ( ) ( )4 2 10 62 23 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2+ 2 n n
nS n−− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + + ⋅ − ⋅…+ −
( )( ) ( )1 2 10 3 23 1 2 2 4 4 4 4 2+ 2 1n n
nS n−= + + + + −− ⋅ ⋅ … − ⋅
( ) ( )
1
0 24 1 4
3 1 2 2 2 1 21 4+
n
n
nS n
−−
− ⋅ ⋅ − ⋅−= −
( ) ( )
14 1 4
3 1 2 2 1 43
n
n
nS n
−
= −
−
− − ⋅ − ⋅【点睛】本题考查求数列通项公式和求数列和，解题关键是掌握常见数列求和的方法，考查了分析能力和
计算能力，属于中档题.
18.已知三棱柱 中， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【解析】
【分析】
（1）要证 平面 ，只需求证 ，结合已知，即可求得答案；
（2）以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量 和平面 的法向量 ，根据 ，即可求得答案.
【详解】（1） ,
.
在 中, ,
由余弦定理得 ,
,
( ) ( )
14 1 4
3 1 2 2 1 43
n
n
nS n
−
= −
−
− − ⋅ − ⋅
∴ 6 5
9
5
9 4n
n
nS
−+ ⋅=
1 1 1ABC A B C− 1 2 2 2AA AB AC= = = 90BAC∠ = ° 1 120BAA∠ = °
AB ⊥ 1AB C
1 1B C AA= 1 1AB C 1BCB
42
7
AB ⊥ 1AB C 1AB AB⊥
A AB x AC y 1AB z 1 1AB C
1n 1BCB 2n 1 2
1
2
2
1
cos , n nn n n n
⋅= ⋅
1 120BAA °∠ =
∴ 1 60ABB °∠ =
1ABB△ 1 11, 2AB BB AA= = =
2 2 2
1 1 1 12 cos 3AB AB BB AB BB ABB= + − ⋅ ⋅ ∠ =
∴ 2 2 2
1 1BB AB AB= +.
又 ,
,
又 ,
平面 .
（2）由（1） ，
又
在 中，可得
又
平面 ；
由（1）得 平面 ，
又
以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则
,
又
∴ 1AB AB⊥
90BAC °∠ =
∴ AC AB⊥
1AC AB A∩ =
∴ AB ⊥ 1AB C
1 3AB = 1AC =
1 1 2B C AA= =
1ABC ( ) ( ) ( )1
2 2
1
2ABAA AC= +
∴ 1AB AC⊥
1AB AB⊥
∴ 1AB ⊥ ABC
AB ⊥ 1AB C
90BAC∠ = °
∴ A AB x AC y 1AB z
( ) ( ) 1(00, ,00,0 , , 3),1,0, (0,1,0)0 , B CA B
1( , , )C x y z
1 1BB CC=
1 ( 1,0, 3)BB = −解得： ，故
设平面 法向量为
由 ，可得
故：
取 ，则
设平面 法向量为
由 ，可得
故：
取
可得：
平面 与平面 所成二面角的余弦值 .
【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角
∴ ( 1,0, 3) ( , 1, )x y z− = −
1
1
3
x
y
z
= −
=
=
1 ( 1,1, 3)C = −
∴ 111 (0,0, 3), ( 1,1, 3), ( 1,1,0), ( 1,0, 3)AB AC BC BB= = − = − = −
1 1AB C ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1
1 1
1
n AB
n AC
⊥ ⊥
1 1
1 1
0
0
n AB
n AC
⋅ = ⋅ =
1
1 1 1
3 0
3 0
z
x y z
=
− + + =
1 1y = 1 (1,1,0)n =
1BCB ( )2 2 2 2, ,n x y z=
2
2 1
n BC
n BB
⊥ ⊥
2
2 1
0
0
n BC
n BB
⋅ = ⋅ =
22
2 2
0
3 0
x y
x z
− + =− + =
2 1x =
2 2
31, 3y z= =
2
31,1, 3n
=
1 2
2
1 2
1
2cos ,
12 1 1 3
n nn n n n
⋅= =⋅ ⋅ + +
2 2
77 142 3 3
42= = =
∴ 1 1AB C 1BCB 42
7的解法，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
19.某公司为了提高利润，从 2012 年至 2018 年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的
数据如下表：
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
投资金额 （万
元）
4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5
年利润增长
（万元）
6.0 7.0 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1
（1）请用最小二乘法求出 关于 的回归直线方程（结果保留两位小数）；
（2）现从 2012—2018 年这 7 年中抽出三年进行调查，记 年利润增长－投资金额，设这三年中
（万元）的年份数为 ，求随机变量 的分布列与期望.
