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专题 01 函数、方程与不等式
一、单选题
1．（2019·陕西高一期末）若 a＞b＞1，0＜c＜1，则下列式子中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ， ,A 正确;
是减函数， ，B 正确;
为增函数， ，C 正确.
是减函数， ,D 错误.
故选： ．
2．（2019·湖北高一期中） 年诺贝尔生理学或医学奖获得者威廉·凯林（WilliamG.KaelinJr）在研究肾
癌的 抑制剂过程中使用的输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴
管内液体忽略不计），设输液开始后 分钟，瓶内液面与进气管的距离为 厘米，已知当 时， .
如果瓶内的药液恰好 分钟滴完.则函数 的图像为（ ）
《决胜 2020 高考数学中高档题分项演练》
log loga bc c> a bc c< c ca b> log logc ca b>
1a b> > 0 1c< < 0 log loga bc c∴ > >
xy c= ∴ a bc c<
cy x= ∴ c ca b>
logcy x= ∴ log log 0c ca b< <
D
2019
VEGF
x h 0x = 13h =
156 ( )h f x= 2 / 28
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
分析：每分钟滴下 πcm3 药液，当液面高度离进气管 4 至 13cm 时，x 分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面
积乘以（13﹣h），当液面高度离进气管 1 至 4cm 时，x 分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面
积乘以（4﹣h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为 h 与输液时间 x 的函数关系．
详解：由题意知，每分钟滴下 πcm3 药液，
当 4≤h≤13 时，xπ＝π•42•（13﹣h），即 h＝13 ，此时 0≤x≤144；
当 1≤h＜4 时，xπ＝π•42•9+π•22•（4﹣h），即 ，此时 144＜x≤156．
∴函数单调递减，且 144＜x≤156 时，递减速度变快．
故选：C．
3．（2019·陕西高新一中高三（文））已知函数 ，若数列 满足
，且对任意 的都有 ，那么实数 的值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意， ，
16
x−
40 4
xh = −
( ) ( ) ( )
( )6
3 3, 7
, 7x
a x x
f x
a x−
− − ≤= >
{ }na
( )( )na f n n N+= ∈ *n N∈ 1n na a+ > a
9 ,34
9 ,34
( )2,3 (1 )3，
( ) ( ) ( )
( )6
3 3, 7
, 7n n
a n na f n a n−
− − ≤= = > 3 / 28
要使数列 是递增数列，必有
解得 .
故选：C.
4．（2020·海南高三）已知函数 若关于 x 的方程 恰有
5 个不同的实根，则 m 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，得 或 ，
作出 的图象，如图所示，由图可知，方程 有 2 个实根，
故方程 有 3 个实根，故 m 的取值范围为 .
故选：A
5．（2019·河北衡水中学高三月考（理））已知函数 ，若存在 使得
，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D． ，
【答案】D
{ }na
( ) 8 6
3 0
1
3 7 3
a
a
a a −
− >
>
− × −
( )( ) ( )( )1 0f x f x m− − =
( )1,2 ( )1,5 ( )2,3 (2,5)
( )( ) ( )( )1 0f x f x m− − = ( ) 1f x = ( )f x m=
( )y f x= ( ) 1f x =
( )f x m= ( )1,2
( ) ( )
2x x,x 0
f x ln x 1 ,x 0
− ≤= + > 0x R∈
( )0 0f x ax 1≤ − a ( )
( )0, ∞+ [ ]3,0−
] [( ), 3 3,∞ ∞− − ∪ + ( ], 3 (0∞− − ∪ )∞+ 4 / 28
【解析】
根据题意，函数 ，其图象如图：
直线 恒过定点
若存在 使得 ，则函数 的图象在直线 下方有图象或有交点，则直线
与函数 的图象必定有交点
分析可得：当 时，直线 经过第一三四象限，与函数 的图象必有交点，符合题意；
当 时，直线 经过第二三四象限，若直线 与 有交点，必然相交于第二象限
则有 ，即 ，变形可得
令 ，解得 或 （舍）
则有
综合可得： 的取值范围为
本题正确选项：
6．（2019·河北高三月考（文））若 ，对 ， （ 且 ）成立，
则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
( ) ( )
2 , 0
ln 1 , 0
x x xf x x x
− ≤= + >
1y ax= − ( )0, 1−
0x R∈ ( )0 0 1f x ax≤ − ( )f x 1y ax= −
1y ax= − ( )f x
0a > 1y ax= − ( )f x
0a < 1y ax= − 1y ax= − ( )f x
2
1
y x x
y ax
= −
= −
21ax x x− = − ( )2 1 1 0x a x− + + =
0∆ = 3a = − 1
3a ≤ −
a ( ] ( ), 3 0,−∞ − ∪ +∞
D
1
10, 2x ∃ ∈ 2
10, 2x ∀ ∈
1
24 logx
a x< 0a > 1a ≠
1 ,12
10, 2
20, 2
2 ,12
5 / 28
令 ，
.
