重庆外国语学校高 2020 级高三下期 4 月检测
数学试题(理科)
考试时间 120 分钟，满分 150 分。
注意:在试题卷上答题无效，请在答题卡上作答，并拍照上传到网络平台指定位置。
一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,全集 U=R,则 等于( ).
2.已知 i 为虚数单位)，则"m=-1"是"z 为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.《算法统宗》 是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到
了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是
其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数
要详推.在这个问题中，长儿的年龄为( )
A.23 B.32 C.35 D.38
4.如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线 ,y=-x 及圆构成的.在圆内随机取一
点，则此点取自黑色部分的概率是( )
5.函数 y=cos2x 的图像右平移 个单位后，与 图像重合，则 φ=().
6.函数 图象的大致形状是()
2
3{ | log (2 1) 0}, { | 3 2 }A x x B x y x x= − ≤ = = − ( )UA B∩
1. ( ,1]2A 2. (0, )3B 2. ( ,1]3C 1 2. ( , )2 3D
2 21 ( 3 2) ( ,z m m m i m= − + − + ∈ R
1 1, ,y y y xx x
= = − =
1. 4A 1. 8B . 4C
π
. 8D
π
(0 )2
πϕ ϕ< < sin(2 )6y x
π= −
. 12A
π
6. πB . 3C
π
2. 5π
1D
2( ) ( 1)sin1 xf x xe
= −+7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为().
C.28
8.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”。中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、
羽，如果用上这五个音阶，排成一 .五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，可排成的不同音序有
（ ）
A.20 种 B.24 种 C.32 种 D.48 种
9.已知 分别是双曲线 的左、右焦点,过 与双曲线的一条渐近线平行的直线
交另一条渐近线于点 M,若 为锐角，则双曲线离心率的取值范围是( )
C. (1,2) D. (2, +∞)
10.2020 年初，新冠病毒肺炎( COVID-19 )疫情在武汉爆发，并以极快的速度在全国传播开来。因该病毒暂
无临床特效药可用，因此防控难度极大。湖北某地防疫防控部门决定进行全面入户排查 4 类人员:新冠患者、疑
似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户 5 口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求
进一步对该 5 名成员逐一进行核糖核酸检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检
测呈阳性的概率相同均为 p(0< p > 2F
1 2F MF∠
. (1, 2)A . ( 2, )B +∞
0p p= 0p =
15. 1 5A − 15. 5B 5. 5C 5. 1 5D −
(3,1),OA OB= ( 1,3), ( 0, 0),OC mOA nOB m n− = − > > | |OC
.[ 5,2 10)A . [ 5,2 5]B . ( 5, 10)C .[ 5,2 10]D
3( ) | | ( )x
x
af x e a Re
= + ∈A. [-1,1]
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分。
13. 设 α 与 β 均为锐角，且
则 cosβ 的值为___
14. 若 的展开式中 x4 的系数为 30，则 m 的值为_____.
15. 在棱长为 4 的正方体. 中，E,F 分别是 和 AB 的中点,平面 交棱 AD 于点
P，则|PE|=____.
16. 设 x=1 是函数 f 的极值点,数列 满足
若[x]表示不超过 x 的最大整数,则 =____.
三、解答题:本大题共 6 个大题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 12 分)
已知
(I)求 f(x)的最大值、最小值;
(II) CD 为△ABC 的内角平分线，已知 BC= f(x) min， 求∠C.
18. (本小题满分 12 分)
由于《中国诗词大会》节目在社会上反响良好，某地也模仿并举办民间诗词大会，进入正赛的条件为:电脑
随机抽取 10 首古诗，参赛者能够正确背诵 6 首及以上的进入正赛.若诗同爱好者甲、乙参赛，他们背诵每一首古
诗正确的概率均为
(I) 求甲进入正赛的概率.
(II) 若参赛者甲、乙都进入了正赛，现有两种赛制可供甲、乙进行 PK, 淘汰其中一人.
赛制一:积分淘汰制，电脑随机抽取 4 首古诗，每首古诗背诵正确加 2 分，错误减 1 分.由于难度增加，甲背
诵每首古诗正确的概率为 乙背诵每首古诗正确的概率为 设甲的得分为 乙的得分为
赛制二:对诗淘汰制，甲、乙轮流互出诗名，由对方背诵且互不影响，乙出题，甲回答正确的概率为 0.3,甲出
题，乙回答正确的概率为 0.4,谁先背诵错误准先出局.
1. ( , )3B − +∞ 1 1. [ , ]3 3C − 1 1. ( , )3 3D −
1 5 3cos , sin( ) ,7 14
α α β= + =
( ) 6
2 2x m x x
+ −
1 1 1 1ABCD A B C D− 1DD 1B EF
3 2
1 2( ) 1( )n n nx a x a x a x n+ + += − − + ∈ N { }na 1 21, 2,a a= =
2 1log ,n nb a +=
1 2 2 3 3 4 2020 2021
2020 2020 2020 2020[ ]b b b b b b b b
+ + + +
( ) 12sin( )cos 3, [0, ].6 4f x x x x
π π= + − ∈
max( ) ,AC f x= 2 2,CD =
1 .2
2 ,5
1 ,3 1,x 2.x(i)赛制一中，求甲、乙得分的均值，并预测谁会被淘汰;
(ii)赛制二中，谁先出题甲获胜的概率大?
19. (本小题满分 12 分)
已知三棱锥 P- ABC (如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形 ABCD 为边长等于 的正方形,△ABE 和△
BCF 均为正三角形，在三棱锥 P- ABC 中：
（I） 证明：平面 PAC⊥平面 ABC；
（I）若点 M 在棱 PA.上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角 P- BC- M 的余弦值。
20. (本小题满分 12 分)
已知函数
(I)讨论函数 f(x)在 上的单调性;
(II) 设 当 a= 1 时，证明: h(x)> 0.
2
3( ) ln ( 0), ( ) 16 20.f x x a x a g x x x= − > = − +
1( , )a
+∞
2( ) ( ) ( ),h x x f x g x= +21. (本小题满分 12 分)
已知直线 与抛物线 交于 B，D 两点,线段 BD 的中点为 A,点 F 为 C 的焦点,
且△OAF ( O 为坐标原点)的面积为 1.
(I)求抛物线 C 的标准方程;
(II)过点 G(2,2)作斜率为 k(k≥2)的直线 l 与 C 交于 M，N 两点,直线 OM，ON 分别交直线 y=x+2 于 P，Q 两点,
求|PQ|的最大值.
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. (10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系 xOy 中，直线 的参数方程为 (其中 t 为参数).以坐标原点 O 为极点，x 轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
(I)求 和 的直角坐标方程;
(II) 设点 P(0,2),直线 交曲线 于 M,N 两点,求| 的值.
23. (10 分) [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 .
(I) 当 a=0 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;
(II)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1], 求实数 a 的取值范围.
2
py x= − 2: 2 ( 0)C y px p= >
1C
3
3
62 3
x t
y t
= −
= +
2C 2cos 3sin ,ρ θ θ=
1C 2C
1C 2C 2 2| | | |PM PN+
2( ) 8, ( ) | 1| | 1|f x x ax g x x x= − + + = + + −
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