江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末试题(Word版附答案)
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江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末试题(Word版附答案)

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资料简介
1 2020 届高三模拟考试试卷 数  学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2020.1 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 集合 A={x|x=2k-1,k∈Z},B={1,2,3,4},则 A∩B=________. 2. 已知复数 z=a+bi(a,b∈R),且满足 iz=9+i(其中 i 为虚数单位),则 a+b= ________. 3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间,有 7 人用时为 6 分钟,有 14 人用 时为 7 分钟,有 15 人用时为 8 分钟,还有 4 人用时为 10 分钟,则高二(4)班全体同学中午用 餐平均用时为________分钟. 4. 函数 f(x)=(a-1)x-3(a>1,a≠2)过定点________. 5. 已知等差数列{an}(公差不为 0),其中 a1,a2,a6 成等比数列,则这个等比数列的公比 为________. 6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动,要从 4 道题中随机抽取 2 道做答,小李会做 其中的 3 道题,则抽到的 2 道题小李都会的概率为________. 7. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=1,AD=2,AA1=1,点 E 为 BC 的中点,则点 A 到平面 A1DE 的距离是________. (第 7 题)       (第 8 题) 8. 如图所示的流程图中,输出 n 的值为________. 9. 圆 C : (x + 1)2 + (y - 2)2 = 4 关 于 直 线 y = 2x - 1 对 称 的 圆 的 方 程 为 ________________. 10. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,圆 O 内切于正方形 ABCD,MN 为圆 O 的一条动直 径,点 P 为正方形 ABCD 边界上任一点, 则PM → ·PN → 的取值范围是________.2 11. 双曲线 C:x2 4 -y2 3 =1 的左右顶点为 A,B,以 AB 为直径作圆 O,P 为双曲线右支上 不同于顶点 B 的任一点,连结 PA 交圆 O 于点 Q,设直线 PB,QB 的斜率分别为 k1,k2.若 k1 =λk2,则 λ=________. 12. 若对于任意的正数 a,b,不等式(2ab+a2)k≤4b2+4ab+3a2 恒成立,则 k 的最大值 为________. 13. 在直角三角形 ABC 中,∠C 为直角,∠BAC>45°,点 D 在线段 BC 上,且 CD=1 3 CB.若 tan∠DAB=1 2,则∠BAC 的正切值为________. 14. 已知函数 f(x)=|x2-1|+x2+kx+9 在区间(0,3)内有且仅有两个零点,则实数 k 的取 值范围是________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(2a-3b, 3c),向量 n= (cos B,cos C),且 m∥n. (1) 求角 C 的大小; (2) 求 y=sin A+ 3sin(B- π 3 )的最大值. 16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,O 为其中心,△PAD 为锐角三角形, 且平面 PAD⊥底面 ABCD,点 E 为 PD 的中点,CD⊥DP.求证: (1) OE∥平面 PAB; (2) CD⊥PA.3 17. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,焦距为 4,且椭圆过点(2, 5 3),过点 F2 且不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 R, 直线 PR 交 x 轴于点 M. (1) 求△PF1Q 的周长; (2) 求△PF1M 面积的最大值.4 18. (本小题满分 16 分) 一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆,发酵馆内有 一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形 ABCD(如图所示),其中 AD≥AB.结合现有的生产 规模,设定修建的发酵池容积为 450 m3,深 2 m.若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元,发酵池造价总费用不超过 65 400 元. (1) 求发酵池 AD 边长的范围; (2) 在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 m 和 b m 的走道(b 为常数).