2020 届高三年级 3 月线上调研
文科数学试题
全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰。
3．考试结束后，5 分钟内将答题卡拍照上传到考试群中。
第 I 卷 选择题（共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。)
1.设全集 是实数集 ，已知集合 ， ，则
（ ）
A. B. C. D.
2.设 为虚数单位，若复数 的实部与虚部互为相反数，则 （ ）
A. B.
C. D.
3.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A. B. C.
D.
4.已知 为坐标原点，平面向量 ， ， ，且
（ 为实数）.当 时，点 的坐标是（ ）
A. B. C.
D.
5.已知偶函数 满足 ，且当 时， ，则
U R { }2 2A x x x= ( )2{ | log 1 0}B x x= − ≤
( )UC A B∩ =
{ |1 2}x x< < { |1 2}x x≤ < { |1 2}x x< ≤
{ |1 2}x x≤ ≤
i ( )
1 2
az i a Ri
= + ∈− a =
5
3
− 1
3
−
1− 5−
52log 2a = 1.12b =
0.81
2c
− =
a b c
c b a< < b c a< <
a b c< < a c b< <
O ( )1 3OA = ， ( )3 5OB = ， ( )1 2OP = ，
OC kOP= k · 2CACB = − C
( )2 4− −， ( )2 4，
( )1 2− −， ( )3 6，
( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = + [ ]0,1x∈ ( ) 1f x x= − +关于 的方程 在 上实根的个数是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9
D. 10
6.已知数列 为等比数列，若 ，则数列 的前 项之积 等于（ ）
A. B.
C. D.
7.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何
体的体积为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11
D. 12
8.执行如图的程序框图，那么输出 的值是( )
A. -1 B.
C. 2 D. 1
9.已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且 的坐标为 ，则
的最小值是（ ）
x ( ) ( )lg 1f x x= + [ ]0,9x∈
{ }na 5 2a = { }na 9 9T
512 256
128 64
S
1
2
F 2 4x y= P A ( )0, 1−
PF
PAA. B. C. D.
10.函数 在 的图像大致为（ ）
11.若函数 与 的图象有一条相同的对称轴，则称这两个函数互为同轴函
数.下列四个函数中，与 互为同轴函数的是（ ）
A. B. C.
D.
12. 已 知 函 数 ， 若 存 在 实 数 满 足 时 ，
成立，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C.
D.
第 II 卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.欧阳修《卖油翁）中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌
漓沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，
若铜钱是直径为 4 cm 的圆，中间有边长为 l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一
滴油（设油滴整体落在铜钱上）．则油滴（设油滴是直径为 0．2 cm 的球）正好落
入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是_________．
1
4
1
2
2
2
3
2
siny x x= ⋅ [ ],π π−
( )f x ( )g x
( ) 21
2f x x x= −
( ) ( )cos 2 1g x x= − ( ) sing x xπ= ( ) tang x x=
( ) cosg x xπ=
( ) 22ln 3f x x ax= − + [ ], 1,5m n∈ 2n m− ≥
( ) ( )f m f n= a
ln5 ln3
8
− ln3
4
ln5 ln3
8
+ ln4
314.若 满足约束条件 则 的最小值为__________．
15.已知 ，在函数 与 的图象的交点中，相邻两个交点的横
坐标之差的绝对值为 2，则 __________.
16.已知棱长为 的正方体 中， ， ， 分别是线段 、
、 的中点，又 、 分别在线段 、 上，且 ．
设平面 ∩平面 ，现有下列结论：
① ∥平面 ；
② ⊥ ；
③直线 与平面 不垂直；
④当 变化时， 不是定直线．
其中成立的结论是________．(写出所有成立结论的序号)
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。)
（一）必考题：60 分。
17. （本题满分 12 分）在△ 中，角 的对边分别为 ，已知
.
,x y
0,
{ 2 0,
0,
x y
x y
y
− ≥
+ − ≤
≥
3 4z x y= −
0ω > siny xω= cosy xω=
ω =
1 1 1 1 1ABCD A B C D− E F M AB
AD 1AA P Q 1 1A B 1 1A D 1 1 (0 1)A P A Q x x= = < <
MEF MPQ l=
l ABCD
l AC
l 1 1BCC B
x l
ABC , ,A B C , ,a b c
14 sin 3 sin .tan 2 2
Ac B a C= =（1）求 ；
（2）设 为 边上一点，且 ，若△ 的面积为 24，求线段 的
长.
18. （本题满分 12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对
比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频
率分布直方图如下：
（1） 记 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg”，估计 的概率；
（2）填写下面联表，并根据列联表判断是否有 ％的把握认为箱产量与养殖方法
有关：
箱产量 箱产量
旧养殖法
新养殖法
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
sinB
D AB 3BD AD= ABC CD
A A
99
50kg< 50kg≥
( )2P K k≥
k19. （本题满分 12 分）已知三棱锥 中， ， 为
的中点， 为 的中点，且 为正三角形.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
20. （本题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 ， ， 分别为椭圆
的右顶点、上顶点和右焦点，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知直线 ： 被圆 ： 所截得的弦长为 ，若直线
与椭圆 交于 ， 两点，求 面积的最大值．
21. （本题满分 12 分）已知函数 的图象过点 .
