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代几综合题(以代数为主的综合)
知识梳理
教学重、难点
作业完成情况
典题探究
例 1 已知抛物线 与 y 轴交于点 A(0,3),与 x 轴分别交于 B(1,0)、
C(5,0)两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点 D 为线段 OA 的一个三等分点, 求直线 DC 的解析式;
(3)若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发,先到达 x 轴上的某点(设为点 E),再到达
抛物线的对称轴上某点(设为点 F),最后运动到点 A,求使点 P 运动的总路径
最短的点 E、点 F 的坐标,并求出这个最短总路径的长.
例 2 在平面直角坐标系 中,抛物线 经过 两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为 ,将直线 沿 轴向下平移两个单位得到直线,直线与抛物线的对
称轴交于 点,求直线的解析式;
(3)在(2)的条件下,求到直线 距离相等的点的坐标.
cbxaxy ++= 2
xOy 2 2 3y mx mx n= + + ( 3 5) (0 2)P A,, ,
B AB y
C
OB OC BC, ,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B
的左侧),与 y 轴交于点 C,点 B 的坐标为(3,0),将直线 沿 y 轴向上平移
3 个单位长度后恰好经过 B、C 两点.
(1) 求直线 BC 及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为 D,点 P 在抛物线的对称轴上,且∠APD =∠ ACB,求点 P
的坐标;
(3)连结 CD,求∠OCA 与∠OCD 两角和的度数.
例 4 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 与 x 轴的交点
分别为原点 O 和点 A,点 B(2,n)在这条抛物线上.
(1) 求点 B 的坐标;
(2) 点 P 在线段 OA 上,从 O 点出发向点运动,过 P 点作 x 轴的垂线,与直线 OB 交于点
E。延长 PE 到点 D。使得 ED=PE. 以 PD 为斜边在 PD 右侧作等腰直角三角形 PCD(当 P 点运
动时,C 点、D 点也随之运动)
当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长;
若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一点 Q
从 A 点出发向 O 点作匀速运动,速度为每秒 2 个单位(当 Q 点到达 O 点时停止运动,P 点也同
时停止运动)。过 Q 点作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F。延长 QF 到点 M,使得 FM=QF,
以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN(当 Q 点运动时,M 点,N 点也随之运
动)。若 P 点运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上,求
此刻 t 的值.
2y x bx c= + +
y kx=
234
5
4
1 22 +−++−−= mmxmxmy天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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演练方阵
A 档(巩固专练)
1.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y=ax2+bx+4 与 x 轴交于点 A(-2,0)、
B(6,0),与 y 轴交于点 C,直线 CD∥x 轴,且与抛物线交于点 D,P 是抛物线上一动
点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点 P 作 PQ⊥CD 于点 Q,将△CPQ 绕点 C 顺时针旋转,旋转角为α(0º﹤α﹤90
º),当 cosα= ,且旋转后点 P 的对应点 恰好落在 x 轴上时,求点 P 的坐标.
2.已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 是菱形,顶点 A.C.D 均在坐标
轴上,且 AB=5,sinB= .
(1)求过 A.C.D 三点的抛物线的解析式;
(2)记直线 AB 的解析式为 y1=mx+n,(1)中抛物线的解析式为 y2=ax2+bx+c,求当 y1<
y2 时,自变量 x 的取值范围;
(3)设直线 AB 与(1)中抛物线的另一个交点为 E,P 点为抛物线上 A、E 两点之间的一个动
点,当 P 点在何处时,△PAE 的面积最大?并求出面积的最大值.
x
y
O 1
1
3
5 'P
4
5天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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3 . 已 知 抛 物 线 的 最 低 点 A 的 纵 坐 标 是 3 , 直 线
经过点 A,与 y 轴交于点 B,与 x 轴交于点 C.
(1)求抛物线与直线 AB 的解析式.
(2)将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°,与 x 轴交于点 D,与 y 轴交于点 E,求 sin∠BDE 的
值.
