2020年4月普通高考数学全真模拟卷（1）（浙江卷解析版）

1 / 17 2020 年 4 月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（1） 数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高中全部内容。 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．已知集合 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ∵A＝ ， B＝ ， ∴A∩B＝{1，2，3}， 又∵全集 U＝{1，2，3，4，5}， ∴∁U（A∩B）＝{4，5}． 故选：C． 2．双曲线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B { }1,2,3,4,5U = { }0,1,2,3A = { }1,2,3,4B = ( )CU A B = { }1,2,3 { }3,4,5 { }4,5 ∅ { }0,1,2,3 { }1,2,3,4 2 2 13 yx − = ( )2,0± ( )2,0± ( )0, 2± ( )0, 2± 2 / 17 【解析】 由双曲线方程 可知， ， 所以 ，所以双曲线 的焦点坐标为 ， 故选：B. 3．关于 的不等式组 表示的平面区域内存在点 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图： 若平面区域内存在点 ，满足 ， 则说明直线 与区域有交点， 即点 位于直线 的下方即可， 则点 在区域 ，即 ，得 ， 即实数 的取值范围是 ，故选 C． 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。 2 2 13 yx − = 1, 3a b= = 2c = 2 2 13 yx − = ( )2,0± ,x y 2 3 0 0 0 x y x m y m − + >  +  ( )0 0,P x y 0 02 3x y− = m ( ), 3−∞ − ( )1,1− ( ), 1−∞ − ( )1,− −∞ ( )0 0,P x y 0 02 3x y− = 2 3x y− = ( ),A m m− 2 3x y− = A 2 3 0x y− − > 2 3 0m m− − − > 1m < − m ( )1−∞ −， 3 / 17 A．32 3 3 + 16π 3 B．8 3 + 16π 3 C．32 3 3 +6π D．8 3 +6π 【答案】D 【解析】 由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为1 3 × 12 × 2 3 +2π × 3 = 8 3 +6π，故选 D. 5．对于实数 a，b，则“a＜b＜0”是“푏 푎 < 1”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若“푎 < 푏 < 0”即|푎| > |푏|，则“|푏| |푎| = 푏 푎 < 1”，故“푎 < 푏 < 0”是“푏 푎 < 1”的充分条件， 若“푏 푎 < 1”，假设푎 = ―1，푏 = 3，则“푏 푎 < 1”，得푎 < 푏且푎 < 0，푏 > 0， 故“푎 < 푏 < 0”是“푏 푎 < 1” 的不必要条件；对于实数푎,푏，则“푎 < 푏 < 0”是“푏 푎 < 1” 充分不必要条件,故选 A. 6．已知函数 ，以下哪个是 的图象（ ）( ) ln(| |) cosf x x x= ⋅ ( )f x 4 / 17 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 当 时， 排除 C,D， 当 时， ，当 时， ， 所以 排除 A, 故选 B. 7．已知随机变量 的分布列如下: 若 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由于 成等差数列，故 ①，另根据分布列的知识可知 ②.