2020届四川高三3月网络考试数学（文）试题（解析版）

2020 年春季高 2017 级网络教学统考 文科数学 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确 的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合 ， ，所以 . 故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题. 2.若复数 z 满足 z（1+2i）=10，则复数 z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数除法的运算法则化简复数 z，最后确定复数 z 在复平面内对应的点的位置即可. 【详解】因为 z（1+2i）=10，所以 ，因此复数 z 在复平面内对应的点在 第四象限. 故选：D 【点睛】本题考查了复数除法的运算法则，考查了复数在复平面内对应点的位置，考查了数学运算能力. 3.已知 a，b 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则“ ”是“ ”的 （ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 { }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = A B = { }1,2 { }1,0,1,2- { }0,1,2,3 { }0,1,2 { }1 3A x x= − < < { }0,1,2,3B = { }0,1,2A B = 10 10(1 2 ) 2 41 2 (1 2 )(1 2 ) iz ii i i -= = = -+ + - ,α β ,⊂ =a β α β b //a α //a b 【分析】 根据充分性、必要性的定义，结合线面平行的判定定理和平行线的性质进行判断即可. 【详解】由 ， ，根据线面平行的性质定理，能得到 ； 由因为 ，所以 ，显然由 根据线面平行的判定定理能得到 ，所以“ ” 是“ ”的充要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充要条件的判定，考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了推理认证能力. 4.函数 的大致图象是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【详解】由题意可知函数 为奇函数，可排除 B 选项； 当 时， ，可排除 D 选项； 当 时， ，当 时， ， 即 ，可排除 C 选项， 故选 A 【点睛】本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 5.我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三， 七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”．若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 N≡n（modm），例如 10≡2（mod4）．现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（　　） //a α ,⊂ =a β α β b //a b ,⊂ =a β α β b a α⊄ //a b //a α //a α //a b ( ) ( )2 3 ln 1x f x x + = ( )f x x 0< ( ) 0f x ＜ x 1= ( )1 2f ln= x 3= ln10 ln10(3) ,ln 227 27f = > ( ) ( )1 3f f＞ A. 13 B. 11 C. 15 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 ：按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果． 【详解】：第一步： 第二步： 第三步： 第四步： 最后： ，输出 的值，故选 A． 【点睛】：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步 数之间的关系式． 6.已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 k 的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 ( ) ( )n 9,9 0 mod3 ,9 4 mod5= ≡ ≡ ( ) ( )n 10,10 1 mod3 ,10 0 mod5= ≡ ≡ ( ) ( )n 11,11 2 mod3 ,11 1 mod5= ≡ ≡ ( ) ( )n 12,12 0 mod3 ,12 2 mod5= ≡ ≡ ( ) ( )n 13,13 1 mod3 ,13 3 mod5= ≡ ≡ n ( ) 0, 1 ln , 1 xf x x x > a b c> > c b a> > , ,a b c 0.5 0.5 0.61 0.6 0.5 0.5 0> > > > 1 0b a> > > 0.5 12c = > c b a> > , ,a b c { }na nS 1 4+ = n n na a n ∗∈N 5S = 31 2 15 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，分别令 ，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求 出首项和公式，最后利用等比数列前 n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列 的公比为 ，由题意可知中： .由 ，分别令 ，可得 、 ，由等比数列的通项公式可得： ， 因此 . 故选：B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 10.