2020高考江苏数学二轮复习专题：微切口19 以三角为背景的应用问题

微切口 19　以三角为背景的应用问题 　(2019·通州、海门、启东期末)如图，某公园内有一块矩形绿地区域 ABCD，已知 AB ＝100 m，BC＝80 m，以 AD，BC 为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木．现决定 在绿地区域内修建由直路 BN， MN 和弧形路 MD 三部分组成的观赏道路，其中直路 MN 与绿地区域边界 AB 平行，直 路为水泥路面，其工程造价为 2a 元/m，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为 3a 元/m，修建 的总造价为 W 元，设∠NBC＝θ. (1) 求 W 关于 θ 的函数关系式； (2) 如何修建道路，可使修建的总造价最低？并求最低总造价． (例 1) 【思维引导】　(2019·南方凤凰台密题)如图，一艘走私船从港口 A 沿正东方向行驶，在港口 A 北 偏东 60°方向距离 30 3 n mile 处有一艘缉私艇，走私船行驶了 1 小时 45 分钟后缉私艇获得 情报，立即沿南偏东 30°的方向追缉. 当两船首次相距 5 n mile 时，走私船发现缉私艇后立即 调头沿原路返回，缉私艇相应调整方向继续追缉(两船改变方向时间不计).已知走私船每小时 行驶 20 n mile，缉私艇每小时行驶 25 n mile. (1) 问：走私船从出发到发现缉私艇共行驶多少海里？ (2) 当走私船返回时，缉私艇沿南偏西 θ 方向行驶可在最短时间内追上走私船，求 sin θ 的值． (变式) 1. 与解三角形有关的应用题常见的两种情形：一是实际问题经抽象概括后，已知量与未 知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后， 已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他 三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解． 2. 当用正、余弦定理去解决具体的实际问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求 的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式，运用求导或不 等式的性质寻找最值．1. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示 的四边形 ABCD.其中 AB＝3 百米，AD＝ 5百米，且△BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三 角形．拟修建两条小路 AC，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD＝θ，θ∈(π 2，π ). (1) 当 cos θ＝－ 5 5 时，求小路 AC 的长度； (2) 当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度． （第 1 题） 2. 如图，三个小区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是AB的中点．现欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB.已 知 OA＝2 km，∠AOB＝π 3.记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为 y km. (1) 将 y 表示为 θ 的函数，并写出 θ 的取值范围； (2) 请确定工作坑 P 的位置，使得地下电缆管线的总长度最小． （第 2 题）