网考试题（文科数学）
一、选择题
1.若集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意得 ，选 D.
2.设 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求模即可．
详解：∵复数
．．
故选 A.
点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3.已知向量 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得 ,再由 求解即可.
【详解】由题, ,
{ }2| log 1M x x= < { }2| 1 0N x x= − ≤ M N =
{ }1 2x x≤ < { }| 1 2x x− ≤ < { }1 1x x− < ≤ { }| 0 1x x< ≤
(0,2), [ 1,1], (0,1]M N M N= = − ∩ =
31
iz i
= + i z =
2
2 2
1
2
( )
( ) ( )3
1 1 ,1 1 1 1 2
i ii i iz i i i i
⋅ + − += = = =+ − − ⋅ +
1 2 .2 2
iz
− +∴ = =
( )2,3AB = ( )1, 3BC t= − / /AB AC t =
3
2
9
2
7
3
11
3
AC / /AB AC
( )3,AC AB BC t= + = 因为 ,所以 ,则 ,
故选:B
【点睛】本题考查向量加法的坐标表示,考查已知向量平行求参数.
4.设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
借助 ,使 与 比较大小,即可得到结果.
【详解】由题, , , ,
所以 ,
故选:C
【点睛】本题考查指数、对数比较大小,考查指数函数、对数函数 单调性的应用.
5.执行如图所示的程序框图，则输出 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试 题 分 析 ： 第 一 次 循 环 ： , 第 二 次 循 环 ： ， 第 三 次 循 环 ：
的
/ /AB AC 2 3 3t = × 9
2t =
5log 6a = 0.3log 2b = 2c e−=
b a c> > b c a> > a c b> > a b c> >
0,1 , ,a b c 0,1
5 5log 6 log 5 1a = > = 0.3 0.3log 2 log 1 0b = < = 2 00 1c e e−< = < =
1 0a c b> > > >
S
3 3
2
0 3−
1
3 3,2 2a S= = 2
3 , 32a S= =, 第 四 次 循 环 ： , 第 五 次 循 环 ： , 第 六 次 循 环 ：
,第七次循环： ,第八次循环： ,此时 ，结束循环，
输出 ，选 A.
考点：循环结构流程图
6.设函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 的一个周期为
B. 的图形关于直线 对称
C. 的一个零点为
D. 在区间 上单调递减
【答案】D
【解析】
逐一考查所给的选项：
函数 的最小正周期为 ，则函数的周期为： ，取 可得函数的一个周
期为 ；
函数图象的对称轴满足： ，则： ，
令 可得函数 一条对称轴为 ；
函数的零点满足： ，则： ，
令 可得函数的一个零点为 ；
若 ，则 ，则函数在 上不具有单调性；
本题选择 D 选项.
7.已知等差数列 的前 项为 ， 且 ， ，则 ( )
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
的
3 0, 3a S= = 4
3 3,2 2a S= − = 5
3 , 02a S= − =
2 0, 0a S= =
2
3 3,2 2a S= = 8
3 , 32a S= = 9 8i = >
3S =
( ) sin 2 4f x x
π = +
( )f x 2π
( )f x 8x
π=
( )f x
8x
π= −
( )f x 0, 4
π
( )f x 2
2T
π π= = ( )*T k k Nπ= ∈ 2k =
2π
( )2 4 2x k k Z
π ππ+ = + ∈ ( )
2 8
kx k Z
ππ= + ∈
0k =
8x
π=
( )2 4x k k Z
π π+ = ∈ ( )
2 8
kx k Z
ππ= − ∈
0k =
8x
π= −
0, 4x
π ∈
32 ,4 4 4x
π π π + ∈ 0, 4
π
{ }na n nS 2 na
nb = 1 3 17b b+ = 2 4 68b b+ = 10S =【答案】A
【解析】
分析：
是等比数列，因此把两已知等式相除可化简.
详解：
设 公差为 ， ，∴ ，
， ， ，
∴ ，
故选 A.
点睛：
等差数列与等比数列之间通过函数的变换可以相互转化，如 是等差数列，则 是等比数列，
如 是等比数列且均为正，则 是等差数列.
8.已知直线 ， 与平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. ， 且 ，则 B. ， 且 ，则
C. ， 且 ，则 D. ， 且 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】
对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可列举反例从而说明不正确即可.