(3)过 B 点作 x 轴的平行线 BG,点 M 在直线 BG 上,且到抛物线的对称轴的距离为 6,设点 N
在直线 BG 上,请你直接写出使得∠AMB+∠ANB=450 的点 N 的坐标.
4.如图,把△OAB 放置于平面直角坐标系 xOy 中, , ,把△OAB
沿 轴的负方向平移 2OA 的长度后得到△DCE.
(1)若过原点的抛物线 经过点 B、E,求此抛物线的解析式;
(2)若点 在该抛物线上移动,当点 P 在第一象限内时,过点 作 轴于点 ,连
结 .若以 、 、 为顶点的三角形与以 B、C、E 为顶点的三角形相似,直接写出
点 的坐标;
(3)若点 M(-4,n) 在该抛物线上,平移抛物线,记平移后点 M 的对应点为 M′,点 B 的
对应点为 B′.
当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形 M′B′CD 的周长最短?若存
在,求出此时抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
5.在平面直角坐标系 xOy 中,点 的坐标是 ,过点 作直线垂直 轴,点 是直线上
异于点 的一点,且 .过点 作直线的垂线 ,点 在直线 上,且在直线的下方,
.设点 的坐标为 .
(1) 判断△ 的形状,并加以证明;
(2) 直接写出 与 的函数关系式(不要求写自变量的取值范围);
(3) 延长 交(2)中所求函数的图象于点 .求证: .
( ) ( ) 22 -43-2-3 mmxmxmy ++=
bmxy +=
x
P P xPQ ⊥ Q
O P O P Q
P
A 0,2( ) A y B
A ∠OBA = α B m C m
∠OCB = 2α C x,y( )
OBC
y x
CO D CD = CO⋅ DO
90OAB∠ = ° 32, 2OA AB= =
2 +y ax bx c= +
AO x
B
CD
y
E天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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B 档(提升精练)
1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1,OC=4,
抛物线 经过 A,B 两点,抛物线的顶点为 D.
(1)b= ,c= ;
(2)点 E 是 Rt△ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外),过点 E 作 x 轴的垂线
交抛物线于点 F,当线段 EF 的长度最大时,求点 E 的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点 P,使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三
角形? 若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
2.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知矩形 ABCD 的两个顶点 B、C 的坐标分别是 B(1,
0)、C(3,0).直线 AC 与 y 轴交于点 G(0,6).动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB
向点 B 运动.同时动点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向点 D 运动.点 P、Q 的运动速度均
为每秒 1 个单位,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E.
(1)求直线 AC 的解析式;
(2)当 t 为何值时,△CQE 的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点 P、Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点
H,使得以 C、Q、E、H 为顶点的四边形是菱形?
2y x bx c= + +
备用图天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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3.如图,二次函数 的图象与 y 轴交于点 N,其顶点 M 在直线 上运
动,O 为坐标原点.
(1)当 m=-2 时,求点 N 的坐标;
(2)当△MON 为直角三角形时,求 m、n 的值;
(3)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-4,2),B(-4,-3),C(-2,2),当抛
物线 在对称轴左侧的部分与△ABC 的三边有公共点时,求 m 的取值范围.
4.如图,已知半径为 1 的 与 轴交于 两点, 为 的切线,切点为 ,圆心
的坐标为 ,二次函数 的图象经过 两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求切线 的函数解析式;
(3)线段 上是否存在一点 ,使得以 为顶点的三角形与 相似.若存在,
请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由.
P
Q
E
y
x
A
B
D
O C
G
A BO1
y
x
M
O
21
2y x mx n= − + + 3
2y x= −
21
2y x mx n= − + +
1O x A B, OM 1O M
1O (2 0), 2y x bx c= − + + A B,
OM
OM P P O A, , 1OO M△
P天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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5.如图,二次函数 y=ax2+2ax+4 的图象与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,∠CBO 的正
切值是 2.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)动直线 l 从与直线 AC 重合的位置出发,绕点 A 顺时针旋转,与直线 AB 重合时终止运
动,直线 l 与 BC 交于点 D,P 是线段 AD 的中点.
