2020 年莆田市高中毕业班教学质量检测试卷
数学（理科）
本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120
分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超
出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题
答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算 ， ，再计算 得到答案.
【详解】 ， ，
故 .
故选： .
【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.
2.若 i•z＝1﹣2i，则|z|＝（ ）
A. B. C. 3 D. 5
【答案】B
【解析】
( ){ }lg 1A x y x= = + { }2 2 0B x x x= + − < A B =
{ }1 1x x− < < { }1 2x x− < < { }2 1x x− < < − { }2 1x x− < <
{ }1A x x= > − { }2 1B x x= − < < A B
( ){ } { }lg 1 1A x y x x x= = + = > − { } { }2 2 0 2 1B x x x x x= + − < = − < <
{ }1 1A B x x∩ = − < <
A
3 5【分析】
首先利用复数的运算法则进行化简，然后再进行复数模的运算即可.
【详解】 ，
， .
故选：B.
【点睛】本题主要考查复数的运算以及模的运算，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运
算技巧和常规思路，如 ， ，
， .其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 的
实部为 、虚部为 、模为 、共轭复数为 .
3.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据范围计算得到 ， ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ， ，故 .
，
故选： .
【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.
4.函数 在 的图象大致为（ ）
A. B.
1 2i z i= −
∴ z
( )( )
2
1 21 2 2i ii ii i
− −−= = = − −−
∴ 5z =
( )( ) ( ) ( )a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + , , ,a b c d R∈
( ) ( )
2 2
ac bd bc ad ia bi
c di c d
+ + −+ =+ + , , ,a b c d R∈ a bi+ ( ),a b R∈
a b 2 2a b+ a bi−
0, 2
πθ ∈
4cos 6 5
πθ + = sin 2 3
πθ + =
24
25
7
25
7
25
− 24
25
−
3sin 6 5
πθ + = sin 2 2sin cos3 6 6
π π πθ θ θ + = + +
0, 2
πθ ∈
2,6 6 3
π π πθ + ∈
4cos 6 5
πθ + =
3sin 6 5
πθ + =
24sin 2 2sin cos3 6 6 25
π π πθ θ θ + = + + =
A
( ) 2
2
sin
1
x x xf x x
−= + ,2 2
π π − C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数排除 ，计算 排除 ，得到答案.
【详解】 ， ，函数为奇函数，排除 .
，排除 .
故选： .
【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，判断函数的奇偶性是解题的关键.
5.甲、乙、丙、丁四名志愿者去 ， ， 三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同
的安排方式共有（ ）
A. 18 种 B. 36 种 C. 72 种 D. 81 种
【答案】B
【解析】
【分析】
利用捆绑法将四人分为三组有 种，再全排列 种，计算得到答案.
【详解】利用捆绑法将四人分为三组： 种，再全排列 种，故有 种不同的安排方式.
故选： .
【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，意在考查学生的应用能力.
6.高斯函数 表示不超过 的最大整数，如 ， ， .执行下边的程序框图，则输
出 的值为（ ）
AB 06f
π > C
( ) 2
2
sin
1
x x xf x x
−= + ( ) ( )2
2
sin
1
x x xf x f xx
− +− = = −+ AB
2
2
1
6 2 6 06 16
f
π π
π
π
− = > +
C
D
A B C
2
4 6C = 3
3 6A =
2
4 6C = 3
3 6A = 6 6 36× =
B
[ ]x x [ ]2 2= [ ]1.9 1= [ ]3.6 4− = −
SA. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据程序框图依次计算得到答案.
【详解】程序框图依次计算： ； ； ； ，结束.
故选： .
【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力.
7.函数 的图象在点 切的切线分别交 轴， 轴于 、 两点， 为坐标原点，
，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求导得到 ，计算切线方程为 ，故 ， ，
代入向量计算得到答案.
【详解】 ， ，故 ， ， ，
故切线方程为： ，故 ， .
