2020届高三数学（理）第三次教学质量检测试题(佛山市顺德区)

高三理科试卷 第1页（共 4 页） 顺德区 2020 届高三第三次教学质量检测 理科数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 4 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求。 1．在复平面内表示复数 的点位于第二象限,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 2．已知函数 2( ) log 3f x x x b= + + 的零点在区间[0,1] 上，则b 的取值范围为 A．[ 3,0]− B．( ,3]− C．[0 3]， D．[ 3, )− + 3．设 12, , , nx x x 为样本数据，令 2 1 ( ) ( ) n i i f x x x = =− ，则 ()fx的最小值点为 A．样本众数 B．样本中位数 C．样本标准差 D．样本平均数 4．在直角坐标系 xOy 中，动点 A 在抛物线 2yx= 上，点 P 满足 2OP OA= ，则点 P 的轨迹 方程是 A． B． 2 2yx= C． 2 4yx= D． 2 8yx= 5．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8 ，超过 2 年的概率为0.6 ，若一个这种元 件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为 A．0.75 B． 0.6 C．0.52 D．0.48 6．设正数 m ， n 满足 491mn+=，则 mn+ 的最小值为 A．26 B．25 C．16 D．9 7．已知函数 2( ) ( 3) 1f x x= − − ，则平面图形 D 内的点 ( , )mn 满足条件： ( ) ( ) 0f m f n+， 且 ( ) ( ) 0f m f n−，则 D 的面积为 A． π B．3 C． π 2 D．1 (1 )( )i a i−+ a ( ),1− ( ),1− − ( )1, + ( )1,− +高三理科试卷 第2页（共 4 页） 8．设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 的棱长为1，E 为 1DD 的中点，M 为直线 1BD 上一点，N 为 平面 AEC 内一点，则 M，N 两点间距离的最小值为 A． 6 3 B． 3 4 C． 6 6 D． 3 6 二、选择题：本题共 2 小题，每小题 4 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。 9．设 是给定的平面，A，B 是不在 内的任意两点，则 A．在 内存在直线与直线 AB 异面 B．在 内存在直线与直线 AB 相交 C．在 内存在直线与直线 AB 平行 D．存在过直线 AB 的平面与 垂直 E．存在过直线 AB 的平面与 平行 10．对任意 ,AB R ，记 { | , }A B x x A B x A B =   ，并称 AB 为集合 ,AB的对称差. 例如，若 {1,2,3}A = , {2,3,4}B = ,则 {1,4}AB= .下列命题中，为真命题的是 A．若 ,AB R 且 A B B=，则 A = B．若 ,AB R 且 AB =  ，则 AB= C．若 ,AB R 且 A B A，则 AB D．存在 ,AB R ,使得 A B A B = RR E．存在 ,AB R ，使得 A B B A   三、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分。 11．设 ( ) ln 2 axfx x −= + 为奇函数，则 a = . 12．若等比数列{}na 满足 1 1 2a = ， 23 2aa = ，则 7a = . 13．已知 2tan 2 = ，则 cos sin cos sin   − =+ ；cos2 = 14．设 ABC△ 中 1AC = ， 2AB = ， 60CAB =  ， AB = a ， BC = b ，CA = c ，则  +  +  =a b b c c a . 15．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平 局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得 分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的 4 5 ，则第二名选手的得分 是 . 高三理科试卷 第3页（共 4 页） 四、解答题：本大题共6小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（15 分） △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ， c . 已知 sin( ) sin 2 BCa A B c ++= . （1）求 A ； （2）求sin sinBC的取值范围； （3）若△ABC 的面积为 3 ，周长为8，求 a . 17．（15 分） 已知 A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径，C 是底面圆周上一点， 2AC BD==， 1BC = ，平面 ABC 和平面 ACD 将圆锥截去部分后的几何体如图所示. （1）求 AC 与底面所成的角； （2）求该几何体的体积； （3）求二面角 A CD B−−的余弦值. 18．（15 分） 为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查. 已知该 校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为 n 的样本，得到一周参加 社区服务时间的统计数据如下： 超过1小时 不超过1小时 男 20 8 女 12 m （1）求 m ， n ； （2）能否有95% 的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有 关？ （3）从该校学生中随机调查 60 名学生，一周参加社区服务时间超过1小时的人数记为 X ，以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率， 求 X 的分布列和数学期望. 附： 2( ) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 ≥P K k k 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 高三理科试卷 第4页（共 4 页） 19．（15 分） 已知椭圆 22 221( 0)xyC a bab+ =  ： ， ( ,0)Aa− ， (0, )Bb− ， P 为C 上位于第一象限的动 点， PA 交 y 轴于点 E ， PB 交 x 轴于点 F . （1）探究四边形 AEFB 的面积是否为定值，说明理由； （2）当 PEF△ 的面积达到最大值时，求点 P 的坐标. 20．（15 分） 对于函数 ()fx，若 00()f x x= ，则称 0x 为 ()fx的不动点．设 32( ) 3f x x ax bx= + + + ． （1）当 0a = 时， （ⅰ）求 ()fx的极值点； （ⅱ）若存在 0x 既是 ()fx的极值点，也是 ()fx的不动点，求b 的值； （2）是否存在 a ，b ，使得 ()fx有两个极值点，且这两个极值点均为 ()fx的不动点？ 说明理由． 21．（15 分） 设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为 n ，这些三角形的个数为 na ． （1）求数列{}na 的通项公式； （2）在1,2, ,100 中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概 率． 附： 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 3 6 n n nn +++ + + + = 22 3 3 3 ( 1)1 2 3 4 nnn ++ + + + =