因为 ，对 ， （ 且 ）成立，
所以 .
当 时， 无最小值.
当 时， 的最小值为 ，
所以 ，
解得 .
所以 a 的取值范围是 .
故选：A
7. （2020·广西师大附属外国语学校高三（理））已知函数 是偶函数，且函数 在区间
上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
分析：根据函数 是偶函数，关于 x＝0 对称，则 的图象关于直线 x=1 对称，结合单
调性比较大小.
详解：函数 是偶函数，关于 x＝0 对称
的图象关于直线 x=1 对称，且在区间 上是增函数，则在(0，1)上为减函数，
, (( ) 4 log)x
ag xf x x==
[ ]1
10, , ( ,2 1 2) 4xx f x ∈ ∴ = ∈
1
10, 2x ∃ ∈ 2
10, 2x ∀ ∈
1
24 logx
a x< 0a > 1a ≠
mi inn m( ) ( )f g xx <
1a > 2
10, log2 , ( ) ag xx x ∈
=
0 1a< < 2
10, log2 , ( ) ag xx x ∈
=
1log 2a
1log 12a
>
1
2a >
1 ,12
( )1y f x= + ( )y f x=
[ )1, ∞+
( )2
1 1 log 32 3f f f < >
( )2
1 1 log 33 2f f f < >
( )1y f x= + ( )y f x=
( )1y f x= +
( )y f x= [ )1, ∞+ 6 / 28
，
，
所以 .
故选：D
8．（2019·河北高三月考（文））已知函数 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为函数 在 R 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
解得 .
故选：C
1 1
2 3
> 2 2
1 1 322 3 03 3 27log log− − = >
( )2 2
1 1 92 3 02 2 8log log− − = >
( )2 2
1 1 1 12 3 32 3 2 3log f f log f > − > <
0 1a< < 1 12 a≤ < 3 14 a≤ < 10 2a< ≤
( ) ( )
2
11 , 12
, 1
a x xf x
ax x x
− + ≤=
− + >
( )
1 0
0
1 12
11 1 12
a
a
a
a a
−
( )g x
( )5, 2P −
( ) ( )sin 1 02g x x x
π = − − >
( ) ( )log 0af x x x= > 8 / 28
需要 且满足 ，即 ，解得 ，故选 D．
10．（2020·高三（文））已知函数 ，若存在实数 ，
当 时，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．[ C． D．
【答案】D
【解析】
画出函数 的图像如图，
令 ，作出直线 ，
当 时， ，当 时， ，
由图像可知，当 时，直线与 有 4 个交点，
且 ，
则： ，可得 ， ，
由 的图像关于直线 对称，可得 ，
可得 = ，
设 ，由对勾函数性质可得其在 区间上单调递增，
当 时， ，
0 1a< < ( ) ( )5 5g f< 2 log 5a
− < 50 5a< <
( ) 3 0 3
{
3 93
log x x
f x
cos x x
π
< <
=
− ≤ ≤
，
， 1 2 3 4x x x x， ， ，
1 2 3 4x x x x< < < ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = 1 2 3 4x x x x+ + +
257 3
， 257 )3
， 4614 3
， 4614 3
，
( ) 3 0 3
{
3 93
log x x
f x
cos x x
π
< <
=
− ≤ ≤
，
，
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x a= = = = y a=
3x = (3) cos 1f π= − = 9x = (9) cos3 1f π= − =
0 1a< < ( )f x
1 2 3 40 1 3 4.5 9x x x x< < < < < < < <
3 1 3 2log x log x= 3 1 3 2log x log x= − 1 2 1=x x
( )3y cos x
π= − 6x = 3 4 12x x+ =
1 2 3 4x x x x+ + + 2
2
2121 1 )3(x xx
+ + < <
2 2
2
2121( ) 1 3( )g x x xx
= + + < < (1,3)
2 1x = 1 2 3 4 14x x x x+ + + = 9 / 28
当 时， ，
故可得 的取值范围是 ，
故选：D.