①直接写出点 P 所经过的路线长.
②点 D 与 B、C 不重合时,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E、作 DF⊥AB 于点 F,连接 PE、
PF,在旋转过程中,∠EPF 的大小是否发生变化?若不变,求∠EPF 的度数;若变化,
请说明理由.
③在②的条件下,连接 EF,求 EF 的最小值.
6.小明同学在研究某条抛物线 的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平
面直角坐标系的原点 ,两直角边与该抛物线交于 、 两点,请你帮小明解答以下问题:
(1)若测得 (如图 1),求 的值;
(2)对同一条抛物线,小明将三角板绕点 旋转到如图 2 所示位置时,过 作
轴于点 ,测得 ,写出此时点 的坐标,并求点 的横坐标;
(3)对该抛物线,小明将三角板绕点 旋转任意角度时惊奇地发现,交点 、 所连的线段
总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.
C 档(跨越导练)
1. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 与 轴交于 A,B 两点(点 Ax
y
xBA
C
O
2 ( 0)y ax a= <
O A B
2 2OA OB= = a
O B BF x⊥
F 1OF = B A
O A B
2 22 9y x mx m= − + −天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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在点 B 的左侧,且 OA<OB),与 y 轴的交点坐标为(0,-5).点 M 是线段 AB 上的任
意一点,过点 M(a,0)作直线 MC⊥x 轴,交抛物线于点 C,记点 C 关于抛物线对称轴的
对称点为 D(C,D 不重合),点 P 是线段 MC 上一点,连结 CD,BD,PD.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)当 时,问点 P 在什么位置时,能使得 PD⊥BD;
(3)若点 P 满足 ,作 PE⊥PD 交 x 轴于点 E,问是否存在这样的点 E,使得
PE=PD,若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由.
2. 在平面直角坐标系 中,抛物线 的顶点为 .
(2)求点 的坐标(用含 的代数式表示);
(3)直线 与抛物线交于 、 两点,点 在抛物线的对称轴左侧.
①若 为直线 上一动点,求△ 的面积;
②抛物线的对称轴与直线 交于点 ,作点 关于直线 的对称点 . 以 为圆心,
为半径的圆上存在一点 ,使得 的值最小,则这个最小值为 .
3.已知二次函数 ( )的图象经过点 , , ,直线
( )与 轴交于点 D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线 ( )上有一点 (点 在第四象限),使得 为顶点的三
角形与以 为顶点的三角形相似,求 点坐标(用含 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点 ,使得四边形 为平行四边形?
若存在,请求出 的值及四边形 的面积;若不存在,请说明理由.
4.如图,经过原点的抛物线 与 轴的另一个交点为 A.过点 作
2y ax bx c= + + 0a ≠ (10)A , (2 0)B , (0 2)C −,
x m= 2m > x
x m= 2m > E E E D B、 、
A O C、 、 E m
F ABEF
m ABEF
1a =
1
4MP MC=
xOy 2 22y x mx m m= − + + C
C m
2y x= + A B A
P OC APB
AB M B MC 'B M
MC Q 2' 2QB QB+
2 2 ( 0)y x mx m= − + > x (1, )P m天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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直线 轴于点 M,交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C(B、C 不重
合).连结 CB,CP。
(1)当 时,求点 A 的坐标及 BC 的长;
(2)当 时,连结 CA,问 为何值时 ?
(3)过点 P 作 且 ,问是否存在 ,使得点 E 落在坐标轴上?若存在,
求出所有满足要求的 的值,并定出相对应的点 E 坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,已知平面直角坐标系 xOy,抛物线 y=-x2+bx+c 过点 A(4,0)、B(1,3) .
