2020届高三数学（理）第一次月考试题（）

驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 1 页, 共 5 页 3 2 绝密★启用前 注意事项： 2020届高三下期第一次月考数 学试题卷(理科) 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 一、选择题：本大题 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设 z = 1 1+ i + i (其中i 是虚数单位),则 z = （ ） A． 1 B． 2 2 2 C． 3 2 D．2 2. 已知命题 p 为真命题，命题 q 为假命题．在命题① p  q ；② p  q ；③ p (q) ； ④ (p)  q 中，真命题是( ) A．① ③ B．① ④ C．② ③ D．② ④ 3. 已知函数 f ( x) = 2x − 3 ,若在[−2,5] 上随机取一个实数 x ,则 f (x )  1 的概率为（ ） x −1 1 3 A. B． 7 7 0 0 4 6 C． D． 7 7 4. 等比数列{ an }中， a4 = 2 ， a7 = 5 ，则数列{ lg an }的前 10 项和等于( ) A．2 B．lg 50 C．5 D．10 5. 若函数 f (x) = log [(2a −1) x + 3] a  1  的定义域为 R ,则下列叙述正确的是（ ） 1  2  3   A. f ( x) 在 R 上是增函数 B. f ( x) 在 R 上是减函数 C. f ( x) 在 1 , +  上是减函数 D. f ( x) 在[0, +) 上是增函数  2    x2 y 2 6. 设 F1 , F2 分 别 是 双 曲 线 C : a 2 − b2 = 1(a  0, b  0) 的 左 右 焦 点 ， 点 M (a,b) ， MF1 F2 = 30 ，则双曲线的离心率为（ ） A. 4 B. C. D. 2 7. 已知甲、乙、丙三人中,一人是公务员,一人是医生,一人是教师.若丙的年龄比教师的年龄大; 甲的年龄和医生的年龄不同;医生的年龄比乙的年龄小.则下列判断正确的是（ ） 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 2 页, 共 5 页 3 A．甲是公务员，乙是教师，丙是医生 B．甲是教师，乙是公务员，丙是医生 C．甲是教师，乙是医生，丙是公务员 D．甲是医生，乙是教师，丙是公务员 8. 一个几何体的平面展开图如右图所示，其中四边形 ABCD 为正方形， E 、 F 分别为 PB 、 PC 的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是( ) A.直线 AE 与直线 DF 平行 B.直线 AE 与直线 DF 异面 C.直线 BF 和平面 PAD 相交 D.直线 DF ⊥ 平面 PBC 9. 某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政 治这三科，且物理在 A 层班级，生物在 B 层班级，该校周一 上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节， 另外一节上自习，则他不同的选课方法有( ) 第一节 第二节 第三节 第四节 地理 B 层 2 班 化学 A 层 3 班 地理 A 层 1 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A．8 种 B．10 种 C．12 种 D．14 种 10. 下列说法中正确的个数是( ) (1)已知沙坪坝明天刮风的概率 P(A)=0.5,下雨的概率P(B)=0.3,则沙坪坝明天又刮风又下雨的 概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.15. (2)命题 p :直线ax + y +1 = 0 和3x + (a − 2) y − 3 = 0 平行; 命题 q : a = 3 . 则 q 是 p 的必要条件. (3) 502019 +1被7 除后所得的余数为5 (4) 已知i 是虚数单位, x, y  R ,复数 z = x + yi , z1 = 3 − 4i , | z − z1 |= 1,则| z | 的最小值是 2. A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知a , b 为单位向量，则| a + b | + | a − b |的最大值为（ ） A. 2 B. 2 C. + 1 D．3 2 3 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 3 页, 共 5 页 y n n−1 A 12. 已知曲线 f (x) = −x3 + ax2 − 2x 与直线 y = kx −1相切，且满足条件的k 值有且只有 3 个，则实数a 的取值范围是（ ） A． [2, +) B． (2, +) C． [3, +) D． (3, +) 第 II 卷（非选择题) 二、填空题：本大题 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.各题答案必须填写在答题卷相应位置 上，只填结果，不要过程. 13. 已知公差不为 0 的等差数列{ a }中, a , a , a 依次成等比数列,则 a5 = ． n 1 2 5 1 14. 若椭圆 x2 m + 6 2 − = 1(−6  m  −3) 上的点到两焦点距离之和为 4，则该椭圆的短轴长 m 为 . g(x) = 0 0 0 n 1 1 1 n−1 2 2 2 n−2 n n n 0 15. 已知 Cn f ( n)x (1− x) + Cn f ( n)x (1− x) + Cn f ( n)x (1− x) + + Cn f ( n)x (1− x) , 其中 f (x) = x .