11．已知函数 （ ，且 ）在 上单调递减，且关于 x 的方程
恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
A． B．[ ， ] C．[ ， ] { } D．[ ， ） { }
【答案】C
【解析】
由 在 上单调递减可知 ，由方程 恰好有两个不相等的实数解，
可知 ， ，又 时，抛物线 与直线 相切，也符合题意，
∴实数 的取值范围是 ，故选 C.
12．（2019·陕西高新一中高三（文））已知 ，若存在实数 m，使函数 有两
个零点，则 a 的取值范围( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由 有两个零点，可得 有两个零点，即 与 的图像有两个交点，由
，可得 或 ，
①当 时，函数 的图像如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意；
2 3x = 1 2 3 4
46
3x x x x =+ + +
1 2 3 4x x x x+ + + 4614 3
，
( ) 2 (4 3) 3 , 0,
log ( 1) 1, 0a
x a x a xf x
x x
+ − + a 1≠ R
( ) 2f x x= − a
20, 3
2
3
3
4
1
3
2
3
3
4
1
3
2
3
3
4
( )f x R
3 4 0
1 3{3 1 3 40 1
a
a a
a
− ≥
≥ ⇒ ≤ ≤
< <
( ) 2f x x= −
3 2,a ≤ 1 2
3 3a≤ ≤ 3
4a = 2 (4 3) 3y x a x a= + − + 2y x= −
a 1 2 3[ , ]3 3 4
∪
2019
2018
,( )
,
x x af x
x x a
≤= >
( )y f x m= −
(1, )+∞ ( ,0) (1, )−∞ ∪ +∞
(0,1) (1, )∪ +∞ ( ,0)−∞
( )y f x m= − ( )f x m= ( )y f x= y m=
2018 2019x x= 0x = 1x =
1a＞ ( )f x m 1a＞ 10 / 28
②当 时，函数 单调递增，故不符合题意；
③当 时，函数 单调递增，故不符合题意；
④当 时，函数 单调递增，故不符合题意；
⑤当 时，函数 的图像如图所示，此时存在 ，满足题意，故 满足题意；
综上可得， 或 ，
故选：B.
二、多选题
13．（2019·山东高一期末）已知 ， ，下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
分析：由指数函数的单调性可判断 ；由作差法和不等式的性质可判断 ；可根据换底公式，取
， ，运用对数函数单调性，可判断 ；运用作差法和不等式的性质，可判
断 .
详解：
1a = ( )f x
0 1a＜ ＜ ( )f x
0a = ( )f x
0a＜ ( )f x m 0a＜
0a＜ 1a＞
1a > 0 1c b< < <
b ca a> c c a
b b a
+> + log logb ca a< b c
b a c a
>+ +
A B
1log logb
a
a b
= 1log logc
a
a c
= C
D 11 / 28
由 ， ，可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ， ，故 错误；
由 ， ， ， ，则 ，则 ，
可得 ，故 正确；
由 ， ， 可得 ，故
正确.
故选:
14．（2020·山东高三期末）在平面直角坐标系 中，如图放置的边长为 的正方形 沿 轴滚动（无
滑动滚动），点 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 的判断
正确的是( )
A．函数 是奇函数
B．对任意的 ，都有
C．函数 的值域为
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】BCD
【解析】
由题意，当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的 圆；
当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的 圆；
1a > 0 1c b< < < b ca a> A
1a > 0 1c b< < < c c a
b b a
+− + ( )
( )
( ) 0a c bcb ca bc ba
b b a b b a
−+ − −= = 0 1c b< < < 1log logb
a
a b
= 1log logc
a
a c
= log log 0a ac b< < 1 1 0log loga ab c
< <
log logb ca a< C
1a > 0 1c b< < < ( )( )
( )
( )( ) 0a b cb c bc ba cb ca
b a c a b a c a b a c a
−+ − −− = = >+ + + + + +
b c
b a c a
>+ + D
ACD
xOy 2 ABCD x
D ( ),B x y ( )y f x= ( )y f x=
( )y f x=
x∈R ( ) ( )4 4f x f x+ = −
( )y f x= 0,2 2
( )y f x= [ ]6,8
4 2x− ≤ < − ( ),B x y ( 2,0)A − 2 1
4
2 2x− ≤ < ( ),B x y (0,0)D 2 2 1
4 12 / 28
当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的 圆；
当 ，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的 圆，与 的形状相同，
因此函数 在 恰好为一个周期的图像；
所以函数 的周期是 ；
其图像如下：
A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故 A 错；
B 选项，因为函数的周期为 ，所以 ，因此 ；故 B 正确；
C 选项，由图像可得，该函数的值域为 ；故 C 正确；
D 选项，因为该函数是以 为周期的函数，因此函数 在区间 的图像与在区间 图像形
状相同，因此，单调递增；故 D 正确；
故选：BCD.