由①②得 2x π= (2 ) ln 2 0f π π= > 2x π= ( ) 02f π = 3 2 2x π π< < ln 0,cos 0x x> < ( ) 0f x < ,X Y X 3 2 1 P a b c Y 1 2 3 P a b c , ,a b c ( ) ( )D X YD> ( ) ( )E X E Y= ( ) ( )E X E Y< ( ) ( )D X YD= , ,a b c 2b a c= + 1a b c+ + = 5 / 17 . 所以 ， ， 由于 正负无法确定，故 大小无法比较. ， ， 故 . 故选：D. 8．如图，在三棱柱 中，点 在平面 内运动，使得二面角 的平面角与二 面角 的平面角互余，则点 的轨迹是（ ） A．一段圆弧 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．双曲线的一支 【答案】D 【解析】 1 2,3 3b c a= = − ( ) 2 2 43 2 3 23 3 3E X a b c a a a= + + = + + − = + ( ) 2 2 82 3 3 23 3 3E Y a b c a a a = + + = + + − = −   4 8 42 2 43 3 3a a a + − − = − +   ( ) ( ),E X E Y ( ) 2 2 24 4 43 2 2 2 1 23 3 3D X a a a b a c     = − − ⋅ + − − ⋅ + − − ⋅           2 2 25 2 1 1 22 2 23 3 3 3 3a a a a a       = − ⋅ + − ⋅ + + −               ( ) 2 2 28 8 81 2 2 2 3 23 3 3D Y a a a b a c     = − + ⋅ + − + ⋅ + − + ⋅           2 2 25 2 1 1 22 2 23 3 3 3 3a a a a a       = − ⋅ + − ⋅ + + −               ( ) ( )D X YD= 1 1 1ABC A B C− P 1 1 1A B C P AB C- - P BC A− − P 6 / 17 不妨令三棱柱 为直三棱柱，且底面是以 为直角的直角三角形，令侧棱长为 m,以 B 的为坐 标原点，BA 方向为 x 轴，BC 方向为 y 轴， 方向为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 ，所以 ，过点 作以 于点 ，作 于点 ， 则 即是二面角 的平面角， 即是二面角 的平面角， 所以 ， 又二面角 的平面角与二面角 的平面角互余，所以 ，即 ，所以 ，因 ，所以 , 所以有 ，所以 ，即点 Q 的轨迹是双曲线的一支，所以点 的轨迹是双曲线的一支. 故选 D 9．已知平面内任意不共线三点퐴，퐵，퐶，则퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐵퐶 ⋅ 퐶퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵的值为（ ） A．正数 B．负数 C．0 D．以上说法都有可能 【答案】B 【解析】퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐵퐶 ⋅ 퐶퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵 = 1 2 × 2(퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐵퐶 ⋅ 퐶퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵) = 1 2[(퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐵퐶 ⋅ 퐶퐴) + (퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵) + (퐵퐶 ⋅ 퐶퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵)] = 1 2[퐵퐶 ⋅ (퐴퐵 + 퐶퐴) + 퐴퐵 ⋅ (퐵퐶 + 퐶퐴) + 퐶퐴 ⋅ (퐵퐶 + 퐴퐵)] = 1 2(퐵퐶 ⋅ 퐶퐵 + 퐴퐵 ⋅ 퐵퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐶) = 1 2( ― 퐵퐶 2 ― 퐴퐵 2 ― 퐴퐶 2 ) < 0. 