决胜2020高考数学中高档题分项演练:三角函数与解三角形（解析版）

1 / 25 专题 03 三角函数与解三角形 一、单选题 1．（2019·山东省高考模拟）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合， 为其终边 上一点，则 ( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ∵ 为角 终边上一点， ∴ ， ∴ ． 故选 D． 2．（2020·天津高三月考）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－ bsinB=4csinC，cosA=－ ，则 = A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解析】 由已知及正弦定理可得 ，由余弦定理推论可得 ，故选 A． 3．（2020·福建省高三期末）已知函数 ，且 ，则 在 上的零 点个数最少为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 《决胜 2020 高考数学中高档题分项演练》 α x (2, 2)M cos2 =α 2 3 − 2 3 1 3 − 1 3 (2, 2)M α 2 2 2 2 6cos 362 ( 2) α = = = + 2 26 1cos2 2cos 1 2 ( ) 13 3 α α= − = × − = 1 4 b c 2 2 24a b c− = 2 2 2 2 21 4 1 3 1 3cos , , , 4 64 2 2 4 2 4 2 b c a c c c bA bc bc b c + − −− = = ∴ = − ∴ = ∴ = × = ( ) sin ( 0)f x xω ω= > ( ) ( )2f x f x π= − ( )f x 3[0, ]2 π 2 / 25 【答案】C 【解析】 由 可知， 是函数 的对称轴 则 ，即 ，则 设 ， ，要使得 在 上零点最少，则 最小 即 时，函数 在 上零点最少为 即 在 上的零点个数最少为 故选：C 4．（2019·甘肃省高三）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图像， 则下列判断错误的是（ ） A．函数 的最小正周期是 B． 图像关于直线 对称 C．函数 在区间 上单调递减 D． 图像关于点 对称 【答案】C 【解析】 由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度， 可得 ， 对于 ,函数的最小正周期为 ，所以该选项是正确的； 对于 ，令 ，则 为最大值， 函数 图象关于直线 ，对称是正确的； 对于 中， ，则 ， ， ( ) ( )2f x f x π= − 4x π= ( )f x ,4 2w k k Z π π π= + ∈ 2 4 ,w k k Z= + ∈ 30, 2x π ∈   30, 2 wwx π ∈   siny z= 30, 2 wz π ∈   siny z= 30, 2 wπ     ω 2ω = siny z= [ ]0,3π 4 ( )f x 3[0, ]2 π 4 ( ) πsin 2 3f x x = +   π 2 ( )g x ( )g x π ( )g x 7π 12x = ( )g x π π,6 3  −   ( )g x π ,03      ( )f x 2 π 2( ) sin[2( ) ] sin(2 )2 3 3g x x x π π π= − + = − A 2 =2 π π B 7 12x π= 7 7 2( ) sin(2 ) sin 112 12 3 2g π π π π= × − = = ∴ ( )g x 7 12x π= C [ , ]6 3x π π∈ − 22 [3x π π− ∈ − 0] 3 / 25 则函数 在区间 上先减后增， 不正确； 对于 中，令 ，则 ， 图象关于点 对称是正确的， 故选 ． 5．（2020·全国高一课时练习）在 中， ，BC 边上的高等于 ,则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设 ,故选 C. 6．（2020·福建省高三）已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ，角 A 的平分 线交 BC 于点 D，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解法 1：因为 ，角 A 的角平分线交 BC 于点 D，所以 ， ( )g x [ , ]6 3 π π− ∴ D 3x π= 2( ) sin(2 ) sin0 03 3 3g π π π= × − = = ( )g x∴ ( ,0)3 π C ABC△ 4B π= 1 3 BC cos A = 3 10 10 10 10 10 10 − 3 10 10 − 2 2 12 , 2 , 5 sin cos ,sin ,cos cos2 5 5 AD a AB a CD a AC a Aα α β β= ⇒ = = = ⇒ = = = = ⇒ 10cos( ) 10 α β= + = − ABC∆ 60 , 3= =A b c 7BD = cos ADB∠ 21 7 − 21 7 2 7 7 2 7 7 ± 60A =  30∠ = ∠ = CAD BAD 4 / 25 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 . 