2019 届高三年级 5 月份三校联考
数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置
1.已知集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则∁U（A∪B）＝_____．
【答案】{5}．
【解析】
【分析】
根据 A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，求得 A∪B，再求其补集.
【详解】因为 A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，
所以 A∪B= .
又因为集合 U＝{1，2，3，4，5}，
所以∁U（A∪B）＝{5}.
故答案为：{5}
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查运算求解的能力，属于基础题.
2.若 ，其中 为虚数单位， ，则 的值为________.
【答案】-2
【解析】
【分析】
先由复数的除法运算化简 ，再由复数相等的充要条件，即可求出结果.
【详解】因为 ，
又 ，所以 ，
所以有 ，解得 ，因此
故答案为
【点睛】本题主要考查复数的运算，以及由复数相等求参数，熟记复数运算法则以及复数相等的充要条件
即可，属于基础题型.
.
{ }1,2,3,4
11
a bii
+ =− i ,a b∈R ab
1
a bii
+−
(1 )
1 (1 )(1 ) 2 2 2
a a i a ai a abi bi bi b ii i i
+ + + = + = + = + + − − +
11
a bii
+ =− 12 2
a a b i + + =
12
02
a
a b
=
+ =
2, 1a b= = − 2ab = −
2−3.设实数 x，y 满足 ，则 2x+3y 的最大值为______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
根据约束条件，画出可行域，再平移直线 ，结合图象找到最优点求解.
【详解】作出实数 x，y 满足 ，所对应的可行域，如图阴影部分所示：
变形目标函数 Z=2x+3y 可得： ，
平移直线 可知：
当直线经过点 A（ ）时，直线在 y 轴上的截距最大，
此时，目标函数 Z=2x+3y 取得最大值为： ..
故答案为：
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题.
4.在体积为 的球内随机取一点，则该点到球心距离不超过 的概率为______．
0
1
2 1
x y
x y
x y
− ≥
+ ≤
+ ≥
5
2
2
3y x= −
0
1
2 1
x y
x y
x y
− ≥
+ ≤
+ ≥
2
3 3
Zy x= − +
2
3y x= −
1 1,2 2
5
2
5
2
4
3
π 1
2【答案】 ．
【解析】
【分析】
首先明确这是一个几何概型的体积模型，先求以 为半径的球的体积，再代入概率公式求解.
【详解】根据题意：以 为半径的球的体积为 ，
所以该点到球心距离不超过 的概率 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查几何概型 概率求法，还考查运算求解的能力，属于基础题.
5.执行如图程序框图．若输入 a 的值为 6，b 的值为 9，则执行该程序框图输出的结果为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由输入 a 的值为 6，b 的值为 9，根据循环条件，执行验证即可.
【详解】因为输入 a 的值为 6，b 的值为 9，
所以 ，执行 ，此时，
所以 ，执行 ，此时，
的
1
8
1
2
1
2
34 1 4
3 8 3
rV
π π= =
1
2
1 4
18 3
4 8
3
p
π
π= =
1
8
a b< b b a= − 6, 3a b= =
a b> a a b= − 3, 3a b= =所以 ，结束，输出 3.
故答案为：3
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构，还考查理解辨析的能力，属于基础题.
6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知等轴双曲线过点（2，1），则双曲线 标准方程为_______．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
设等轴双曲线方程为 ，根据过点（2，1）求解.
【详解】设等轴双曲线方程为 ，
因为过点（2，1），
所以 ，
解得： ，
所以双曲线的标准方程为： ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的方程，还考查运算求解的能力，属于基础题.
7.已知一个圆锥的高为 ，其体积为 ，则该圆锥的侧面积为_______．
【答案】2π．
【解析】
【分析】
根据圆锥的高为 ，其体积为 ，利用 求得底面半径，再代入侧面
积公式求解.
【详解】因为圆锥的高为 ，其体积为 ，
所以 ，
的
a b=
2 2
13 3
x y− =
( )2 2
1, 0x y aa a
− = ≠
( )2 2
1, 0x y aa a
− = ≠
4 1 1a a
− =
3a =
22
13 3
yx − =
22
13 3
yx − =
3 3
3
π
3 3
3
π 2 21 1 333 3 3V R h R
ππ π= = × =
3 3
3
π
2 21 1 333 3 3V R h R
ππ π= = × =解得：
所以该圆锥的侧面积为 .
故答案为：2π
【点睛】本题主要考查圆锥的体积和侧面积公式，还考查运算求解的能力，属于基础题.
8.已知等差数列{an}，满足 a4＝2，且 a1，a2，a4 成等比数列，则 a3 的所有值为______．
【答案】 ，2．
【解析】
【分析】
设等差数列{an}的公差为 d，根据 a4＝2，有 ，再根据 a1，a2，a4 成等比数列，有 ，
即 ，两式联立求解.
【详解】设等差数列{an}的公差为 d，
因为 a4＝2，
所以 ，
又因为 a1，a2，a4 成等比数列，
所以 ，
即 ，
解得：a3＝ 或 a3＝2．
故答案为： ，2．
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算和等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.
