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数学试题 2020 年 3 月
一、单项选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1、集合 , ,则 ( )
A. B. C. D.
2、复数 ,则复数 对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
3、已知非零向量 , ,满足 ,且 ,则向量 与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4、疫情期间,为响应政府号召少出门不串门,某市民决定在家自己动手做包子.作为第一次尝试,一共做了 3 个肉包
子和 2 个菜包子.假设这 5 个包子外表看起来一样,随机从中取出两个包子都是肉包子的概率是( )
A. B. C. D.
5、甲乙丙丁四个人参加比赛,只有一人获奖,甲说:是乙或丙获奖,乙说:丙丁都未获奖,丙说:甲获奖了,丁说:乙没获奖.
已知四人中有且只有一人说了假话,则获奖的人为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6、设 为一条直线, 为一个平面,则 的充要条件是( )
A. 内有一条直线与 垂直 B. 内有两条相交直线与 垂直
C. 内有两条平行直线与 垂直 D. 内有无数条直线与 垂直
7、若数列 满足 ,且 ,则 ( )
A. B. C. D.
8、若 的展开式中 的系数为-56,则实数 a 的值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题
目要求的，全部选对的得 5 分，选对单不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
9、已知函数 在 上是减函数,则 的取值可以是( )
A. B. C. D.π
10、棱长为 的正方体 中,点 , , 分别是面 , , 的中心,下列结论正
确的是( )
A. 与 是异面直线 B. 平面
C.平面 平面 D.过 , , 的平面截该正方体所得截面是边长为 的等边三角形
11、给出下列四个关于圆锥曲线的命题,真命题的有( )
A.设 为两个定点, 为非零常数, ,则动点 的轨迹为双曲线
B.过定圆 上一定点 作圆的动弦 ,则弦 的中点 的轨迹为椭圆
C.方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D.双曲线 与椭圆 有相同的焦点
12、某地某高中 年的高考考生人数是 年高考考生人数的 倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,
统计了该校 和 年高考情况,得到如下饼图:博文学校高三线上检测
数学试题 2020 年 3 月
年与 年比较,下列结论不正确的是( )
A.一本达线人数减少 B.二本达线人数增加了 倍
C.艺体达线人数相同 D.不上线的人数有所增加
三、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上）
13、已知向量 , ,且 ,若 , 为正整数,则 的最小值是
14、若函数 ,则
15、已知函数 ,若当 时, 恒成立,则实数 的取值范围为
16、已知椭圆方程为 ,则该椭圆的离心率为 ,若一个圆经过该椭圆的三个顶点,且圆心在 的正
半轴上,则该圆的方程为
四、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的大小．
18、已知等差数列 的前 项和为 ,已知 , .
(1)求通项 ;
(2)记数列 的前 项和为 ,求数列 的前 项和 .
19、如图,四边形 与 均为菱形, , .
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20、若养殖场每个月生猪的死亡率不超过 ,则该养殖场考核为合格,该养殖场在 年 月到 月养殖生猪的
相关数据如下表所示:
(1)从该养殖场 年 月到 月这 个月中任意选取 个月,求恰好有 个月考核获得合格的概率;
(2)根据 月到 月的数据,求出月利润 (十万元)关于月养殖量 (千只)的线性回归方程(精确到 ).博文学校高三线上检测
数学试题 2020 年 3 月
(3)预计在今后的养殖中,月利润与月养殖量仍然服从(2)中的关系,若 月份的养殖量为 万只,试估计:该月利润约
为多少万元?
附:线性回归方程 中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下: , ,
参考数据: , .
21、已知椭圆 经过点 ，且其焦点与双曲线 的顶点重合.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 关于坐标原点的对称点为 ，点 在椭圆 上运动，且直线 和 都不与坐标轴平行，则随着
的运动，直线 和 的斜率之积是定值吗？若是，求出此定值;若不是，请说明理由.
22、已知函数 .
（1）若函数 的图像有且仅有两条平行于 轴的切线，求实数 的取值范围；
（2）若函数 的图象在 处的切线方程为 ，当 在 上恒成立
时，求实数 的取值范围.
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