圆 关于直线 （ ）对称，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对圆的方程进行配方，求出圆心的坐标，根据圆的性质可以得到关于 的等式，利用基本不等式进行求 解即可. 【详解】 ，所以圆心坐标为： ， 因为圆 关于直线 对称，所以有 ，因为 ，所以有 ，（当且仅当 时 取等号，即 时取等号）. 故选：B 【点睛】本题考查圆的几何性质，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力. 11.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在 12：00~12：10 之间随机到达 1 4+ = n n na a 1,2n = { }na q 1 0, 0a q> > 1 4+ = n n na a 1,2n = 1 2 4a a = 2 3 16a a = 1 1 1 2 1 1 4 2 16 2 a a q a a q a q q ⋅ ⋅ = =⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = =  5 5 2(1 2 ) 31 21 2S −= =− 2 2 4 12 1 0+ + − + =x y x y 6 0− + =ax by 0, 0a b> > 2 6+ a b 2 3 32 3 20 3 16 3 ,a b 2 2 2 24 12 1 0 ( 2) ( 6) 41x y x y x y+ + − + = ⇒ + + − = ( )2,6− 2 2 4 12 1 0+ + − + =x y x y 6 0− + =ax by 2 6 6 0 3 3a b a b− − + = ⇒ + = 0, 0a b> > 1 2 6 1 2 6 1 6 6 1 6 6 323 ( ) ( 3 )( ) (20 ) (20 2 )3 3 3 3 3 b a b aa ba b a b a b a b × ⋅ + = + + = + + ≥ + ⋅ = 6 6b a a b = 3 4a b= = 小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可. 【详解】设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为 ，以 12：00 点为开始算起，则有 ，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域， 所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过 5 分钟的概率为： . 故选：C 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力. 1 2 4 5 3 8 3 4 ,x y 5 x y y x ≤  − ≤ 1 110 10 10 10 5 5 32 2 10 10 8P ´ - ´ ´ - ´ ´ = =´ 12.已知双曲线 C： （ ）的左、右焦点分别为 ，过 的直线 l 与双曲线 C 的 左支交于 A、B 两点.若 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设 ，由双曲线的定义 可知： 因此 再由双曲线的定义可知： ，在三角 形 中，由余弦定理可知： ，因此双曲线的渐近线方程为： . 故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了 数学运算能力. 二、填空题：本题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分. 13.若实数 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为______. 【答案】10 【解析】 【分析】 在直角坐标系内画出可行解域，平移直线 ，在可行解域内找到经过一点使得直线 在纵 轴上的截距最小即可. 2 2 2 2 1x y a b − = 0, 0a b> > 1 2,F F 1F 2 2, 120= ∠ = AB AF BAF 3 3y x= ± 6 2y x= ± ( )3 2= ± −y x ( )3 1= ± −y x 2AF m= 2 2 2 2 2 2, 2 cos120 3AB AF m BF AB AF AB AF m= = ∴ = + − ⋅ ⋅ = 1 2 ,AF m a= − 1 2 ,BF a= 12 4 32 3BF BF a m a− = ⇒ = 1 2AF F 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 21 12 cos120 (5 2 3) (5 2 3)F F AF AF AF AF c a a b a°= + − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⇒ + = − 2 2 2 2(4 2 3) (4 2 3) 3 1b bb a a a ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ( )3 1= ± −y x 0 1 0 3 0 x y x y x − ≥  + + ≥  − ≤ 2z x y= − 2y x z= − 2y x z= − 【详解】约束条件表示的可行解域如下图所示： 平移直线 ，当经过点 时，直线 在纵轴上的截距最小，此时点 坐标是方程组 的解，解得 ，因此 的最大值为 . 故答案为：10 【点睛】本题考查了线性目标函数的最大值问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 14.若函数 （ ）满足：① 是偶函数；② 的图象关于点 对称；③ 在 上有两个零点.则同时满足①②③的 值是______. 