2020年4月普通高考数学全真模拟卷（1）（上海卷解析版）

1 / 15 2020 年 4 月普通高考（上海卷）全真模拟卷（1） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 一、填空题：本题共 12 个小题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分. 1．集合 ， ，则 __________． 【答案】 【解析】 因为 或 ； ， 所以 . 故答案为： 2．已知复数 ， ，则复数 ______． 【答案】1 【解析】 ， ， ， ， 故答案为：1 5 6 01 xP x x − = ≥ +  { }1 2Q x x= − ≤ P Q = R {5 6 0 11 xP x x xx − = ≥ = < − +  }1.2x ≥ { } { }1 2 1 3Q x x x x= − ≤ = − ≤ ≤ P Q R= R 1 1z i= − 1 2 1z z i⋅ = + 2z = 1 1z i= − 1 2 1z z i⋅ = + 2 2 1 (1 ) 2 1 (1 )(1 ) 2 i i iz ii i i + +∴ = = = =− + − 2 2 1 1z = = 2 / 15 3．抛物线 的准线方程为________． 【答案】 【解析】 因为抛物线 的标准方程为： ， 因此其准线方程为： . 故答案为： 4．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 ______． 【答案】－2 【解析】 f(－1)＝－f(1)＝－2. 5．若实数 、 满足约束条件 ，且 的最小值是 ，则实数 ______. 【答案】 【解析】 作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 联立 ，解得 ，得点 . 22y x= 1 8y = − 22y x= 2 1 2x y= 1 8y = − 1 8y = − ( )f x 0x > ( ) 2 1f x x x = + ( )1f − = x y 4 y x x y y k ≤  + ≤  ≥ 2z x y= + 9− k = 3− 4 y x x y y k ≤  + ≤  ≥ y k y x =  = x y k= = ( ),A k k 3 / 15 平移直线 ，当该直线经过可行域的顶点 时，直线 在 轴上的截距取得最小值， 此时 取得最小值，即 ，解得 . 故答案为： . 6．方程 的解为________. 【答案】 【解析】 解:解方程 ,可得 , 所以 , 解得 ,即 , 故答案为: . 7．若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 因为对任意正实数 ，不等式 恒成立，所以 ，因此 8．已知数列 的通项公式为 ，则这个数列的前 n 项和 _____． 【答案】 【解析】 当 n 为偶数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+1+n）]+（2+22+…+2n） ＝ ＝2n+1+ ﹣2； 2z x y= + ( ),A k k 2z x y= + x z min 2 3 9z k k k= + = = − 3k = − 3− lg(2 3) 2lgx x+ = { }3 lg(2 3) 2lgx x+ = 2lg(2 3) lgx x+ = 2 2 3 0 0 2 3 x x x x + >  >  + = 3 2 0 1 3 x x x x  > −  >  = − =  或 3x = { }3 a 2 1x a< + x 1− a 2 1x a< + 2 min1 , (0, )x a a− < ∈ +∞ 2 min1 0, 1 1, 1.x x x− ≤ − ≤ ≤ = − { }na ( ) ( )*1 2n n na n n N= − ⋅ + ∈ nS = 1 1 52 ,2 42 ,2 n n n n n S n n + + + −=  − + 为奇数 为偶数 ( )2 1 2 2 1 2 nn − − 2 n 4 / 15 当 n 为奇数时，Sn＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣n+2+n﹣1）﹣n]+（2+22+…+2n） ＝ ﹣n+ ＝2n+1﹣ ﹣ ； 综上所述，Sn＝ 9．若两直线 的交点在第一象限,则正整数 ______. 【答案】1 【解析】 两直线 l1：y＝kx+k+2，l2：y＝﹣2x+4， 则 ，k≠﹣2， ， 又两直线的交点在第一象限，则 ， 解得﹣ ＜k＜2， 所以正整数 k＝1． 故答案为：1． 10．某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后得产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方 图如图所示，已知产品净重的范围是区间 ，样本中净重在区间 的产品个数是 24，则样本 中净重在区间 的产品个数是________ 1 2 n − ( )2 1 2 1 2 n− − 2 n 5 2 1 1 52 ,2 42 ,2 n n n n n n + + + − − + 为奇数 为偶数 1 2: 2 : 2 4l y kx k l y x= + + = − +， k = 2 2 4 y kx k y x = + +  = − + 2 2 6 4 2 kx k ky k − = + + = + 2 02 6 4 02 k k k k − > + + > + 2 3 [96,106) [96,100) [100,104) 5 / 15 【答案】44 【解析】 由频率分布直方图可知，样本中净重在区间 的频率为 ， 则样本容量为 ， 由频率分布直方图可知，样本中净重在区间 的频率为 ， 因此，样本中净重在区间 的产品个数为 ，故答案为： . 