2019-2020 学年度第一学期期初考试
高三数学
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，不需要写出解答过程，请把答案直
接填在答题卡相应位置上.
1.已知 为实数集，集合 ，集合 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用补集的定义求出集合 ，然后利用交集的定义求出集合 .
【详解】 ， ，因此， .
故答案为 .
【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.
2.若复数 （i 为虚数单位），且 为实数，则实数 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算法则，求出 ，由虚部为零，即可求解.
详解】 ,
为实数， .
故答案为:4.
【点睛】本题考查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.
3.已知函数 为奇函数，则实数 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
【
R { }1,0,1A = − { }0B x x= ≤ RA B =
{ }1
BR RA B
{ }0B x x= ≤ { }0R B x x∴ = > { }1RA B =
{ }1
1 22 , 2z i z a i= + = − 1 2z z a =
4
1 2z z
1 2 1 2, 2 2, ( 42 )2z ii z a i z a az= + = − = + + −
1 2z z 4a =
1( ) 1xf x a e
= + − a =
1
2根据奇函数的必要条件有 ，求出 ，再加以验证 是否为奇函数.
【详解】函数 为奇函数， ，
，解得， ，
此时 ，
，
所以 为奇函数.
故答案为: .
【点睛】本题考查函数奇偶性求参数，注意必要条件的应用减少计算量，但要验证，属于基础题.
4.抛物线 的准线方程是___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
将 化成抛物线的标准方程 ，利用抛物线的性质求解即可．
【详解】由 得： ，所以 ，即：
所以抛物线 的准线方程为： ．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
5.设函数 f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足 1＜x＜4 的一切 x 值都有 f(x)＞0，则实数 a 的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
分离参数法表达出 a 的表达式，对函数配方，根据 x 的范围，从而确定 a 的范围．
【详解】∵满足 1＜x＜4 的一切 x 值，都有 f（x）=ax2﹣2x+2＞0 恒成立，可知 a≠0
( 1) (1)f f− = − a ( )f x
1( ) 1xf x a e
= + − ( 1) (1)f f∴ − = −
1 1+ 1 11
a a e
e
= − − −−
1
2a =
1 1 1( ) 2 1 2( 1)
x
x x
ef x e e
+= + =− −
1 1( ) ( )2( 1) 2(1 )
x x
x x
e ef x f xe e
−
−
+ +− = = = −− −
( )f x
1
2
21
4y x=
1y = −
21
4y x= 2 4x y=
21
4y x= 2 4x y= 2 4p = 12
p =
21
4y x= 12
py = − = −
1
2
+ ∞ ，∴a＞ =2[ ﹣（ ﹣ ）2]，满足 1＜x＜4 的一切 x 值恒成立，
∵ ＜ ＜1，
∴2[ ﹣（ ﹣ ）2]∈（0， ]，
实数 a 的取值范围为： ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了不等式恒成立，二次函数的性质，函数的单调性，涉及了变量分离求最值得方法，属
于中档题．
6.已知函数 关于直线 对称，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对称轴方程 ，得到 的表示，根据条件中的 的范围结合 的取值即可求出 的值，
最后可计算 的值.
【详解】因为正弦函数的对称轴为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，此时 ，
所以 ，所以 .
故答案为 .
【点睛】已知正弦（或余弦）型函数的对称轴，求解函数中参数的方法：（1）根据对称轴方程，再利用给
定的参数范围去求解参数值；（2）根据对称轴对应的是函数的最值，并利用参数范围求解参数值.
7.若曲线 在 处的切线斜率为-1，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
( )
2
2 1x
x
− 1
4
1
x
1
2
1
4
1
x
1
4
1
x
1
2
1
2
1
2
+ ∞ ，
1
2
+ ∞ ，
( ) ( )( )sin 2 0f x x ϕ ϕ π= + ≤ <
6x
π= − ( )0f =
1
2
,2x k k Z
ππ= + ∈ ϕ ϕ k ϕ
( )0f
,2x k k Z
ππ= + ∈ 2 ,6 2k k Z
π πϕ π × − + = + ∈
5 ,6k k Z
πϕ π= + ∈ [ )0,ϕ π∈ 5
6
πϕ = 0k =
( ) 5sin 2 6f x x
π = +
( ) 5 10 sin 6 2f
π= =
1
2
( 1) xy ax e= + (0,1) a =
2−求出 ，并由 ，建立 的方程，即可求解.
【详解】 ，
.
故答案为:-2.
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
8.已知等比数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为__________．
【答案】 .
【解析】
分析：利用 成等差数列求出 ，由 可得结果.
详解：设 的首项 ，公比为 ，
时， 成等差数列，不合题意；
时，
成等差数列，
，
解得 ，
，故答案为 .