即퐴퐵 ⋅ 퐵퐶 + 퐵퐶 ⋅ 퐶퐴 + 퐶퐴 ⋅ 퐴퐵的值为负数. 本题选择 B 选项. 10．设 a，b 为正实数，且 ，则 的最大值和最小值之和为（ ） A．2 B． C． D．9 1 1 1ABC A B C− B 1BB ( ), ,P x y m ( ), ,0Q x y Q QD AB⊥ D QE BC⊥ E PDQ∠ P AB C− − PEQ∠ P BC A− − tan PDQ tan PEQPQ PQ DQ EQ ∠ ∠= =， P AB C− − P BC A− − tan PDQ tan PEQ 1∠ ∠ = 1PQ PQ DQ EQ = 2 2QD QE PQ m = = ( ), ,0Q x y ,QE x QD y= = 2xy m= 2 x 0my x = >（ ） P 1 2 132 2a b a b + + + = 1 2 a b + 9 2 13 2 7 / 17 【答案】C 【解析】 由 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 或 时，等号成立， 即 ，解得 所以 的最大值为 ；最小值为 ； 所以最大值和最小值之和为 . 故选：C 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本题共 7 个小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11．已知两不共线的非零向量푎,푏满足|푎| = 2,|푎 ― 푏| = 1,则向量푎与푏夹角的最大值是__________. 【答案】휋 6 【解析】 因为两非零向量푎,푏满足|푎| = 2,|푎 ― 푏| = 1,设向量푎,푏夹角为휃， 由于非零向量푎,푏以及푎 ― 푏构成一个三角形，设|푏| = 푥， 则由余弦定理可得1 = 4 + 푥2 ― 4푥cos휃， 解得cos휃 = 푥2 + 3 4푥 = 푥 + 3 푥 4 ≥ 3 2 ，当且仅当푥 = 3时，cos휃取得最小值 3 2 ， 1 2 132 2a b a b + + + = 2 1 22 113 a b a b   + + + =     1 2 2 1 2 1 2213 a ba b a b a b     + = + + + +         22 2 2 1 21 413 a b b a a b   = + + + + +      2 22 2 2 1 2 2 1 25 2 913 13 a b b a a b a b       ≥ + ⋅ + + = + +                2 2a b b a = 3 2a b= = 2 3 22 1 2 1 2913 a b a b   + + ≤ +      1 2 92 2a b ≤ + ≤ 1 2 a b + 9 2 2 13 2 8 / 17 所以휃的最大值是휋 6，故答案是휋 6. 12．设 为虚数单位，给定复数 ，则 的虚部为___；模为___ 【答案】-1 【解析】 ， 则 的虚部为 ，模为 ，故答案为 . 13．已知 ，则 _____， _____． 【答案】 【解析】 因为 ， 令 得 ， 令 得 ，所以 ， 由 展开式的通项为 ， 则 ， 故答案为： ， . 14．在훥퐴퐵퐶中，内角퐴，퐵，퐶所对的边分别为푎，푏，푐.已知tan(휋 4 + 퐴) = 2，则sin퐴的值为__________，若퐵 = 휋 4，푎 = 4，则훥퐴퐵퐶的面积等于_________. 【答案】 10 10 16 【解析】 因为tan(휋 4 + 퐴) = 2，所以tan퐴 + 1 1 ― tan퐴 = 2，tan퐴 = 1 3，因此sin퐴 = 10 10 因为sin퐵 푏 = sin퐴 푎 ，所以푏 = 4 5 因为sin퐶 = sin(퐴 + 퐵) = 2 2 ( 10 10 + 3 10 10 )= 2 5,所以훥퐴퐵퐶的面积等于1 2 × 2 5 × 4 5 × 4 = 16. i ( )21 1 iz i −= + z 2 ( ) ( ) ( )( ) 21 2 12 = 11 1 1 1 i i iiz ii i i i − − −−= = = − −+ + + − z 1− 2 1, 2− 7 2 8 0 1 2 8(2 )(1 2 )x x a a x a x a x+ − = + + + 1 2 8...a a a+ + + = 3a = 5− 476− 7 2 8 0 1 2 8(2 )(1 2 )x x a a x a x a x+ − = + + + 1x = 0 1 2 8... (2 1)(1 2 1) 3a a a a+ + + + = + − × = − 0x = 0 2a = 1 2 8... 