9.如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，已知点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在边 BC
上，若 ，则线段 BD 的长为______．
【答案】
.1R =
2 2 2S Rl R R hπ π π= = + =
3
2
3 2a d+ = 2
2 1 4a a a= ⋅
( ) ( ) ( )2
3 3 32a d a d a d− = − ⋅ +
3 2a d+ =
2
2 1 4a a a= ⋅
( ) ( ) ( )2
3 3 32a d a d a d− = − ⋅ +
3
2
3
2
13
4DE DF⋅ =
3
2【解析】
【分析】
根据在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，得到
建立平面直角坐标系，用坐标法由 求解.
【详解】因为在△ABC 中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，
所以
建立如图所示平面直角坐标系
设 则 ，
因为 ，
所以 ，
解得： ，
所以线段 BD 的长为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
10.已知实数 x，y 满足 xy﹣5＝4x+y，且 x＞1，则 的最小值为________．
【答案】
AC BC⊥
13
4DE DF⋅ =
AC BC⊥
( )0, ,D t ( ) ( ) ( ) ( )2,0 , 0,2 3 , 1, 3 , 1,0A B E F ( ) ( )1, 3 , 1,DE t DF t= − −
13
4DE DF⋅ =
( )( ) 131 3 4t t+ − − =
3 3
2t =
3
2
3
2
1 4
1 4x y
+− −
4
3【解析】
【分析】
根据 xy﹣5＝4x+y，将 转化为 ，
再利用基本不等式和不等式的解法由 xy﹣5＝4x+y ，得到 求解.
【详解】因为实数 x，y 满足 xy﹣5＝4x+y，
所以 ，
又因为 xy﹣5＝4x+y ，
所以 ，
解得 ，
即 ，当且仅当 ，即 时，取等号.
所以 .
的最小值为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
11.若函数 f（x）＝ax2+a+1（a∈R）存在零点，且与函数 f（f（x））的零点完全相同，则实数 a 的值为
______．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
由函数 f（x）＝ax2+a+1（a∈R）存在零点，不妨设 为函数 f（x）的零点，再根据与函数 f（f（x））的零
点完全相同，由 f（f（ ））= f（0）=0 求解.
【详解】因为函数 f（x）＝ax2+a+1（a∈R）存在零点，
不妨设 为函数 f（x）＝ax2+a+1（a∈R）的零点，
1 4
1 4x y
+− − ( )( ) ( )
1 4 4 8 4 8 13
1 4 1 4 4 4 9
x y x y xy
x y x y xy x y
+ − + − −+ = = =− − − − − + +
2 xy≥ 25xy ≥
( )( ) ( )
1 4 4 8 4 8 13
1 4 1 4 4 4 9
x y x y xy
x y x y xy x y
+ − + − −+ = = =− − − − − + +
2 xy≥
( )2
4 5 0xy xy− − ≥
5xy ≥
25xy ≥ 2 , 5 4x y xy x y= − = + 5 2 , 5 22x y= =
1 4 4
1 4 3x y
+ ≥− −
1 4
1 4x y
+− −
4
3
4
3
0x
0x
0x又因为与函数 f（f（x））的零点完全相同，
所以 f（f（ ））= f（0）=0，
所以 .
故答案为：-1
【点睛】本题主要考查函数零点的应用，还考查了运算求解的能力，属于常考题.
12.在平面直角坐标系 xOy 中，过 C： 1（a＞b＞0）的左焦点 F 作斜率为 1 的直线与圆 C：x2+y2＝
b2 交于 A，B 两点．若∠AOB≤90°，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_____．
【答案】[ ）
【解析】
【分析】
根据题意，设直线方程为 y=x+c，求得圆心到直线的距离为： ，再利用∠AOB≤90°，有
求解.
【详解】C： 1（a＞b＞0）的左焦点 F（-c，0）
设直线方程为 y=x+c，圆心到直线的距离为：
因为∠AOB≤90°，所以
即 ，
所以 ，解得
故答案为：[ ）
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
13.在 中，已知 边上的中线 ，且 ， ， 成等差数列，则 的长为
________.
0x
1a = −
2 2
2 2
x y
a b
+ =
2 6
2 3
2
cd = 2 12
d
b
≤ <
2 2
2 2
x y
a b
+ =
2
cd =
2 12
d
b
≤ <
2 12 2
c
b
≤ < 2 2 22b c b≤ <
2 2
2 2
2
3 2
a c
c a
≤
1 0t− ≤ ≤
( )( )1 1 2 0t t− + − + − < 3− ＜
3− ＜ 2 −＜
3≥ − 2≤ −
3− ≤ 2≤ −已知函数
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数 在区间 上的值域
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）函数 在区间 上的值域为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式化简函数 ，由周期公式以及正弦函数的对称
轴求解即可；
（Ⅱ）由正弦函数的单调性求得函数函数 在区间 的单调性，比较 的大小，即
可得出值域.
