2020高考江苏数学二轮复习专题：微切口20 以立体几何为背景的应用问题

微切口 20　以立体几何为背景的应用问题 　如图(1)为某市度假村的一特色星空酒店，该酒店由多座帐篷构成．每一座帐篷的 体积为 54π m3，且分上下两层，其中上层是半径为 r m(r≥1)的半球体，下层是半径为 r m， 高为 h m 的圆柱体，如图(2)所示．经测算，上层半球体部分的建造费用为 2 千元/m2，下方 圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分的平均建造费用为 3 千元/m2.设每一座帐篷的总建造费 用为 y 千元． (1) 求 y 关于的 r 函数解析式，并指出该函数的定义域； (2) 当半径 r 为何值时，一座帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 图（1）　 图（2） ,(例 1 【思维引导】 　　　　　　如图(1)是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为 r dm 的半圆，及矩形 ABCD 组成，其中 AD 长为 a dm，如图(2)所示．为了美观，要求 r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为 4r dm，容积为 4 dm3(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制 作费用为 1 百元/dm2，上半部分制作费用为 2 百元/dm2，设该首饰盒的制作费用为 y 百元． (1) 写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2) 当 r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？ 图（1）　　 图（2） (变式) 与立体几何有关的问题一般有两种类型：一是利用立体图形的特征、截面图等转化为平 面图形求解，二是利用立体图形相关的公式建立目标函数，转化为函数模型、三角函数模型 解决． 1. (2019·南方凤凰台密题)如图所示是一个帐篷，它下部分的形状是一个正六棱柱，上部 分的形状是一个正六棱锥，其中帐篷的高为 PO，正六棱锥的高为 PO1，且 PO＝3PO1，设 PO1 ＝x. (1) 当 x＝2 m，PA1＝4 m 时，求搭建的帐篷的表面积； (2) 在 PA1 的长为定值 l m 的条件下，已知当且仅当 x＝2 3 m 时，帐篷的容积 V 最大， 求 l 的值． （第 1 题） 2. (2019·百校大联考)如图所示，有一块镀锌铁皮材料 ABCD，其边界 AB，AD 是两条线 段，AB＝4 m，AD＝3 m，且 AD⊥AB.边界 CB 是以 AD 为对称轴的一条抛物线的一部分，边 界 CD 是以点 E 为圆心，EC＝2 m 为半径的一段圆弧，其中点 E 在线段 AD 上，且 CE⊥AD. 现在要从这块镀锌铁皮材料 ABCD 中裁剪出一个矩形 PQAM(其中点 P 在边界 BCD 上，点 M 在线段 AD 上，点 Q 在线段 AB 上)，并将该矩形 PQAM 作为一个以 PQ 为母线的圆柱的侧面， 记该圆柱的体积为 V(单位：m3).(1) 若点 P 在边界 BC 上，求圆柱体积 V 的最大值； (2) 如何裁剪可使圆柱的体积 V 最大？并求出该最大值． （第 2 题）