【详解】选项 ，由面面平行的性质定理知， 与 可能相交，故 不对;
选项 ， ， 且 ， 与 可能平行，故 不对;
选项 ，由面面垂直的性质定理知，必须有 ， 时， ，否则不成立，故 不对；
选项 ，由 且 ，得 或 ，又因 ，则 .故 正确.
故选： .
【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系,以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面
与平面之间的位置关系,属于基础题.
{ }nb
{ }na d
32 4 1
3 31 1
2 4
1 3
2 2 2 2 682 42 2 2 2 17
a da a a d
d
a aa a
b b
b b
+++ + += = = = =+ + + 2d =
31 1 1 2
1 3 2 2 2 2 17aa a a db b ++ = + = + = 12 1a = 1 0a =
10 1
10 9 10 910 2 902 2S a d
× ×= + = × =
{ }na { }naa
{ }na { }loga na
m n α β
m α n β α β∥ m n m α⊥ n β α β⊥ m n⊥
mα β = m n⊥ α β⊥ n α⊥ m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥
A m n A
B m α⊥ n β α β⊥ m n B
C m n⊥ n β⊂ n α⊥ C
D n β⊥ α β⊥ n ⊂ α n α m α⊥ m n⊥ D
D9.已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．
【详解】由题意 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除 C、D；
又 ，所以排除 B．
故选 A．
【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数
在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一．
10.中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，
次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚
痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )
A 24 里 B. 18 里 C. 12 里 D. 6 里
【答案】B
【解析】
根据题意,设此人每天所走的路程为 ,其首项为 ,即此人第一天走的路程为 ,又从第二天起每天走的
.
( ) 2f x x ln x= −
( ) ( )2 lnf x x x f x− = − =
( )f x y
( ) 21 1 ln1 1 0f = − = >
{ }na 1a 1a路 程 为 前 一 天 的 一 半 ，则 是 以 为 首 项, 为 公 比 的 等 比 数 列,又 ,解 得
,则 ,故选 B.
11.过球的一条半径的中点，作与该半径所在直线成 30°的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题画出图形可得 截面,则 ,利用 求得 ,再利用 求得 ,进
而求解即可.
【详解】由题画出图形,设球心为 ,则 为一条半径, 为 中点,过点 的平面与 所成角为 30°,截面
的圆心为 ,截面与球一交点为 ,则 , 截面,则 , ,
设 ,则 , ,
所以在 中, ,则 ,
所以所得截面的面积与球的表面积的比为 ,
故选:C
【点睛】本题考查球中的截面问题,考查球的表面积问题,考查线面夹角的应用,考查空间想象能力.
12.已知奇函数 是定义在 R 上的单调函数，若函数 恰有 个零点，则 的取值
{ }na 1a 1
2
1 6
6
11 2378 11 2
a
S
− = =
−
1 192a = 4 6 3 5 5
1 1 192 3192 192 182 2 2a a
×− = × − × = =
15
256
45
256
15
64
45
64
1OO ⊥ 1 30OBO∠ = ° 1Rt OBO 1OO 1Rt OCO 1CO
O OA B OA B OA
1O C 1 30OBO∠ = ° 1OO ⊥ 1 1OO BO⊥ 1 1OO CO⊥
OA OC r= = 1
2OB r= 1
1sin30 4OO OB r= ⋅ ° =
1Rt OO C 2 2 2
1 1CO CO OO= −
1
15
4CO r=
2
2
15
4 15
4 64
r
r
π
π
=
( )f x 2( ) ( ) ( 2 | |)g x f x f a x= + − 4 a范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
【详解】∵g（﹣x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）＝g（x），∴g（x）是偶函数，
若 g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）恰有 4 个零点，
等价于当 x＞0 时，g（x）有两个不同的零点，
∵f（x）是奇函数，∴由 g（x）＝f（x2）+f（a﹣2|x|）＝0，
得 f（x2）＝﹣f（a﹣2|x|）＝f（2|x|﹣a），
∵f（x）是单调函数，∴x2＝2|x|﹣a，即﹣a＝x2﹣2|x|，
当 x＞0 时，﹣a＝x2﹣2|x|=x2﹣2x 有两个根即可，
设 h（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
要使当 x＞0 时，﹣a＝x2﹣2|x|有两个根，
则﹣1＜﹣a＜0，即 0＜a＜1，
即实数 a 的取值范围是（0，1），
故选 D
【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题
13.已知函数 ，则曲线 在点 处切线的倾斜角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】
( 1)−∞， (1 )+ ∞， (0 1]， (0 1)，
( ) lnf x x x= ( )y f x= ex=
5
5 因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，且 ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线的倾斜角的余弦值为 .
