天津市滨海生态城学校 19-20（下）
高三年级第三次月考
数学试卷
注意事项：
1. 数学试卷分为 I 卷（选择题）和 II 卷（非选择题）两部分，考试时间 3 月 7 日 14：
00-16:00，共 120 分钟。请定好闹钟，在规定时间答题；
2. 选择题需要在客户端填写提交，非选择题请在答题纸上（或白纸）上按照试题要求
工整书写，拍照上传。
一、选择题（每小题 5 分，共 45 分）
1．已知集合 M＝{x|－3c D．c>b>a
5．以下关于函数 f(x)＝sin2x－cos2x 的命题，正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(0，2π
3 )上单调递增
B．直线 x＝π
8是函数 y＝f(x)图象的一条对称轴
C．点(π
4，0)是函数 y＝f(x)图象的一个对称中心
D．将函数 y＝f(x)图象向左平移π
8个单位，可得到 y＝ 2sin2x 的图象
6．圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的圆心到直线 l：x－y＋a＝0(a>0)的距离为 2，则 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．过双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a>0，b>0)的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，
若 B 为线段 FA 的中点，且 OB⊥FA (O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为( )
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
8．在平行四边形 ABCD 中，|AD→ |＝2，|CD→ |＝4，∠ABC＝60°，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 与 AF 交于 H，则AH→ ·DE→ 的值( )
A．12 B．16 C.12
5 D. 16
5
9．已知函数 f(x)＝|lnx|，g(x)＝
0，01，若关于 x 的方程 f(x)＋m＝g(x)恰有三个不
相等的实数解，则 m 的取值范围是( )
A．[0，ln2] B．(－2－ln2，0) C．(－2－ln2，0] D．[0，2＋ln2)
二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）
10．已知复数 z＝3－2i
1－i ，i 为虚数单位，则|z|2＝________．
11．曲线 f(x)＝x3＋9
2x2－3x 在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．
12．在二项式( x－ 1
3 x
)5 的展开式中常数项为________．
13．一个正方体的各顶点均在同一个球的球面上，若该球的体积为 4 3π，则该正方体的表
面积为________．
14．已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若 m，n∈N*，满足 ama2
n＝a2
4，则2
m＋1
n的最小
值为________．
15．已知函数 f (x)满足，f (x)＝
kx＋k，x≤0，
lnx，x>0， 其中 k≥0，若函数 y＝f [f(x)]＋1 有 4 个零点，
则实数 k 的取值范围是________．
三、解答题
16．(本小题满分 14 分) ∆ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分∠BAC，∆ABD 是∆ADC 面积
的 2 倍。
(Ⅰ)求
C
B
sin
sin ;
(Ⅱ) 若 AD =1， DC =
2
2 求 BD 和 AC 的长.
17．(本小题满分 14 分) 如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，
o1 , 90 ,2AB BC AD BAD ABC E 是 PD 的中点．
（1）证明：直线CE∥平面 PAB； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 o45 ，求二面角 M AB D
的余弦值．
18．(本小题满分 15 分)已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)经过点 P
－2， 6
3 ，离心率 e＝ 6
3 .
(1)求椭圆的方程；
(2)经过椭圆左焦点 F 的直线(不经过点 P 且不与 x 轴重合)与椭圆交于 A、B 两点，与直线 l：
x＝－3 交于点 M，记直线 PA ，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3(k3≠0)．则是否存在常数
λ，使得向量 m＝(k1＋k2，λ)，n＝(k3，1)共线？若存在求出 λ 的值；若不存在，说明理由．
19．(本小题满分 16 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2＋a3＋a4＝28，且 a3＋2 是 a2 与
a4 的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若 bn＝anlog1
2
an，Sn＝
i＝1
n
bi，求 Sn 及使 Sn＋n· －50＞0 成立的最小正整数 n 的值．
20．(本小题满分 16 分)设函数 f(x)＝ax－2－lnx(a∈R)．
(1)求 f(x)的单调区间；
(2)当 a＝1 时，试判断 f(x)零点的个数；
(3)当 a＝1 时，若对 x∈(1，＋∞)，都有(4k－1－lnx)x＋f(x)－1
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