参考公式： ， .
参考数据： ， .
【答案】（1） .（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求出 ， ，根据公式求出 ，即可求得答案；
（2）由所给数据可得， 的可能取值为 1，2，3，求得 即可求得答案.
【详解】（1）
x
y
y x
λ = 2λ ≥
ξ ξ
( )( )
( )
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= −
7
1
359.6i i
i
x y
=
=∑ 7
2
1
259i
i
x
=
=∑
ˆ 1.57 1.13y x= −
x y ˆb
ξ ( 1) ( 2) ( 3)P P Pξ ξ ξ= = =， ，
4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5) 67x
+ + + + + += =
(6 7 7.4 8.1 8.9 9.6 11.1) 8.37y
+ + + + + += =，
，
故 关 的回归直线方程为： ，
（2）由表格可知， 年这 年中
年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
1.5 2 1.9 2.1 2.4 2.6 3.6
的可能取值为 1，2，3
可得：
1 2 3
【点睛】本题主要考查了求回归直线方程和随机变量的分布列与期望，解题关键是掌握回归直线的求法和
统计学基础知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
20.已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点到直线 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使
得 为正三角形，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） .（2）在 轴上是存在点 ，坐标为 ，
【解析】
∴
2
359.6 7 6 8.3ˆ 1.57259 7 6b
− × ×= ≈− ×
ˆ 8.3 1.57 6 1.13a = − × ≈ −
y x ˆ 1.57 1.13y x= −
2012 2018− 7
λ
ξ
2 1 1 2 3
2 5 2 5 5
3 3 3
7 7 7
1 4 2( 1) ( 2) ( 3)7 7 7
C C C C CP P PC C C
ξ ξ ξ= = = = = = = = =
ξ
P 1
7
4
7
2
7
∴ 1 4 2 15( ) 1 2 37 7 7 7E ξ = × + × + × =
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 6
3
22
2
ax = 2
2
C
( )2,0F − l C A B y M
MAB∆ M
2
2 13
x y+ = y M 20, 2
20, 2
−【分析】
（1）因为椭圆 ： 的离心率为 ，可得 ，右焦点到直线 的距
离为 ，故 ，即可求得答案；
（2）设线段 的中点 ，若 是正三角形， 且 ，结合已知，即
可求得答案.
【详解】（1） 椭圆 ： 的离心率为
，可得
故
右焦点到直线 的距离为 .