2y x z= − A 2y x z= − A 1 0 3 x y x + + =  = 3 4 x y =  = − 2z x y= − 2 3 ( 4) 10× − − = ( ) ( )sinf x xω ϕ= + 0,0 2> ≤ ω 0( )k k Z³ Î ( )f x [ ]0,π 1 2 2 3 2 p p p pw< + × £ 3 62 w£ < 30 2k w= Þ = ( ) cosf x x= − ω ( )f x ,03 π     ( )3 2k k Zp pw p- = + Î 33 ( )2k k Zw= - - Î 1( )k k Z£ - Î ( )f x [ ]0,π 1 2 2 3 2 p p p pw< + × £ 3 62 w£ < 31 2k w= - Þ = 3 2 12OA OB⋅ = −  2 8y x= AB ，直线 的方程为： ，直线方程与抛物线方程联立得： ，设 ，因此 ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查了数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力. 16.在三棱锥 中， ，若 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°，则三棱锥 的外接球的表面积_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据线面角的定义，结合已知条件可以计算出该三棱锥的高，以及顶点 在底面射影的位置，再确定球心 的位置，最后根据球的表面积公式进行求解即可. 【详解】设顶点 在底面的射影为 ，因为 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°， 所以有 因为 ，所以 ，且等腰直角三角形 的外接圆的直径为 ，又因为 ，所以点 在线段 的垂直平分线上，而 ，所以四边形 是正方形，即 也是等腰直角三角 形 的外接圆的直径，两条直线交点为 ，显然三棱锥 的外接球的球心 在平面底面 ABC 的 射影就是 ，显然 是三棱锥 的外接球的直径， ， 所以三棱锥 的外接球的表面积为： . 故答案为： 2 2 ( 0)y px p= > AB 2 px my= + 2 2 2 2 02 2 px my y pmy p y px  = + ⇒ − − =  = 2 2 1 2 1 2( , ), ( , )2 2 y yA y B yp p 2 1 2y y p= − 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 2 3 12 4 0 42 2 4 4 y y y yOA OB y y p p p p pp p p   ⋅ = ⋅ + = − = − = − ⇒ = ± > ∴ = 2 8y x= P ABC− 2 3, 3, 90= = = = ∠ = PA PC BA BC ABC P ABC− 15π P P 1O 2 3,PA = 1 1sin 60 3, cos60 3,PO PA AO PA° °= × = = × = 3, 90BA BC ABC = = ∠ = 2 2 6AC AB BC= + = ABC CA PA PC= 1O CA 1 3BA AO= = 1ABCO 1BO ABC D P ABC− O D PB P ABC− 2 2 2 2 1 1 1 15PB PO BO PO AC= + = + = P ABC− 214 ( ) 152 PBp p= 15π 【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，考查了空间想象能力和数学运算能力. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 【解析】 分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 b= ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， ABC sin cos 6b A a B π = −   ( )sin 2A B− 3 π 7b = 3 3 14 3tanB = π 3 7 ( ) 3 32 14sin A B− = ． a b sinA sinB = bsinA asinB= π 6bsinA acos B = −   π 6asinB acos B = −   即 ，可得 ． 又因为 ，可得 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ， 有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a 2K 1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1ACB∆ 1AC AB= = 1 1 / /B C BC 1 12BC B C= 1AB / / 1 1AC C 1 1 1ABC A B C− 1 1CDB C 1 1/ /CC B D 1 / /ADB 1 1AC C 1AB / / 1 1AC C CD ⊥ 1 1ADC A 1 1 1ABC A B C− 1 1 1ABD A B C− 1 1C ADC A− BC 1 1, ,AD B D C D ∵ ， ∴四边形 ， 是平行四边形， ∴ ， ， 在正方形 中， ，∴ ， ∴四边形 为平行四边，∴ ， ∵ ，∴平面 平面 ， 又 平面 ，∴ 平面 （2）在正方形 中， ，又 是等边三角形，所以 , 所以 ， ， 于是 ， ，又 ，∴ 平面 ，∴ ， 又 ， ，∴ 平面 ， 于是多面体 是由直三棱柱 和四棱锥 组成. 又直三棱柱 的体积为 ， 四棱锥 的体积为 ， 故多面体 的体积为 . 考点：（1）直线与平面平行的判定；（2）几何体的体积. 1 1 / /B C BC 1 12BC B C= 1 1BDC B 1 1CDB C 1C D //= 1B B 1 1/ /CC B D 1 1ABB A 1 1/ /BB AA 1C D //= 1AA 1 1ADC A 1 1/ /AD AC 1B D AD D∩ = 1 / /ADB 1 1AC C 1AB ⊂ 1ADB 1AB / / 1 1AC C 1ABB A 1 2A B = 1A BC∆ 1 2= =AC BC 2 2 2 1 1AC AA AC+ = 2 2 2AB AC BC+ = 1AA AC⊥ AC AB⊥ 1AA AB⊥ 1AA ⊥ ABC 1AA CD⊥ CD AD⊥ 1AD AA A∩ = CD ⊥ 1 1ADC A 1 1 1ABC A B C− 1 1 1ABD A B C− 1 1C ADC A− 1 1 1ABD A B C− 1 1 1( 1 1) 12 2 4 × × × × = 1 1C ADC A− 1 2 2 113 2 2 6 × × × = 1 1 1ABC A B C− 1 1 5 4 6 12 + = 20.