因为 ， 所以 ，解得 ， 在 中，由正弦定理可知： 即 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，所以 为锐角， 所以 . 法 2：因为 ，角 A 的角平分线交 BC 于点 D，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，解得 ， 3b c= 1 sin2 6 31 sin2 6 ∆ ∆ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ CAD DAB πb ADSCD b πBD S cAD c 7BD = 3 7=CD 4 7= =a CB 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 116 7 9 2 3 2 × = + − ⋅ ⋅ ⋅c c c c 4c = ABD∆ sin sin =∠ ∠ BD c BAD ADB 7 4 1 sin 2 = ∠ADB 2sin 7 ∠ =ADB 3= >b c c B C> 30 , 30∠ = + ∠ = + ADB C ADC B ∠ < ∠ADB ADC ADB∠ 3 21cos 77 ∠ = =ADB 60A =  30∠ = ∠ = CAD BAD 3b c= 1 sin2 6 31 sin2 6 ∆ ∆ ⋅ ⋅ = = = = ⋅ CAD DAB πb ADSCD b πBD S cAD c 7BD = 3 7=CD 4 7= =a CB 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 116 7 9 2 3 2 × = + − ⋅ ⋅ ⋅c c c c 4c = 5 / 25 由余弦定理可得： ，即 ， 所以 ，所以 . 所以 或 ，因为 ，所以 又 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以 . 故选：B 7．（2020·山西省高三月考）已知函数 的最大值为 ，当 的定义域为 时， 的值域为 ，则正整数 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解析】 函数 由于函数 f（x）的最大值为 ，∴ a＝2 ，解得 a＝±2． 当 f（x）的定义域为[1，2]时，f（x）的值域为[﹣2 ，2 ]，包括最大值与最小值． 若 2﹣1 ，即 ω≥2π，必定满足题意． 若 2﹣1 ，即 π≤ω＜2π，ω＝4，5，6． 2 2 2 cos 2 + −∠ = ⋅ AD c BDBAD AD c 23 16 7 2 8 + −= AD AD 2 4 3 9 0− + =AD AD ( )( )3 3 3 0− − =AD AD 3 3AD = 3AD = 3= >b c c B C> 120+ = B C 60> > ∠B BAD 7> =AD BD 3 3AD = 2 2 2 27 7 16 21cos 2 72 3 3 7 + − + −∠ = = =⋅ × × DA DB ABADB DA DB ( ) sin cosf x a x a xω ω= + 2 2 ( )f x [1,2] ( )f x [ 2 2,2 2]− ω ( ) sin cos 2 sin( )4f x a x a x a x πϖ ϖ ϖ= + = + 2 2 2± 2 2 2 2π ω≥ 2π ω ＞ 1 2 2 π ω≥ × 6 / 25 ①取 ω＝6，f（x）＝±2 sin（6x ），6 6x 12 ． 6x 2π （＞6 ）时取最大值，6x 2π （＜12 ）时取最小值． ②取 ω＝5，f（x）＝±2 sin（5x ），5 5x 10 ． 5x 2π （＞5 ）时取最大值，而 5x 2π 10 ，因此不能取得最小值；同理可得 ω＝4 也不合题意， 因此正整数 ω 的最小值为 6． 故选：D． 8．