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几何综合(三角形四边形)
学生姓名:
一、知识梳理
二、教学重、难点
三、作业完成情况
四、典题探究
例 1 如图,点 C 在线段 AB 上,△DAC 和△DBE 都是等边三角形.
(1) 求证:△DAB≌△DCE;
(2) 求证:DA∥EC.
例 2 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,AC⊥AB,AB=2,且 AC︰BD=2︰3.
(1) 求 AC 的长;
(2) 求△AOD 的面积.
例 3 已知:如图,OP 平分∠MON,点 A、B 分别在 OP、ON 上,且 OA=OB,点 C、D 分天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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别在 OM、OP 上,且∠CAP=∠DBN.求证:AC=BD.
例 4 如图,在四边形 ABCD 中,∠D=90°,∠B=60°,AD=6,AB=10 3
3
,AB⊥AC,在 CD 上选取
一点 E,连接 AE,将△ADE 沿 AE 翻折,使点 D 落在 AC 上的点 F 处.
求(1)CD 的长;
(2)DE 的长.
五、演练方阵
A 档(巩固专练)
3 已知:如图,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E. 求证:BC=ED.
1
2天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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4 如图,已知菱形 ABCD,AB=AC,E、F 分别是 BC、AD 的中点,连接 AE、CF
(1)证明:四边形 AECF 是矩形;
(2)若 AB=8,求菱形的面积。
5 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,点 D 是 BC 的中点,作∠EAB=∠BAD,AE 边交 CB 的延长
线于点 E,延长 AD 到点 F,使 AF=AE,连结 CF.
求证:BE=CF.
6 如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上,连接 DE 交 AB 于点 F,
∠AED=2∠CED,点 G 是 DF 的中点.
(1)求证:∠CED=∠DAG;
(2)若 BE=1,AG=4,求sin AEB 的值.
7.如图,点 C、B、E 在同一条直线上, AB∥DE∠ACB=∠CDE,AC=CD.
求证:AB=CD .
8 一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,
∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长.
D
E
D
C
B
A天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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9 如图,在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,分别过点 C、B 作射线 AD 的垂线段,垂足分别
为 E、F.求证:BF=CE.
10 将一副三角板如图拼接:含 30°角的三角板(△ABC)的长直角边与含 45°角的三角板
(△ACD)的斜边恰好重合.已知 AB=2 3 ,P 是 AC 上的一个动点,连接 DP.
(1)当点 P 运动到∠ABC 的平分线上时,求 DP 的长;
(2)当点 P 在运动过程中出现 PD=BC 时,求此时∠PDA 的度数;
B 档(提升精练)
1 如图,在△ABC 中,AD⊥AB,AD =AB,AE⊥AC,AE = AC.
求证:BE=CD.
2 已知:如图,在□ABCD 中,∠BAD,∠ADC 的平分线 AE,DF 分别与线段 BC 相交于点 E,F,
AE 与 DF 相交于点 G.
(1)求证:AE⊥DF;
(2)若 AD=10,AB=6,AE=4,求 DF 的长.
3 已知:如图,AB=AC,点 D、E 分别在 AB、AC 上,且使 AE=AD.求证:∠B=∠C.
4 如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC= 3 ,△DCE 是等边三角形,DE 交 AB 于点 F,求△BEF
D
A
C
B
E
C
A D B天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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的周长.
5 已知:如图,点 A、E、B 在同一条直线上,AC∥DB,AB=BD,AC=BE.
求证:BC=DE.
6.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=∠ADC=120º,AB=AD,E 是 BC 的中点,DE=15,DC=24,
求四边形 ABCD 的周长.
7.已知:如图,在△ABC 中,AD 是中线,分别过点 B、C 作 AD 及其延长线的垂线 BE、CF,
垂足分别为点 E、F.求证:BE=CF.
8.如图,四边形 ABCD 中,AB = AD,∠BAD=90°,∠CBD=30°,∠BCD=45°,
若 AB= 22 .求四边形 ABCD 的高.
9 已知:如图,过正方形 ABCD 的顶点 B 作直线 BE 平行于对角线 AC,AE=AC(E,C 均在 AB
的同侧).
A D
F
E
B C
A
B
C
D
E
D
C
E
A
B
A
B C
D
E
F
D BC
A天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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求证:∠CAE=2∠BAE .
10.已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,延长 AB 到点 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E,连结 CD 和
CE.
求证: CD=2CE .