14.设 ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
∵ 为奇函数，
∴
故答案为
15.若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】
当 时 ， 由 椭 圆 定 义 知 ， 解 得 ， 不 符 合 题 意 ， 当 时 ， 由 椭 圆 定 义 知
，解得 ，所以 ，故填 .
点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中 的取值，从而确定 c,计
算椭圆的离心率.
16.已知函数 ，有下列四个命题：
①函数 是奇函数；
②函数 在 是单调函数；
③当 时，函数 恒成立；
④当 时，函数 有一个零点，
其中正确的是____________
( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = + ( ) 2f e′ =
tan 2k α= = [0, )α π∈ 5cos 5
α =
( )y f x= x e= 5
5
( )2( ) ln 1f x x x= + + ( ) 3f a = ( )f a− =
3−
( ) ( )2ln 1f x x x= + + ( ) 3f a =
( ) ( ) 3f a f a− = − = −
3−
2 2
14
x y
m
+ = 3m −
5
3
4m < 3 4m − = 7m = 4m >
3 2m m− = 9m = 9 4 5
3 3
ce a
−= = = 5
3
2 2,a b
( ) 2 ln xf x x x
= −
( )f x
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
0x > ( ) 0f x >
0x < ( )f x【答案】③④
【解析】
【分析】
① 根 据 与 的 关 系 即 可 判 断 ； ② 当 时 , , 对 求 导 可 得
,设 ,显然 连续,利用零点存在性定理可得存
在 ,使得 ,即可判断 时 的单调性,进而判断②；由②可知当 时,
为 的最小值,判断 是否成立即可判断③；利用零点存在性定理即可判断④.
【详解】由题, 的定义域为 ,
① ,且 ,所以 不是奇函数,故①错误；
② ,当 时, ,
则 ,
令 ,则 , ,
所以存在 ,使得 ,
所以当 时, , 是单调减函数；
当 时, , 是单调增函数,
所以②错误；
③由②可知,当 时, 在 上有最小值,且 ,
( )f x− ( )f x 0x > ( ) 2 ln xf x x x
= − ( )f x
( ) 3
2 2
1 ln 2 1 ln2 x x xf x x x x
− − +′ = − = ( ) 32 1 lnh x x x= − + ( )h x
1
3
0
1 ,12x
∈
( )0 0h x = 0x > ( )f x 0x >
( )0f x ( )f x ( )0 0f x >
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
( ) ( )2 2ln lnx xf x x xx x
− = − − = +−
( ) ( ) 22 0f x f x x+ − = ≠ ( )f x
( ) ( )
2
2
ln , 0
ln , 0
xx xxf x xx xx
− >= − − ( ) 2 ln xf x x x
= −
( ) 3
2 2
1 ln 2 1 ln2 x x xf x x x x
− − +′ = − =
( ) 32 1 lnh x x x= − + ( )1 1 0h = >
1
31 1 1ln 02 3 2h
= ( )f x
0x x= ( )f x ( )0,+¥ 3
0 02 ln 1 0x x+ − =所以 ,
因为 ,
由 ,则 ,即 ,
所以 ,
所以当 时, 恒成立,故③正确；
④当 时, ,且 , ,
所以 在 内有一个零点,故④正确.
故答案为:③④
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理不等式恒成立
问题.
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图， 是边长为 2 的菱形， ， 平面 ， 平面 ，
.
（1）求证： ；
（2）求几何体 体积.
【答案】（1）详见解析；（2） .