（2020·辽宁省高三）已知当 时，函数 取得最小值，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 函数 由辅助角公式化简可得 ， 因为当当 时，函数取得最小值， 所以 ， 则 所以 2 4 π+ 4 π+ ≤ 4 π+ ≤ 4 π+ 4 π+ = 2 π+ 4 π+ 4 π+ = 3 2 π+ 4 π+ 2 4 π+ 4 π+ ≤ 4 π+ ≤ 4 π+ 4 π+ = 2 π+ 4 π+ 4 π+ = 3 2 π+ ＞ 4 π+ x α= ( ) sin 2cosf x x x= − cosα = 5 5 − 2 5 5 − 2 5 5 5 5 ( ) sin 2cosf x x x= − ( ) 5 2 55 sin cos5 5f x x x  = −    ( ) 2 55 sin ,sin 5x θ θ= − = x α= 3 2 ,2 k k Z πα θ π− = + ∈ 3 2 ,2 k k Z πα θ π= + + ∈ cos co 22s 3 k π + θ + π  α  = 2cos 3π + θ =  2sin 5 5 θ == 7 / 25 故选：C. 9．（2019·广东省高三）在 △ 퐴퐵퐶中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若퐴 = 3퐵，则푎 푏的取值范围是(　　) A．(0,3) B．(1,3) C．(0,1] D．(1,2] 【答案】B 【解析】퐴 = 3퐵⇒sin퐴 sin퐵 = sin3퐵 sin퐵 = sin(2퐵 + 퐵) sin퐵 = sin2퐵cos퐵 + cos2퐵sin퐵 sin퐵 = 2sin퐵cos2퐵 + cos2퐵sin퐵 sin퐵 = 2cos2퐵 + cos2퐵 = 2cos2 퐵 +1 即푎 푏 = sin퐴 sin퐵 = 2cos2퐵 +1 又퐴 + 퐵 ∈ (0,휋)，即4퐵 ∈ (0,휋) ⇒2퐵 ∈ (0,휋 2) ⇒cos2퐵 ∈ (0,1) ∴ 푎 푏 ∈ (1,3) 本题正确选项：퐵 10．（2020·广东省高三期末）已知函数 ，那么下列命题中假命题是（ ） A． 是偶函数 B． 在 上恰有一个零点 C． 是周期函数 D． 在 上是增函数 【答案】D 【解析】 对于 ，函数 ，定义域为 ， 且满足 ，所以 为定义域 上的偶函数， 正确； 对于 ， 时， ， ， 且 ， 在 上恰有一个零点是 ， 正确； 对于 C，根据正弦、余弦函数的周期性知，函数 是最小正周期为 的周期函数， 正确； 对于 D， 时， ，且 ， 在 上先减后增，D 错误． 故选 D． 二、多选题 ( ) cos | sin |f x x x= − ( )f x ( )f x [ ,0]π− ( )f x ( )f x [ ,0]π− A ( ) cos | sin |f x x x= − R ( ) cos( ) | sin( ) | cos | sin | ( )f x x x x x f x− = − − − = − = ( )f x R A B [ ,0]x π∈ − sin 0x ( ) cos | sin | cos sin 2 sin 4f x x x x x x π = − = + = +   3 ,4 4 4x π π π + ∈ −   ( )f x [ ],0π− 4 π− B ( )f x 2π C [ ,0]x π∈ − ( ) 2 sin 4f x x π = +   3 ,4 4 4x π π π + ∈ −   ( )f x [ ],0π− 8 / 25 11．（2020·海南省高三）已知函数 ，则（ ） A． 的最小正周期为 π B．曲线 关于 对称 C． 的最大值为 D．曲线 关于 对称 【答案】ACD 【解析】 ， 则 ， 的最大值为 ， 曲线 关于 对称， ，曲线 不关于 对称. 故选：ACD 12．（2020·山东省高三期末）已知 的最小正周期为 ，则下列说 法正确的有（ ） A． B．函数 在 上为增函数 C．直线 是函数 图象的一条对称轴 D． 是函数 图象的一个对称中心 【答案】BD 【解析】 ， ( ) sin 2 sin(2 )3f x x x π= + + ( )f x ( )y f x= ( ,0)3 π ( )f x 3 ( )y f x= 6x π= 1 3( ) sin 2 sin 2 cos2 3sin 22 2 6f x x x x x π = + + = +   T π= ( )f x 3 3( ) 3sin 36 6f π π π = + =   ( )y f x= 6x π= 3 2( ) 3sin 03 6f π π π = + ≠   ( )y f x= ,03 π     ( ) ( )22 3 2 1 0f x cos x sin xω ω ω= + − > π 2ω = ( )f x [0, ]6 π 3x π= ( )y f x= 5 π,012 æ öç ÷ç ÷è ø ( )y f x= ( ) cos2 3sin 2 2sin 2 6f x x x x πω ω ω = + = +   9 / 25 ， ，故 A 不正确； 当 时， 是函数 的单调递增区间，故 B 正确； 当 时， ， ，所以不是函数的对称轴，故 C 不正确；、 当 时， ， ，所以 是函数 的一个对称中心，故 D 正确. 