【详解】（Ⅰ）
则对称轴方程为
（Ⅱ）
因为 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 当 时， 取最大值 1
( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x
π π π= − + − +
( )f x
( )f x [ , ]12 2
π π−
( )f x [ , ]12 2
π π− 3[ ,1]2
−
( )f x
( )f x [ , ]12 2
π π− ( ), ( )12 2f f
π π−
( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )3 4 4f x x x x
π π π= − + − +
1 3cos2 sin 2 (sin cos )(sin cos )2 2x x x x x x= + + − +
2 21 3cos2 sin 2 sin cos2 2x x x x= + + −
1 3cos2 sin 2 cos22 2x x x= + −
πsin(2 )6x= −
2
2T
π π∴ = =
2 6 2 3 2
kx k x
π π π ππ− = + ⇒ = +
,3 2
kx k Z
π π= + ∈
5[ , ], 2 [ , ]12 2 6 3 6x x
π π π π π∈ − ∴ − ∈ −
( ) sin(2 )6f x x π= − [ , ]12 3
π π− [ , ]3 2
π π
3x
π= ( )f x又 ， 当 时， 取最小值
所以 函数 在区间 上的值域为
【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式以及辅助角公式，正弦函数的性质，求正弦型函数
的值域，属于中档题.
16.如图，在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 为 D1D 的中点，AC 与 BD 的交点为 O．
（1）求证：EO⊥平面 AB1C；
（2）在由正方体的顶点确定的平面中，是否存在与平面 AB1C 平行的平面？证明你的结论
【答案】（1）见解析（2）存在平面 A1C1D 与平面 AB1C 平行．见解析
【解析】
【分析】
（1）根据正方体的几何特征，易证 AC⊥平面 BDD1B1，则 AC⊥EO．在矩形 BDD1B1 中，利用勾股定理，
有 ，即 B1O⊥OE，再利用线面垂直的判定定理证明.
（2）存在平面 A1C1D 与平面 AB1C 平行．在正方体中，易得 A1C1∥平面 AB1C，A1D∥平面 AB1C，利用面
面平行的判定定理证明.
【详解】（1）如图所示：连结 B1D1，
在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AC⊥BD，BB1⊥AC，
又 BB1⊂平面 BDD1B1，BD⊂平面 BDD1B1，且 BB1∩BD＝B，
所以 AC⊥平面 BDD1B1，
连结 B1O，B1E，
3 1( ) ( )12 2 2 2f f
π π− = − < = ∴
12x
π= − ( )f x 3
2
−
( )f x [ , ]12 2
π π− 3[ ,1]2
−
2 2 2
1 1B O OE B E+ =又 EO⊂平面 BDD1B1，则 AC⊥EO．
在矩形 BDD1B1 中，设 DD1＝1，则 ，
所以 ，
则 ，即 B1O⊥OE．
又 B1O⊂平面 AB1C，EO⊂平面 AB1C，且 B1O∩EO＝O，
所以 OE⊥平面 AB1C；
（2）存在平面 A1C1D 与平面 AB1C 平行．
证明如下：在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，A1C1∥AC，A1D∥B1C，
又 AC⊂平面 AB1C，B1C⊂平面 AB1C，A1C1⊄平面 AB1C，A1D⊄平面 AB1C，
所以 A1C1∥平面 AB1C，A1D∥平面 AB1C，
又 A1C1⊂平面 A1C1D，A1D⊂平面 A1C1D，且 A1C1∩A1D＝A1，
所以平面 A1C1D∥平面 AB1C．
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和面面平行的判定定理，还考查了转化化归的思想和推理论证
的能力，属于中档题.