11．设正项数列 的前 n 项和是 ，若 和 都是等差数列，且公差相等，则 ＝_______． 【答案】 【解析】 ：设公差为 d，首项 ， 和 都是等差数列，且公差相等， ， 即 ， 两边同时平方得： ， ， 两边再平方得： ， ， ，又两数列公差相等， ， [ )96,100 ( )0.05 0.1 2 0.3+ × = 24 800.3 = [ )100,104 ( )0.15 0.125 2 0.55+ × = [ )100,104 80 0.55 44× = 44 { }na nS { }na { }nS 1a 1 4 1a  { }na { }nS 2 1 32 S S S∴ = + 1 1 12 2 3 3a d a a d+ = + + ( ) ( )1 1 1 1 14 2 3 3 2 3 3a d a a d a a d+ = + + + + ( )1 1 14 2 3 3a d a a d+ = + ( )2 2 1 1 1 116 8 4 3 3a a d d a a d+ + = + ∴ 2 2 1 14 4 0a a d d− + = 12d a= 2 1 2 1 12S S a a d a∴ − = − = = 6 / 15 即 ， 解得： 或 ， 为正项数列， . 故答案为： . 12．在 中，角 所对的边分别为 ，如果对任意的实数 ， 恒成立， 则 的取值范围是______ 【答案】 【解析】 设 为直线 上任意一点，且 则 恒成立 又 为边 的高 恒成立 由余弦定理可得： ，其中 ，又 （当且仅当 时取等号） 本题正确结果： 二、选择题：本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分 13．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线的右支有两个 交点，则（ ） A． B． C． D． 1 1 1 12 2 2a a a a+ − = 1 1 4a = 1 0a =  { }na ∴ 1 1 4a = 1 4 ABC∆ , ,A B C , ,a b c λ BA BC BCλ− ≥   c b b c + 2, 5   E BC BE BCλ=  BA BC BA BE EAλ− = − =     EA BC∴ ≥  min EA BC h h a∴ ≥ 21 1 1sin2 2 2ABCS ah bc A a∆∴ = = ≥ 2 sina bc A∴ ≤ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos sinb c bc A bc A∴ + − ≤ ( )2 2 2 cos sin sin 2cos 5 sinc b b c bc A bc A A A Ab c bc bc ϕ+ +∴ + = ≤ = + = + tan 2ϕ = 5c b b c ∴ + ≤ 2c b b c + ≥ b c= 2, 5c b b c  ∴ + ∈  2, 5   ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > ( ),0F c ( )y k x c= − bk a > bk a < ck a > ck a > by xa = ± ( )y k x c= − ( ),0F c 0k > bk a > k 0< bk a < − bk a > { }nx 1 1x = ABC∆ ( )nP n N ∗∈ nP AB∆ nP AC∆ 2:1 ( )1 1 2 1 02n n n n nP A x P B x P C++ + + =    5x 15 17 29 31 8 / 15 【答案】D 【解析】 由 得： ， 设 ，延长 至 ，使 ， 则 与 面积相等， 以线段 、 为邻边作平行四边形 ，如图， 则 ， 所以 ，因此 ， 又 ，所以 ， 则 ，所以 ， 因此 ， 故数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， 所以 ，即 . 故选：D 16．在平面上， ， ， ，若 ，则 的取值范围是 （ ） ( )1 1 2 1 02n n n n nP A x P B x P C++ + + =    ( ) 1 12 1 2n n n n nP A x P C x P B++ + = −   (2 1)n n nP D x P C= +  nBP 1B 1n nBP P B= nP AB∆ 1nP AB∆ nP A nP D nP AED ( ) 1 12 1 2n n n n n nP A x P C P E x P B++ + = = −    1 1 2 n n n P E x P B +=   1 1 2 n n P AE n P AB S xS ∆ + ∆ = 1 2 1 n n nn P C P C AE xP D = = +   1 2 1 n n n n P AC P AC P AD P AE n S S S S x ∆ ∆ ∆ ∆ = = + ( )1 1 2 2 1 2 n n P AC n P AB n S x S x ∆ + ∆ = =+ 1 2 1n nx x+ = + 1 1 2( 1)n nx x+ + = + { }1nx + 2 2 4 5 1 2 2 32x + = × = 5 31x = 1 2AB AB⊥  1 2| | | | 1OB OB= =  