故选：BD 13．（2020·山东省高三）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）的周期为 C．（π，0）是 f（x）的一个对称中心 D．f（x）在区间 上单调递增 【答案】AB 【解析】 因为函数 f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx| |sin2x|， 画出函数图象，如图所示； 由图可知，f（x）的对称轴是 x ，k∈Z； 所以 x 是 f（x）图象的一条对称轴， A 正确； f（x）的最小正周期是 ，所以 B 正确； 2 2 π πω = 1ω∴ = ( ) 2sin 2 6f x x π ∴ = +   0, 6x π ∈   2 ,6 6 2x π π π + ∈   siny x= 3x π= 52 3 6 6 π π π× + = 5 1sin 16 2 π = ≠ ± 5 12x π= 52 12 6 π π π× + = sin 0π = 5 ,012 π     ( )y f x= ( ) sin cosf x x x= 2x π= 2 π 4 2 ，π π     1 2 = 4 kπ= 2 π= 2 π 10 / 25 f（x）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f（x） |sin2x|在区间 上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 14．（2020·山东省济南外国语学校高一月考）（多选题）如图，设 的内角 ， ， 所对的边分别 为 ， ， ， ，且 ．若点 是 外一点， ， ，下列说法中，正确的命题是（ ） A． 的内角 B． 的内角 C．四边形 面积的最大值为 D．四边形 面积无最大值 【答案】ABC 【解析】 ,因此 A,B 正确； 四边形 面积等于 因此 C 正确，D 错误， 故选：ABC 1 2 = 4 2 π π    ， ABC A B C a b c ( )3 cos cos 2 sina C c A b B+ = 3CAB π∠ = D ABC 1DC = 3DA = ABC 3B π= ABC 3C π= ABCD 5 3 32 + ABCD ( ) ( ) 23 cos cos 2 sin 3 sin cos sin cos 2sina C c A b B A C C A B+ = ∴ + = 2 2 33sin( ) 2sin 3sin 2sin sin 2A C B B B B∴ + = ∴ = ∴ = 2(0, )3 3 3 3CAB B B C A B π π π ππ∠ = ∴ ∈ ∴ = ∴ = − − = ， ABCD 23 1 sin4 2ABC ACDS S AC AD DC ADC+ = + ⋅ ⋅ ∠   2 23 1( 2 cos ) sin4 2AD DC AD DC ADC AD DC ADC= + − ⋅ ⋅ ∠ + ⋅ ⋅ ∠ 3 1 5 3 5 3(9 1 6 cos ) 3sin 3sin( ) 34 2 2 3 2ADC ADC ADC π= + − ⋅ ∠ + × ∠ = + ∠ − ≤ + 11 / 25 三、填空题 15．（2020·浙江省高三期末）已知 是角 的终边上一点，则 ______， 角 的最小正值是______. 【答案】 【解析】 由于 是角 的终边上一点，所以 .由于 ，所以 在第四象限，也即 是第四象限角，所以 ，当 时， 取得最小正值为 . 故答案为：（1） ；（2） 16．（2020·重庆市铜梁县教委高三期中）已知 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】 由题意结合二倍角公式化简 ,得 ,又 即得 ,联立 ,解得 . 故答案为: 17．（2020·浙江省高三期末）在锐角 中， 是边 上一点，且 ， ， ， 若 ，则 ____， 的面积是____． 【答案】 【解析】 如下图所示： 5 5sin ,cos6 6P π π     α cosα = α 1 2 5π 3 5 5sin ,cos6 6P π π     α cosα = 2 2 5πsin 6 5π 5πsin cos6 6 + 5π 1sin 6 2 = = 5π 1 5π 3sin 0,cos 06 2 6 2 = > = − < P α π2 π 3kα = − 1k = α 5π 3 1 2 5π 3 π0, 2 α  ∈   2sin 2 cos2 1α α= + cosα = 2 5 5 2sin 2 cos2 1α α= + 24sin cos 2cos 1 1α α α= − + π0, 2 α  ∈   2sin cosα α= 2 2sin cos 1α α+ = 2 5cos 5 α = 2 5 5 ABC∆ D BC 2 2AB = 3BC = AC AD= 3cos 5CAD∠ = sinC = ABC∆ 2 5 5 3 12 / 25 在锐角 中， 是边 上一点，且 ， ， ， ，即 ， ， ，又 ，解得 . 