1
2019-2020 学年度下学期实验三部第一次月考
高二 数学理科试题
一．选择题(本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分)
1．已知复数 23
1
iz i
+= −
，则 z 的虚部为（ ）
A． 1
2− B． 5
2 i C． 5
2− D． 5
2
2．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米512 石，
验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 216 粒内夹谷 27 粒，则这批米内夹谷约（ ）
A．128右 B． 64 石 C． 256 石 D．32石
3．设函数 ( ) 2logf x x= ，则“ ab ”是“ ( ) ( )f a f b ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球 32 个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率
为 0.23，则摸出黑球的概率为（ ）
A．0.32 B．0.45 C．0.64 D．0.67
5．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
1 cos
sin
x
y
=+
=
（ 为参数）.若以射线Ox 为极轴建立
极坐标系，则曲线 的极坐标方程为（ ）
A． = sin B． 2= sin C． = cos D． 2= cos
6．下列说法中错误的个数是（ ）
①从某社区 65 户高收入家庭，280 户中等收入家庭，105 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某一
项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样
②线性回归直线 y bx a=+一定过样本中心点 ( , )xy
③对于一组数据1,2,3,4,5，如果将它们改变为11,12,13,14,15 ，则平均数与方差均发生变化
④若一组数据 1、 a 、2、3 的众数是 2，则这组数据的中位数是 2
⑤用系统抽样方法从编号为 1，2，3，…，700 的学生中抽样 50 人，若第 2 段中编号为 20 的学生被抽中，
按照等间隔抽取的方法，则第 5 段中被抽中的学生编号为 76
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在正项等比数列{}na 中，若 6 5 7,3 ,a a a 依次成等差数列，则 的公比为（ ） 2
A．2 B． 1
2
C．3 D． 1
3
8．已知关于某设各的使用年限 x （单位：）和所支出的维修费用 y （单位：万元）有如下的统计资料，年
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
由上表可得线性回归方程 0.08y bx=+ ，若规定当维修费用 12y 时该设各必须报废，据此模型预报该设
各使用年限的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．如图，设不等式组
11
01
x
y
−
表示的平面区域为长方形 ABCD，长方形 ABCD 内的曲线为抛物线 2yx的
一部分，若在长方形 ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于
A． 2
3
B． C． 1
2
D． 1
4
10．已知直线 1y kx=+与圆( ) ( )222 1 4xy− + − = 相交于 P ，Q 两点，且 23PQ ，则 k 的取值范围是
（ ）
A． 3 ,04
−
B． 1,1− C． 33,33
−
D． 3, 3−
11．将数列 na 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2 倍，且从第二行起每-行均构成
公比为 的等比数列，
1a
23,aa
4 5 6 7, , ,a a a a
8 9 10 11 12 13 14 15, , , , , , ,a a a a a a a a
3
记数阵中的第1列数 1 2 4,,a a a ， 构成的数列为{}nb ， 为数列 的前n 项和，若 253nT n n=+，则 1025a
等于( )
A．176 B．196 C． 216 D． 236
12. 已知函数
=−ln() xf x kxx 在区间
1
4
,ee
上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）
A.
11
24
, ee B.
11
24
, ee C.
2
11
4
,e e D.
2
11
,ee
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．若 高二年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是_________．
14．函数 ( ) ( ) 22 2f x sin x −
=
+ 的一条对称轴方程是
4x = ，则 的值为__________.
15．如图，已知正三棱锥 ABCD， 3BC CD BD===， 2AB AC AD= = = ，
点Q 是 CD 的中点，点 P 是 BC 上的动点，则直线 AP ， BQ 所成角的最小值为
_________.
16.设椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，椭圆 C 上的两点 A，B 关于原点对称，且满足 FA―→· FB―→＝0，
|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_______________.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）
17.（满分 10 分）
在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的 400 名学生中，
根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，
记录他们的分数，将数据分成 7 组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并
整理得到如下频率分布直方图：
(1)估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数;
(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数
在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半理科生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的文理科生人数相等．试估计总体中
理科生和文科生人数的比例．
4
18．（满分 12 分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点 P 的
极坐标为 2，
π
4 ，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－
π
4 ＝a，且点 P 在直线 l 上．
（1）求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；
（2）曲线 2C 的极坐标方程为 2sin 4cos = .若 1C 与 交于 ,AB两点，求
11
PA PB+ 的值.
19．（满分 12 分）已知在 ABC 中,角 ,,A B C 所对的边分别为 a,b ,c ,且 sin sin
sin sin
C A b
B A a c
− =−+
.
（1）求角 C 的大小； （2）若 3c = ，求 +ab的取值范围.
20.（满分 12 分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD− 中，
//AD BC ， 90ABC = ，AC 与 BD 相交于点 E，PA ⊥ 平面 ABCD ，
2PA = ， 1AD = ， 3AB = ， 3BC = .
（1）求证： BD ⊥ 平面 PAC ；
（2）求二面角 A PC D−−的余弦值.
21．（满分 12 分）已知中心在原点O ，焦点在 x 轴上，离心率为 3
2
的椭圆过点
2( 2, ).2
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点 的直线l 与该椭圆交于 PQ， 两点，满足直线OP PQ OQ、 、 的斜率依次成等比数列，求
OPQ 面积的取值范围．
22．（满分 12 分）已知函数 ( ) ( )1ln ,1
axf x x a Rx
−= − +
．
(1)若 2x = 是函数 ( )fx的极值点，求曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )1, 1f 处的切线方程；
(2)若函数 在( )0, + 上为单调增函数，求 a 的取值范围；
(3)设 ,mn为正实数，且 mn ，求证：
ln ln 2
m n m n
mn
−+− ．
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