C 档(跨越导练)
1 已知:如图,E、F 为 BC 上的点,BF=CE,点 A、D 分别在 BC 的两侧,且 AE∥DF,AE=DF.
求证:AB∥CD.
2 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD = 4,∠B=105º,E 是 BC 边的中点,∠BAE=30º,将△ABE
沿 AE 翻折,点 B 落在点 F 处,连接 FC,求四边形 ABCF 的周长.
3 已知:如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AC=2AB,点 D 是 AC 的中点,以 AD 为斜边在△
ABC 外作等腰直角三角形 AED,连结 BE、EC.试猜想线段 BE 和 EC 的数量关系及位置关系,
并证明你的猜想.
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
A
B C
D
E天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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4 如图,将□ABCD 的边 DC 延长到点 E,使 CE=DC,连接 AE,
交 BC 于点 F.若AFC=2D,连结 AC、BE.求证:四边形
ABEC 是矩形.
5 已知:如图,点 E,F 分别为□ABCD 的边 BC,AD 上的点,且 1 2 . 求证:AE=CF.
6 已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 ME⊥
CD 于点 E.
(1)求证:AM=2CM;
(2)若 1 2 , 2 3CD ,求 ME 的值.
7 已知:如图,点 C、D 在线段 AB 上,E、F 在 AB 同侧,DE 与 CF 相交于点 O,且 AC=BD,AE=BF,
A B .求证:DE=CF.
8 如图,四边形 ABCD中,AB∥CD,AB=13,CD=4,点
E 在边 AB 上,DE∥ BC .若 CBCE ,且 3tan B ,
求四边形 ABCD的面积.
F
E
D
C
B
A
A C D B
E F
O天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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9 已知:如图, B C E, , 三点在同一条直线上, AC DE∥ , AC CE , B D .
求证: ABC CDE△ ≌△ .
10.如图,四边形 ABCD 中,CD= 2 , 90BCD , 60B , 30,45 CADACB ,
求 AB 的长.
六、成长足迹
七、课后检测
演练方阵统计
独立完成题号( )部分掌握题号( )有待提高题号( )
A
D
B C E
D
A
B C天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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三角形四边形答案
四、典题探究
例 1:证明:(1)如图 1.
∵△DAC 和△DBE 都是等边三角形,
∴DA=DC,DB=DE,
∠ADC=∠BDE=60º .
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,
即∠ADB=∠CDE.
在△DAB 和△DCE 中,
,
,
,
DEDB
CDEADB
DCDA
∴ △DAB≌△DCE.
(2)∵△DAB≌△DCE,
∴ ∠A=∠DCE=60° .
∵∠ADC=60°,
∴ ∠DCE =∠ADC.
∴DA∥EC.
例 2:解:(1)如图 2.
∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,
∴OA= 12AC,OB= 12BD .
∵AC︰BD=2︰3,
∴OA︰OB=2︰3 .
设 OA=2x (x >0),则 OB=3x.
∵AC⊥AB,
∴∠BAC =90°.
在 Rt△OAB 中,OA2+AB2=OB2.
∵AB=2,
∴(2x)2+22=(3x)2 .
解得 x=±55(舍负).
∴AC=2OA= 55.
图 1
图 2天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(2)∵平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,
∴OB=OD.
∴S△AOD= S△AOB= 12 AO·AB = 12×55×2= 55.
例 3:证明:∵OP 平分∠MON,
∴∠COA=∠DOB.
∵∠CAP=∠DBN,
∴ CAO DBO .
∵OA=OB,
∴ COA ≌ DOB .
∴AC=BD.
例 4:解:(1)∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°.
∵∠B=60°,AB=10 3
3
,
∴AC=10.
∵∠D=90°,AD=6,
∴CD=8.
(2)由题意,得∠AFE=∠D=90°,AF=AD=6, EF=DE.
∴∠EFC=90°,
∴FC=4.
设 DE=x,则 EF=x,CE=8-x.
在 Rt△EFC 中,由勾股定理,得 2 2 24 (8 )x x .
解得 x=3.
所以 DE=3.
五、演练方阵
A 档(巩固专练)
1 证明: AB ∥ EC ,
∴ .A DCE ………………………1 分
在△ ABC 和△CDE 中,
,
,
,
B EDC
A DCE
AC CE
∴△ ABC ≌△CDE .………………………4 分
∴ .BC DE ………………………5 分
2 解:过点 A 作 AF ⊥ BD 于 F .天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵∠CDB =90°,∠1=30°,
∴∠2=∠3=60°. ………………………1 分
在△ AFB 中,∠ AFB =90°.