易知 为锐角，则 ， 由 ， . ， 因此， 的面积为 . 故答案为： ； . 18．（2020·山东省高三月考）已知函数 ，其中 ， 是这两个 函数图像的交点，且不共线.①当 时， 面积的最小值为___________；②若存在 是等腰直 角三角形，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】 函数 ，其中 ， 是这两个函数图象的交点， 当 时， ． ABC∆ D BC 2 2AB = 3BC = AC AD= ( ) 3cos 2 cos 5C CADπ − = ∠ = 3cos2 5C− = 3cos2 5C∴ = − 2 31 2sin 5C∴ − = − sin 0C > 2 5sin 5C = C 2 5cos 1 sin 5C C= − = 2 53sin 3 105sinsin sin 102 2 AB BC BC CBACC BAC AB × = ⇒ ∠ = = =∠ 2 10cos 1 sin 10BAC BAC∴ ∠ = − ∠ = ( ) 2sin sin sin cos cos sin 2B C BAC C BAC C BAC∴ = + ∠ = ∠ + ∠ = ABC∆ 1 1 2sin 2 2 3 32 2 2ABCS AB BC B∆ = ⋅ ⋅ = × × × = 2 5 5 3 ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C 1ω = ABC∆ ABC∆ ω 2π 2 π ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 0>ω , ,A B C 1ω = ( ) 2 sin , ( ) 2 cosf x x g x xω ω= = 13 / 25 所以函数的交点间的距离为一个周期 ，高为 ． 所以： ． 如图所示： ①当 时， 面积的最小值为 ； ②若存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半， 则 ， 解得 的最小值为 ． 故答案为： ， ． 19．（2020·北京 101 中学高三月考）已知函数 f（x）=x3-4x，g（x）=sinωx（ω＞0）．若∀x∈[-a，a]，都有 f （x）g（x）≤0，则 a 的最大值为______；此时 ω=______． 【答案】4 【解析】 ∵函数 ， 均为奇函数． ∴只需考虑 ，都有 即可． ∵函数 在 满足 ，在 满足 ， ∴当且仅当在 上 ，在 满足 ， 才能取到最大值，（如图）． 此时 ， ， ． 2π 2 22 2 22 2 ⋅ + ⋅ = ( )1 2 1 1 22ABCS π π∆ ⋅ ⋅ +＝ ＝ 1ω = ABC∆ 2π ABC∆ 2 2 22 2 22 2 π ω      ⋅ + ⋅  ⋅＝ ω 2 π 2π 2 π 2 π ( ) 3 4f x x x= − ( ) ( )sin 0g x xω ω= > [0 ]x a∀ ∈ ， ( ) ( ) 0f x g x ≤ ( ) 3 4f x x x= − [0 2]， ( ) 0f x ≤ [2 + ∞， ） ( ) 0f x ≥ [0 2]， ( ) 0g x ≥ [0 2]， ( ) 0g x ≤ a 2 4 π ω = 2 πω = 4a = 14 / 25 故答案为：4， ． 20．（2020·浙江省高三期末）在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，点 为边 上的中点， 已知 ， ， ，则 ______； ______. 【答案】 【解析】 解法一：向量法 由题意 ，又 ， 两边平方可得 ， 故答案为: ， . 解法二：平行四边形法则 倍长中线，由平行四边形法则，得到 ,即 . 解法三：余弦定理 由题意 ， 因为 ， 则 代入数据， 2 π ABC∆ A B C a b c D AC 5a = 7b = 8c = cos B = BD = 1 2 129 2 2 2 2 25 64 49 1cos =2 2 5 8 2 a c bB ac + − + −= = × × ( )1= 2BD BA BC+   ( )2 21 1292 cos4 2BD BA BC BA BC B= + + ⋅ =    1 2 129 2 ( )2 2 2 22BD AC BA BC+ = + 129 2BD = 2 2 2 25 64 49 1cos =2 2 5 8 2 a c bB ac + − + −= = × × cos ADB cos DB 0∠ + ∠ =C 2 2 2 2 2 2 02 2 AD BD AB DC BD BC BD AD BD DC + − + −+ =⋅ ⋅ 15 / 25 得到 ，即 ， 故答案为: ， . 21．