【
5 4 3 2
1, 1S n= = 1, 2S n= = 2, 3S n= = 3, 4S n= =
C
( ) 3lnf x x ax= + ( )1, (1)P f x y A B O
2OP OA OB= + a =
3
2
− 1
4
− 1
4
3
2
( ) 21' 3f x axx
= + ( )( )1 3 1y a x a= + − + 1 2 ,01 3
aA a
+
+
( )0, 1 2B a− −
( ) 3lnf x x ax= + ( ) 21' 3f x axx
= + ( )' 1 1 3f a= + ( )1f a= ( )1,P a
( )( )1 3 1y a x a= + − + 1 2 ,01 3
aA a
+
+
( )0, 1 2B a− −，即 ，解得 .
故选： .
【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
8.已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线 x 对称，且 .当 ω 取最
小值时，φ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦函数的对称轴和对称中心并结合正弦函数的图象，求得 取最小值时，然后利用 求出
的值.
【详解】函数 的图象关于直线 对称，且 ，
则 取最小时， ，
可得 ，可得 ，
再根据 ，
可得 ， ，求得 ， ，
因为 ，
所以 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，主要考查函数的对称性和周期性，意在考查学生对这些基
础知识的掌握能力和数形结合的思想方法，属于中档题．
9.已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点， 轴被以 为直径的圆所截得
的弦长为 6，则 （ ）
2OP OA OB= + ( ) 1 22,2 , 1 21 3
aa aa
+ = − − +
1
4a = −
B
5
6
π= 7 012f
π =
π
6
π
3
2π
3
5π
6
ω 7 012f
π =
ϕ
( ) ( )sinf x xω ϕ= + ( )0,0ω ϕ π> < < 5
6x
π= 7 012f
π =
ω 1 2 5 7
4 6 12
π π π
ω = −
2ω = ( ) ( )sin 2f x x ϕ= +
7 012f
π =
72 12 k
π ϕ π+ = k Z∈ 7
6k
πϕ π= − k Z∈
0 ϕ π< <
5
6
πϕ =
2: 4C y x= F F l C A B y AB
AB =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
故 设 直 线 为 ， 设 ， ， 计 算 得 到 中 点 的 横 坐 标 为 ，
，根据 ，计算得到答案.
【详解】抛物线 的焦点 ，易知当斜率不存在时不成立，
故设直线 为 ，设 ， .
则 ，即 ，故 ，
故 中点的横坐标为 ， .
故 ，解得 ，故 .
故选： .
【点睛】本题考查了抛物线中的弦长问题，直线和圆的位置关系，意在考查学生的转化能力和计算能力.
10.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， 平面 ， ， 与平
面 所成的角为 ，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
取 中点 ，连接 ，证明 平面 ，故 为 与平面 所成的角为 ，球
心 在平面 的投影为 的外心 ，计算得到答案.
【详解】取 中点 ，连接 ， ，则 .
平面 ， 平面 ，故 .
，故 平面 ，故 为 与平面 所成的角为 .
5 7 10 14
AB ( )1y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,A x y AB 2
21 k
+
2
2
2 4 2kAB k
+= +
2 2
2
2
23 12
AB
k
= + +
2: 4C y x= ( )1,0F
AB ( )1y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,A x y
( )
2 4
1
y x
y k x
= = −
( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + = 2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
AB
2
1 2
2 2
2 4 212 2
x x k
k k
+ += = +
2
1 2 2
2 4 2kAB x x p k
+= + + = +
2 2
2
2
23 12
AB
k
= + +
2 2
3k = 2
2
2 4 2 10kAB k
+= + =
C
P ABC− O PA ⊥ ABC 2PA AB BC= = = PB
PAC 30° O
6π 12π 16π 48π
AC D ,BD PD BD ⊥ PAC DPA∠ PB PAC 30°
O ABC ABC∆ D
AC D ,BD PD 2AB BC= = BD AC⊥
PA ⊥ ABC BD ⊂ ABC PA BD⊥
PA AC A= BD ⊥ PAC DPB∠ PB PAC 30°，故 ， ， ，故 .