17.某亲子公园拟建议广告牌，将边长为 米的正方形 ABCD 和边长为 1 米的正方形 AEFG 在 A 点处
焊接，AM、AN、GM、DN 均用加强钢管支撑，其中支撑钢管 GM、DN 垂直于地面于 M 点和 N 点，
且 GM、DN、MN 长度相等 不计焊接点大小
若 时，求焊接点 A 离地面距离；
若记 ，求加强钢管 AN 最长为多少？
2BD =
1 1
6 3 3
2 2 2B O EO B E= = =， ，
2 2 2
1 1B O OE B E+ =
2
.( )
( )1 AG AD⊥
( )2 GAD∠ θ=【答案】（1） 米；（2）加强钢管AN 最长为 3 米．
【解析】
【分析】
（1） ，可用勾股定理求得 ，再由直角三角形面积公式求得斜边上的高，从而可得 A 点到地
面的距离；
（2）在 中用余弦定理表示出 ，设 ，由正弦定理用 表示出 ，在 中用
余弦定理表示出 ，并代入 ，最终把 表示为 的函数，最后由三角函数的性质可得最值．
【详解】 当 时，
求焊接点 A 离 GD 的距离 ，
所以：点 A 离地面的距离为 米；
在 中，由于 ，
利用余弦定理： ，
所以： ，
设 ，
在 中，利用余弦定理： ，
所以： ，
在 中，由正弦定理得： ，
所以： ，
代入 式得 ，其中 ；
所以当 时， 最大，最大值为 ；
所以加强钢管 AN 最长为 3 米．
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，解题关键是建立函数关系式，为此必须确定选用哪个公式计算，
正弦定理与余弦定理是解题的关键与基础．
63 3
+
AG AD⊥ GD
AGD∆ GD ADG α∠ = θ sinα ADN∆
AN sinα AN θ
( )1 AG AD⊥ 2 2 3GD GA AD= + =
2 6
33
AG ADh GD
⋅= = =
63 3
+
( )2 AGD GAD∠ θ=
2 2 2 2 cosGD AG AD AG AD θ= + − ⋅ ⋅
2 3 2 2cosND θ= −
ADG∠ α=
AND
2 2 2 2 cos 2AN AD ND AD ND
πα = + − ⋅ ⋅ +
2 2 3 2 2cos 2 2 sinAN NDθ α= + − + ⋅ ⋅ …①
AGD sin sin
AG GD
α θ=
sin sin sin sinND GD AGα α θ θ⋅ = ⋅ = ⋅ = …②
② ① 2 5 2 2cos 2 2sin 5 4sin 4AN
πθ θ θ = − + = + − 0 θ π< <
3
4
πθ = 2AN 5 4 9+ =18.已知圆 C 与圆 C1：5x2+5y2﹣mx﹣16y+32＝0 外切于点 P（ ），且与 y 轴相切．
（1）求圆 C 的方程
（2）过点 O 作直线 l1，l2 分别交圆 C 于 A、B 两点，若 l1，l2 斜率之积为﹣2，求△ABC 面积 S 的最大值
【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝1；（2） ．
【解析】
【分析】
（ 1 ） 根 据 P （ ） 在 圆 C1 上 ， 有 ， 求 得 m ＝ 22 ， 得
，C1P 方程为 4x﹣3y﹣4＝0，设 C（x0，y0）（x0＞0），根据圆 C 与 y 轴相切和圆 C 与圆 C1 外切
于 P，建立方程组 求解.
（2）根据题意设 l1：y＝kx，l2：y x，由 ，消去 y 得（k2+1）x2+2x＝0，解得 x＝0，
，得到 ，同理可得 ，①当直线 AB 的斜率不存在时，易
得 ；②当直线 AB 的斜率存在时，直线 AB 的方程为
，化简得 ，直线 AB 恒过 ，然后由
8 4
5 5
，
4 2
9
8 4
5 5
， 2 28 4 8 45 ( ) 5 ( ) 16 32 05 5 5 5m× + × − − × + =
1
11 8
5 5C
，
0 0
2
0 0
4 3 4 0
4 81 3 5
x y
x x
− − =
+ − =
2
k
= − 2 2( 1) 1
y kx
x y
=
− + =
2
2
1x k
= + 2 2
2 2
1 1
kA k k
+ + ，
2
2 2
2 4
4 4
k kB k k
− + +
，
1 4 2 4 2
3 3 9ABCS = × =
2 2 2
2 3 2
1 2 1
k ky xk k k
− = − + − + 2
3 2
2 3
ky xk
= − −
2 03M
，求解.
【详解】（1）∵P（ ）在圆 C1 上，∴ ，
解得 m＝22，
∴圆 ，得 ，
可得 C1P 方程为 4x﹣3y﹣4＝0，
设 C（x0，y0）（x0＞0），
∵圆 C 与 y 轴相切，∴r＝x0，
又圆 C 与圆 C1 外切于 P，∴C 在直线 C1P 上，且 CP＝r，
则 ，解得 或 ，
∵圆 C 与圆 C1 外切，∴C（1，0），
∴圆 C 的方程为（x﹣1）2+y2＝1；
（2）如图所示：
设直线 l1 的斜率为 k（不妨设 k＞0），则直线 l2 的斜率为 ，
∴l1：y＝kx，l2：y x，
由 ，消去 y 得（k2+1）x2+2x＝0，
解得 x＝0， ，∴ ，
3
2 2 4 2
2
2
2
1 1 2 4 22 2 42 3 1 4 5 4 5
A B
kk k k k kS y y OM k k k k k k
+ + = − ⋅ = + = = + + + + + +
8 4
5 5
， 2 28 4 8 45 ( ) 5 ( ) 16 32 05 5 5 5m× + × − − × + =
2 2
1 5 5 22 16 32 0C x y x y+ − − + =： 1
11 8
5 5C
，
0 0
2
0 0
4 3 4 0
4 81 3 5
x y
x x
− − =
+ − =
0
0
1
0
x
y
=
=
0
0
4
4
x
y
=
=
2
k
−
2
k
= −
2 2( 1) 1
y kx
x y
=
− + =
2
2
1x k
= + 2 2
2 2
1 1
kA k k
+ + ，以 代 k 同理可得 ，
①当直线 AB 的斜率不存在时，
由 ，得 ，弦 AB 的长度为 ， ；
②当直线 AB 的斜率存在时， ，
∴直线 AB 的方程为 ，化简得 ，
∴直线 AB 恒过 ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
设 ， ，
∴f（t）在 上单调增，得 ，
∴ ．
综上，△ABC 面积 S 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能
力，属于中档题.