的
20
0
0 0
ln 1 2x xx x
= −
( ) 2 2 2 20
0 0 0 0 0
0 0 0
ln 1 12 3xf x x x x xx x x
= − = − − = −
1
3
0
1 12 x <
0x > ( ) 0f x >
0x < ( ) ( )2 ln xf x x x
−= − ( )1 1 0f − = > 2
1 1 0f ee e
− = − > ( )0,1A
2ax c
= 3
3
E
A 1l 2l M N MN 30, 5P −
2
2 14
x y+ =
, ,a b c ,a b
1 2,l l ,M N MP NPk k= MN.
【详解】（1）由题意知， ， ， ，
解得 ， ， ．
所以椭圆的标准方程为 ．
（2）证明：显然直线 的斜率存在．
设直线 的方程为 ，联立方程组
得 ，
解得 ， ，
所以 ， ．
由 垂直，可得直线 的方程为 .
用 替换前式中的 ，可得 ， .
则 ，
，
所以 ，
故直线 恒过定点 ．
【点睛】本题考查椭圆的综合问题.求椭圆方程的方法一般是解关于 的方程组，是简单题.
要证明过两点的直线恒过第三点，相当于证明三点共线，可由用任意两点求得的斜率相等来证.
21.已知函数 ， ， .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
P
2 3
3
a cc
− = 1b = 2 2 2a b c= +
2a = 1b = 3c =
2
2 14
x y+ =
1 2,l l
1l 1y kx= + 2
2
1,
1,4
y kx
x y
= + + =
2 2(4 1) 8 0k x kx+ + =
1 2
8
4 1
kx k
= − + 2 0x =
2
8
4 1M
kx k
= − +
2
2
1 4
4 1M
ky k
−= +
1 2,l l 2l 1 1y xk
= − +
1
k
− k 2
8
4N
kx k
= +
2
2
4
4N
ky k
−= +
2 2
22
2
1 4 3 8 8
14 1 5 5 5
8 8 5
4 1
MP
k k
kkk k k k
k
− + − + −+= = =−− +
2 2
22
2
4 3 8 8
14 5 5 5
8 8 5
4
NP
k k
kkk k k k
k
− + − −+= = =
+
MP NPk k=
MN 3(0, )5P −
,a b
( ) 2x xx ef x= + − ( ) 2g x x ax b= + + ,a b∈R
( )y f x= ( )( )0, 0f（2）若 恒成立，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先对 求导,再求得 ,即为切线斜率,进而可求得切线方程；
（2）设 ,求导可得 ,通过讨论 的范围,问题转化为
恒成立,得到 ,令 , ,根
据函数的单调性求出 的最大值即可.
【详解】解:（1）因为 ,所以 ,
又 ,所以该切线方程为
（2）设 ,则 恒成立,
易得 ,
（i）当 时, ,此时 在 上单调递增,
①若 ,则当 时满足 恒成立,
此时 ；
②若 ,取 且 ，
此时 ,所以 不恒成立,不满足条件.
（ii）当 时,
令 ,得 ,
当 时, ；当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
要使 恒成立,必须有当 时,
恒成立,
所以 ,
( ) ( )f x g x≥ +a b
1y = 1e −
( )f x ( )0f ′
( ) ( ) ( ) ( )1xh x f x g x e a x b= − = − + − ( ) ( )1xh x e a′ = − + a
( ) ( ) ( )1 1 ln 1b a a a≤ + − + + ( ) ( ) ( )2 1 1 ln 1 1a b a a a+ ≤ + − + + − ( ) 2 ln 1G x x x x= − − 0x >
+a b
( ) e 2 1xf x x′ = + − ( )0 0f ′ =
( )0 1f = 1y =
( ) ( ) ( ) ( )1xh x f x g x e a x b= − = − + − ( ) 0h x ≥
( ) ( )1xh x e a′ = − +
1 0a + ≤ ( ) 0h x′ > ( )h x R
1 0a + = 0b ≤ ( ) 0h x ≥
1a b+ ≤ −
1 0a + < 0 0x < 0
1
1
bx a
−< +
( ) ( ) ( )0
0 0
11 1 1 01
x bh x e a x b a ba
−= − + − < − + − =+
( ) 0h x ≥
1 0a + >
( ) 0h x′ = ( )ln 1x a= +
( ) 0h x′ > ( )ln 1x a> + ( ) 0h x′ < ( )ln 1x a< +
( )h x ( )( ),ln 1a−∞ + ( )( )ln 1 ,a + +∞
( ) ( )1 0xh x e a x b= − + − ≥ ( )ln 1x a= +
( )( ) ( ) ( ) ( )ln 1 1 1 ln 1 0h a a a a b+ = + − + + − ≥
( ) ( ) ( )1 1 ln 1b a a a≤ + − + +故 ,
令 , ,则 ,
令 ,得 ,
当 时,得 ；当 时,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 的值最大, ,
从而,当 , 时, 的值最大为 ,
综上, 的最大值为
【点睛】本题考查求在某点处的切线方程,考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查分类讨论思想,考查运
算能力.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题
号．
22.已知直线 的极坐标方程是 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 轴的正半轴，建
立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程是 ,（ 为参数）.
