2020届高三数学（文）3月第一次测试试题()

1 2019-2020 学年度高三第二学期第一次测试试题 文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合  | 1 2A x x    ，  | 0 3B x x   ，则 AB （ ） A．  | 0 2xx B．  0 ,1,2 C．  | 1 3xx   D．  1,2 2．若 2 2 (1 )z i  （ i 为虚数单位），则 z  （ ） A． 1 i B． i C． i D． 1 i 3．已知  na 为等差数列， 2818aa ，则  na 的前 9 项和 9S  （ ） A．9 B．17 C．72 D．81 4．从集合 2,4,8 中随机选取一个数 m，则方程 22 14 xy m 表示离心率为 2 2 的椭圆的概 率为( ) A． 1 4 B． 1 3 C． 2 3 D．1 5．如图所示的程序框图输出的结果为 30，则判断框内的条件是（ ） A． 5n  ？ B． 5?n  C． 6?n  D． 4?n  6．设 D ，E 为正三角形 ABC 中 BC 边上的两个三等分点，且 2BC  ，则 AD AE（ ） A． 4 9 B． 8 9 C． 26 9 D． 26 3 7．设 x ， y 满足约束条件 0, 4, 1, xy xy x      则 2z x y 的取值范围为（ ） A． 3,6 B． 3,7 C．[7, ) D．[6, ) 2 8．如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为 1 的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则 它的体积为（ ） A． 6  B． 3  C． 4 3  D． 2 3  9．由射线 4 3yx （ 0x  ）逆时针旋转到射线 5 12yx （ 0x  ）的位置所成角为  ， 则 c o s   （ ） A． 16 65 B． 16 65 C． 56 65 D． 56 65 10．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C ， 1 2AB AA，则异面直线 1AB 与 1CA 所成角的余弦值 为（ ） A． 0 B． 1 4 C． 1 4 D． 1 2 11．双曲线 22 221xy ab（ 0a  ， 0b  ）的右焦点 (c,0)F 关于渐近线的对称点在双曲线 的左支上，则双曲线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C． 2 D． 5 12．已知函数 32( ) 2 3 1f x ax ax   ， 3() 42 ag x x   ，若对任意给定的  0,2m ，关 于 x 的方程 ( ) ( )f x g m 在区间 0,2 上总存在唯一的一个解，则实数 a 的取值范围是（ ） A．( ,1] B． 1[ ,1)8 C．  (0,1) 1 D． 1( 1,0) (0, ]8 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．曲线 2( ) 3 2lnf x x x x   在 1x  处的切线方程为_________. 14．已知 ()fx是 R 上的偶函数，且在[0 ， ) 单调递增，若 ( 3) (4)f a f ，则 a 的取值 范围为____． 3 15．已知抛物线 2 2yx ，焦点为 F ，过 F 点的直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，则 2A F B F 的最小值为__________． 16．已知等比数列  na 的首项是 1，公比为 3，等差数列  nb 的首项是 5 ，公差为 1，把  nb 中的各项按如下规则依次插入到  na 的每相邻两项之间，构成新数列  nc ： 1a ， 1b ， 2a ， 2b ， 3b ， 3a ， 4b ， 5b ， 6b ， 4a ，…，即在 na 和 1na  两项之间依次插入  nb 中 n 个项，则 2018c  __________．（用数字作答） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：(共 60 分) 17．（本小题满分 12 分）在 ABC 中， 3B  ． （1）若 2( ) 3sin sin cosf A A A A ，求 ( A)f 的最大值； （2）若 2AB  ， 3BC  ， BD AC ， D 为垂足，求 BD 的值． 18．（本小题满分 12 分）2018 年 2 月 22 日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全 面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重 大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备 改造前后生产的大量产品中各抽取了 200 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质 量指标值落在 20,40 内的产品视为合格品，否则为不合格品．图 1 是设备改造前的样本的 频率分布直方图，表 1 是设备改造后的样本的频数分布表． 4 表 1：设备改造后样本的频数分布表 质量指标 值 频数 4 36 96 28 32 4 （1）完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量 指标值与设备改造有关； 设备改造前 设备改造后 合计 合格品 不合格品 合计 （2）根据图 1 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； （3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利 180 元，一件不合格品亏 损 100 元，用频率估计概率，则生产 1000 件产品企业大约能获利多少元？ 附： 0．150 0．100 0．050 0．025 0．010 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635          2 2 ,n ad bcK n a b c da b c d a c b d         . 19．（本小题满分 12 分）如图所示，已知正三棱锥 S ABC ， D 为 BC 中点，过点 A 作截面 AEF 交 SB ，SC 分别于点 E ，F ，且 E ， F 分别为 SB ， SC 的中点． （1）证明： EF  平面 SAD ； （2）若 22SA  ， 2AB  ，求三棱锥 S AEF 的体积． 5 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 1C ： 2 2 2 1x ya （ 1a  ）的离心率 2 2e  ，左、右焦点分别为 1F 、 2F ，直线 1l 过点 1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线 2l 垂直 1l 于点 P ，线段 2PF 的垂直平分线交 2l 于点 M ． （1）求点 M 的轨迹 2C 的方程； （2）当直线 AB 与椭圆 1C 相切，交 2C 于点 A ， B ，当 90A O B 时，求 AB 的直线方 程． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 222 2 1( ) ( )5 3 2f x x ax x x ax    ． （1）讨论函数 ()fx的单调性； （2）若 ( ) 0fx 对 1x  恒成立，求 a 的取值范围． （二）选考题： 共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4–4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线C 的参数方程为 1 2cos 1 2sin x y        （ 为参数）；直线 :l  （ [0, ) ， R ） 与曲线C 相交于 ,MN两点，以极点O 为原点，极轴为 x 轴的负半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）记线段 MN 的中点为 P ，若||OP  恒成立，求实数 的取值范围. 23．[选修 4–5：不等式选讲]（10 分） 已知函数    3 1 3 , 4f x x x k g x x      ． （1）当 3k  时，求不等式   4fx 的解集； （2）设 1k  ，且当 1[ , )33 kx 时，都有    f x g x ，求 k 的取值范围． 6