2020高考江苏数学二轮复习专题：微切口21 以解析几何为背景的应用问题

微切口 21　以解析几何为背景的应用问题 　某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路 AB，余下的 外围是抛物线的一段弧，直路 AB 的中垂线恰是该抛物线的对称轴，如图所示．拟在这个空 地上划出一个等腰梯形 ABCD 区域种植草坪，其中 A，B，C，D 均在该抛物线上．经测量， 直路 AB 长为 40 m，抛物线的顶点 P 到直路 AB 的距离为 40 m．设点 C 到抛物线的对称轴的 距离为 m m，到直路 AB 的距离为 n m. (1) 求出 n 关于 m 的函数关系式； (2) 当 m 取何值时，等腰梯形草坪 ABCD 的面积最大？并求出其最大值． (例 1) 【思维引导】　　 　如图，某海面上有 O，A，B 三个小岛(面积大小忽略不计)，A 岛在 O 岛的北 偏东 45°方向且相距 40 2 km 处，B 岛在 O 岛的正东方向且相距 20 km 处． (1) 以 O 为坐标原点，O 的正东方向为 x 轴正方向，1 km 为单位长度，建立如图所示的 平面直角坐标系，写出点 A，B 的坐标，并求 A，B 两岛之间的距离； (2) 已知在经过 O，A，B 三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在 O 岛的南偏西 30° 方向距 O 岛 40 km 处，正沿着北偏东 45°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危 险？ (例 2) 【思维引导】 　　　　　 以解析几何为背景的应用题是高考的热点之一，其解题思路是通过建立坐标系，应用有 关概念与性质解决问题．我们可以将求解解析几何应用问题的基本步骤概括为：①转化，根 据题目条件将实际问题转化为相应的解析几何问题；②求解，解这个纯数学的解析几何问题；③ 作答，就应用题提出的问题作出符合实际的回答．1. 为了纪念五四青年节，学校决定举办班级黑板报主题设计大赛，高三(1)班李明同学将 班级长 AB＝4 m、宽 BC＝2 m 的黑板做成如图所示的区域划分：取 AB 的中点 F，连接 CF， 以 AB 为对称轴，过 A，C 两点作一抛物线弧，在抛物线弧上取一点 P，作 PE⊥AB，垂足为 E，作 PG∥AB 交 CF 于点 G.在四边形 PEFG 内设计主题 LOGO，其余区域用于文字排版． (1) 设 PE＝x，求 PG 的长度 f(x)； (2) 求四边形 PEFG 面积的最大值． （第 1 题） 2. (2019·南京考前综合题)在一场机器人比赛中，有甲、乙两机器人在水平路面上比赛， 甲在点 O 处，在甲的正西方向 30 m 处有标志点 A，过点 A 且与 AO 成 60°角(即北偏东 30°) 的直线 l 为此处的一段胜负分界线，如图所示．乙在甲的正西方向且距离点 O 12 m 的点 P 处， 甲在测定乙的行驶方向和速度后，立刻可以计算出相应的追截方向和速度，马上从点 O 处出 发．假定甲和乙出发的时间差可忽略不计，且在拦截过程中均未改变行驶方向，若甲以乙的 速度的 λ 倍(λ＞1)前去拦截，将在点 Q 处相遇．比赛规则为甲在乙未到直线 l 时拦截成功， 则甲获胜；否则乙获胜．当 2＜λ＜3 时，甲、乙哪方获胜？ （第 2 题）