5a a a+ + + = − 7(1 2 )x− 1 7 ( 2)r r r rT C x+ = − 3 3 2 2 3 7 72 ( 2) ( 2) 476a C C= × − + − = − 5− 476− 9 / 17 15．已知双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)上一点 P 到两渐近线的距离分别为푑1,푑2，若푑1푑2 = 2 5푎푏，则双曲线的 离心率为_________． 【答案】 5或 5 2 【解析】双曲线푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1(푎 > 0,푏 > 0)的两条渐近线的方程为 bx﹣ay=0 或 bx+ay=0， 点 P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为|푏푥0 ― 푎푦0| 푎2 + 푏2 ⋅ |푏푥0 + 푎푦0| 푎2 + 푏2 = 2 5푎푏， 即|푏2푥0 2 ― 푎2푦0 2| 푎2 + 푏2 = 2 5푎푏， 又点 P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2， ∴ 푏2푎2 푎2 + 푏2 = 2 5푎푏，即 2a2+2b2=5ab，∴b=2a 或 b=1 2a， 则 e=푐 푎 = 1 + 푏2 푎2 = 5或 5 2 .故填 5或 5 2 ． 16．已知函数푓(푥) = { 푒―푥,  푥 < 0 푎 ― (푥 ― 1)푒푥,푥 ≥ 0 (푎 ∈ 푅)，若存在三个互不相等的实数푥1,푥2,푥3，使得푓(푥1) 푥1 = 푓(푥2) 푥2 = 푓(푥3) 푥3 = ― 푒成立，则实数푎的取值范围是__________． 【答案】 ( ― 푒, ― 1]  【解析】 若存在三个互不相等的实数푥1,푥2,푥3，使得푓(푥1) 푥1 = 푓(푥2) 푥2 = 푓(푥3) 푥3 = ― 푒成立， 等价为方程푓(푥) = ― 푒푥存在三个不相等的实根， 当푥 < 0时，푓(푥) = 푒―푥， ∴ 푒―푥 = ― 푒푥，解得푥 = ―1， ∴ 当푥 < 0时，푓(푥) = 푒―푥，只有一个根. ∴ 当푥 ≥ 0时，方程푓(푥) = ― 푒푥存在两个不相等的实根， 即푎 = (푥 ― 1)푒푥 ― 푒푥. 设푔(푥) = (푥 ― 1)푒푥 ― 푒푥,푥 ≥ 0， ∴ 푔′(푥) = 푒푥 + (푥 ― 1)푒푥 ― 푒 = 푥푒푥 ― 푒， 令푔′(푥) = 0，解得푥 = 1， 当푔′(푥) > 0，解得푥 > 1，푔(푥)在(1, + ∞)上单调递增； 当푔′(푥) < 0，解得0 < 푥 < 1，푔(푥)在(0,1)上单调递减； 又푔(0) = ―1，푔(1) = ― 푒， 10 / 17 ∵ 存在两个不相等的实根， ∴ ― 푒 < 푎 ≤ ―1. 故答案为： ( ― 푒, ― 1] . 17．已知函数 ，则 __________，若函数 有无穷多个 零点，则 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 因为函数 ， 所以 . 当 时， ，当 时，等号成立， 而 时，由 ， 即每向左 个单位， 的值增大 倍， 且 函数 有无穷多个零点， 即 图像与 图像有无穷多个交点， 则 . 故答案为： ； . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知 分别为 三个内角 的对边，且满足 ， . （1）求 ； ( ) ( ) 2 2 2, 0 2 1 , 0 x x xf x f x x − + − ≥=  + 0，y20，所以 f(t)在[1，＋∞)上单调递增， 16 / 17 有 f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤12 4 ＝3， 当 t＝1，m＝0 时，S△F1MN＝3，又 S△F1MN＝4R，∴Rmax＝3 4 这时所求内切圆面积的最大值为 9 16π. 