19.定义：从数列{an}中抽取 m（m∈N，m≥3）项按其在{an}中的次序排列形成一个新数列{bn}，则称{bn}为
{an}的子数列；若{bn}成等差（或等比），则称{bn}为{an}的等差（或等比）子数列．
（1）记数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 ．
①求数列{an}的通项公式；
2
k
−
2
2 2
2 4
4 4
k kB k k
− + +
，
2
2 2
2 2
4 1
k
k k
=+ + 2k = 4 2
3
1 4 2 4 2
3 3 9ABCS = × =
2 2
2 2
2 2
2 4
31 4
2 2 2
1 4
AB
k k
kk kk k k
k k
++ += = −−+ +
2 2 2
2 3 2
1 2 1
k ky xk k k
− = − + − + 2
3 2
2 3
ky xk
= − −
2 03M
，
3
2 2 4 2
2
2
2
1 1 2 4 22 2 42 3 1 4 5 4 5
A B
kk k k k kS y y OM k k k k k k
+ + = − ⋅ = + = = + + + + + +
2k tk
+ = 2 2t ≥ 2
2 2
11
tS t t t
= =+ +
( ) ( )1 2 2f t t tt
= + ≥ ( ) 2
2
1' 0tf t t
−= ＞
)2 2 + ∞ ， 9( )
2 2minf t =
4 2
9maxS =
4 2
9
2 1n
nS = −②数列{an}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由．
（2）已知数列{an}的通项公式为 an＝n+a（a∈Q+），证明：{an}存在等比子数列．
【答案】（1）① ．②不存在等差子数列．见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）①根据 ，当 n＝1 时， ，当 n≥2 时，得到 ，两式相减即可.②假
设从数列{an}中抽 3 项 ak，al，am（k＜l＜m）成等差，利用等差中项则 2al＝ak+am，即 2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，
化简得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．再利用奇偶数判断.如果从数列{an}中抽 m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等
差数列，不成立得证.
（2）假设数列{an}中存在 3 项 n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设 n0+a＝b，则 b∈Q+，故可设
（p 与 q 是互质的正整数）．根据等比中项，有 ，即
．取 k＝q，则 l＝2k+pq．再论证（b+k）2=b（b+l）是否成立即可.
【详解】（1）①因为 ，所以当 n＝1 时， ，
当 n≥2 时， ，所以 ．
综上可知： ．
②假设从数列{an}中抽 3 项 ak，al，am（k＜l＜m）成等差，
则 2al＝ak+am，即 2×2l﹣1＝2k﹣1+2m﹣1，
化简得：2×2l﹣k＝1+2m﹣k．
因为 k＜l＜m，所以 l﹣k＞0，m﹣k＞0，且 l﹣k，m﹣k 都是整数，
所以 2×2l﹣k 为偶数，1+2m﹣k 为奇数，所以 2×2l﹣k＝1+2m﹣k 不成立．
因此，数列{an}不存在三项等差子数列．
若从数列{an}中抽 m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立．
综上可知，数列{an}不存在等差子数列．
（2）假设数列{an}中存在 3 项 n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．
设 n0+a＝b，则 b∈Q+，故可设 （p 与 q 是互质的正整数）．
12n
na −=
2 1n
nS = − 1
1 2 1 1a = − = 1
1 2 1n
nS −
− = −
qb p
=
( )( )2
0 0 0( )n a k n a n a l+ + = + + +
2 2
2 2k pkl k kb q
= + = +
2 1n
nS = − 1
1 2 1 1a = − =
1
1 2 1n
nS −
− = − ( ) ( )1 12 1 2 1 2n n n
na − −= − − − =
12n
na -=
qb p
=则需满足 ，
即需满足（b+k）2＝b（b+l），则需满足 ．
取 k＝q，则 l＝2k+pq．
此时 ， ．
故此时（b+k）2＝b（b+l）成立．
因此数列{an}中存在 3 项 n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比，
所以数列{an}存在等比子数列．
【点睛】本题主要考查数列的通项和前 n 项和之间的关系以及数列新定义问题，还考查了一般与特殊的思
想和推理论证的能力，属于难题.