15．（2020·湖北高一期末）已知函数 ,若 ,且
,则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
画出函数 的大致图象如下图，
2 4x≤ < ( ),B x y (2,0)C 2 1
4
4 6x≤ < ( ),B x y (4,0)A 2 1
4 4 2x− ≤ < −
( )y f x= [ ]4,4−
( )y f x= 8
8 ( 8) ( )f x f x+ = ( 4) ( 4)f x f x+ = −
0,2 2
8 ( )y f x= [ ]6,8 [ ]2,0−
( ) 2
2
2 , 0
, 0
x x xf x log x x
− − ≤= > 1 2 3 4x x x x< < <
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = =
1 2 1x x+ = − 3 4 1x x =
41 2x< < 1 2 3 40 1x x x x< <
( )f x 13 / 28
得出 ,则 ,故 A 错误,B 正确;
由图可知 ,故 C 正确;
因为 ,所以 ,故
D 正确.
则结论正确的是 BCD，
故选：BCD.
16.（2019·山东高一期末）定义“正对数”： 若 ， ，则下列结论中正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
E.
【答案】ACE
【解析】
对于 A，当 时，有 ，从而 ，
所以 ，
当 时，有 ，从而 ， ，
所以 ，
当 时， ，所以 A 正确；
对于 B，当 时，满足 ，
1 2 2 3 2 42, x x log x log x+ = − − = 3 4 1x x =
41 2x< <
( )1 1 2 1 12 1, 2x x x x x− < < − = − − = ( ) ( )22
1 1 12 1 1 0,1x x x− − = − + + ∈ ( )1 2 3 4 1 2 0,1x x x x x x= ∈
0,0 1,ln ln , 1.
xx x x
+ < 0b >
ln ( ) lnba b a+ += ln ( ) ln lnab a b+ + += +
ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ − ln ( ) ln lna b a b+ + ++ ≥ +
ln ( ) ln ln ln 2a b a b+ + ++ ≤ + +
0 1, 0a b< < > 0 1ba< < ln ( ) 0, ln 0 0ba b a b+ += = × =
ln ( ) lnba b a+ +=
1, 0a b≥ > 1ba ≥ ln ( ) ln lnb ba a b a+ = = ln lnb a b a+ =
ln ( ) lnba b a+ +=
0, 0a b> > ln ( ) lnba b a+ +=
1 , 24a b= = 0, 0a b> > 14 / 28
而 ，
所以 ，所以 B 错误；
对于 C，由“正对数”的定义知， 且 ，
当 时， ，
而 ，所以 ，
当 时，有 ，
而 ，因为 ，
所以 ，
当 时，有 ，
而 ，所以 ，
当 时， ，
则 ，
所以当 时， ，所以 C 正确；
令 ，则 ，显然 ，
所以 D 不正确；
对于 E，由“正对数”的定义知，当 时，有 ，
当 时，有 ，
从而 ， ，
所以 ，
当 时，有 ，
从而 ， ，
所以 ，
1 1ln ( ) ln 0,ln ln ln ln 2 ln 22 2ab a b+ + + + + += = + = + =
ln ( ) ln lnab a b+ + +≠ +
ln 0x+ ≥ ln lnx x+ ≥
0 1,0 1a b< < < < ln ln 0 0 0a b+ +− = − =
ln ( ) 0a
b
+ ≥ ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ −
1,0 1a b≥ < < 1,ln ln ln 0 lna a b a ab
+ + + +> − = − =
ln ( ) ln( ) ln lna a a bb b
+ = = − ln 0b <
ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ −
0 1, 1a b< < ≥ 0 1,ln ln 0 ln lna a b b bb
+ + + +< < − = − = −
ln ( ) 0a
b
+ = ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ −
1, 1a b≥ ≥ ln ln ln ln ln( )aa b a b b
+ +− = − =
ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ −
0, 0a b> > ln ( ) ln lna a bb
+ + +≥ −
2, 4a b= = ln (2 4) ln 6,ln 2 ln 4 ln 2 ln 4 ln8+ + ++ = + = + = ln 6 ln8≠
1 2x x≤ 1 2ln lnx x+ +≤
0 1,0 1a b< < < < 0 2a b< + <
ln ( ) ln 2 ln 2a b+ ++ < = ln ln ln 2 0 0 ln 2 ln 2a b+ ++ + = + + =
ln ( ) ln ln ln 2a b a b+ + ++ ≤ + +
1,0 1a b≥ < < 1a b+ >
ln ( ) ln( ) ln( ) ln 2a b a b a a a+ + = + < + = ln ln ln 2 ln 0 ln 2 ln 2a b a a+ ++ + = + + =
ln ( ) ln ln ln 2a b a b+ + ++ ≤ + + 15 / 28
当 时， ，
因为 ，
所以 ，从而 ，所以 D 正确；
故选 ACE.