①当 时，将 代入
可得
整理可得：
即
解得： （舍去）或
由 ，可得 ，即
根据
可得：
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 6
3
6
3
c
a
=
22
2
ax =
2
2
22 2
2 2a c− =
AB ( )3 3,P x y ABM AB PM⊥ 3= 2PM AB
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 6
3
6
3
c
a
∴ =
2
2
2
3
c
a
=
2 23
2a c=
22
2
ax = 2
2
∴ 22 2
2 2a c− =
22 2
2 2a c− = 2 23
2a c=
22 3 2
2 2 2c c⋅ − =
23 2 4 2 2 0c c− − =
(3 2)( 2 2) 0c c+ − =
2
3c = − 2c =
2 23
2a c= 2 3a = 3a =
2 2 2a b c= +
1b =②当 时，将 代入
可得
整理可得：
方程无解
（2） 过点 作与坐标轴不垂直的直线
设直线 的方程为
联立直线 的方程和椭圆 方程可得： ，消掉
可得：
根据韦达定理可得：
设线段 的中点 ，
∴ 2
2 13
x y+ =
22 2
2 2a c− = − 2 23
2a c=
22 3 2
2 2 2c c⋅ − = −
23 2 4 2 2 0c c− + =
∆ < 0
∴
( )2,0F − l
l 2 ( 0)x my m= + ≠
l C 2
2
2
13
x my
x y
= +
+ =
x
2 2( 2 ) 3 3my y+ + =
( )2 23 2 2 1 0m y my+ + − =
1 2 2
1 2 2
2 2
3
1
3
my y m
y y m
+ = − +
= − +
( )22 2
1 2 1 2 1 21 1 4AB m y y m y y y y= + − = + + −
2
2
2 2
2 2 11 43 3
mm m m
= + ⋅ − − + +
( )
2 2
2
22
8 12 41
3
m mm
m
+ += + ⋅
+
( )2
2
2 3 1
3
m
m
+
= +
AB ( )3 3,P x y则 ，
是正三角形
且
根据 ，可得
由 可得：
可得： ，解得：
设 ，将其代入
可得
可得
故在 轴上是存在点 ，使得 为正三角形，坐标为 ，
【点睛】本题主要考查了求椭圆方程和椭圆中的三角形问题，解题关键是掌握圆锥基础知识和椭圆中三角
问题的解法，圆锥曲线与直线位置关系问题，要通过直线和圆锥曲线联立方程，通过韦达定理，建立起直
线斜率与目标直线的关系，考查了分析能力和计算能力,属于难题.
21.已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
（2）试问是否存在 ，使得 对 恒成立？若存在，求 的取值范
围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析；(2) 存在； 的取值范围为 .
【解析】
【分析】
3 2
2
3
my m
= − + 3 3 2
3 22 3x my m
= + = +
ABM
∴ AB PM⊥ 3= 2PM AB
AB PM⊥ 1AB PMk k⋅ = −
( )3 3p py y m x x− = − −∴
2 2
3 2
3 2| | 1 0 1 3PM m x m m
∴ = + ⋅ − = + ⋅ +
3= 2PM AB
( )2
2
2 2
3 2 3 13 21 3 3= 2
m
m m m
+
⋅ + +⋅+
∴ 2 1m = 1m = ±
( )0,M t ( )3 3p py y m x x− = − −
( )3 30t y m x− = − −
3 3 2
2 2 2
3 2
mt mx y m
= = ±++ =
y M MAB∆ 20, 2
20, 2
−
( ) ( ) ( )2 21 12ln 1 ln 24 2f x x x ax x x= − − − −
( )f x
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ a
a ( ]2,e（1） ， ，
所以 得 ，所以通过对 与 的大小关系进行分类讨论得 的单调性；
(2)假设存在满足题意的 的值，由题意需 ，所以由(1)的单调性求 即可；
又因为 对 恒成立，所以可以考虑从区间 内任取一个 值代入，解出
的取值范围，从而将 的范围缩小减少讨论.
【详解】解：（1） ， .
当 时， ， 在 上单调递增
当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
（2）假设存在 ，使得 对 恒成立.
则 ，即 ，
设 ，则存在 ，使得 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 时 即 .
又因为 对 恒成立时，需 ，
所以由（1）得：
当 时， 在 上单调递增，所以 ，
且 成立，从而 满足题意.