点睛：本题主要考查等比数列 基本性质、等比数列的求和公式，意在考查函数与方程思想、计算能力以
及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.
9.若双曲线 满足 ，则该双曲线离心率的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
的
y′ 0| 1xy =′ = − a
, (( 1)1) xx yy ax e ax a e′ = += + +
0 1 1, 2xy a a=′ = + = − ∴ = −
{ }na n nS 2 6 4, ,S S S 2 4
6
a a
a
+
2
2 6 4, ,S S S 1q = − ( )2 2
21 4
4 4
6 2
1 1 2
a qa a q
a a q q
++ += = =
{ }na 1a q
1q = 2 6 4, ,S S S
1q ≠
2 6 4, ,S S S
( ) ( ) ( )6 2 4
1 1 12 1 1 1
1 1 1
a q a q a q
q q q
− − −
∴ = +− − −
1q = −
( )2 2
21 4
4 4
6 2
1 1 2
a qa a q
a a q q
++ +∴ = = = 2
2 2
2 19
x y
b
− = 9b ≥
[ 10, )+∞根据双曲线离心率公式，得 ，由已知 的范围，即可求解.
【详解】双曲线 离心率为 ，
.
故答案为:
【点睛】本题考查双曲线的性质，属于基础题.
10.已知△ABC 的三边上高的长度分别为 2，3，4，则△ABC 最大内角的余弦值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
不妨设 的三边 ， ， 上对应的高的长度分别为 2，3，4，由三角形的面积公式可得 ，
设 ，可得 ， ， ，可得 为三角形的最大角，由余弦定理即可计算得解．
【详解】解：由题意，不妨设 的三边 ， ， 上对应的高的长度分别为 2，3，4，
由三角形的面积公式可得： ，解得： ，
设 ，
则 ， ， ，可得 为三角形最大边， 为三角形的最大角，
由余弦定理可得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，
属于基础题．
11.已知函数 ，若 ，且 ，则 的最大值是______________.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据已知求出 关系，以及 的范围，将 转化求关于 的关系式，即可求解.
2 9
3
be
+= b
2 2
2 19
x y
b
− = 2 9
3
be
+=
3 109, 103b e≥ ∴ ≥ =
[ 10, )+∞
11
24
−
ABC∆ a b c 2 3 4a b c= =
2 3 4a b c x= = =
2
xa =
3
xb =
4
xc = A
ABC∆ a b c
1 1 12 3 42 2 2a b c× × = × × = × × 2 3 4a b c= =
2 3 4a b c x= = =
2
xa =
3
xb =
4
xc = a A
2 2 2
2 2 2 ( ) ( ) ( ) 113 4 2cos 2 242 3 4
x x x
b c aA x xbc
+ −+ −= = = −
× ×
11
24
−
2( ) 6f x x= − 0a b> > ( ) ( )f a f b= 2a b
2 2,a b b 2a b b【详解】 ，
，
，
设 ，
，
当 单调递增，
当 单调递减，
时， 取得极大值 ，也是最大值，
的最大值是 .
故答案为: .
【点睛】本题以二次函数为背景，考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.
12.若直线 y＝x＋m 与曲线 x＝ 恰有一个公共点，则实数 m 取值范围是______.
【答案】{m|－1＜m≤1 或 m＝－ }
【解析】
【分析】
由 x= ，化简得 x2+y2=1，注意到 x≥0，所以这个曲线应该是半径为 1，圆心是（0，0）的半圆，且
其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数 m 的取值范围．
【详解】由 x= ，化简得 x2+y2=1，注意到 x≥0，
所以这个曲线应该是半径为 1，圆心是（0，0）的半圆，
且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，
从图上看出其三个极端情况分别是：
①直线在第四象限与曲线相切，
②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，
③与曲线交于点（0，1）．
直线在第四象限与曲线相切时解得 m=﹣ ，
的
2 2( ) ( ), | 6 | | 6 |, 0f a f b a b a b= ∴ − = − > >
2 2 26 0,0 6, 6 6b b a b− < < < − = − +
2 2 2 312 , 12a b a b b b∴ = − ∴ = − +
3( ) 12 ,0 6f x x x x= − + < <
2( ) 3 12 3( 2)( 2)f x x x x′ = − + = − + −
(0,2), ( ) 0, ( )x f x f x′∈ >
(2, 6), ( ) 0, ( )x f x f x′∈ <
2x∴ = ( )f x 16
2a b∴ 16
16
21 y−
2
21 y−
21 y−
2当直线 y=x+m 经过点（0，1）时，m=1．
当直线 y=x+m 经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．
综上满足只有一个公共点的实数 m 的取值范围是：
﹣1＜m≤1 或 m=﹣ ．
故答案为：{m|－1＜m≤1 或 m＝－ }．
【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运
用．
13.如图，已知 AC 与 BD 交于点 E， ， ， ，则当 时，
_____________.
【答案】12
【解析】
【分析】
根据已知条件可得 ，以 为基底，将 用基底表示，根据向量的数量积公式，
即可求解.