若 r ≥1时,有 rCr = nCr−1 成立,则 g(6)= . 16. 如图，在四棱锥 E − ABCD 中， EC ⊥ 底 面 ABCD ， FD / /EC ，底面 ABCD 为矩形， G 为线段 AB 的中点， CG ⊥ DG ， CD = DF = CE = 2 ，则四棱锥 E − ABCD 与三棱锥 F − CDG 的公共部分的体积为 ． 三、解答题：本大题 6 个小题，共 70 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的 方框内.必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程. 17．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) = (4cos2 x − 2)sin 2x + cos 4x . （1）求 f (x) 的最小正周期及最大值． （2）设 A, B,C 为 ABC 的三个内角，若 cos B = 2 2 , f ( ) = −1 ,且角 A 为钝角，求sin C 的值. 3 2 18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，四边形 ABCD 为正 方形， PA ⊥ 平面 ABCD ， PA = AB ， M 是 PC 上 一点，且 BM ⊥ PC . （1） 求证： PC ⊥ 平面 MBD ； （2） 求直线 PB 与平面 MBD 所成角的正弦值. a 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 4 页, 共 5 页 19．（本小题满分 12 分）某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随 机调查了 100 颗芯片，所调查的芯片得分均在7，19 内,将所得统计数据分为如下 7,9),9，11)，11，13)，13，15)，15，17),17,19 六个小组，得到如图所示的频率分布直方 图，其中a − b = 0.06 ． （1） 求这 100 颗芯片评测分数的平均数; （2） 芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手 机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分 别装在 3 个工程手机中进行初测。若 3 个工 程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯 片合格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分 没达到 13 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程手机中仅 1 个评分没有达到 13 万分，则 将该芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 13 万分，则认定该芯片合格；2 个工程手机中只要有 1 个评分没达到 13 万分，手机公司将认定 该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片 的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片 置于一个工程手机中的测试费用均为 160 元，每．颗．芯．片．若．被．认．定．为．合．格．或．不．合．格．，．将．不．再． 进．行．后．续．测．试．，现手机公司测试部门预算的测试经费为 5 万元，试问预算经费是否足够测试 完这 100 颗芯片？请说明理由． 20．（本小题满分 12 分）已知a  R, a  0 ,函数 f (x) = eax−1 − ax ,其中常数 e = 2.71828 . (1) 求 f (x) 的最小值; (2) 当a ≥1时,求证:对任意 x  0 ,都有 xf (x) ≥ 2ln x +1− ax2 . 驽马十驾,功在不舍, 惟精惟一,大事可期 第 5 页, 共 5 页 R M  21．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 G: y2 = 2 px ,焦点为 F,直线 l 交抛物线 G 于 A,B 两点,交抛物线 G 的准线于点 C,如图所示.当直线 l 经过焦点 F 时,点 F 恰好是线段 AC 的中点,且| BC |= 8 . 3 (1) 求抛物线 G 的方程; (2) 点 O 是坐标原点,设直线 OA,OB 的 斜率分别为k1, k2 ,当直线 l 的纵截距为 1 时,有 数列{a }满足: a = 1 , k = −16a , k = (4a + 2)2 . n 1 1 n+1 2 n 设数列{ an }的前 n 项和为 S ,已知存在正整数m , 1 + an 使得m ≤ S2020  m +1 ,求m 的值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4 - 4 坐标系与参数方程  x = 2cos 在平面直角坐标系中,已知曲线C 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, x  y = 3sin 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 过极坐标系内的两点 A 2, π  和 B  3, π  .  4   2      (1) 写出曲线C 的普通方程,并求直线l 的斜率; (2) 设直线l 与曲线C 交于 P,Q 两点,求 BP  BQ . 23.（本小题满分 10 分）选修 4 - 5 不等式选讲 已知 a, b 都是实数， a  0 ， f ( x) = x −1 + x − 2 . （1） 求不等式 f ( x)  2 的解集 M ； （2） 求证：当 x  时， a + b + a − b  a f (x) 恒成立. n