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以
( ) ( )( )ln ln ln 1f x x x a x a x x a x= − + − = − −′ ( )0,x∈ +∞
( ) 0f x′ = 1 2,x a x e= = a 0,e ( )f x
a ( )min
13 sin4 4
af x
π> + ( )minf x
( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ [ )1,+∞ x
a ( ],a e∈ −∞
( ) ( )( )ln ln ln 1f x x x a x a x x a x= − + − = − −′ ( )0,x∈ +∞
a e= ( ) ( )( )ln 1 0f x x e x′ = − − ≥ ( )f x ( )0, ∞+
0a ≤ 0x a− > ( )f x ( )0,e ( ),e +∞
0 a e< < ( )f x ( ),a e ( )0,a ( ),e +∞
a e> ( )f x ( ),e a ( )0,e ( ),a +∞
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞
( ) 3 11 2 3 sin4 4 4
af a
π= − > + 8 sin 15 04
aa
π− − >
( ) 8 sin 154
xg x x
π= − − ( ],x e∈ −∞ ( ) 0g x >
( ) 8 cos 04 4
xg x
π π=′ − > ( )g x ( ],x e∈ −∞
( )2 0g = ( ) 0g x > 2x > 2a >
( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ ( )min
13 sin4 4
af x
π> +
a e= ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( )min
3 31 =2 =24 4f x f a e= − −
3 12 3 sin4 4 4
ee
π− > + a e=
2 ea< < ( )f x ( ),a e [ )1,a ( ),e +∞
( )
( ) 2
11 3 sin ,4 4
13 sin ,4 4 4
af
e af e ea
π
π
> +
= − > +所以 （*）
设 ， ，则 在 上单调递增，
因为 ，
所以 零点小于 2，从而不等式组（*）的解集为 ，
所以 即
综上，存在 ，使得 对 恒成立，且 的取值范围为 .
【点睛】求可导函数 的单调区间的一般步骤是：
（1）求定义域；
（2）求 ；
（3）讨论 的零点是否存在；若 的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；
（4）判断 在每个区间内的正负号，得 的单调区间.
当 在区间 上恒成立时，需 .
请考生在第 22、23 题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清楚题
号.
选修 4-4：坐标系与参数方程选讲
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知 为锐角，直线 与曲线 的交点为 （异于极点）， 与曲线 的交点为 ，
若 ，求 的直角坐标方程.
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
的
.
2
2,
4 sin 12 04
a
aea e
π
> − − − >
( ) ( )24 sin 124 2xh x ex e x e
π= − − − < < ( ) 4 cos 04 4
xh x e
π π= −′ > ( )h x ( )2,e
( ) 22 8 13 0h e e= − − >
( )h x ( )2,+∞
2 x e< < 2 ea< <
( ],a e∈ −∞ ( ) 13 sin4 4
af x
π> + [ )1,x∈ +∞ a ( ]2,e
( )f x
( )f x′
( )f x′ ( )f x′
( )f x′ ( )f x
( )f x a> D ( )minf x a>
xOy C
2cos ,
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α x
M 2 sin 2 32 0 2
πρ θ θ = < 1a = ( ) 1f x ≤ − | 2 | | 1| 1x x+ − − ≤ −
( ) 3f x ≤ 1 1 1|| 2 | | || 2 2x a x x a x aa a a
+ − − ≤ + − + = +
( ) ( )12 0f x x a x aa
= + − − >
1a = ( ) 1f x ≤ −
| 2 | | 1| 1x x+ − − ≤ −
2x −≤ 2 (1 ) 1x x− − − − ≤ −
3 1− ≤ −
2 1x− < < 2 (1 ) 1,x x+ − − ≤ −
2 2x ≤ − 1x ≤ −
1x ≥ 2 ( 1) 1,x x+ − − ≤ −
3 1≤ −
( , 1]x∈ −∞ −
( ) 3f x ≤
∴ 1 1 1|| 2 | | || 2 2x a x x a x aa a a
+ − − ≤ + − + = +
1 1 12 | 2 | 2a x a x aa a a
∴− − ≤ + − − ≤ +
( ) 3f x ≤ 12 3a a
+ ≤
1 12 a≤ ≤
1 ,12a ∈
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