【详解】 ，
，
2
2
//AB CD 3 10AC = 2 6AB CD= = tan 3A =
BE CD⋅ =
2 2 10AE EC= = ,AB AE BE
2 1tan 3, 0 ,sin 3cos ,cos2 10A A A A A
π= ∴ < < = =
6cos / ,10 , 210 / AB CA B CD DA∴ = ==，
.
故答案为:12.
【点睛】本题考查向量的线性关系、向量基本定理、向量的数量积，考查计算求解能力，属于中档题.
14.已知圆 C 的方程为：（x－3）2＋（y－2）2＝r2（r>0），若直线 3x＋y＝3 上存在一点 P，在圆 C 上总存
在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，则圆 C 的半径 r 的取值范围是________．
【答案】 .
【解析】
【分析】
通过已知条件，求出点 P 的轨迹方程，而点 P 又在直线 3x＋y＝3 上，问题转化为直线与圆有公共点，即可
求出 r 的取值范围．
【详解】如图，连结 PC，依次交圆于 E，F 两点，连结 MF，EN，
因为∠PNE 和∠PFM 都是弧 的圆周角，由圆周角定理可得∠PNE＝∠PFM，又∠NPE＝∠FPM，所以
△PNE∽△PFM，所以 ，即 ，
而 ，
所以有 ，因为 M 是线段 PN 的中点，所以 ，
又因为 M，N 是圆上的任意两点，则有 0< ≤2r，即 0< ≤8r2.
设动点 P（x，y），圆心 C 坐标为（3，2），则有 0b>0)的左.右顶点分别为 A，B，离心率为 ，点 P 为椭圆上一点．
22 sin cosr θ θ=
2 23 3= sin sin2 2EFGHS GH GF r r r r rθ θ ⋅ = ⋅ − = − 矩形
( ) ABCD EFGHf S Sθ = +矩形 矩形
2 2 23=2 sin cos sin (0 )2 3r r r
πθ θ θ θ+ − < <
( ) 2 32sin cos sin 2f rθ θ θ θ = − +
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2' 2cos 2sin cos 4cos cos 2f r rθ θ θ θ θ θ= − − = − −
( )' 0f θ = 24cos cos 2 0θ θ− − = 1 33cos 8
θ ±=
0, 3
πθ ∈
1cos ,12
θ ∈
1 33cos 8
θ +=
0 0, 3
πθ ∈ 0
1 33cos 8
θ +=
θ ( )00,θ 0
θ 0 , 3
πθ
( )'f θ
( )f θ
( ) ( )0maxf fθ θ=
1 33cos 8
θ +=
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1
2
31, 2
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 如图，过点 C(0，1)且斜率大于 1 的直线 l 与椭圆交于 M，N 两点，记直线 AM 的斜率为 k1，直线 BN 的
斜率为 k2，若 k1＝2k2，求直线 l 斜率的值．
【答案】(1) ＋ ＝1；(2) k＝
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件，建立方程组，求出 a，b，即可得到椭圆的标准方程．
(2)设出直线 l 方程为 y＝kx＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线 l 方程与椭圆方程联立，求出 x1＋x2 和 x1x2，
根据条件求出 k1 和 k2，代入 k1＝2k2 化简计算，得到关于 k 的方程，解方程求出 k 的值．
【详解】（1）因为椭圆的离心率为 ，所以 a＝2c.
又因为 a2＝b2＋c2，所以 b＝ c.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
又因为点 P 为椭圆上一点，所以 ＋ ＝1，解得 c＝1.
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）由椭圆的对称性可知直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 y＝kx＋1.
设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立直线 与椭圆的方程组 ，消去 y 可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根与系数关系可知 x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ .
2
4
x 2
3
y 3
2
1
2
3
2
24
x
c
2
23
y
c
31, 2
2
1
4c 2
9
4
3c
2
4
x 2
3
y
l 2 2
1
14 3
y kx
x y
= + + =
2
8
3 4
k
k+ 2
8
3 4k+因为 k1＝ ，k2＝ ，且 k1＝2k2，所以 ＝ .
即 ＝ ，①
又因 M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，
所以 ．②
将②代入①可得： ＝ ，即 3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以 3 ＋10 ＋12＝0，即 12k2－20k＋3＝0.
解得 k＝ 或 k＝ ，又因为 k>1，所以 k＝ .