20.已知函数 f（x） ．
（1）当 a≤e 时，求证：当 x＝1 时函数 f（x）取得极小值：
（2）若函数 f（x）有 4 个零点，求 a 的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）a＞6e
【解析】
【分析】
（1）由题可得 f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．①当 a≤0 时，对任意 x∈（0，+∞），都有 ex﹣ax＞0 恒成立，
易得函数 f（x）在 x＝1 处取得极小值，②当 0≤a≤e 时，令 g（x）＝ex﹣ax，令 g′（x）＝0，得 x＝lna，
再论证当 1＜a≤e，0＜a≤1 时，都有 ex﹣ax≥0 恒成立即可．
（2）由（1）知当 a≤e 时，当 x＝1 时函数 f（x）取得极小值，所以 f（x）最多有 2 个零点；当 a≥0 时，ex﹣ax
＞0，f'（x）＜0，即 f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所以 f（x）最多有 2 个零点；当 a＜0 时，设 g（x）＝
ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又 ，由零点存在定理，存在 使得 g
（x0）＝0，是 f（x）的极大值点，所以 f（x）最多有 3 个零点；所以要使得 f（x）有 4 个零点，则 a＞e，
根据（1）知，g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，又 g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2
＞0，由零点存在定理，则存在 0＜x1＜1＜x2，使得 g（x1）＝g（x2）＝0，所以 f'（x）＝0 有 3 个零点 x1，
1，x2，要有 4 个零点，则 即可.
【详解】（1）由题可得 f'（x）＝（x﹣1）（ex﹣ax）．
( )( )2
0 0 0( )n a k n a n a l+ + = + + +
2 2
2 2k pkl k kb q
= + = +
2 2
2 2 2
2( ) ( ) 2q q qb q q qp p p
+ = + = + + ( ) 2 2
2
22 2q q q qb b l q pq qp p p p
+ = + + = + +
( ) 3 21 12 3 2
xx e ax ax= − − +
( ) 110 1 1 0ag g ea
= = − ， ＜ 0
1 0x a
∈ ，
( ) 11 06f a e= − ＞①当 a≤0 时，对任意 x∈（0，+∞），都有 ex﹣ax＞0 恒成立，
所以当 0＜x＜1 时，f′（x）＜0；当 x＞1 时，f′（x）＞0．
所以函数 f（x）在 x＝1 处取得极小值，符合题意．
②当 0≤a≤e 时，设 g（x）＝ex﹣ax，依然取 x∈（0，+∞）．
则 g′（x）＝ex﹣a，令 g′（x）＝0，得 x＝lna，
当 1＜a≤e 时，lna＞0，所以 g（x）在（0，lna）上单调递减，在区间（lna，+∞）上单调递增，
所以 g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）．
因为 1＜a≤e，所以 g（x）min＝a（1﹣lna）≥0．当且仅当 a＝e 时，等号成立，此时 x＝1，
所以对任意 x∈（0，1）∪（1，+∞），都有 ex﹣ax≥0 恒成立．
当 0＜a≤1 时，由 x∈（0，+∞）时 ex＞1 得 g′（x）＝ex﹣a≥0，
所以当 0＜x＜1 时，f′（x）＜0；当 x＞1 时，f′（x）＞0．
所以函数 f（x）在 x＝1 处取得极小值，符合题意．
综上①②可知：当 a≤e 时 x＝1 是函数 f（x）的极小值点．
（2）由（1）得当 a≤e 时，f（x）在（0，1）上单调减，在（1，+∞）单调增；
在 x≤0 时，x﹣1＜0，
当 a≥0 时，ex﹣ax＞0，f'（x）＜0，即 f（x）在（﹣∞，0]上单调减，所以 f（x）最多有 2 个零点；
当 a＜0 时，设 g（x）＝ex﹣ax，g'（x）＝ex﹣a＞0，又 ，
所以存在 使得 g（x0）＝0，则
在（﹣∞，x0）上 g（x）＜0，f'（x）＞0，f（x）单调增，
在（x0，0]上，g（x）＞0，f'（x）＜0，f（x）单调减，
所以 f（x）最多有 3 个零点；
所以要使得有 4 个零点，a＞e，
由（1）得 g（x）min＝g（lna）＝a（1﹣lna）＜0，
又 g（1）＝e﹣a＜0，g（0）＝1＞0，g（a）＝ea﹣a2＞0
（证明：h（a）＝a﹣2lna（a＞2），则 ，
所以 h（a）在（2，+∞）单调增，所以在（e，+∞）上 h（a）＞h（e）＝e﹣2＞0，所以 a＞2lna，即 ea＞
a2，
所以存在 0＜x1＜1＜x2，使得 g（x1）＝g（x2）＝0，
( ) 110 1 1 0ag g ea
= = − ， ＜
0
1 0x a
∈ ，
( ) 2 2' 1 0eh a a a
−= − = ＞又当 x≤0 时，g（x）＞0，所以 f'（x）＝0 有 3 个零点 x1，1，x2，
当 x＜x1，或 1＜x＜x2，f′（x）＜0，函数 f（x）单调递减，
当 x＞x2，或 x1＜x＜1，f′（x）＞0，函数 f（x）单调递增，
所以要有 4 个零点， ，即 a＞6e，
此时 ，f（0）＝﹣2＜0， ，
设 m（a）＝a﹣3lna（a＞3）， ，
所以在（6e，+∞）上 m（a）＞m（6e）＞m（e2）＝e2﹣6＞0，
所以 a＞3lna，即 ea＞a3，
又 ，
综上，当且仅当 a＞6e 时，函数 f（x）有 4 个零点．
【点睛】本题主要考查导数与函数的极值、最值和零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，
属于难题.