∵∠4=45°, 6AB ,
∴ AF = BF = 3 .………………………2 分
在△ AFE 中,∠AFE=90°.
∴ 1, 2EF AE .………………………3 分
在△ ABD 中,∠ DAB =90°.
∴ 2 3DB .
∴ 3 1DE DB BF EF .………………………4 分
∴ 1 1 3 3( 3 1) 32 2 2ADES DE AF
3
4(1)四边形 ABCD 是菱形
AB BC
又 AB AC
E 是 BC 的中点
AE BC ……………………………….1 分
01 90
E、F 分别是 AD、BC 的中点
1 1 , EC= BC2 2AF AD
菱形 AECF AD∥BC
AF∥EC
四边形 AECF 是平行四边形………………2 分
又 01 90
四边形 AECF 是矩形………………………3 分
(2)在 Rt ABE 中
2 28 4 4 3AE
=8 4 3=32 3s 菱形
5 证明:∵ AB=AC,点 D 是 BC 的中点,
∴ ∠CAD=∠BAD.
16. 1 2
1 2 , .......................2
........................................................................4
....................................
BAD BAD BAC EAD
AB AE B E
ABC AED
BC ED
即 分
又 ,
分
............................................5分天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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又∵ ∠EAB=∠BAD,
∴ ∠CAD=∠EAB.
在△ACF 和△ABE 中,
,
,
,
AC AB
CAF BAE
AF AE
∴ △ACF≌△ABE.
∴ BE=CF.
6 解:(1)证明:∵ 矩形 ABCD,
∴ AD∥BC.
∴ ∠CED =∠ADE.
又∵点 G 是 DF 的中点,
∴ AG=DG.
∴ ∠DAG =∠ADE.
∴ ∠CED =∠DAG.
(2) ∵ ∠AED=2∠CED,∠AGE=2∠DAG,
∴ ∠AED=∠AGE.
∴ AE=AG.
∵ AG=4,
∴ AE=4.
在 Rt△AEB 中,由勾股定理可求 AB= 15 .
∴ 15sin 4
ABAEB AE
.
7 证明:∵AB∥DE
∴∠ABC=∠E
∵∠ACB=∠CDE,AC=CD
∴△ABC≌△CED
∴AB=CD
8 解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M.
在△ACB 中,∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10 3 ,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵AB∥CF,∴∠BCM=30°.
∴ 1sin30 10 3 5 32BM BC
3cos30 10 3 152CM BC -------4 分
在△EFD 中,∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴ 5 3MD BM .
∴ 15 5 3CD CM MD .
9 证明:∵CE⊥AF,FB⊥AF
∴∠DEC =∠DFB=90°
又∵AD 为 BC 边上的中线
∴BD=CD
又∵∠EDC =∠FDB
∴△BFD≌△CED
∴BF=CE
10 解:(1)在 Rt△ABC 中,AB=2 3 ,∠BAC=30°
∴BC= 3 ,AC=3.
如图(1),作 DF⊥AC
∵Rt△ACD 中,AD=CD
∴DF=AF=CF=
2
3
∵BP 平分∠ABC
∴∠PBC=30°
∴CP=BC·tan30°=1
∴PF=
2
1
∴DP= 22 DFPF =
2
10 .天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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(2)当 P 点位置如图(2)所示时,根据(1)中结论,DF=
2
3 ,∠ADF=45°
又 PD=BC= 3
∴cos∠PDF=
PD
DF =
2
3
∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
当 P 点位置如图(3)所示时,同(2)可得∠PDF=30°.
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°
B 档(提升精练)
1 证明:∵AD⊥AB,AE⊥AC,
∴∠DAB=∠EAC=90°.
∴∠DAB+∠1=∠EAC+∠1.
即∠DAC=∠EAB .
又∵AD=AB,AE=AC,
∴△DAC≌△EAB (SAS).
∴CD = BE.
2(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AB∥DC .
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AE、DF 分别平分∠BAD、∠ADC,
∴ 1 11 , 2
2 2
BAD ADC .
∴ 11 2 ( ) 90
2
BAD ADC .
∴∠AGD=90°.
∴AE⊥DF .
(2)由(1)知:AD∥BC,且 BC= AD= 10,DC =AB=6,∠1=∠3,∠2=∠4 .
∴∠1=∠AEB,∠2=∠DFC.
∴∠3=∠AEB,∠4=∠DFC.