（1）求直线 被曲线 C 截得的弦长；
（2）从极点作曲线 C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求得直线 和曲线 的直角坐标方程，利用弦长 求得弦长.（2）根据曲线 的参数方程，
求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程.
【详解】（1）由题意可知,直线 l 的直角坐标系方程是 ,
曲线 C 的普通方程是 ,
则圆心 C 到直线 l 的距离 ,
( ) ( ) ( )2 1 1 ln 1 1a b a a a+ ≤ + − + + −
( ) 2 ln 1G x x x x= − − 0x > ( ) 1 lnG x x′ = −
( ) 0G x′ = x e=
( ) 0G x′ > 0 x e< < ( ) 0G x′ < x e>
( )G x ( )0,e ( ),e +∞
x e= ( )G x ( )max 1G x e= −
1a b e∴ + ≤ −
1a e= − 0b = +a b 1e −
+a b 1e −
l πsin( ) 03
ρ θ − = x
2cos
2 2sin
x
y
α
α
=
= +
α
l
2 3 2sin ( 0)ρ θ ρ= ≠
l C 2 22 r d= − C
3y x=
2 2( 2) 4x y+ − =
2 1
3 1
d = =
+故所求的弦长是
（2）从极点作曲线 C 的弦,弦的中点的轨迹 的参数方程为 ,（ 为参数）,
且 ,其普通方程为 ,
极坐标方程为 ,化简得 .
【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长
计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.
23.已知函数 ，记 的最小值为 .
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若正实数 ， 满足 ，求证： .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定 m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
【详解】（Ⅰ）①当 时， ，即 ，
∴ ；
②当 时， ，
∴ ；
③当 时， ，即 ，
∴ .
综上所述，原不等式的解集为 .
（Ⅱ）∵ ，
当且仅当 时，等号成立.
∴ 的最小值 .
22 2 1 2 3− =
'C
cos
1 sin
x
y
α
α
=
= +
α
3π 3π[0, ) ( ,2π)2 2
α ∈ ∪ 2 2( 1) 1( 0)x y y+ − = ≠
2 2 sin 0ρ ρ θ− = 2sin ( 0)ρ θ ρ= ≠
( ) 1 2f x x x= − + + ( )f x m
( ) 5f x ≤
a b 1 1 5a b
+ =
2 2
2 3 2ma b
+ ≥
{ | 3 2}− ≤ ≤x x
1x > ( ) ( 1) ( 2) 2 1 5f x x x x= − + + = + ≤ 2x ≤
1 2x< ≤
2 1x− ≤ ≤ ( ) (1 ) ( 2) 3 5f x x x= − + + = ≤
2 1x− ≤ ≤
2x < − ( ) (1 ) ( 2) 2 1 5f x x x x= − − + = − − ≤ 3x ≥ −
3 2x− ≤ < −
{ | 3 2}− ≤ ≤x x
( ) 1 2 ( 1) ( 2) 3f x x x x x= − + + ≥ − − + =
2 1x− ≤ ≤
( )f x 3m =∴ ，
即 ，
当且仅当 即 时，等号成立.
又 ，∴ ， 时，等号成立.
∴ .
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最值的方法等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2 2 2 22 3 1 1[( ) ( ) ][( ) ( ) ]
2 3a b
+ + 22 1 3 1( ) 5
2 3a b
≥ × + × =
2 2
2 3 6a b
+ ≥
2 1 3 1
3 2a b
× = × 3 2a b=
1 1 5a b
+ = 5
3a = 5
2b =
2 2
2 3 2ma b
+ ≥
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