球心 在平面 的投影为 的外心 ，
根据 知， ，故 ，
故球的表面积为 .
故选： .
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心 在平面 的投影为 的外心 是解题的关
键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 的左支交于 ， 两
点，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
计 算 得 到 ， ， ， ， 根 据
，利用余弦定理得到 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ，
，故 ，故 .
2 2PB = 2BD = 6PD = 2 2AC =
2ABC
π∠ =
O ABC ABC∆ D
OA OP= 1 12OD AP= = 2 2 2 3R OD AD= + =
24 12Rπ π=
B
O ABC ABC∆ D
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > 1 2,F F 1F C P Q
2 1 2PF F F= 1 13 2PF QF= C
3
2
7
5
5
3 2
2 1 2 2PF F F c= = 1 2 2PF c a= − ( )1 3QF c a= − 2 3QF c a= −
1 2 1 2cos cosPF F QF F∠ = − ∠ 2 25 12 7 0c ac a− + =
2 1 2 2PF F F c= = 1 2 2 2 2PF PF a c a= − = −
1 13 2PF QF= ( )1 3QF c a= − 2 12 3QF a QF c a= + = −根据余弦定理 ，
， ，
化简整理得到： ，即 ，解得 或 （舍去）.
故选： .
【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
12.设函数 的定义域为 ，已知 有且只有一个零点.下列四个结论：
① ； ② 在区间 单调递增；
③ 是 的零点； ④ 是 的极大值点， 是 的最小值.
其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
取 ，即 ，两边取对数 ，设 ，求导画出函数图像，计算 ，
故 ，画出函数 和 的图像，根据图像得到函数单调性，依次判断每个
选项得到答案.
【详解】取 ，即 ，两边取对数 ，
即 有且只有一个解，设 ， .
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，画出函数图像，如图所示：
故 或 ，解得 或 （舍去），故 ，①正确；
， ，③正确，
，取 ，即 ，
两边取对数 ，画出函数 和 的图像，
根据图像知：
2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
cos 2
PF F F PFPF F PF F F
+ −∠ = ⋅
2 2 2
1 1 2 2
1 2
1 1 2
cos 2
QF F F QFQF F QF F F
+ −∠ = ⋅ 1 2 1 2cos cosPF F QF F∠ = − ∠
2 25 12 7 0c ac a− + = 25 12 7 0e e− + = 7
5e = 1e =
B
( ) ( )1x af x a x a= − > (0, )+∞ ( )f x
a e= ( )f x ( )1,e
x e= ( )f x 1x = ( )f x ( )f e ( )f x
( ) 0x af x a x= − = x aa x= ln lnx a a x= ( ) ln xh x x
= a e=
( ) 1' x ef x e ex −= − 1
1
xy e
−= − lny x=
( ) 0x af x a x= − = x aa x= ln lnx a a x=
ln lna x
a x
= ( ) ln xh x x
= ( ) 2
1 ln' xh x x
−=
( )h x ( )0,e ( ),e +∞
ln 1a
a e
= ln 0a
a
< a e= 0 1a< < a e=
( ) x ef x e x= − ( ) 0f e =
( ) 1' x ef x e ex −= − ( ) 1 0' x ef x e ex − == − 1x ee ex −=
( )1 1 lnx e x= + − 1
1
xy e
−= − lny x=当 时， ，故 ，函数 单调递减；
当 或 时， ，函数 单调递增.
故②错误，④正确.
故选： .
【点睛】本题考查了利用导数求参数值，函数的单调性，极值，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23
题为选考题，考生根据要求作答.
13.已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 得到 ，计算得到答案.
【详解】 ，故 ，故 ，即 .