(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线 l,设抛物线上的点 P(m,n)在第四象限,点 P 关于直线 l
的对称点为 E,点 E 关于 y 轴的对称点为 F,若四边形 OAPF 的面积为 20,求 m、n 的
值.
6.如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: 与 轴、 轴分别交于点 A 和点
B(0,-1),抛物线 经过点 B,且与直线 l 的另一个交点为 C(4,n).
(1) 求 的值和抛物线的解析式;
(2) 点 D 在抛物线上,且点 D 的横坐标为 t(0< t m CA CP⊥
PE PC⊥ PE PC= m
m
x
y
第24题图
M
CB
A
o
P
3
4y x m= + x y
21
2y x bx c= + +
n天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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直接写出点 A1 的横坐标.
7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A ,B(6,0),C
,延长 AC 到点 D,使 CD= AC,过 D 点作 DE∥AB 交 BC 的延长线于点 E.
(1)求 D 点的坐标;
(2)作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF,若过 B 点的直线 将四
边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设 G 为 y 轴上一点,点 P 从直线 与 y 轴的交点出发,先沿 y 轴到达 G 点,
再沿 GA 到达 A 点.若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍,试确定 G
点的位置,使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短.
(要求:简述确定 G 点位置的方法,但不要求证明)
成长足迹
( 6,0)−
(0,4 3) 1
2
y kx b= +
y kx b= +天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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课后检测
垂直于弦的直径答案
典题探究
例 1.
例 2.
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例 3.
例 4.
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演练方阵
A 档(巩固专练)
1. 解:连接 OC,
∵CD⊥AB,CD=8,
∴PC=CD=×8=4,
在 Rt△OCP 中,
∵PC=4,OP=3,
∴OC= = =5.
故选 C.
2. 解:连接 AC,AO,
∵⊙O 的直径 CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当 C 点位置如图 1 所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴OM= = =3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴AC= = =4 cm;
当 C 点位置如图 2 所示时,同理可得 OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5﹣3=2cm,
在 Rt△AMC 中,AC= = =2 cm.
故选 C.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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3. 解:根据甲的思路,作出图形如下:
连接 OB,
∵BC 垂直平分 OD,
∴E 为 OD 的中点,且 OD⊥BC,
∴OE=DE=OD,又 OB=OD,
在 Rt△OBE 中,OE=OB,
∴∠OBE=30°,又∠OEB=90°,
∴∠BOE=60°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
又∠BOE 为△AOB 的外角,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°,
同理∠C=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠C,
∴△ABC 为等边三角形,
故甲作法正确;
根据乙的思路,作图如下:
连接 OB,BD,
∵OD=BD,OD=OB,
∴OD=BD=OB,
∴△BOD 为等边三角形,
∴∠OBD=∠BOD=60°,
又 BC 垂直平分 OD,∴OM=DM,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴BM 为∠OBD 的平分线,
∴∠OBM=∠DBM=30°,
又 OA=OB,且∠BOD 为△AOB 的外角,
∴∠BAO=∠ABO=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,
同理∠ACB=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,
∴△ABC 为等边三角形,
故乙作法正确,
故选 A
4. 解:根据垂线段最短知,当 OM⊥AB 时,OM 有最小值,
此时,由垂径定理知,点 M 是 AB 的中点,
连接 OA,AM=AB=4,
由勾股定理知,OM=3.
故选 B.
5. 解:∵⊙O 的直径 AB⊥弦 CD,
∴CE=DE.
故选 B.
6. 解:如图:①以 AB 为底边,
过点 O 作弦 AB 的垂线分别交⊙O 于点 P1、P2,
∴AP1=BP1,AP2=BP2,
故点 P1、P2 即为所求.
②以 AB 为腰,
分别以点 A、点 B 为圆心,以 AB 长为半径画弧,交⊙O 于点 P3、P4,
故点 P3、P4 即为所求.