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若函数 有 3 个零点，求 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按
所做的第一题计分。
22. （本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数），在以
原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 的 极 坐 标 方 程 为
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
A BPC− ,AP PC AC BC⊥ ⊥ M AB
D PB PMB∆
BC ⊥ APC
3 10BC AB= =， B DCM
C 3
2
A B F
31 2ABFS∆ = −
C
l y kx m= + O 2 2 4x y+ = 2 3 l
C M N MON∆
( ) 3 2 26 4
a af x x x ax= − − − 104, 3A
( )f x
( ) ( ) 2 3g x f x m= − + m
xOy C
3{ x cos
y sin
α
α
=
=
α
x l.
（1）求 的普通方程和 的倾斜角；
（2）设点 和 交于 两点，求 .
23. （本题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知不等式 的解集为
（Ⅰ）求集合 ；
（Ⅱ）若整数 ，正数 满足 ，证明：
sin 24
πρ θ − =
C l
( )0,2 ,P l C ,A B PA PB+
2 1 1 2x x− + − < .M
M
m M∈ , ,a b c 4 2a b c m+ + = 1 1 1 8.a b c
+ + ≥参考答案
1.C 2.A 3.D 4.B 5.C 6.A 7.C
8.C 9.C 10.C 11.D 12.B
13. 14.-1 15.
16.①②③
17.（1） .(2)
解（1）∵ ，∴ ，
∵
∵ ，∴ .
(2)∵ ，∴ 为锐角，
又
∴ ，则△ 的面积为
∴ 又
∴
18.（1） ，（2）有 99％的把握认为箱产量与养殖方法有关，（3）新养殖法
优于旧养殖法.
解：（1） 旧养殖法的箱产量低于 的频率为
因此，事件 的概率估计值为
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
2
π
3sin 5B = 97 .2CD =
4 sin 3 sinc B a C= 4sin sin 3sin sinC B A C=
3sin 0, sin sin4C B A> ∴ =
1tan 2 2
A = 2
1 4 4 3tan , sin , sin3 5 511 2
A A B= = ∴ = ∴ =
−
sin sinB A< B 4cos 5B =
( )4 3tan , cos , sin sin sin cos cos sin 13 5A A C A B A B A B= ∴ = ∴ = + = + =
2C
π= ABC 1 sin 424, 48, .2 sin 3
a Aab ab b B
= ∴ = = =
8, 6, 10,a b c= = = 1 53 , 4 2BD AD AD AB= ∴ = =
2 2 2 25 97 972 cos 36 18 , .4 4 2CD AD AC AD AC A CD= + + ⋅ = + − = ∴ =
0.62由于 ，故有 ％的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在
到 之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 到 之间，且新
养殖法的箱产量分布程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为
新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
19.解：（1）证明：如图，∵ 为正三角形，且 为 的中点，
∴ .
又∵ 为 的中点， 为 的中点，
∴ ,∴ .
又已知 ,
∴ 平面 ,∴ .
又∵ ,
∴ 平面 .
（2）解：法一：记点 到平面 的距离为 ，则有
∵ ∴ ，
又 ,∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
PMB∆ D PB
MD PB⊥
M AB D PB
/ /MD AP AP PB⊥
AP PC⊥
AP ⊥ PBC AP BC⊥
,AC BC AC AP A⊥ ∩ =
BC ⊥ APC
B MDC h M BCD B MDCV V− −=
10AB = 5MB PB= =
3BC BC PC= ⊥， 4PC =
1 1 32 4BDC PBCS S PC BC∆ ∆= = ⋅ = 5 3
2MD = 1 5 3
3 2M BCD BDCV MD S− ∆= ⋅ =在 中， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
即点 到平面 的距离为 .
法二：∵平面 平面 且交线为 ，过 作 ，则 平面
， 的长为点 到平面 的距离；
∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴
.
又 ，
∴ ，
∴ ，即点 到平面 的距离为 .
