中考数学复习专题讲与练二次函数

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 二次函数 例 1： 抛物线 的顶点坐标是（ ） A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1) 【答案】：A 【解析】抛物线 的顶点是（h，k） 【方法指导】求一个抛物线的顶点可以先把二次函数配方，再得到顶点坐标；也可以利用顶 点公式 求顶点坐标。 例 2：已知二次函数 y＝x2－3x＋m（m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根是（ ）． A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3 【答案】B． 【解析】∵二次函数 y＝x2－3x＋m 的图象与 x 轴的一个交点为（1，0），∴0＝12－3＋m， 解得 m＝2，∴二次函数为 y＝x2－3x＋2．设 y＝0，则 x2－3x＋2＝0．解得 x2＝1，x2＝2， 这就是一元二次方程 x2－3x＋m＝0 的两实数根．所以应选 B． 【方法指导】考查一元二次方程的根、二次函数图象与 x 轴交点的关系．当 b2－4ac≥0 时， 二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴的两个交点的横坐标是一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的 两个根． 【易错警示】因审题不严，容易错选；或因解方程出错而错选． 例 3： 方程 的根可视为函数 的图象与函数 的图象交点的横 坐标，则方程 的实根 所在的范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】首先根据题意推断方程 x3＋2x－1=0 的实根是函数 y=x2＋3 与 的图象交点的 横坐标，再根据四个选项中 x 的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上 方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程 x3＋2x－1=0 的实根 x0 所 在范围． 2 1 3 1 0 ( 1) 1 PD n n nCD n −= =− 2 2 OC n nOB = = 图 7天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴ 仍然成立．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 分 16. 已知二次函数 y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2） 两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2 是方程 x2+4x﹣5=0 的两根． （1）若抛物线的顶点为 D，求 S△ABC：S△ACD 的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先解一元二次方程，求出点 A、点 B 的坐标，得到含有字母 a 的抛物线的交点 式；然后分别用含字母 a 的代数式表示出△ABC 与△ACD 的面积，最后得出结论； （2）在 Rt△ACD 中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系数 a，得出抛物 线的解析式． 解答：解：（1）解方程 x2+4x﹣5=0，得 x=﹣5 或 x=1， 由于 x1＜x2，则有 x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）． 抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0）， ∴对称轴为直线 x=2，顶点 D 的坐标为（﹣2，﹣9a）， 令 x=0，得 y=﹣5a， ∴C 点的坐标为（0，﹣5a）． 依题意画出图形，如右图所示，则 OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a， 过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E，则 DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a． S△ACD=S 梯形 ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC =（DE+OA）•OE﹣DE•CE﹣OA•OC =（2+5）•9a﹣×2×4a﹣×5×5a =15a， 而 S△ABC=AB•OC=×6×5a=15a， ∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1； （2）如解答图所示， 在 Rt△DCE 中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2， 在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2， PD OC CD OB =天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 设对称轴 x=2 与 x 轴交于点 F，则 AF=3， 在 Rt△ADF 中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2． ∵∠ADC=90°，∴△ACD 为直角三角形， 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2， 即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2，化简得：a2=， ∵a＞0， ∴a= ， ∴抛物线的解析式为：y= （x+5）（x﹣1）= x2+ x﹣ ． 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法、直角三角形与勾股定理、 几何图形面积的计算等知识点，难度不是很大，但涉及的计算较多，需要仔细认真， 避免出错．注意第（1）问中求△ACD 面积的方法． 17. 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（2，0），交 y 轴于点 B（0，）．直线 y=kx 过点 A 与 y 轴交于点 C，与抛物线的另一个交点是 D． （1）求抛物线 y= x2+bx+c 与直线 y=kx 的解析式； （2）设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合），过点 P 作y 轴的平行线， 交直线 AD 于点 M，作 DE⊥y 轴于点 E．探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行 四边形？若存在请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作 PN⊥AD 于点 N，设△PMN 的周长为 l，点 P 的横坐标为 x，求 l 与 x 的函数关系式，并求出 l 的最大值．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 考点：二次函数综合题． 