（2020·广东省高三期末）在 中，角 的对边分别为 ， ， ， 且 为锐角，则 面积的最大值为________. 【答案】 【解析】 因为 ，又 ， 所以 ，又 为锐角，可得 . 因为 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立， 即 ， 即当 时， 面积的最大值为 . 故答案为 . 点睛：对余弦定理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同 时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 22．（2020·浙江省高三期末）设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， .若 ，则 ______， 的最大值是______. 【答案】-2 2 129 4BD = 129 2BD = 1 2 129 2 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 4c = 4 2 sina A= C ABC∆ 4 4 2+ 4c = 4 2sin sin c a C A = = 2sin 2C = C 4C π= ( )2 2 2 216 2 cos 2 2 2a b ab C a b ab ab= + − = + − ≥ − ( )16 8 2 2 2 2 ab ≤ = + − ( )8 2 2a b= = + 1 2sin 4 4 22 4ABCS ab C ab∆ = = ≤ + ( )8 2 2a b= = + ABC∆ 4 4 2+ 4 4 2+ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 30 ,45 ,60o o o ABC∆ a b c A B C 2 2 23b a c+ = tan tan C B = tan A 2 4 16 / 25 【解析】 (1) (2)由(1) ,故 ,因为 故 为锐角. 故 . 故答案为：(1). -2 (2). 四、解答题 23．（2020·山东省高三期末）在① ， ，② ， ，③ ， 三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，______，求 的面积 S. 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 分析： 若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出 ， ，再根据两角和的正弦公式求出 ，由 正弦定理求出边 ，最后由面积公式求出三角形的面积. 若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边 ，最后由面积公式求出三角形的面积. 若选③，由余弦定理求出边 ，由同角三角函数的基本关系求出 ，最后由面积公式求出三角形的面积. 详解：选① ∵ ， ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan sin cos 2 tan sin cos 2 a c bcC C B a c bac a b cB B C a b cb ab + −⋅ + −= = =+ − + −⋅ ( ) 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 4 223 a b a b a aa b b a + + −= = = −−+ − + tan 2tanC B= − [ ] tan tantan tan ( ) tan( ) tan tan 1 B CA π B C B C B C += − + = − + = ⋅ − ( ) 2 tan tan2tan 2tan 1 1tan 1 2tan 1 2tan tan B BB BB B B B − −= = =⋅ − + + 2 2 23b a c+ = B 1 1 2 1 412tan 2 2tantan tan B BB B ≤ = + ⋅ 2 4 3cos 5A = 2 5cos 5C = sin sin sinc C A b B= + 60B =  2c = 1cos 8A = ABC 3a = ABC sin A sinC sin B b c b sin A 3cos 5A = 2 5cos 5C = 17 / 25 ∴ ， ， ∴ ， 由正弦定理得 ， ∴ . 选② ∵ ， ∴由正弦定理得 . ∵ ，∴ . 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 选③ ∵ ， ， ∴ 由余弦定理得 ，即 ， 解得 或 （舍去）. ， ∴ 的面积 . 