(附加题)
每题满分 10 分，计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
[选修 4-2：矩阵与变换]
21.已知矩阵 A 将点（1，0）变换为（2，3），且属于特征值 3 的一个特征向量是 ，求矩阵 A．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先设 ，由二阶矩阵 M 有特征值 3 和对应的一个特征向量及矩阵 M 对应的变换将点（1，0）变
换为（2，3），建立方程组求解.
【详解】设 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ，
( ) 11 06f a e= − ＞
( ) 3 5 31 5 06f a ee e
− = − + − +＞ ＞ ( ) 8 22 2 03 3f a a a= − + = − ＜
( ) 3' 0am a a
−= ＞
( ) ( ) ( )4 3 3 4 3 31 1 1 1 2 32 2 03 2 3 2 3 2
af a a e a a a a a a a a = − − + − − + = − ＞ ＞
1
1
2 1
3 0A
=
a bA c d
=
a bA c d
=
1 2
0 3
a b
c d
=
2
3
a
c
=
=
1 1 331 1 3
a b
c d
= =
3
3
a b
c d
+ =
+ =
2
0
b
d
=
=所以 ．
【点睛】本题主要考查二阶矩阵、特征值与特征向量的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22.已知直线的参数方程为 （t 为参数，α∈[0，π）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝ρcosθ+2，
（1）若 ，求直线的极坐标方程
（2）若直线与曲线 C 有唯一公共点，求 α
【答案】（1） ．（2）α＝0、 或
【解析】
【分析】
（1）当 时，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），先转化为直角坐标方程，再得到直
线 l 的极坐标方程.
（2）先将曲线 C 的极坐标方程 ρ＝ρcosθ+2，化为直角坐标方程 y2＝4x+4，再将参数方程
代入 y2＝4x+4，化简得 t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，然后根据直线 l 曲线 C 一公共点，转化为关于 t 的
方程 t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，α∈[0，π）有唯一解求解.
【详解】（1）当 时，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），所以直角坐标方程为 x+y＝
0，
由于直线经过极点且倾斜角为 ，所以直线 l 的极坐标方程 ．
（2）ρ＝ρcosθ+2，所以 ρ2＝（ρcosθ+2）2，
即 x2+y2＝（x+2）2，即 y2＝4x+4，
2 1
3 0A
=
1
1
x tcos
y tcos
α
α
= − +
= +
3
4
πα =
3
4
πθ =
2
πα =
4
πα =
3
4
πα =
21 2
21 2
x t
y t
= − −
= +
1
1
x tcos
y tsin
α
α
= − +
= +
3
4
πα =
21 2
21 2
x t
y t
= − −
= +
3
4
π 3
4
πθ =将参数方程 代入 y2＝4x+4，
化简得，t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0
因为直线 l 曲线 C 一个公共点，
所以关于 t 的方程 t2sin2α+2t（sinα﹣2cosα）+1＝0，α∈[0，π）有唯一解
①当 sin2α＝0 即 α＝0 时， 符合题意；
②当 cosα≠0 时，[2（sinα﹣2cosα）]2﹣4sin2α＝0，
即 cosα（cosα﹣sinα）＝0，
所以 cosα＝0 或 cosα＝sinα，
又 α∈[0，π），所以 或
综上，直线 l 与曲线 C 唯一公共点时，α＝0、 或
【点睛】本题主要考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了
运算求解的能力，属于中档题.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答.解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤
23.某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：
质量指标值 m 25≤m＜35
15≤m＜25 或 35≤m＜
45
0＜m＜15 或 45≤m＜
65
等级 一等品 二等品 三等品
某企业从生产的这种产品中抽取 100 件产品作为样本，检测其质量指标值，得到下图的率分布直方图．（同
一组数据用该区间的中点值作代表）
1
1
x tcos
y tsin
α
α
= − +
= +
1
4t =
2
πα =
4
πα =
2
πα =
4
πα =（1）该企业为提高产品质量，开展了质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品三等品数 Y 近似满足 Y～
H（10，15，100），请测算“质量提升月”活动后这种产品的“二等品率“（一、二等品其占全部产品百分比）
较活动前提高多少个百分点？
（2）若企业每件一等品售价 180 元，每件二等品售价 150 元，每件三等品售价 120 元，以样本中的频率代
替相应概率，现有一名联客随机购买两件产品，设其支付的费用为 X（单位：元），求 X 的分布列及数学期
望．
【答案】（1）5 个百分点．（2）见解析， ．
【解析】
【分析】
（1）根据抽样调查数据，求得样本中一等品和二等品的件数，得到在样本中所占比例，再根据活动后产品
三等品数 Y 近似满足 Y～H（10，15，100）得到一、二等品的合格率，两个比例比较即可.