故△F1MN 内切圆面积的最大值为 9 16π，且此时直线 l 的方程为 x＝1. 22．设函数푓(푥) = 1 4푥4 ― 푥3，푥 ∈ R． （Ⅰ）求函数푓(푥)在푥 = 1处的切线方程； （Ⅱ）若对任意的实数푥，不等式푓(푥) ≥ 푎 ― 2푥恒成立，求实数푎的最大值； （Ⅲ）设푚 ≠ 0，若对任意的实数푘，关于푥的方程푓(푥) = 푘푥 + 푚有且只有两个不同的实根，求实数푚的取值 范围． 【答案】（Ⅰ）푦 = ―2푥 + 5 4 （Ⅱ）-1（Ⅲ）푚 ≥ 4或푚 = ―1 【解析】 （Ⅰ）푓′(푥) = 푥3 ― 3푥2，푓′(1) = ―2. 且푓(1) = ― 3 4，所以在푥 = 1处的切线方程为푦 = ―2푥 + 5 4. （Ⅱ）因为对任意的实数푥，不等式푓(푥) ≥ 푎 ― 2푥恒成立.所以푎 ≤ 푥4 4 ― 푥3 +2푥恒成立. 设푔(푥) = 푥4 4 ― 푥3 +2푥，则푔′(푥) = 푥3 ― 3푥2 +2 = (푥 ― 1)(푥2 ― 2푥 ― 2) = (푥 ― 1)(푥 ― 1 ― 3)(푥 ― 1 + 3)， 所以푔(푥)在(1 ― 3,1)，(1 + 3, + ∞)单调递增，在( ―∞,1 ― 3)，(1,1 + 3)单调递减. 所以푔(푥)min = min{푔(1 ― 3),푔(1 + 3)}， 因为1 ― 3，1 + 3是方程푥2 ― 2푥 ― 2 = 0的两根. 所以푔(푥0) = 푥40 4 ― 푥30 +2푥0 = (2푥0 + 2)2 4 ― 푥0(2푥0 +2) + 2푥0 = (푥0 + 1)2 ― 2푥20 = ― 푥20 +2푥0 +1 = ―1. （其中푥0 = 1 ± 3） 所以푎的最大值为 ― 1. （Ⅲ）若对任意的实数푘，关于푥的方程푓(푥) = 푘푥 + 푚有且只有两个不同的实根， 当푥 = 0，得푚 = 0，与已知矛盾. 所以푘 = 푥4 ― 4푥3 ― 4푚 4푥 有两根，即푦 = 푥4 ― 4푥3 ― 4푚 4푥 与푦 = 푘有两个交点 令ℎ(푥) = 푥4 ― 4푥3 ― 4푚 4푥 ，则ℎ′(푥) = 3푥4 ― 8푥3 + 4푚 4푥2 . 17 / 17 令푝(푥) = 3푥4 ― 8푥3 +4푚，푝′(푥) = 12푥2(푥 ― 2)，则푝(푥)在( ― ∞,2)单调递减，(2, + ∞)单调递增，所以푝(푥)min = 푝(2) = 4푚 ― 16. （ⅰ）当4푚 ― 16 ≥ 0时，即푚 ≥ 4时，则ℎ′(푥) ≥ 0，即ℎ(푥)在( ― ∞,0)，(0, + ∞)单调递增，且当푥 ∈ ( ―∞,0) 时，ℎ(푥)的取值范围为푅；当푥 ∈ (0, + ∞)时，ℎ(푥)的取值范围为푅.此时对任意的实数푘，原方程恒有且只有 两个不同的解. （ⅱ）当0 < 푚 < 4时，푝(푥)有两个非负根푥1，푥2，所以ℎ(푥)在( ― ∞,0)，(0,푥1)，(푥2, + ∞)单调递增，(푥1,푥2 )单调递减，所以当푘 ∈ (ℎ(푥2),ℎ(푥1))时有 4 个交点，푘 = ℎ(푥1)或푘 = ℎ(푥2)有 3 个交点，均与题意不合，舍去. （ⅲ）当푚 < 0时，则푝(푥)有两个异号的零点푥1，푥2，不妨设푥1 < 0 < 푥2，则ℎ(푥)在( ― ∞,푥1)，(푥2, + ∞)单 调递增；ℎ(푥)在(푥1,0)，(0,푥2)单调递减. 当푥 ∈ ( ― ∞,푥1)时，ℎ(푥)的取值范围为( ―∞,ℎ(푥1))， 当푥 ∈ (푥2, + ∞)时，ℎ(푥)的取值范围为(ℎ(푥2), + ∞)， 所以当ℎ(푥1) = ℎ(푥2)时，对任意的实数푘，原方程恒有且只有两个不同的解. 所以有3푥41 ― 8푥31 +4푚 = 0，3푥42 ― 8푥32 +4푚 = 0，得3(푥21 + 푥22)(푥1 + 푥2) = 8(푥21 + 푥22 + 푥1푥2). 由ℎ(푥1) = ℎ(푥2)，得푥31 ― 3푥21 = 푥32 ― 3푥22，即푥21 + 푥22 + 푥1푥2 = 3(푥1 + 푥2). 所以푥21 + 푥22 = 8，푥1푥2 = ―2，푥1 + 푥2 = 2. 故8푚 = 8(푥31 + 푥32) ― 3(푥41 + 푥42) = 8(푥1 + 푥2)(푥21 ― 푥1푥2 + 푥22) ― 3[(푥21 + 푥22)2 ― 2(푥1푥2)2] = ―8.所以푚 = ―1. 所以当푚 ≥ 4或푚 = ―1时，原方程对任意实数푘均有且只有两个解.