三、填空题
17．（2020·高一开学考试） 是定义域为 的偶函数，对 ，都有
，当 时， ，则 ________.
【答案】
【解析】
因为 是定义域为 的偶函数,所以 ,所以周期 ,
所以 ,
,
所以 .
故答案为: .
18．（2019·高三月考（文））已知函数 ，实数 、 满足 ，且
，若 在区间 上的最大值是 ，则 的值为______.
【答案】
【解析】
由题意以及函数 的性质可得 ，所以 ，且 ,
因为函数 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 或 ，
1, 1a b≥ ≥ ln ( ) ln( ),ln ln ln 2 ln ln ln 2 ln 2a b a b a b a b ab+ + ++ = + + + = + + =
2 ( ) ( 1) ( 1) 0ab a b ab a ab b a b b a− + = − + − = − + − ≥
2ab a b≥ + ln ( ) ln ln ln 2a b a b+ + ++ ≤ + +
( )f x R x R∀ ∈
( ) ( )4f x f x+ = − 0 2x≤ ≤ ( )
2
2 1,0 1,
log 1,1 2
x xf x
x x
− ≤ 2( ) 2 0f x x x= − = 0x = 2x =
0,2x = ( )f x 1a = ( )f x
0x ≤ (( )) ( 1)x xf f x xx xe e′⇒ = +=
( 1) 0xx e+ > 1x > −
( )f x ( , 1)−∞ − ( 1,0]−
1( 1)f e
− = −
0x > 2( ) 2f x ax x= −
0a < 2( ) 2f x ax x= −
0a = ( ) 2f x x= −
0a > 1x a
=
1 1 1( )f a ea a e
= − ≥ − ⇒ ≥
[ ),e +∞
( )f x ( )g x { } { }| ( ) 0 | ( ) 0x f x x g xα β∈ = ∈ =， α β，
1α β− ≤ ( )f x ( )g x 1( ) 2xf x e x−= + − 2( ) 3g x x ax a= − − +
72, 3
20 / 28
详解:
由 f （x）＝x﹣1＝0 得 x＝1，且 f （x）单调递增，则函数 f（x）的唯一零点为 1，
若 f （x）＝x﹣1 与 g（x）＝x2﹣ax﹣a+3 互为“零点相邻函数”，
设 β 是 g（x）的零点，则满足|1﹣β|≤1，得 0≤β≤2，
即函数 g（x）的零点满足条件 0≤β≤2，
∵g（﹣1）＝1+a﹣a+3＝4＞0，
∴要使 g（x）的零点在[0，2]上，
则满足 ，即 ，得 ，得 2≤a ，
即实数 a 的取值范围是[2， ]，
故答案为：[2， ]
24．（2019·山西省永济中学高三开学考试（文））已知函数 ，若 有三
个不同的实根，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
若 有三个不同的实根，即 有三个不同的实根，
也就是直线 与函数 的图像有 3 个交点.
在同一坐标系下画出两函数的图像如下：
( )
( )
0 0
2 0
0 22
02
g
g
a
ag
≥
≥
≤
＜ ＜
2
3 0
4 3 3 0
0 4
4 12 0
a
a
a
a a
− + ≥
− + ≥
+ − ≥
＜ ＜
3
7
3
0 4
2 6
a
a
a
a a
≤
≤
≥ ≤ −
＜ ＜
或
7
3
≤
7
3
7
3
2 1 2
( ) 3 21
x x
f x
xx
−
(2 ) 2 ( ) 1f x f x= − (2) 3f = ( )5 2 7 2xf− < − < x
( )2log 3,3
0x > (2 ) 2 ( ) 1f x f x= − (2) 3f =
( ) ( )2 2 1 1 3f f∴ = − =
( )1 2f =
( ) ( )4 2 2 1 5f f= − =
( ) ( )4 4 5f f− = − = −
5 (2 7) 2xf− < −
( ) [ ( )]g x f f x= R
a 22 / 28
【答案】
【解析】
令 ，则 ，由于函数 在 上有三个不同的零点，所以
必有两解，所以 或 .
