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2019 学年下学期高二年级第一次月考
数学试卷
命题人 陈景文 成元兵 审题人 程煌
（考试时间 2020.3.15 下午 2:30-4:30）
第Ⅰ卷
一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.若复数 z＝(x2＋2x－3)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为( )
A． 3 B． 1 C． －3 D． 1 或－3
2.在复平面内，复数 z＝ 1−i
1+2i对应的点在( )
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3.某人从甲地去乙地共走了 500m，途中要过一条宽为 x m 的河流，他不小心把一件物品丢
在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能找到的概
率为 ，则河宽为( )
A． 100 m B． 80 m C． 50 m D． 40 m
4.下列事件中，随机事件的个数是( )
①2020 年 8 月 18 日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在 4℃时结冰；
③从标有 1,2,3,4 的 4 张号签中任取一张，恰为 1 号签；
④若 x∈R，则 x2≥0.
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )
A． 抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B． 同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C． 从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D． 甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
6.若“A＋B”发生(A，B 中至少有一个发生)的概率为 0.6，则 ， 同时发生的概率为( )
A． 0.6 B． 0.36 C． 0.24 D． 0.4
7.把黑、红、白 3 张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不可能事件 D．必然事件 2
8.5 名学生和 2 名老师排成一排照相，2 名老师不在两边且不相邻的概率为( )
A．1
7 B．2
7 C．4
7 D．5
7
9.七巧板是古代中国劳动人民的发明，到了明代基本定型．清陆以湉在《冷庐杂识》中写
道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方
形内任取一点，则该点取自图中阴影部分的概率是（ ）
A. 1
16 B. 1
8 C. 3
8 D. 3
16
10.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球，则与事件“两球都为白球”互
斥而非对立的事件是以下事件：
“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的( )
A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③
11.某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙
不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A． 36 种 B． 42 种 C． 48 种 D． 54 种
12.已知函数 ln 1 0xf x x aa ，若 yfx 与 yffx 的值域相同，则 a
的取值范围是（ ）
A. 3
10, e
B. 2
10, e
C. 0,1 D. 1, e
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. “a＝1”是“复数 a2－1＋(a＋1)i(a R，i 为虚数单位)为纯虚数”的____条件．(填“充分不必
要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
14. 在抛掷一颗骰子的试验中，事件 A 表示“不大于 4 的偶数点出现”，事件 B 表示“小于 5
的点出现”，则事件 AU 发生的概率为________.( 表示 B 的对立事件) 3
15. 在“心连心”活动中，5 名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访，每个村子至
少安排 1 名党员参加，且 A，B 两名党员必须在同一个村子的不同分配方法的种数为
________．（用数字作答）
16. 已知函数 2 1()()fxxaxxe e 与 () xg x e 的图象上存在关于直线 yx 对称的
点，则实数 a 的取值范围是
三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）某种产品的广告费支出 x 与销售额 y (单位：万元）具有较强的相关性，且两
者之间有如下对应数据:
2 4 5 6 8
28 36 52 56 78
（1）求 关于 的线性回归方程 ˆˆ ˆy bx a；
（2）根据（1）中的线性回归方程，当广告费支出为 10 万元时，预测销售额是多少？
参考数据：
5
2
1
145i
i
x
，
5
2
1
14004i
i
y
，
5
1
1420ii
i
xy
。
附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
11
2 22
11
ˆ
nn
iii iii
nn
iiii
xxyyx ynxy
b
xxxnx
， ˆˆaybx .
4
18. （12 分）为了解小学生的体能情况，现抽取某小学六年级 100 名学生进行跳绳测试，
观察记录孩子们 1 分钟内的跳绳个数，将所得的数据整理后画出频率分布直方图，跳绳个
数的数值落在区间[55,65) ，[65,75) ，[75,85]内的频率之比为 4 : 2 : 1 .（计算结果保留小
数点后面 3 位）
（Ⅰ）求这些学生跳绳个数的数值落在区间 内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间 [4 5 ,7 5 ) 内抽取一个容量为 6 的样本，将该样本看
成一个总体，从中任意选取 2 个学生，求这 2 个学生跳绳个数的数值都在区间
[4 5 ,6 5 ) 内的概率.
19. （12 分）已知圆 C：x2+y2=16．
（1）若连续抛掷两次骰子，记向上的点数分别为 m，n，则点（m，n）在圆 C 内的概率是
多少？
（2）若 m，n 是任意两个实数，且 m∈[﹣5，5]，n∈[﹣4，4]，则点（m，n）在圆 C 内的
概率是多少？
5
20.（12 分）如图，在四棱锥 P A B C D 中，底面 A B C D 是平行四边形，
2,22,32,ABACADPBPBAC .
（1）求证：平面 PAB 平面 PAC ；
（2）若 45PBA ，试判断棱 PA 上是否存在与点 ,PA不重合的点 E ，使得直线 CE 与
平面 PBC 所成角的正弦值为 3
3
，若存在，求出 AE
AP
的值；若不存在，请说明理由.
21. （12 分）为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上
所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p(万件)与促销费用
x(万元)满足 p＝3－ 2
푥+1(其中 0≤x≤a，a 为正常数).已知生产该产品还需投入成本 10＋2p
万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为(4＋20
푝 )元/件，假定厂家的生产能力完全能满足
市场的销售需求.
(1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.
22. （12 分）已知函数 2 2xf x e sinx ax a e ,其中 2.71828...aRe， 为自
然对数的底数.
(1)当 0a 时，讨论函数 fx的单调性;
(2)当 1 12 a≤ ≤ 时，求证:对任意的 0, , 0x f x .
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