共 4 个点.
故选 D.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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7. 解:作 OD⊥AB 于 D,连接 OA.
根据题意得 OD=OA=1cm,
再根据勾股定理得:AD= cm,
根据垂径定理得 AB=2 cm.
故选 C.
8. 解:由垂径定理知,OC 垂直平分 AB,即 OC 与 AB 互相垂直平分,所以四边形 OACB
是菱形.
故选 C.
9. 解:AB=8cm,AC=6cm,
∴AD=4,AE=3,
∵四边形 OEAD 是矩形,
∴OA=5.
故选 B.
10. 解:若是圆心则 C 中最长的弦与最短的弦是同一条,所以只有 C 正确.
故选 C.
B 档(提升精练)
11. 解:作 OG⊥EF,连接 OD,
∴G 为 CD 中点,又 CD=8cm,
则 DG=CD=4cm.
又 AB=10cm,
∴OD=AB=5cm,
所以 OG= =3cm.
根据梯形中位线定理,得 A、B 两点到直线 CD 的距离之和为 3×2=6(cm).天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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故选 D.
12. 解:AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 垂足为 E,则 AB 是垂直于弦 CD 的直径,就满
足垂径定理.
因而 CE=DE, ,∠BAC=∠BAD 都是正确的.
根据条件可以得到 AB 是 CD 的垂直平分线,因而 AC=AD.所以 D 是错误的.
故选 D.
13. 解:如图,延长 ME 交⊙O 于 G,
∵E、F 为 AB 的三等分点,∠MEB=∠NFB=60°,
∴FN=EG,
过点 O 作 OH⊥MG 于 H,连接 MO,
∵⊙O 的直径 AB=6,
∴OE=OA﹣AE=×6﹣×6=3﹣2=1,
OM=×6=3,
∵∠MEB=60°,
∴OH=OE•sin60°=1× = ,
在 Rt△MOH 中,MH= = = ,
根据垂径定理,MG=2MH=2× = ,
即 EM+FN= .
故答案为: .
14. 解:过 O 点作 OH⊥EF 于 H,连 OF,如图
则 EH=FH,
在 Rt△AOH 中,AO=AD+OD=3+5=8,∠A=30°,
则 OH=OA=4,
在 Rt△OHF 中,OH=4,OF=5,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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则 HF= =3,
则 EF=2HF=6cm.
故答案为 6.
15. 解:∵MN=20,
∴⊙O 的半径=10,
连接 OA、OB,
在 Rt△OBD 中,OB=10,BD=6,
∴OD= = =8;
同理,在 Rt△AOC 中,OA=10,AC=8,
∴OC= = =6,
∴CD=8+6=14,
作点 B 关于 MN 的对称点 B′,连接 AB′,则 AB′即为 PA+PB 的最小值,B′D=BD=6,
过点 B′作 AC 的垂线,交 AC 的延长线于点 E,
在 Rt△AB′E 中,
∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14,
∴AB′= = =14 .
故答案为:14 .
16. 解:连接 OA,
∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴AE=AC=×6=3(cm),AD=AB=×8=4(cm),∠OEA=∠ODA=90°,
∵AB、AC 是互相垂直的两条弦,
∴∠A=90°,
∴四边形 OEAD 是矩形,
∴OD=AE=3cm,
在 Rt△OAD 中,OA= =5cm.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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故答案为:5cm.
17. 解:圆弧所在圆的圆心是 AB 与 BC 的垂直平分线的交点.
AB 的垂直平分线是 x=﹣1,点 B 的坐标是(1,5),C 的坐标是(4,2),
BC 的垂直平分线与 x=﹣1 的交点的纵坐标是 0,
因而该圆弧所在圆的圆心坐标是(﹣1,0).
18. 解:因为∠ABE=90,故 AE 为直径,A、O、E 共线;
∵AE 是直径,∴OD 是△ACE 的中位线,
∴OD∥=CE,∴∠C=∠ODA.