当 时， 的图像如下图所示，由图可知， 必有两个零点 ，由于
有两个解，所以 有一个解，即 ，解得 .
当 时， 的大致图像如下图所示， 必有两个零点 ，由于 有两个
解，所以 有一个解，所以 ，解得 .
) )2,0 2, 6 −
( )t f x= ( ) ( )g x f t= ( ) [ ( )]g x f f x= R ( ) ( ) 0g x f t= =
2 0a− ≤ < 2a ≥
2 0a− ≤ < ( )f x ( )y f t= 1 22, 0t t= − =
( ) 2f x t= ( ) 1f x t= 2 4 2a − ≤ − 2 0a− ≤ <
2a ≥ ( )f x ( )y f t= 3 42, 2t t= − = ( ) 3f x t=
( ) 4f x t= 2 4 2a − < 2 6a≤
0 1m
( ) 2 0y f x= − = ( ) 2f x =
|lg | 1 2x + = | |2 2x =
|lg | 1 2x + = 10x = 1
10
| |2 2x = 1x = − 1x = 24 / 28
所以当 时，函数 的零点为 ， ，10，共 3 个.
（Ⅱ）令 ，得 或 .
由题易知 恒成立.
所以 必须有 3 个实根，即 和 共有 3 个根.
①解 ，得 或 （舍），故有 1 个根.
②解 ，得 或 ，
要使得两根都满足题意，则有 .
又 ，所以 .
所以实数 的取值范围为 .
28．对于函数 ,称满足 的 为 的“不动点”,称满足 的 为 的“稳
定点”
(1)求函数 的“不动点”;
(2)求函数 的“稳定点”;
(3)已知函数 有无数个“稳定点”,若 ,求 y 的
取值范围(用 a 表示).
【答案】(1) , ;(2) ;(3)
【解析】
分析:（1）令 ，即 ，可得函数 的“不动点”；
（2）令 ，即 ，可得函数 的“稳定点”；
（3）若函数 ， ， 有无数个“稳定点”，即 有无数个解，即
有无数个解，故 ，即 ，分析函数的单调性，进而可得 的取值范
0m = ( ) 2y f x= − 1− 1
10
2 ( ) 3 ( ) 0f x f x− = ( ) 0f x = ( ) 3f x =
( ) 0f x >
( ) 3f x = |lg | 1 3x + = | |2 3x =
| |2 3x = 2log 3x = − 2log 3 1x = >
|lg | 1 3x + = 100x = 1
100x =
1
100m <
0 1m 0xe > 2
2
1 12 2 2 2 0x x
x xe ee e
λ λ + − + + − ≥
1x
xt e e
= + 2t ≥ 2 3 0t tλ λ+ − − ≥ 2t ≥
( ) 2 3g t t tλ λ= + − − [ )2,t ∈ +∞
22
λ− ≤ 4λ ≥ − ( ) ( )min 2 1 0g t g λ= = + ≥ 1λ ≥ −
22
λ− > 4< −λ ( ) n
2
mi 3 02 4g t g
λ λ λ − = − − − ≥
=
λ 1λ ≥ −
a R∈ ( )
( )2 2 4 2, 0
1 1 , 0
ax a x x
f x
a x xx
+ − + ≤= + + − >
1a = ( )f x
2x ≤ ( ) ( )1 2f x a x≥ − + 27 / 28
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ，函数图象如下所示：
所以， 的单调递增区间是 .
（2）若 ，
于是 在 上恒成立，
则 或 ，得 .
若 ，
当 时， ，
(1, )+∞ 0 1a≤ ≤
1a =
2 2 2, 0
1( ) 2,0 1
1 , 1
x x x
f x x xx
x xx
− + ≤
= − + < − ≥
0 3a≤ ≤
1 1, 0 110, ( ) 1 1 1, 1 2
x a xxx f x a xx x a xx
− + + < = + + − =
+ + − ≤ ≤
0<
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