（2）根据样品估计总体，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 ，二等品的概率为 ，三等品的
概率为 ，再明确随机变量 X 的所有可能取值为 240，270，300，330，360，分别求得相应概率，写出分布
列再求期望.
【详解】（1）根据抽样调查数据知，样本中一等品和二等品共有：（0.5+0.18+0.12）×100＝80（件）
在样本中所占比例为 80%，
活动后产品三等品数 Y 近似满足 Y～H（10，15，100），
所以 100 件产品中三等品为 15 件，一、二等品数为 100﹣15＝85（件）合格率为 85%，
所以一、二等品率增加了 5 个百分点．
（2）由样品估计总体知，该企业随机抽取一件产品为一等品的概率为 ，二等品的概率为 ，三等品的
概率为 ，
随机变量 X 的所有可能取值为 240，270，300，330，360．
318
1
2
3
10
1
5
1
2
3
10
1
5，
，
，
．
，
所以 X 的分布列为：
X 240 270 300 330 360
P（X）
X 的数学期望 ．
【点睛】本题主要考查样本估计总体和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于
中档题.
24.已知数列{an}满足 ．
（1）求 a1，a2，a3 的值；
（2）对任意正整数 n，an 小数点后第一位数字是多少？请说明理由．
【答案】（1） ， ， ；（2）a1，a2 小数点后第一位数字均为 5，当 n≥3，n∈N*时，an
小数点后第一位数字均为 6．见解析
【解析】
【分析】
（1）因为数列{an}满足 ，令 n=1，n=2，n=3，分别求解.
（2）根据 a1，a2 小数点后第一位数字均为 5，a3 小数点后第一位数字为 6，猜想对任意正整数 n（n≥3），均
有 0.6＜an＜0.7，根据 ，所以对任意正整数 n
( ) 1 1 1240 5 5 25P X = = × =
( ) 1
2
3 1 3270 10 5 25P X C= = × × =
( ) 1
2
1 1 3 3 29300 2 5 10 10 100P X C= = × × + × =
( ) 1
2
1 3 3330 2 10 10P X C= = × × =
( ) 1 1 1360 2 2 4P X = = × =
1
25
3
25
29
100
3
10
1
24
( ) 1 3 29 3 1240 270 300 330 360 31825 25 100 10 4E X = × + × + × + × + × =
( )1 1 1 *1 2 2na n Nn n n
= + + + ∈+ +
1
1
2a = 2
7
12a = 3
37
60a =
( )1 1 1 *1 2 2na n Nn n n
= + + + ∈+ +
( )( )1
1 1 1 1 02 1 2 2 1 2 1 2 2n na a n n n n n+ − = + − =+ + + + + ＞（n≥3），有 an≥a3＞0.6，只要证明：对任意正整数 n（n≥3），有 即可.采用数学归纳法证明.
【详解】（1）a1 ，a2 ；a3 ，
可得 ， ， ；
（2）a1，a2 小数点后第一位数字均为 5，a3 小数点后第一位数字为 6，
下证：对任意正整数 n（n≥3），均有 0.6＜an＜0.7，
注意到 ，
故对任意正整数 n（n≥3），有 an≥a3＞0.6，
下用数学归纳法证明：对任意正整数 n（n≥3），有
①当 n＝3 时，有 ，命题成立；
②假设当 n＝k（k∈N*，k≥3）时，命题成立，即
则当 n＝k+1 时，
∵
∴ ∴
∴n＝k+1 时，命题也成立；
综合①②，任意正整数 n（n≥3）， ．
由此，对正整数 n（n≥3），0.6＜an＜0.7，此时 an 小数点后第一位数字均为 6．
所以 a1，a2 小数点后第一位数字均为 5，当 n≥3，n∈N*时，an 小数点后第一位数字均为 6．
【点睛】本题主要考查归纳、猜想和数学归纳法证明，还考查了放缩、运算求解的能力，属于中档题.
10.7 4na n
≤ −
1
2
= 1 1 7
3 4 12
= + = 1 1 1 37
4 5 6 60
= + + =
1
1
2a = 2
7
12a = 3
37
60a =
( )( )1
1 1 1 1 02 1 2 2 1 2 1 2 2n na a n n n n n+ − = + − =+ + + + + ＞
10.7 4na n
≤ −
3
37 1 1 10.7 0.7 0.760 12 4 3 4 3a = = − = − ≤ −× ×
10.7 4ka k
≤ −
( )( ) ( )( )1
1 1 10.72 1 2 2 4 2 1 2 2k ka a k k k k k+ = + ≤ − ++ + + +
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 04 2 1 2 2 4 1 4 1 4 1 2 2k k k k k k k k k
− − = −+ + + + + + + ＞
( )( ) ( )
1 1 1
4 2 1 2 2 4 1k k k k
− + + +＞ ( )( ) ( )1
1 1 10.7 0.74 2 1 2 2 4 1ka k k k k+ ≤ − + ≤ −+ + +
10.7 4na n
≤ −
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