( )1,x e∈ 1 ln1
x xe
− = − ( )f x
C
a b 4a b= ( )2a b b− ⊥ a b
3
π
( )2a b b− ⊥ ( ) 2
2 cos 2 0a b b a b bθ− ⋅ = ⋅ − =
( )2a b b− ⊥ ( ) 22
2 2 cos 2 0a b b a b b a b bθ− ⋅ = ⋅ − = ⋅ − = 1cos 2
θ =
3
πθ =故答案为： .
【点睛】本题考查了向量夹角的计算，意在考查学生的计算能力.
14.设 满足约束条件 则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
画出可行域， 表示点 和 之间的斜率，根据图像得到答案.
【详解】如图所示，画出可行域， 表示点 和 之间的斜率.
根据图像知：当 时， 有最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了线性规划问题，将 表示为两点的斜率是解题的关键.
15.已知函数 且 ，则 __________
【答案】
【解析】
【分析】
.
3
π
,x y
1 0,
-2 0
3
x y
x y
x
− + ≥
+ ≥
≤
，
2
yz x
= +
4
5
2
yz x
= +
( ),x y ( )2,0−
2
yz x
= +
( ),x y ( )2,0−
3, 4x y= =
2
yz x
= +
4
5
4
5
2
yz x
= +
( ) 2
2 , 1,
4 5, 1,
x xf x
x x x
( ) 5f a = ( )2f a− =
1
4讨论 和 两种情况，分别计算得到 ，再代入计算得到答案.
【详解】当 时， ， ，不成立；
当 时， ， 或 （舍去）；
综上所述： ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了分段函数求参数和函数值，意在考查学生的计算能力.
16. 的内角 ， ， ，的对边分别为 ， ， .已知 ， 是 边
上的中线，且 ，则 面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根 据 正 弦 定 理 计 算 得 到 ， 设 ， 则 ， ， 根 据 余 弦 定 理 得 到
，故 ，计算得到答案.
【详解】 ，即 ，即 ，
故 ， ，故 .
设 ，则 ， ，
在 中：根据余弦定理， ，即 .
，
故 ，
当 ，即 ，面积有最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.
1a < 1a > 4a =
1a < ( ) 2 5af a = = 2log 5 1a = >
1a > ( ) 2 4 5 5f a a a= − + = 4a = 0a =
4a = ( ) ( ) 12 2 4f a f− = − =
1
4
ABC A B C a b c ( )cos cos 0c B b A B+ + = BD AC
1BD = ABC
2
3
B C= 2AB x= AD DC x= = A θ∠ =
2
2
5 1cos 4
x
x
θ −=
2
2
2
5 169 9 9
4
x
S
− − + =
( )cos cos 0c B b A B+ + = cos cosc B b C= sin cos sin cosC B B C=
( )sin 0B C− = ( ),B C π π− ∈ − B C=
2AB x= AD DC x= = A θ∠ =
ABD∆ 2 2 21 4 4 cosx x x θ= + −
2
2
5 1cos 4
x
x
θ −=
1 2 2 sin2S x x θ= ⋅ ⋅
( )
2
2
4 2
2 4 2 4
4
5 16925 10 1 9 94 1 cos 4 1 16 4
xx xS x x x
θ
− − + − + = − = − =
2 5
9x = 5
3x = 2
3
2
3三、解答题：共 70 分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：（60 分）
17.设 是公差不为 0 的等差数列，其前 项和为 已知 ， ， 成等比数列， .
（1）求 的通项公式;
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到 ， ，计算得到答案.
（2） ，利用分组求和法计算得到答案.
【详解】（1） ， ， 成等比数列，故 ，即 .
，解得 ，故 .
（2） .
.