20.（1） （2）当 ，即 时， 面积取到最大值 1．
解
（1）由题意，椭圆 的焦点在 轴上，设椭圆标准方程为 ，
则 ，所以 ，即 ，可得 ，
，
∴ ，∴ ， ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由题意知，圆心 到直线 的距离为 1，即 ，所以 ．
PBC∆ 1 5
2 2CD PB= = MD DC⊥
1 25 32 8MDCS MD DC∆ = ⋅ =
1 1 25 5 333 3 8 2B MDC MDCV h S h− ∆= ⋅ = ⋅ = 12
5h =
B MDC 12
5
DCM ⊥ PBC DC B BH DC⊥ BH ⊥
DCM BH B DCM
10AB = 5MB PB= = 3,BC BC PC= ⊥ 4PC =
1 1 32 4BDC PBCS S PC BC∆ ∆= = ⋅ =
1 5
2 2CD PB= =
1 5 32 4BCDS CD BH BH∆ = ⋅ = =
12
5BH = B MDC 12
5
2
2 14
x y+ = 3t = 2
2k = ± MON
C x
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2 2
2
2 2
3
4
c a be a a
−= = = 2 24a b= 2a b= 3c b=
( )1 1 312 2 2ABFS AF OB a c b∆ = ⋅ = − = −
( ) 21 3 32 3 1 12 2 2b b b b
− = − = −
1b = 2a =
C
2
2 14
x y+ =
O l 2
1
1
m
k
=
+
2 21m k= +由 消去 ，得 ，
∴ ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所 以
，
所以 的面积为 ，
令 ，
则 ，
所以当 ，即 时， 面积取到最大值 1．
21.(1) 函数 的递增区间是 ， (2)
解：
（1）因为函数 的图象过点 .
所以 ，解得 ，
即 ，所以 .
由 ，得 或 .
所以函数 的递增区间是 ， .
2
2 1,{ 4
,
x y
y kx m
+ =
= +
y ( ) ( )2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m+ + + − =
( )2 2 216 4 1 48 0k m k∆ = − + = > 0k ≠
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 2
8
1 4
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
1 4
mx x k
−= +
( )22
1 21MN k x x= + ⋅ − ( )22
1 2 1 21 4k x x x x= + ⋅ + −
2 2
2
2 2
8 4 41 41 4 1 4
km mk k k
− = + ⋅ − − ⋅ + +
2 2
2
2
4 4 11 4 1
k mk k
− += + ⋅ +
( )2 2
2
2 2
4 3 14 31 4 1 4 1
k kkk k k
+
= + ⋅ =+ +
MON∆ MONS∆
( )2 2
2
2 3 11 12 4 1
k k
MN k
+
= × = +
24 1 1t k= + >
2
2
1 13 1 3 1 1 44 42 2 3 9
t t
S t t
− − × × + = = − − +
3t = 2
2k = ± MON
( )f x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ 7 13,6 12
−
( ) 3 2 26 4
a af x x x ax= − − − 104, 3A
32 104 4 23 3
a a a− − − = 2a =
( ) 3 21 1 2 23 2f x x x x= − − − ( ) 2 2f x x x′ = − −
( ) 0f x′ > 1x < − 2x >
( )f x ( ), 1−∞ − ( )2,+∞（2）由（1）知 ，
同理， ，
由数形结合思想，要使函数 有三个零点，
则 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
22.（1） 的普通方程为 ，直线 的斜率角为 ；（2） .
解：
（1）由 消去参数 ，得
即 的普通方程为
由 ，得 ①
将 代入①得
所以直线 的斜率角为 .
（2）由（1）知，点 在直线 上，可设直线 的参数方程为
( 为参数)
即 ( 为参数)，
代入 并化简得
( ) ( )max
1 11 3 2f x f= − = − − 52 2 6
+ − = −
( ) ( )min
82 23f x f= = − 164 2 3
− − = −
( ) ( ) 2 3g x f x m= − +
16 52 33 6m− < − < − 7 13
6 12m− < <
m 7 13,6 12
−
C
2
2 19
x y+ = l 4
π 18 2
5
3{ x cos
y sin
α
α
=
=
α 2
2 19
x y+ =
C
2
2 19
x y+ =
sin 24
πρ θ − = sin cos 2ρ θ ρ θ− =
{ x cos
y sin
ρ θ
ρ θ
=
= 2y x= +
l 4
π
( )0,2P l l 4{
2 4
x tcos
y tsin
π
π
=
= +
t
2
2{
22 2
x t
y t
=
= +
t
2
2 19
x y+ = 25 18 2 27 0t t+ + =设 两点对应的参数分别为 .
则 ，所以
所以 .
23.(1) （2）
解 ： （ 1 ） ① 当 时 ， 原 不 等 式 等 价 于 ， 解 得 ， 所 以
；
②当 时，原不等式等价于 ，解得 ，所以 ；
③当 时，原不等式等价于 ，解得 ，所以
综上， ，即
（2）因为 ，整数 ,所以
所以
当且仅当 时，等号成立，
所以
( )2
18 2 4 5 27 108 0∆ = − × × = >
,A B 1 2,t t
1 2 1 2
18 2 270, 05 5t t t t+ = − = 1 20, 0t t< <
1 2
18 2
5PA PB t t+ = + =
4|0 3M x x = < 10 .2x< <
40 3x< < 4|0 3M x x = <
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