已知椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，以椭圆 的长轴和短轴为对角线的四 边形的周长为 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）若经过点 的直线 交椭圆 于 两点，是否存在直线 ，使得 到直 线 的距离 满足 恒成立，若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 分析：（Ⅰ）设椭圆 的标准方程为 ，由题意可得 ， ， .则椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）若直线 的斜率不存在,则直线 为任意直线都满足要求；当直线 的斜率存在时，设其方程为： ，与椭圆方程联立有 ，结合韦达定理可得 .则存在直线 ，使得 到直线 的距离 满足 恒成立. 详解：（Ⅰ）设椭圆 的标准方程为 ， ∵ ，∴ ，又∵ ， ∴ ，由 ， 解得 ， ， . 所以椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）若直线 的斜率不存在,则直线 为任意直线都满足要求； C x 3 2e = C 4 5 C (1,0)P l C ,A B 0 0:l x x= 0( 2)x > ,A B 0l ,A Bd d A B PAd d PB = 0x 2 2 14 x y+ = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2a = 1b = 3c = C 2 2 14 x y+ = l 0l l ( )1y k x= − ( )2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 2 0 2 2 8 8 8 1 4 1 4 48 21 4 k k k kx k k − −+ += = −+ 0 : 4l x = ,A B 0l ,A Bd d A B PAd d PB = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 c a = 3 2c a= 2 24 4 5a b+ = 2 2 5a b+ = 2 2 2 21 4b a c a= − = 2a = 1b = 3c = C 2 2 14 x y+ = l 0l 当直线 的斜率存在时，设其方程为： ， 设 ， （不妨令 ）， 则 ， ， ， ， ∵ ，∴ ，解得 . 由 得 ， ， ， . 综上可知存在直线 ，使得 到直线 的距离 满足 恒成立. 点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借 助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形． 21.已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）设函数 ，若 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围； （3）若方程 有两个不相等的实数根 ，求证： . 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）对函数进行求导，根据 的取值不同进行分类讨论函数的单调区间； （2）根据（1）中的单调性求出 在 上的最小值，再对 进行求导，根据单调性求出 l ( )1y k x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 21x x> > 0 1Ad x x= − 0 2Bd x x= − ( )2 11 1PA k x= + − ( )2 21 1PB k x= + − A B PAd d PB = ( ) ( ) 2 10 1 2 0 2 2 1 1 1 1 k xx x x x k x + −− =− + − 1 2 1 1 x x −= − ( ) ( )1 2 1 2 0 1 2 2 2 x x x xx x x − += + − ( ) 2 2 14 1 x y y k x  + =  = − ( )2 2 2 21 4 8 4 4 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 8 1 4 kx x k + = + 2 1 2 2 4 4 1 4 kx x k −= + 2 2 2 2 0 2 2 8 8 8 1 4 1 4 48 21 4 k k k kx k k − −+ += = −+ 0 : 4l x = ,A B 0l ,A Bd d A B PAd d PB = ( ) ( )2 2 lnf x x a x a x= − − − ( )f x ( ) 2 3 2 4 = − − + − ag x x ax a ( ] [ ]0, , 0,∃ ∈ ∈α a β a ( ) ( )−    2a e > a ( )f x ( ]0,x a∈ ( )g x ( )g x 在 上的最大值，计算 的值，然后分类讨论，结合已知以及绝对值的意义进行求 解即可； （3）要证 ，由（1）知由 得 ； 只要证明 即可，根据方程根的性质，求出 的表达式，构造新函数，利用新函数的单调性进行 求解即可. 