4sin 5A = 5sin 5C = ( )sin sin sin cos cos sinB A C A C A C= + = + 4 2 5 3 5 11 5 5 5 5 5 25 = × + × = 11 53sin 33 525 4sin 20 5 a Bb A × = = = 1 1 33 5 5 99sin 32 2 20 5 40S ab C= = × × × = sin sin sinc C A b B= + 2 2c a b= + 3a = 2 2 3b c= − 60B =  2 2 219 2 3 32b c c c= + − × × × = − 4c = 1 sin 3 32S ac B= = 2c = 1cos 8A = 2 2 21 2 3 8 2 2 b b + −= × 2 5 02 bb − − = 5 2b = 2b = − 2 3 7sin 1 cos 8A A∴ = − = ABC 1 1 5 3 7 15 7sin 22 2 2 8 16S bc A= = × × × = 18 / 25 故答案为：选①为 ；选②为 ；选③为 . 24．（2019·湖南省高三）在锐角 中，角 所对的边分别是 ，且 ． (1)求角 的大小； (2)若 的面积 ， ,求 的值． 【答案】(1) ．(2) 【解析】 (1)∵ , ∴ ，可得 ， 解得 ，或 . ∵ 为锐角三角形，∴ ，∴ ． (2)∵ ，可得 . 又 ,可得 . 在 中，由余弦定理可知， ， ∴ . 在 中，由正弦定理可知 , . 点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角 外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理； （2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理. 99 40 3 3 15 7 16 ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = A ABC∆ 3 3S = 3b = sinC 3A π= 2 39sin 13C = 3cos2 sin( ) 1 02A A π+ − + = cos2 cos 1 0A A− + = 22cos cos 0A A− = 1cos 2A = cos 0A = ABC∆ 1cos 2A = 3A π= 1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc∆ = = = 12bc = 3b = 4c = ABC∆ 2 2 2 12 cos 16 9 2 4 3 132a b c bc A= + − = + − × × × = 13a = ABC∆ sin sin a c A C = 34sin 2 392sin 1313 c AC a × = = = 19 / 25 25．（2020·江苏省高三）如图，在△ABC 中，已知 B ，AB＝3，AD 为边 BC 上的中线，设∠BAD＝α， 若 ． （1）求 AD 的长； （2）求 的值． 【答案】（1）AD （2） ． 【解析】 （1）由题,因为∠BAD＝α,且 cosα ,所以 , 所以 , 又在△ABD 中,已知 B ,AB＝3,AD 为边 BC 上的中线, 则根据正弦定理可得 ,即 , 解得 BD ,AD （2）由（1）, , 根据余弦定理可得, ,解得 AC , 则由正弦定理可得 ,解得 . 26．（2020·福建省高三期末）在 中内角 所对的边分别为 .已知 ，面积 . 4 π= cosα 2 5 5 = sin C 5= sin C 3 10 10 = 2 5 5 = 5 5sinα = 5 2 2 5 2 3 10sin sin sin 4 5 2 5 2 10BDA ADC πα ∠ = ∠ = + = × + × =   4 π= sin sin sin 4 AB BD AD BDA πα= =∠ 3 3 10 5 2 10 5 2 BD AD= = 2= 5= 2 2 2BC BD= = 2 2 2 2 4AC AB BC AB BC cos π= + − ⋅ ⋅ 5= 4 AB AC sinC sin π= sin C 3 10 10 = ABC , ,A B C , ,a b c 2, 7a b= = 3 2S accosB= 20 / 25 （1）求 的值； （2）若点 在 上（不含端点），求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）由三角形面积公式得 ，则 ， 由正弦定理 得， （2）由余弦定理得 ，解得 （舍）或 设 ，则 ， ，由余弦定理得 由正弦定理得 当 时， 的最小值为 27．