1 2AP AB AB= +   1| | 2OP 2 2 2 2 2 2log ( 2) log log logxx x x x x +   + − = = +       2 2 2x x + ≥ 1x = 2 2 2 3log log 2 2 2x x  + ≥ =   1( ) ( )f x g x m− − ≤ 3 2m ≥ x x ∗∈N x 310( )500 xa − 0.2 %x 400x ≤ a 500 51 10 ( ) ( )1000 10 1 0.2 %x x− × × + ( ) ( )1000 10 1 0.2 % 1000 10x x∴ − × × + ≥ × 2 500 0x x− ≤ 0 500x≤ ≤ *x∈N [ ]1,1000x∈ ∴ 500 310 500 xx a ⋅ −   12 / 15 由（1）知剩余员工创造的年总利润为 ，整理可得： 且 在 上单调递减 即 的最大值为 20．已知点 ， ，动点 满足直线 与 的斜率之积为 ，记 的轨迹为 曲线 . （1）求 的方程，并说明 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 于 、 两点，点 在第一象限， 轴，垂足为 ，连结 并延长交 于点 ， ①证明： 是直角三角形； ②求 面积的最大值. 【答案】（1） ，曲线 为中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含左右顶点； （2）①证明见解析；② . 【解析】 （1） ，依题意 ，即 ，化简得 . 曲线 为中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆，不含左右顶点. （2）①依题意可知，直线 的斜率存在且不为零. 设直线 的方程为 ，与曲线 的方程联立得 ，消去 得 .由于 在第 一象限，故 . ( ) ( )1000 10 1 0.2 %x x− × × + ( ) ( )310 1000 10 1 0.2 %500 xx a x x ∴ ⋅ − ≤ − × × +   2 1000250 xax x≤ + + x N ∗∈ 400x ≤ 1000 1250 xa x ∴ ≤ + + 1000 250 x x + [ ]1,400 min 1000 41 250 10 x x  ∴ + =   41 51110 10a∴ ≤ + = a 51 10 ( )2,0A − ( )2,0B ( ),M x y AM BM 1 2 − M C C C C P Q P PE x⊥ E QE C G PQG∆ PQG∆ ( )2 2 1 24 2 x y x+ = ≠ C x 16 9 ,2 2AM BM y yk kx x = =+ − 1 2AM BMk k⋅ = − 2 2 1 4 2 y x = −− ( )2 2 1 24 2 x y x+ = ≠ C x PQ PQ y kx= C 2 2 14 2 x y y kx  + =  = y ( )2 22 1 4k x+ = P 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4, , ,2 1 2 1 2 1 2 1 k kP Qk k k k     − −      + + + +    13 / 15 由于 轴，垂直为点 ，所以 ， . 则 ， 由 ，消去 得 ，所以 ，而 ,所以 ， . 所以 .所以 ，所以 为直角三角形. ②由①知， 为直角三角形，且 ，所以 . ， ， 所以 ， 令 ，所以 .所以当 ，即 时， 取得最大值为 . 21．已知有穷数列 ， ， ， ， ．若数列 中各项都是集合 的元素，则称 PE x⊥ E 2 4 ,02 1E k     +  2 2 2 4 2 1 242 2 1 EQ k kkk k += = + 2 2 2 4: 2 2 1 2 2 1EQ k k kl y x xk k  = − = −  + +  2 2 2 2 2 2 1 14 2 k ky x k x y  = − +  + = y 2 2 2 2 22 2 21 4 02 2 12 1 k k kx x kk  + − + − =  ++  ( ) 2 2 2 6 4 2 1 12 G Q kx x kk − −⋅ =  + +   2 4 2 1Qx k = − + 2 2 2 3 2 2 1 12 G kx kk +=  + +   2 2 2 2 3 2 2 2 12 1 12 G k k ky k kk += − ⋅ −  ++ +   2 2 2 6 1 6 2 G P PG G P y y k kk x x k k k − −= = = −− − 1 1PG PQk k k k  ⋅ = ⋅ − = −   PQG∆ OQG∆ PQ PG⊥ 1 2PQGS PQ PG∆ = ⋅ 2 2 2 2 2 4 4 11 1 2 1 2 1P Q kPQ k x x k k k += + ⋅ − = + ⋅ = + + 2 2 2 2 2 1 1 21 1 2 1 12 P G kPG x xk k kk    = − + ⋅ − = − + ⋅         + ⋅ +   ( ) ( ) ( )2 2 3 24 22 2 1 4 1 8 82 5 2 12 1 1 2 12 kk k k k kS k kkk k k k ++ ⋅ + = = = ⋅+ +   + ⋅ + ⋅ + +      1 , 0, 2k t k tk + = > ≥ 8 12 S t t = + 2t = 1k = S 8 16 1 94 2 = + 1:A a 2a … na ( 2)n A { | 1 1}x x− <