【详解】（1） （ ） 当 时， ，函数 在 上单调递增； 当 时，由 得 ； 由 得 ，函数 在 上递增，在 上递减 （2）当 时， ， 令 得 （舍去）， 当 时， ， ①当 时，则 显然成立，即 ②当 时，则 ，即 ， 综上 . （3）要证 ，由（1）知由 得 ； 只要证明 即可 ∵ 是方程 的两个不等实根，不妨设 ∴ ， ∴ ， [ ]0,x a∈ ( ) ( )min maxf x g x− 1 2 02 2 +   ′> =     ′   x x aff ( ) 0f x′ > 2 ax > 1 2 2 2 + >x x a a ( ) ( )( )2 1x a xf x x − +′ = 0x > 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 0f x′ > 2 ax > ( ) 0f x′ < 0 2 ax< < ( )f x ,2 a +∞   0, 2 a     ( ]0,x a∈ ( )min 2 ln2 4 2  = = − −   aaf a af ax ( ) 23 2 0′ = − − =xg axx 20, 3 = = − ax x ( ]0,x a∈ ( ) ( ) 2 max 0 4 = = − ag x g a ( ) ( )min max ln 2 af x g x a− = − ln 02 − ≤aa ( ) ( ) min 0− = aa ( ) ( ) ( ) ( )min maxmin ln 2 − = − = − 1 2 02 2 +   ′> =     ′   x x aff ( ) 0f x′ > 2 ax > 1 2 2 2 + >x x a 1 2,x x ( )f x c= 1 20 x x< < ( )2 2 1 1 1 2 2 2( 2) ln , 2 ln− − − = − − − =x a x a x c x a x a x c ( ) ( )2 2 1 1 1 2 2 22 ln 2 ln 0 − − − − − − − = x a x a x x a x a x 即 ，∴ 即证 即证 ， 设 令 ， 则 在 上单调递增， 恒成立，得证. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了利用导数研究不等式能成立问题，考查了利用 导数证明不等式问题，考查了数学运算能力. 二选一：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.已知直线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴的 极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ． (Ⅰ) 求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； (Ⅱ) 设直线 与曲线 相交于 两点，求 的值． 【答案】(1) ;(2)4. 【解析】 分析：（1）利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化； （2）代入建立一元二次方程，利用根和系数的关系求出结果. 详解：(1)∵直线 的参数方程为 （ 为参数）， ∴直线 的普通方程为 ， 即 ，∴直线 的极坐标方程： ， 又∵曲线 的极坐标方程为 ， ， ， 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ln ln + − −= + − − x x x xa x x x x 02  ′ =   af 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 ln ln + − −+ > + − − x x x xx x x x x x 1 1 2 2 1 2 2 2ln x x x x x x −< + ( )1 2 0,1xt x = ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 12 2ln , 01 1 −− ′= − = ≥+ + ttg t t g tt t t ( )g t ( )0,1 ( ) ( )1 0g t g< = l 1 3 3 x t y t = + = + t O x C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − l C l C ,A B OA OB⋅ 2 2( 2) ( 3) 3x y− + − = l 1 3 3 x t y t = + = + t l ( )3 3 1y x= + − 3y x= l = 3 πθ C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − cosx ρ θ= siny ρ θ= ∴ ，即 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 . (2)∵将直线 ： 代入曲线 的极坐标方程： 得： ， 设直线 与曲线 的两交点 的极坐标分别为 ， ，∴ ， ∴ ． 点睛：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关 系的应用. 23.已知 ， ，且 . (1)若 恒成立，求 的取值范围； (2)证明： . 【答案】（1） ；（2）见解析. 【解析】 分析：（1）运用乘 1 法和基本不等式可得 + 的最小值，再由绝对值不等式的解法，即可得到所求范 围； （2））变形、运用基本不等式或柯西不等式，即可得证． 详解：（1）设 由 ，得 . 故 . 所以 . 当 时， ，得 ； 2 2 4 2 3 4x y x y+ = + − ( ) ( )222 3 3x y− + − = C ( ) ( )222 3 3x y− + − = l = 3 πθ C 2 4 cos 2 3 sin 4ρ ρ θ ρ θ= + − 2 5 4 0ρ ρ− + = l C ,A B ( )1 1,A ρ θ ( )2 2,B ρ θ 1 2 4ρ ρ = 1 2 1 2 4OA OB ρ ρ ρ ρ⋅ = ⋅ = = 0a > 0b > 2 2 2a b+ = 2 2 1 4 2 1 1x xa b + ≥ − − − x ( )5 51 1 4a ba b  + + ≥   9 9{ | }2 2x x− ≤ ≤ 2 1 a 2 4 b , 1 12 1 1 3 2, 12 1, 2 x x y x x x x x x   ≥ = − − − = − ≤