2020高考江苏数学二轮复习专题：高考微切口15 椭圆中“k1?k2＝－b2a2 ”的应用

微切口 15　椭圆中“k1·k2＝－b2 a2 ”的应用 　如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆x2 4＋y2 b2＝1 的左、右焦点，B，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF2 与椭圆的另一交点为 D. 若 cos∠F1BF2＝1 2，则直线 CD 的斜率为________． (例 1) 【思维引导】 　如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点分别 为 A，B，M 为线段 AB 的中点，且OM → ·AB → ＝－3 2b2. (1) 求椭圆的离心率； (2) 已知 a＝2，四边形 ABCD 内接于椭圆，AB∥DC，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1， k2，求证：k1·k2 为定值． (例 2)【思维引导】　在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 为椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上异于顶点的两 点． (1) 若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB＝－b2 a2，求证：OA2＋OB2＝a2＋b2； (2) 若 OA，OB 的斜率之积 kOA·kOB＝－b2 a2，求证：线段 AB 的中点 C 在某个定椭圆上． 【思维引导】 牢记以下四个方面(考试中结论不可直接应用，需先证明)： 1. 领悟解析几何中设点法、点差法、对称点、点在曲线上等对点的问题的处理技巧； 2. 中心弦的特征：kPA·kPB＝－b2 a2＝e2－1； 3. 中点弦的特征：kAB·kPO＝－b2 a2＝e2－1(P 为弦 AB 的中点)； 4. 半弦的性质特征(A(x1，y1)，B(x2，y2)为椭圆上的两点，且 kOA·kOB＝－b2 a2)： (1) x 2 1＋x 2 2＝a2，y 2 1＋y 2 2＝b2； (2) OA2＋OB2＝a2＋b2； (3) 线段 AB 的中点的轨迹方程为 x a2 2 ＋ y b2 2 ＝1(点(x0，y0)为线段 AB 的中点).1. 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为 2 2，且椭圆 C 与圆 M：(x－1)2＋y2＝1 2 的公共弦长为 2. (1) 求椭圆 C 的方程. (2) 经过原点作直线 l(不与坐标轴重合)交椭圆 C 于 A，B 两点，AD⊥x 轴于点 D，点 E 在椭圆 C 上，且(AB → －EB → )·(DB → ＋AD → )＝0，求证：B，D，E 三点共线． 2. 如图，已知椭圆 O：x2 4＋y2＝1 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 O 的上、下顶点， 点 P 是直线 l：y＝－2 上的一个动点(与 y 轴交点除外)，直线 PC 交椭圆于另一点 M. (1) 当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求△FBM 的面积； (2) ①记直线 BM，BP 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1·k2 为定值； ②求PB → ·PM → 的取值范围． （第 2 题）3. 如图，已知椭圆 P：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的长轴 A1A2 的长为 4，过椭圆的右焦点 F 作斜 率为 k(k≠0)的直线交椭圆 P 于 B，C 两点，直线 BA1，BA2 的斜率之积为－3 4. (1) 求椭圆 P 的方程； (2) 已知直线 l：x＝4，直线 A1B，A1C 分别与 l 相交于 M，N 两点，设 E 为线段 MN 的 中点，求证：BC⊥EF. （第 3 题） 4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，设 A，B 分别为椭圆x2 2＋y2＝1 上异于顶点的两 点． (1) 若 OA，OB 的斜率之积为－1 2，求 OA2＋OB2； (2) 若 OA，OB 的斜率之积为－1 2，C 为线段 AB 的中点，问：是否存在定点 E，F，使得 CE＋CF 为定值，若存在，求出点 E，F 的坐标，若不存在，请说明理由． （第 4 题）