【点睛】本题考查了数列的通项公式，前 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18.如图，四棱锥 的底面是菱形， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，点 在棱 上，且 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
{ }na n nS ⋅ 1a 2a 5a 5 25S =
{ }na
( 1) 2 nan
nbn a= − + { }nb n nT 2nT
2 1na n= − 2
2
2 22 43 3
n
nT n= + ⋅ −
( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = + 5 15 10 25S a d= + =
( ) 2 1( 1) 2 1 2n nbn n −= − − +
1a 2a 5a 12
2
5a a a= ( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = +
5 15 10 25S a d= + = 1a 1,d 2= = 2 1na n= −
( ) 2 1( 1) 2 ( 1) 2 1 2nan n n
nbn a n −= − + = − − +
( ) 2
2
21 4 2 21 3 5 7 ... 4 3 4 1 2 2 41 4 3 3
n
n
n n n nT
−= − + − + + − − + − + = + ⋅ −−
n
P ABCD− 2AB AC= = 2 3PA = PB PD=
PAC ⊥ ABCD
PA AC⊥ M PC BM MD⊥ B AM C− −
5
5【分析】
（1）连接 与 相交于 ，根据 ， 得到 平面 ，得到证明.
（2）以 为 轴建立空间直角坐标系，设 ，根据
得到 ，计算平面 的法向量为 ，平面 的法向量为
，计算夹角得到答案.
【详解】（1）如图所示：连接 与 相交于 ， ，故 ，
四棱锥 的底面是菱形，故 ， ，故 平面 ，
平面 ，故平面 平面 .
（2） ，故 平面 ，取 中点 ，连接 ，故 .
以 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ，设 ，
，解得 ， ， .
，
， ， ，
故 ，
解得 或 （舍去）， .
设平面 法向量为 ，
则 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ， ，
设二面角 的平面角为 ，则 .
的
BD AC E PE BD⊥ AC BD⊥ BD ⊥ PAC
, ,AN AD AP , ,x y z ( , , ), ,0 1M a b Mc P PCλ λ= ≤ ≤
BM MD⊥ 3 1( , , 3)2 2M ABM ( 3,3, 3)n = ACM
( 3, 3,0)m = −
BD AC E PB PD= PE BD⊥
P ABCD− AC BD⊥ AC PE E= BD ⊥ PAC
PD ⊂ ABCD PAC ⊥ ABCD
PA AC⊥ PA ⊥ ABCD BC N AN AN AD⊥
, ,AN AD AP , ,x y z
( 3, 1,0), (0,2,0), ( 3,1,0), (0,0,2 3)B D C P− ( , , ), ,0 1M a b Mc P PCλ λ= ≤ ≤
( , , 2 3) ( 3,1, 2 3)a b c λ∴ − = − 3a λ= b λ= 2 3 2 3c λ= −
( 3 , ,2 3 2 3 )M λ λ λ∴ −
( 3 3, 1,2 3 2 3 ,)BM λ λ λ= − + − ( )3 , 2,2 3 2 3DM λ λ λ= − − BM DM⊥
( 3 3) 3 ( 1)( 2) (2 3 2 3 )(2 3 2 3 ) 0BM DM λ λ λ λ λ λ⋅ = − ⋅ + + − + − − =
1
2
λ = 5
4
λ = 3 1( , , 3)2 2M∴
ABM ( ), ,n x y z=
3 1 3 02 2
3 0
n AM x y z
n AB x y
⋅ = + + =
⋅ = − =
3, ( 3,3, 3)x n= = −
ACM ( ), ,m a b c=
3 1 3 02 2
3 0
m AM a b c
m AC a b
⋅ = + + =
⋅ = + =
3a = ( 3, 3,0)m = −
B AM C− − θ 6 5cos 515 12
m n
m n
θ
⋅
= = =
⋅⋅
【点睛】
本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19.莆田市是福建省“历史文化名城”之一，也是旅游资源丰富的城市.“九头十八巷”、“二十四景”美如画.某文
化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况，在全市进行网上问卷（满分 100 分）调查，
民众参与度极高.该公司对得分数据 进行统计拟合，认为 服从正态分布 .