又∵∠OAD=∠ODA,
∴∠C=∠OAD,
∴AE=CE.
19. 解:这个图形是轴对称图形,对称轴即是直线 CD,根据对称的性质,得 AF=BE 或
CF=CE 或 AC=BC.
20. 解:方法一:连接 BD.
∵AB 是⊙O 直径,
∴BD⊥AD.
又∵CF⊥AD,
∴BD∥CF,
∴∠BDC=∠C.
又∵∠BDC=∠BOC,
∴∠C=∠BOC.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵AB⊥CD,
∴∠C=30°,
∴∠ADC=60°.
方法二:设∠D=x,
∵CF⊥AD,AB⊥CD,∠A=∠A,
∴△AFO∽△AED,
∴∠D=∠AOF=x,
∴∠AOC=2∠ADC=2x,
∴x+2x=180,
∴x=60,
∴∠ADC=60°.
C 档(跨越导练)
21. (1)证明:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEF,
∵AC∥DF,
∴∠F=∠ACB
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即 BC=EF
∴△ABC≌△DEF,
∴AB=DE;
(2)解:过点 O 作 OG⊥AP 于点 G,连接 OF,(4 分)
∵DB=10cm,
∴OD=5cm,
∴AO=AD+OD=3+5=8(cm),
∵∠PAC=30°,
∴OG=AO=×8=4(cm)(5 分)
∵OG⊥EF,
∴EG=GF,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵GF= =3(cm),
∴EF=6(cm).(7 分)
22. 解:连接 OA 交 BC 于点 D,连接 OC,OB,
∵AB=AC=13,
∴ = ,
∴∠AOB=∠AOC,
∵OB=OC,
∴AO⊥BC,CD=BC=12
在 Rt△ACD 中,AC=13,CD=12
所以 AD=
设⊙O 的半径为 r
则在 Rt△OCD 中,OD=r﹣5,CD=12,OC=r
所以(r﹣5)2+122=r2
解得 r=16.9.
答:⊙O 的半径为 16.9.
23. 解:(1)∵OM=ON,∠MON=60°
∴△MON 是等边三角形
∴MN=ON=4
(2)作 OH⊥MN 于 H 点,∴MH=MN=2
y=S△PMN= 4x,即 y=2x
在 Rt△OHM 中,OH2=OM2﹣MH2
∴OH=2
∴0<x≤4+2
(3)△OMN 的面积 S=4天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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令 y=s,即 2x=4
∴x=2
当 x=2 时,y=s
当 0<x<2 时,y<s
当 2 时,y>s.
24. 证明:连接 BE,CD,
则∠BDC=∠CEB=90°.
∵BD=CE,
∴弧 BD=弧 CE.
∴∠EBC=∠DCB.
∵BC=CB,
∴△BEC≌△CDB.(AAS)
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC.
25. 证明:从 O 向 AB 引垂线,交点为 E,
则根据垂径定理可知 AE=BE
∵AC=BD,
∴CE=DE.
∴OE 是 CD 的垂直平分线.
所以 OC=OD.
∴△OCD 为等腰三角形.
26. 解:(1)作 OD⊥BC 于 D,由垂径定理知,点 D 是 BC 的中点,BD=BC,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵OB=AB=5,OD=4,
由勾股定理得,BD= =3,
∴BC=2BD=6cm;
(2)设经过 t 秒后,△BPC 是等腰三角形,
①当 PC 为底边时,有 BP=BC,10﹣t=6,解得:t=4(秒);
②当 BC 为底边时,有 PC=PB,P 点与 O 点重合,此时 t=5(秒);
③当 PB 为底边时,有 PC=BC,连接 AC,作 CE⊥AB 于 E,
则 BE= ,AE= ,
∵AB 是直径,
∴△ABC 是直角三角形,
根据勾股定理 AC= = =8,
由 AC2﹣AE2=BC2﹣BE2,
64﹣( )2=36﹣( )2,
解得:t=2.8(秒).