（2020·安庆市第二中学高三期末）已知角 ， ， 为等腰 的内角，设向量 ， ，且 ， （1）求角 ； （2）在 的外接圆的劣弧 上取一点 ，使得 ，求 及四边形 的面积． sin A D BC sin BD BAD∠ 21 7 3 1 3sin cos2 2ac B ac B= tan 3B = ( )0,B π∈ 60B °∴ = sin sin a b A B = 32sin 212sin 77 a BA b × = = = 2 2 2 22 cos 2 3 0b a c ac B c c= + − ⇒ − − = 1c = − 3c = x B D= 2DC x= − ( )0,2x∈ 4 7 9 7cos 142 2 7 C + −= = × × 2 2 2 2 cosAD DC AC DC AC ACD= + − ⋅ ∠ 2 7(2 ) 7 2 7 (2 ) 14x x= − + − × − × 2 3 9x x= − + 23 27 2 4 sin sin 3 2 xBD AD BAD ABC  − +  = =∠ ∠ 3 2x = sin BD BAD∠ 3 3 2 3 3 2 = A B C ABC∆ (2sin sin ,sin )m A C B= − (cos ,cos )n C B= //m n  7BC = B ABC∆ AC D 1AD = sin DAC∠ ABCD 21 / 25 【答案】（1） （2） ． 【解析】 （1） 向量 ， ，且 ， ， ， ， ， ， ； （2）根据题意及（1）可得 是等边三角形， ， 中，由余弦定理可得 ， ， ， 由正弦定理可得 ， 四边形 的面积． ． 28．（2020·陕西省高三月考）在平面直角坐标系 中，设 的内角 所对的边分别为 ， 且 ， . （1）求 ； （2）设 ， ，且 ， 与 的夹角为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （1）∵ 3B π= 9 3 4  (2sin sin ,sin )m A C B= − (cos ,cos )n C B= //m n  (2sin sin )cos sin cosA C B B C∴ − = 2sin cos sin( )A B B C∴ = + 2sin cos sinA B A∴ = 1cos 2B∴ = 0 B π< < 3B π∴ = ABC∆ 2 3ADC∠ = π ADC∆ 2 2 2 22 cos 3AC AD CD AD CD π= + − ⋅ ⋅ 2 6 0CD CD∴ + − = 2CD∴ = sin 21sin 7 CD ADCDAC AC ∠∠ = = ∴ ABCD 1 1 9 31 7 sin 7 7 sin2 2 4S DAC ABC= × × ∠ + × × ∠ = xOy ABC , ,A B C , ,a b c 3a b c+ = 22sin 3sin sinC A B= C ( )1,cosP A− ( )cos ,1Q A− A C≤ OP OQ θ cosθ 3 π 4 3 7 22sin 3sin sinC A B= 22 / 25 ∴ ∴由正弦定理得 ∵ ∴ 根据余弦定理得： ∴ （2）由（1）知 ,代入已知,并结合正弦定理得 ,解得 或 （舍去） 所以 , ∴ 而 ∴ ． 29．（2020·天津静海一中高三月考）在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 . （1）求角 B 的大小； （2）设 a=2，c=3，求 b 和 的值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ， . 【解析】 2 3sin sin sin2C A B= 2 3 2c ab= 3a b c+ = 2 2 22 3a b ab c+ + = 2 2 2 22 2 1cos 2 2 2 2 a b c c ab abC ab ab ab + − −= = = = 3C π= 3C π= 3sin sin 2 1sin sin 2 A B A B  + =  = 1sin 2A = sin 1A = 30A = ° 90B = ° 2cos 3OP OQ A⋅ = =  2 2 2 7| | | | 1 cos cos 1 1 cos 4OP OQ A A A⋅ = + ⋅ + = + =  2 2cos 3 4 3cos 71 cos 7 4 A A θ = = =+ ABC△ sin cos 6b A a B π = −   ( )sin 2A B− 3 π 7b = 3 3 14 23 / 25 分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得 ，则 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理可得 b= ．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理 ，可得 ， 又由 ，得 ， 即 ，可得 ． 又因为 ，可得 B= ． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及 a=2，c=3，B= ， 有 ，故 b= ． 由 ，可得 ．因为 a