（1）从参与调查的民众中随机抽取 200 名作为幸运者，试估算其中得分在 75 分以上（含 75 分）的人数
（四舍五入精确到 1 人）；
（2）在（1）的条件下，为感谢参与民众，该公司组织两种活动，得分在 75 分以上（含 75 分）的幸运者
选择其中一种活动参与.活动如下：
活动一 参与一次抽奖.已知抽中价值 200 元的礼品的概率为 ，抽中价值 420 元的礼品的概率为 ；
活动二 挑战一次闯关游戏.规则如下：游戏共有三关，闯关成功与否相互独立，挑战者依次闯关，第一关闯
关失败者没有获得礼品，第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品，获得的礼品不累计，闯关结束.已知
第一关通过的概率为 ，可获得价值 300 元的礼品；第二关通过的概率为 ，可获得价值 800 元的礼品；
第三关通过的概率为 ，可获得价值 1800 元的礼品.
若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动，该公司以该期望值为依据，需准备多少元的礼品？
附：若 ，则 ， ，
X X ( )63,144N
3
4
1
4
1
2
1
3
1
4
( )2~ ,X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + = ( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + =【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）计算得到 ， ，故 ，计算得到答案.
（2）计算 ，活动二 的取值可能有 ， ， ， ，计算概率得到分布列，得到
，计算得到答案.
【详解】（1） 服从正态分布 ，则 ， ，
，
故 ，故人数为 .
（2）活动一的数学期望为： ；
活动二 的取值可能有 ， ， ， ，
故 ， ， ，
.
分布列为：
故 .
，故需要准备 元礼物.
【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.已知 为椭圆 的左、右焦点，点 在 上.有以下三个条件：①
.( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + =
32 8800
63µ = 12σ = ( )75 0.1587P X > =
( )1 255E Y = 2Y 0 300 800 1800
( )2 275E Y =
X ( )63,144N 63µ = 12σ =
( ) ( )51 75 0.6826P X P Xµ σ µ σ− < < + = < < =
( ) 1 0.682675 0.15872P X
−> = = 0.1587 200 32× ≈
( )1
3 1200 420 2554 4E Y = × + × =
2Y 0 300 800 1800
( )2
10 2p Y = = ( )2
1 2 1300 2 3 3p Y = = × = ( )2
1 1 3 1800 2 3 4 8p Y = = × × =
( )2
1 1 1 11800 2 3 4 24p Y = = × × =
2Y 0 300 800 1800
p 1
2
1
3
1
8
1
24
( )2
1 1 1 10 300 800 1800 2752 3 8 24E Y = × + × + × + × =
( ) ( )1 2E Y E Y< 275 32 8800× =
1 2,F F
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
+ = > > P E；②点 的坐标为 ；③ 且 .
（1）从三个条件中任意选择两个，求 的方程；
（2）在（1）的条件下，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 关于坐标原点的对称点为 ，求
面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）取条件①和②，则 ， ，解得答案.
（2），设直线方程为 ， ， ， ，联立方程得到
， ， ，设 ，故 ，利用均
值不等式得到答案.
【详解】（1）取条件①和②，则 ， ，解得 ，故椭圆方程为 .
（2）易知直线斜率不为 ，设直线方程为 ， ， ， ，
故 ，即 ， ， .
，
设 ， ，故 .
当且仅当 ，即 时等号成立，此时验证 成立，故面积最大值 .
【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
21.已知函数 ， .