综上,经过 4 秒或 5 秒或 2.8 秒时,△BPC 是等腰三角形.
27. (1)证明:∵AB=DC,AC=DB,
∴四边形 ABDC 是平行四边形;
(2)解:连接 AE,
∵A( ,0)为圆心作⊙A,⊙A 与 x 轴相交于点 B,C,与 y 轴相交于点 D,E,
且 C 点坐标为( ,0).
∴OA= ,OC=3 ,
∴圆的半径长是:3 ﹣ =2 ,
在直角△OAE 中,OE= = =3,
∵OA⊥DE,天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∴DE=2OE=6.
28. 解:(1)连 OA,OC,如图,
∵OM⊥AB,ON⊥CD,
∴AM=AB,CN=CD,
在 Rt△AOM 中,AM= ,
在 Rt△CON 中,CN= ,
∵OA=OC,OM=ON,
∴AM=CN,
∴AB=CD;
(2)分别过 O 点作△ABC 三边的垂线,垂足分别为点 P、M、N,连 OA、OC,如图,
∵O 为△ABC 的内心,
∴OP=OM=ON,
∴DB=BE=GF,
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG,
∵ , ,
∴Rt△OAP≌Rt△OAN,Rt△OCM≌Rt△OCN,
∴AP=AN,CM=CN,
∴AD=AG=9,CE=CF=2,
设 BD=x,则 AB=9+x,BC=2+x,AC=11+x,
∵AC2=AB2+BC2,
∴(11+x)2=(9+x)2+(2+x)2,
∴x2=36,
∴x=6,
∴△ABC 的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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29. 解:(1)∵A(﹣1,0),O1(1,0),
∴OA=OO1 又 O1A=O1C,(1 分)
∴易知△O1AC 为等边三角形,(2 分)
∴易求 C 点的坐标为(0, ).(4 分)
(2)解法一:连接 AD;
∵CD∥AB,
∴∠CDA=∠BAD,
∴ ,
∴AC=BD 又 AC 不平行 BD,
∴四边形 ABCD 为等腰梯形,(5 分)
过 D 作 DH⊥AB 于 H;
∴△AOC≌△BDH,四边形 COHD 为矩形,(6 分)
∴CH 必平分四边形 ABCD 的面积,(7 分)
易求 CH 的解析式: ;(8 分)
解法二:设直线 CH 平分四边形 ABCD 的面积,并设 H(x,0),连接 AD,
∵CD∥AB,
∴∠CDA=∠BAD,
∴ ,
∴AC=BD=2,
∵S△ACH=S 梯形 CDBH,
∴ ,
∴x+1=5﹣x,
∴x=2,由 C(0, )和 H(2,0),
易求 CH 的解析式: .
(3)证法一:分别延长 MO1,MO2 交⊙O2 于 P,N,连接 PN;
∴PN=2O2E,(9 分)
连接 MA,MF,AN;天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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∵A(﹣1,0),M(1, ),
∴∠MAO1=60°,∠AMO1=30°,
∴∠NAO1=30°,
∵AF=2O2E=PN,
∴∠FMA=∠PMN,
∴∠PMN+∠PMF=∠FMA+∠PMF=∠AMO1=30°,
∴∠FMN=∠PMA=∠FAN=30°,(10 分)
∴∠FAO1=60°,(11 分)
∴易求 AF 的解析式为 ,
∴k= ,b= .(12 分)
30. 解:连接 OF,
∵DB=6cm,
∴OD=3cm,
∴AO=AD+OD=2+3=5cm,
∵∠PAC=30°,OM⊥AP,
∴在 Rt△AOM 中,OM=AO=×5=cm
∵OM⊥EF,
∴EM=MF,
∵MF= = cm
∴EF= cm.天添资源网 http://www.ttzyw.com/
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