∴BE=AB=6,CF=DC=6.
∴BF=4.
∴EF=2.
∵AD∥BC,
∴△EFG∽△ADG.
∴ 1
5
EG EF
AG AD
.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴ 1
4 5
EG
EG
.
∴EG= 2
3
.
∴AG=10
3
.
由(1)知∠FGE=∠AGD=90°,
由勾股定理,得 DG= 20 2
3
,FG= 4 2
3
.
∴DF=8 2 .
3 证明:在△ABE 和△ACD 中
∵
.
AB AC
A A
AE AD
,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS).
∴ B C .
4解:∵矩形ABCD,△DCE是等边三角形,
∴ 30ADF ECB o , 3ED EC ,
在 Rt△ ADF 中, 90A o , 3AD ,
∴tan AFADF AD
,
tan 330 33
AF o ,
∴ 1AF ,
∴ 3 1 2FB AB AF , 2FD ,
∴ 3 2 1EF ED DF ,
过点 E 作 EG CB ,交 CB 的延长线于点 G.
在 Rt△ ECG 中, 90EGC o , 3EC , 30ECG o ,
∴ 1 3
2 2EG EC ,cos GCECG EC
,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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cos 330 3 2
GC o ,
∴ 3 32GC ,
∴ 3 13 3 32 2GB GC BC ,
由勾股定理得, 2 2 2EB EG GB ,
∴ 3EB (舍去负值)
∴△BEF 的周长= 3 3EF FB EB . .
5 证明:∵AC∥DB,
∴∠BAC =∠DBA.
在△BAC 与△DBE 中,
,
,
,
AB BD
BAC DBA
AC BE
∴△BAC≌△DBE.
∴BC=DE.
6 解:如图,过点 A 作 AF⊥BD 于 F.
∵∠BAD=120°,AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.
∵∠ADC=120°, ∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=120 30 =90°.
在 Rt△BDC 中,∠BDC=90°,DE=15,E 是 BC 的中点,DC=24,
∴BC=2DE=30.
∴ 2 2 2 230 24 18BD BC DC .
∵AD=AB,AF⊥BD,∴ 1 1 18 92 2DF BD .
在 Rt△AFD 中,∵∠AFD=90°,∠ADB=30°,
∴ 39 6 3cos cos30 2
DF DFAD AB ADB
.
∴四边形 ABCD 的周长=AB+AD+DC+BC 6 3 6 3 24 30 54 12 3
7 证明:∵在△ABC 中,AD 是中线,
∴BD=CD,-------------- 1 分
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90° ,
在△BED 与△CFD 中,
∠BED=∠CFD,
A
B
C
D
E
F
B
A
E
C
D天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∠BDE=∠CDF,-
BD=CD,
∴△BED≌△CFD,
∴BE=CF.
8 解:过点 C 作 CE∥DB,交 AB 的延长线于点 E.
∴∠ACE=∠COD=60°.
又∵DC∥AB, ∴四边形 DCEB 为平行四边形.
∴BD=CE,BE = DC =3,AE=AB+BE=8+3=11.
又∵DC∥AB,AD=BC,
∴DB=AC =CE.
∴△ACE 为等边三角形.
∴AC=AE=11, ∠CAB=60°.
过点 C 作 CH⊥AE 于点 H.在 Rt△ACH 中, CH=AC·sin∠CAB=11×
2
3 =11 3
2
.
∴梯形 ABCD 的高为11 3
2
.
9 证明:过 A 作 AG⊥BE 于 G,连结 BD 交 AC 于点 O,
∴ AGBO 是正方形.
∴ AG=AO=
2
1 AC =
2
1 AE
∴ ∠AEG=30°.
∵ BE∥AC,
∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º.
∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º .
∴ ∠CAE = 2∠BAE .
10 证明:
∵ E 是 AB 中点,可设:AE = BE = x
∵ AB = AC,BD = AB,则有 AC = 2x,AD = 4x
∴ 1
2
AE AC
AC AD
又∵ ∠A = ∠A,
∴ △AEC∽△ACD
∴
2
1
CD
CE
∴ CD = 2 CE.
E
D
C
B
A
G O
F
E
D
C
B
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C 档(跨越导练)
1 证明:∵AE∥DF,
∴ ∠ AEB = ∠
DFC. ………………………………………………………………1 分
∵BF=CE,
∴BF+EF=CE+EF.