分析：（1）将 A，B 两点分别代入 y= x2+bx+c 进而求出解析式即可； （2）首先假设出 P，M 点的坐标，进而得出 PM 的长，将两函数联立得出 D 点坐标， 进而得出 CE 的长，利用平行四边形的性质得出 PM=CE，得出等式方程求出即可； （3）利用勾股定理得出 DC 的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比， 求出 l 与 x 的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可． 解答：解：（1）∵y= x2+bx+c 经过点 A（2，0）和 B（0，） ∴由此得 ， 解得 ． ∴抛物线的解析式是 y= x2﹣x+， ∵直线 y=kx﹣经过点 A（2，0） ∴2k﹣=0， 解得：k=， ∴直线的解析式是 y=x﹣， （2）设 P 的坐标是（x， x2﹣x+），则 M 的坐标是（x， x﹣） ∴PM=（ x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4， 解方程 得： ， ， ∵点 D 在第三象限，则点 D 的坐标是（﹣8，﹣7），由 y=x﹣得点 C 的坐标是（0， ﹣），天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ ∴CE=﹣﹣（﹣7）=6， 由于 PM∥y 轴，要使四边形 PMEC 是平行四边形，必有 PM=CE，即﹣x2﹣x+=6 解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4， 符合﹣8＜x＜2， 当 x=﹣2 时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3， 当 x=﹣4 时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=， 因此，直线 AD 上方的抛物线上存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形，点 P 的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）； （3）在 Rt△CDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= ∴△CDE 的周长是 24， ∵PM∥y 轴， ∵∠PMN=∠DCE， ∵∠PNM=∠DEC， ∴△PMN∽△CDE， ∴ = ，即 = ， 化简整理得：l 与 x 的函数关系式是：l=﹣x2﹣ x+ ， l=﹣x2﹣ x+ =﹣（x+3）2+15， ∵﹣＜0， ∴l 有最大值， 当 x=﹣3 时，l 的最大值是 15． 点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点 求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出 PM=CE 进而得出等式是解题关 键． 18.已知抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（1，4），它与直线 y2=x+1 的一个交点的 横坐标为 2． （1）求抛物线的解析式；天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ （2）在给出的坐标系中画出抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）及直线 y2=x+1 的图象，并根据图 象，直接写出使得 y1≥y2 的 x 的取值范围； （3）设抛物线与 x 轴的右边交点为 A，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 y2=x+1 于点 B，点 P 在抛物线上，当 S△PAB≤6 时，求点 P 的横坐标 x 的取值范围． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）首先求出抛物线与直线的交点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）确定出抛物线与 x 轴的两个交点坐标，依题意画出函数的图象．由图象可以直 观地看出使得 y1≥y2 的 x 的取值范围； （3）首先求出点 B 的坐标及线段 AB 的长度；设△PAB 中，AB 边上的高为 h，则由 S△ PAB≤6 可以求出 h 的范围，这是一个不等式，解不等式求出 xP 的取值范围． 解答：解：（1）∵抛物线与直线 y2=x+1 的一个交点的横坐标为 2， ∴交点的纵坐标为 2+1=3，即交点坐标为（2，3）． 设抛物线的解析式为 y1=a（x﹣1）2+4，把交点坐标（2，3）代入得： 3=a（2﹣1）2+4，解得 a=﹣1， ∴抛物线解析式为：y1=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3． （2）令 y1=0，即﹣x2+2x+3=0，解得 x1=3，x2=﹣1， ∴抛物线与 x 轴交点坐标为（3，0）和（﹣1，0）． 在坐标系中画出抛物线与直线的图形，如图： 根据图象，可知使得 y1≥y2 的 x 的取值范围为﹣1≤x≤2． （3）由（2）可知，点 A 坐标为（3，0）．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 令 x=3，则 y2=x+1=3+1=4，∴B（3，4），即 AB=4． 设△PAB 中，AB 边上的高为 h，则 h=|xP﹣xA|=|xP﹣3|， S△PAB=AB•h=×4×|xP﹣3|=2|xP﹣3|． 已知 S△PAB≤6，2|xP﹣3|≤6，化简得：|xP﹣3|≤3， 去掉绝对值符号，将不等式化为不等式组：﹣3≤xP﹣3≤3， 解此不等式组，得：0≤xP≤6， ∴当 S△PAB≤6 时，点 P 的横坐标 x 的取值范围为 0≤xP≤6． 点评：本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、三角形的 面积、解不等式（组）等知识点．题目难度不大，失分点在于第（3）问，点 P 在线 段 AB 的左右两侧均有取值范围，注意不要遗漏． 19. 某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100， 而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x（km/h）有关（不考虑其他因素），W 由两部分的 和组成：一部分与 x 的平方成正比，另一部分与 x 的 n 倍成正比．试行中得到了表中的数 据． （1）用含 x 和 n 的式子表示 Q； （2）当 x = 70，Q = 450 时，求 n 的值； （3）若 n = 3，要使 Q 最大，确定 x 的值； （4）设 n = 2，x = 40，能否在 n 增加 m%（m＞0） 同时 x 减少 m%的情况下，而 Q 的值仍为 420，若能，求出 m 的值；若不能，请说 明理由． 