【点睛】本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题采取设而不求思想方
法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立后消元得 （或 ）的一元二次方程，由韦达
定理得 ，把这个代入题中另外的条件求解．
20.若对任意的实数 k，b，函数 与直线 总相切，则称函数 为“恒切函数”.
（1）判断函数 是否为“恒切函数”；
（2）若函数 是“恒切函数”，求实数m，n 满足的关系式；
（3）若函数 是“恒切函数”，求证： .
【答案】（1）函数 为“恒切函数”（2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设切点为 ，由导数的几何意义，以及切点为切线和函数图象的公共点，“恒切函数”，即为
，根据 关系式，求解即可；
（2）设切点为 ，由 ，求出 ，即可得出结论；
为
1
1 2
y
x +
2
2 2
y
x −
1
1 2
y
x +
2
2
2
2
y
x −
( )
2
1
2
1 2
y
x + ( )
2
2
2
2
4
2
y
x −
2 2 2 2
1 1 2 2
3 3(4 ), (4 )4 4y x y x= − = −
1
1
2
2
x
x
−
+
( )2
2
4 2
2
x
x
+
−
2
8
3 4k
− + 2
8
3 4
k
k
− +
1
6
3
2
3
2
x y
1 2 1 2,x x x x+
( )y f x kx b= + + y kx b= + ( )f x
2( )f x x=
( ) ln ( 0)f x m x m m= + ≠
( )( ) 1x xf x e x e m= − − + 1 04 m− <
( )f x 0m ne+ =
( )0 0,x y
( )
( )0
0
0
0
f x
f x
= =′ 0x
( )0 0,x y
( )
( )0
0
0
0
f x
f x
= =′ 0x（3）设切点为 ，由 ，得到 ，先求出关于切点方程
的解或解的范围，再由 ，即可求出 的取值范围.
【详解】（1）函数 为“恒切函数”，设切点为 .
则 ，∴
对于函数 .
设切点为 ，∴ ，
解得： .∴ 是“恒切函数”.
（2）若函数 是“恒切函数”，
设切点为 .
，
解得： ，即 .
∴实数 m，n 满足的关系式为： .
（3）函数 是“恒切函数”，设切点为 .
∵ ，∴ ，
∴ .
考查方程 的解，设 .
∵ ，令 ，解得： .
∴当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
( )0 0,x y
( )
( )0
0
0
0
f x
f x
= =′
( )0 0
0
0
0
1
2 2
x x
x
m e x e
e x
= − − −
= +
0
02 2xe x= +
( )0 0
0 1x xm e x e= − − − m
( )f x ( )0 0,x y
( )
( )0 0 0
0
f x kx b kx b
f x k k
+ + = + + =′
( )
( )0
0
0
0
f x
f x
= =′
2( ) , ( ) 2f x x f x x′= =
( )0 0,x y
2
0
0
0
2 0
x
x
=
=
0 0x = 2( )f x x=
( ) ln ( 0)f x m x nx m= + ≠
( )0 0,x y
0 0
0
ln 0
( ) , 0
m x nx
mf x n m nx x
+ =
= + ∴ + =′
0ln 1x = 0x e=
0m ne+ =
( )( ) 1x xf x e x e m= − − + ( )0 0,x y
( )( ) 2 2x xf x e x e′ = − −
( )
( )
0 0
0 0
0
0
1 0
2 2 0
x x
x x
e x e m
e x e
− − + =
− − =
( )0 0
0
0
0
1
2 2
x x
x
m e x e
e x
= − − −
= +
2 2xe x= + ( ) 2 2xg x e x= − −
( ) 2 1xg x e′ = − ( ) 0g x′ = ln2x = −
( , ln2)x ∈ −∞ − ( ) 0g x′ < ( )g x
( ln2, )x ∈ − +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x∴ .
1°当 时
∵ .
∴ 在 上有唯一零点 .
又∵ ，
∴ .
2°当 时∵ ，
∴ 在 上有唯一零点 0，∴ .
综上可知： .
【点睛】本题考查函数的新定义、导数的几何意义、方程的解与函数零点关系，考查等价转化思想，意在
考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
min( ) ( ln 2) ln 2 1 0g x g= − = − <
( , ln2)x ∈ −∞ −
2
4 2( 2) 0, ( 1) 1 0g ge e
− = > − = − <
( ) 2 2xg x e x= − − ( , ln 2)−∞ − 0 ( 2, 1)x ∈ − −
( ) ( )0 0
0 0
11 24
x xm e x e x x= − − − = +
1 ,04m ∈ −
( ln2, )x ∈ − +∞ (0) 0g =
( ) 2 2xg x e x= − − ( ln 2, )− +∞ 0m =
1 04 m− <
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