即 BE=CF. ………………………………………………………………………2 分
在△ABE 和△DCF 中,
AE DF
AEB DFC
BE CF
ì =ïïïïÐ = Ðíïï =ïïî
∴△ABE≌△DCF. … ……………………………………………………………3 分
∴∠B=∠C. ………………………………………………………………………4 分
∴AB∥CD. … …………
2 解:作 BG⊥AE,垂足为点 G,
∴∠BGA=∠BGE=90º.
在平行四边形 ABCD 中,AD = 4,
∵E 是 BC 边的中点,
∴ 1 1 2.2 2BE EC BC AD ……………………………………………………1 分
∵∠BAE=30º,∠ABC=105º,
∴∠BEG=45º.
由已知得△ABE≌△AFE.
∴AB=AF,BE=FE,∠BEF=90º.
在 Rt△BGE 中,
BG=GE= 2.……… ………………………………………………………………2 分
在 Rt△ABG 中,
∴AB=AF= 2 2.………………………………………………………………………3 分
在 Rt△ECF 中,
2 2 2 2.FC EF EC ………………………………………………… ……4 分
∴四边形 ABCF 的周长 4 6 2. ……………………………………………………5 分
3 答: BE=EC,BE⊥EC .………………………………………1 分
证明:∵AC=2AB,点 D 是 AC 的中点
∴AB=AD=CD
∵∠EAD=∠EDA=45°
∴∠EAB=∠EDC=135°
∵EA=ED
∴△EAB≌△EDC…………………………………………3 分
∴∠AEB=∠DEC,EB=EC………………………………4 分
∴∠BEC=∠AED=90° ………………………………5 分
∴BE=EC,BE⊥EC
A
B C
D
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4 证明:
解法:∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AB=CD=EC ,AB∥EC,
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形.……………………1 分
∴ AF=EF, BF=CF. ………………………2 分
∵ ∠ABC=∠D,∠AFC=2∠D,
∴∠AFC=2∠D=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,
∴∠ABF=∠BAF.
∴FA=FB. ………………………………………3 分
∴FA=FE=FB=FC,
∴AE=BC. ………………………………………4 分
∴□ABEC 是矩形.………………………………………5 分
5
6 解:(1)∵四边形 ABCD 是菱形.
∴BC//AD.
∴△ ∽△CFM ADM .
∴ CF CM
AD AM
.
∵F 为边 BC 的中点,
∴ 1 1
2 2CF BC AD .
∴ 1
2
CF CM
AD AM
.
∴ 2AM MC .
(2)∵AB//DC,
∴ 1= 4 .
∵ 1= 2 ,
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
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∴ 2= 4 .
∵ME⊥CD,
∴ 1
2CE CD .
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴ 3= 4 .
∵F 为边 BC 的中点,
∴ 1
2CF BC .
CF CE .
在
△
CMF 和
△
CME 中,
3= 4 ,CF=CE,CM 为公共边,
∴△CMF≌△CME.
∴ = 90CFM CEM .
∵ 2= 3 4 ,
∴ 2= 3 4 30 .
∴ 3
3
ME
CE
.
∵ 2 2 3CD CE ,∴ 3CE .
∴ 1ME .
7 证明:∵ AC=BD,
∴ AD=BC.
∵ A B ,AE=BF
∴ △ADE≌△BCF.
∴ DE=CF.
8 解:过点 C 作 ABCF 于点 F .
∵AB∥CD,DE∥ BC
∴四边形 BCDE 为平行四边形
∴BE=CD
∵CD=4 ,∴BE=4.
∵ CBCE , BECF
∴BF=2天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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在 Rt△BCF 中, 3tan B , 2BF
∴ 6CF .
∴四边形 ABCD 的面积= 6)94(2
1 =39
9 证明:∵AC∥DE,
∴∠ACB=∠E.-------------- 1 分
在△ABC 和△CDE 中,
∠ACB=∠E,
∠B=∠D, -------------- 4 分
AC=CE,
∴△ABC≌△CDE.-------------- 5 分
10 解:过点 D 作 DE⊥AC 于 E,过点 A 作 AF⊥BC 于 F.
∵∠ACB=45°,∠BCD=90°,
∴∠ACD=45°.
∵CD= 2 ,∴DE=EC=1.
∵∠CAD=30°,
∴AE= 3 .
∴AC= 3 1 .
∴FA=FC= 3 1 6 2
22
∵∠ABF=60°,
∴ 6 2 2 3 2 6
sin 60 2 33
AFAB
.
D
A
B CF
E