参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a） 解析： （1）设 ，∴ 次数n 2 1 速度x 40 60 指数Q 420 100 2 1 2W k x k nx= + 2 1 2 100Q k x k nx= + +天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 由表中数据，得 ，解得 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 （2）由题意，得 ∴n=2 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （3）当 n=3 时， 由 可知，要使 Q 最大， =90 ∙∙∙∙∙∙∙9 分 （4）由题意，得 ∙∙∙∙10 分 即 ，解得 ，或 =0（舍去） ∴m=50 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内， 销售单价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为 x 元（x＞40），请你分别用 x 的代数式来表示销售 量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 w 元，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量 y（件） 　1000﹣10x　 销售玩具获得利润 w（元） 　﹣10x2+1300x﹣30000　 （2）在（1）问条件下，若商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少 元． （3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不 少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用． 分析：（1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x， 利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000； （2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出 x 的值即可； （3）首先求出 x 的取值范围，然后把 w=﹣10x2+1300x﹣30000 转化成 y=﹣10（x﹣65） 2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润． 解答：解：（1） 销售单价（元） x 销售量 y（件） 1000﹣10x 销售玩具获得利润 w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000 （2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000 1 010a = − < 2 1 2 2 1 2 420 40 2 40 100 100 60 1 60 100 k k k k  = + × + = + × + 1 2 1 10 6 k k  = −  = 21 6 10010Q x nx= − + + 21450 70 6 70 10010 n= − × + × + 21 18 10010Q x x= − + + 18 12 ( )10 x = − × − 21420 [40(1 %)] 6 2(1 %) 40(1 %) 10010 m m m= − − + × + × − + 22( %) % 0m m− = 1% 2m = %m天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 解之得：x1=50，x2=80 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润， （3）根据题意得 解之得：44≤x≤46 w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250 ∵a=﹣10＜0，对称轴 x=65 ∴当 44≤x≤46 时，y 随 x 增大而增大． ∴当 x=46 时，W 最大值=8640（元） 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元． 点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 　 21. 为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本 价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关 政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件 10 元，出厂价 为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣ 10x+500． （1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价 为多少元？ （2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于 25 元．如果李明想要每月获得的利润 不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）把 x=20 代入 y=﹣10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂 价之间的差价； （2）由利润=销售价﹣成本价，得 w=（x﹣10）（﹣10x+500），把函数转化成顶点坐标 式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）令﹣10x2+600x﹣5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小 值． 解答： 解：（1）当 x=20 时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300，天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 300×（12﹣10）=300×2=600， 即政府这个月为他承担的总差价为 600 元． （2）依题意得，w=（x﹣10）（﹣10x+500） =﹣10x2+600x﹣5000 =﹣10（x﹣30）2+4000 ∵a=﹣10＜0，∴当 x=30 时，w 有最大值 4000． 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 4000． （3）由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40． ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴结合图象可知：当 20≤x≤40 时，w≥3000． 又∵x≤25， ∴当 20≤x≤25 时，w≥3000． 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元， ∴p=（12﹣10）×（﹣10x+500） =﹣20x+1000． ∵k=﹣20＜0． ∴p 随 x 的增大而减小， ∴当 x=25 时，p 有最小值 500． 即销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元． 点评： 本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质 以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/