为
1 2 2 3F F = P 2 6 3,3 3
1 2PF PF⊥ 1 2 2PF PF⋅ =
E
( )4,0M − l E A B B C
ABC
2
2 14
x y+ = 2
3c = 2 2
24 3 19 9a b
+ =
4x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 2,C x y− −
1 2 2
8
4
my y m
+ = + 1 2 2
12
4y y m
= +
2
2
1216 4ABC
mS m∆
−= +
2 12t m= − 2
16
16ABC
t
tS∆ = +
3c = 2 2
24 3 19 9a b
+ = 2, 1a b= = 2
2 14
x y+ =
0 4x my= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )2 2,C x y− −
2
2 14
4
x y
x my
+ =
= −
( )2 24 8 12 0m y my+ − + = 1 2 2
8
4
my y m
+ = + 1 2 2
12
4y y m
= +
( )2
1 2 1 2 1 2 1 2
12 2 | | 4 4 42ABC AOBS S OM y y y y y y y y∆ ∆= = × ⋅ ⋅ = − = + −
( )
2 2
2 2 22
64 48 124 164 44
m m
m mm
−= − =+ ++
2 12t m= − 0t > 2
16 16 16 21616 8ABC
tS t t t
∆ = = ≤ =+ +
4t = 2 7m = ± > 0∆ 2
( ) cos sin 2sinx
x xf x xe
−= + ( ) ( )sin cos sin cosxg x x x e x x= − + +（1）求 在区间 的极值点；
（2）证明： 在区间 有且只有 3 个零点，且之和为 0.
【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导取 ，得到 或 ，再根据单调性得到极值点.
（2）化简得到 ，得到若 是方程的根据，那么 也是方程的根，画出函数
和 的图像，根据图像得到答案.
【详解】（1） ，则 ，
取 ，则 或 .
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
当 时， ，函数单调递增，故极值点为 或 .
（2） ，故 .
，即 ，
， ， .
若 是方程的根，那么 也是方程的根，故零点之和为 .
画出函数 和 的图像，如图所示：
根据图像知函数图像有三个交点，故 在区间 有且只有 3 个零点.
( )f x ( )0,2π
( )g x [ ]2 ,2π π−
2x
π= 3
2x
π=
( )2 1 cos
'( ) 0
x
x
e x
f x e
−
= = 2x
π= 3
2x
π=
1 tan tan1 tan 4
x xe xx
π+ = = + − 0x 0x−
xy e= tan 4y x
π = +
( ) cos sin 2sinx
x xf x xe
−= + ( )2 1 cos
'( )
x
x
e x
f x e
−
=
( )2 1 cos
'( ) 0
x
x
e x
f x e
−
= = 2x
π= 3
2x
π=
0, 2x
π ∈ '( ) 0f x > 3,2 2x
π π ∈ '( ) 0f x <
3 ,22x
π π ∈ '( ) 0f x >
2x
π= 3
2x
π=
( ) ( )sin cos sin cos 0xg x x x e x x= − + + = ( )0 0g =
( ) ( )sin cos sin cos 0xg x x x e x x= − + + = 1 tan tan1 tan 4
x xe xx
π+ = = + −
7 3 5, , ,4 4 4 4x
π π π π≠ − − 1 tantan 4 1 tan
xxx ex
π −− ∴ − = = +
7 3 5, , ,4 4 4 4x
π π π π≠ − −
0x 0x− 0
xy e= tan 4y x
π = +
( )g x [ ]2 ,2π π−综上所述： 在区间 有且只有 3 个零点，且之和为 0.
【点睛】本题考查了函数的极值点，零点问题，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的计算能力和
综合应用能力.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 2、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如
果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 过点 P（2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C 的极坐标方程为 ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ＝0.
（1）求 C 的直角坐标方程；
（2）若 l 与 C 交于 A，B 两点，求 的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）把曲线 的极坐标方程两边同时乘以 ，结合 ， ， ，即可求出
曲线 的极坐标方程；
（2）由已知直接写出直线 的参数方程，把直线 的参数方程代入曲线 的极坐标方程，化为关于 的一元
二次方程，利用根与系数的关系及参数 的几何意义求解.
【详解】（1）曲线 的极坐标方程为 ，两边同时乘以 ，得
( )g x [ ]2 ,2π π−
PA PB
PA PB
−
⋅
2 4y x= 2
C ρ cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = +
C
l l C t
t
C 2cos 4cos 0ρ ρ θ θ− − = ρ，把互化公式代入可得： ，即 ，所以 C 的直角
坐标方程为 y2＝4x.
（2）设直线 的倾斜角为 ，可得参数方程为： （ 为参数），代入抛物线方程可
得： ，
则 ， ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立，
的最大值为 .
【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构
造成含有 ， ， 的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；
2.经过点 ，倾斜角为 的直线 的参数方程为 （ 为参数）.若 A，B 为直线 上
两点，其对应的参数分别为 ， ，线段 的中点为 ，点 所对应的参数为 ，则以下结论在解题
中经常用到：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
23.已知 f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|.
（1）求不等式 f（x）≤5 的解集；
（2）若 x∈[﹣1，+∞）时，f（x）≥kx+k，求 k 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
2 2 2cos 4 cos 0ρ ρ θ ρ θ− − = 2 2 2 4 0x y x x+ − − = 2 4y x=
l α ( )0α ≠ 2
2
x tcos
y tsin
α
α
= +
= + t
( )2 2sin 4sin 4cos 4 0t tα α α+ − − =
1 2 2
4 4cos sint t sin
α α
α
−+ = 1 2 2
4t t sin α= − ＜0
1 2
1 2
cos sin
PA PB t t
PA PB t t
α α
− += = −⋅ 2 sin 24
πα = − ≤
3
4
πα =
∴ PA PB
PA PB
−
⋅ 2
ρ
cosρ θ sinρ θ 2ρ
( )0 0,P x y α l 0
0
cos
sin
x x t
y y t
α
α
= +
= +
t l
1t 2t AB M M 0t
1 2
0 2
t tt
+=
1 2
0 2
t tPM t
+= =
2 1AB t t= −
1 2PA PB t t=
42 3x x
− ≤ ≤
5, 3
−∞ 【分析】
（1）可先将 写成分段形式，从而求得解集；
（2） 时， 成立； 时， ， 等价于 ，令
，故 即可，从而求得答案.
【详解】（1）由 ，
不等式 等价于 ，
可化为 ，
或
或 ；
解得 ，
所以不等式 的解集是 ；
（2）当 时， 成立， ；
当 时， ，所以 ，
即 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
即 k ，所以 ；
综上知， 的取值范围是 .
【点睛】1.求解绝对值不等式的步骤：
（1）求零点；
( )f x
1x = − ( )1 0f ≥ ( )1,x∈ − +∞ +1 0x > ( )f x kx k≥ + ( )
1
f xk x
≤ +
( ) ( )
1
f xh x x
= +
( )m xik h x≤
( ) 2 1 2f x x x= − + +
( ) 5f x ≤ 2 1 2 5x x− + + ≤
2
2 1 2 5
x
x x
≤ −
− + − − ≤
12 2
2 1 2 5
x
x x
−
− + + + ≤
＜ ＜
1
2
2 1 2 5
x
x x
≥
− + + ≤
42 3x− ≤ ≤
( ) 5f x ≤ 42 3x x − ≤ ≤
1x = − ( )1 4 0f = ≥ k ∈R
11 2x− < < ( ) 3f x x= − + ( )+3 1x k x− ≥ +
3 4 11 1
xk x x
−≤ = −+ +
5
3k ≤
1
2x ≥ ( ) 3f x x= + ( )3 +1 1x k x≥ +
3 1 231 1
xk x x
+≤ = −+ +
5
3k ≤
k 5, 3
−∞ （2）划区间，去绝对值符号；
（3）分别解去掉绝对值符号的不等式；
（4）取每个结果的并集，注意在分段讨论时，不要遗漏区间的端点值.
2.绝对值不等式有解问题的求解思路：
（1）分离参数：根据不等式，将参数分离化为 或 的形式；
（2）转化为最值问题： 恒成立 ， 恒成立 ；
（3）得结论.
( )a f x≥ ( )a f x≤
( )f x a≥ ⇔ ( )minf x a≥ ( )f x a≤ ⇔ ( )minf x a≤
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