问: 发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.5 19. (本小题满分 16 分) 已知{an},{bn}均为正项数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 a1=1 2,b1=1,b2=2,当 n≥2,n∈N*时,Sn-1=1-2an,bn=2(T-T) bn+1+bn-1-2Tn-1. (1) 求数列{an},{bn}的通项公式; (2) 设 cn= (bn+2)an b+bn ,求数列{cn}的前 n 项和 Pn.6 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)=ln x-ax,a∈R,a≠0. (1) 求函数 f(x)的单调区间; (2) 若函数 f(x)=0 有两个零点 x1,x2(x1<x2). (Ⅰ) 求 a 的取值范围; (Ⅱ) 求证:x1·x2 随着x2 x1的增大而增大.7 2020 届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21. (本小题满分 10 分) 已知 a,b∈R,矩阵 A=[a b c d ].若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为[1 1 ],点 P(-2,1)在 A 对应的变换作用下得到点 P′(-1,2),求矩阵 A. 22.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C1:{x=4cos θ, y=4sin θ (其中 θ 为参数),以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρcos(θ- π 3 )=2 3.设曲线 C1 与曲线 C2 交于 A,B 两点,求 AB 的长.8 23. (本小题满分 10 分) 如图,矩形 ABCD 所在的平面垂直于平面 AEB,点 O 为 AB 的中点, ∠AEB=90°,∠ EAB=30°,AB=2 3,AD=3. (1) 求异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值; (2) 求二面角 ADEC 的正弦值. 24.(本小题满分 10 分) 对于任意的 x>1,n∈N*,用数学归纳法证明:ex-1> xn n!.9 2020 届高三模拟考试试卷(无锡) 数学参考答案及评分标准 1. {1,3} 2. -8 3. 15 2  4. (0,-2) 5. 4 6. 1 2 7. 6 3  8. 4 9. (x-3)2+y2=4 10. [0, 1] 11. -3 4 12. 2 2 13. 3 14. (-26 3 ,-8) 15. 解:(1) ∵ m∥n, ∴ (2a- 3b)cos C- 3ccos B=0.(2 分) 由正弦定理可得 2sin Acos C- 3sin Bcos C- 3sin Ccos B=0,(4 分) 即 2sin Acos C= 3sin(B+C)= 3sin A.(6 分) 又 A 为△ABC 的内角,∴ sin A≠0,∴ cos C= 3 2 . 又 C 为△ABC 的内角,故 C= π 6 .(8 分) (2) y=sin A+ 3sin(B- π 3 )=sin(B+ π 6 )+ 3sin(B- π 3 )(10 分) =1 2cos B+ 3 2 sin B+ 3 2 sin B-3 2cos B= 3sin B-cos B=2sin(B- π 6 ),(12 分) 当 B=2π 3 时,y 的最大值为 2.(14 分) 16. 证明:(1) 连结 BD,因为底面是平行四边形,故 BD 经过 O 点,且点 O 为 BD 的中 点. 又点 E 为 PD 的中点,所以 OE∥PB.(4 分) 因为 OE⊄平面 PAB,PB⊂平面 PAB, 所以 OE∥平面 PAB.(6 分) (2) 在平面 PAD 内作 PH⊥AD,由于△PAD 为锐角三角形, 设 PH∩AD=H. 因为平面 PAD⊥底面 ABCD,平面 PAD∩底面 ABCD=AD,PH⊥AD,PH⊂平面 PAD, 所以 PH⊥平面 ABCD.(8 分) 又 CD⊂平面 ABCD,所以 PH⊥CD.(10 分) 而 CD⊥DP,PH∩PD=P,PH,PD⊂平面 PAD,所以 CD⊥平面 PAD.(12 分) 而 PA⊂平面 PAD,则 CD⊥PA.(14 分) 17. 解:(1) 由椭圆的焦距为 4,则 c=2,从而 a2-b2=4.10 又椭圆过点(2,5 3),所以4 a2+ 25 9b2=1,即 36b2+25a2=9a2b2, 消去 b,得 9a4-97a2+144=0,解得 a2=9 或 a2=16 9 (舍去), 所以 a=3.(4 分) 则△PF1Q 的周长为 4a=12.(6 分) (2) 由(1)得椭圆方程为x2 9 +y2 5 =1,F2(2,0). 设直线 l 的方程为 y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),M(m,0),则 R(x2,-y2), 直线 PR 的方程为 y-y1=y1+y2 x1-x2(x-x1), 令 y=0,则-y1=y1+y2 x1-x2(x-x1),x=y1(x2-x1) y1+y2 +x1, 所以 m=y1(x2-x1) y1+y2 +x1=y1x2+y2x1 y1+y2 =2x1x2-2(x1+x2) x1+x2-4 .(8 分) 将直线 l 的方程与椭圆方程联立,并消去 y,得(5+9k2)x2-36k2x+36k2-45=0, 则 x1+x2= 36k2 5+9k2,x1x2=36k2-45 5+9k2 ,(10 分) 从而 m= 2 × 36k2-45 5+9k2 -2 × 36k2 5+9k2 36k2 5+9k2-4 = -90 -20=9 2,(12 分) S△PF1M=1 2F1M·|y1|=1 2×|9 2+2 |·|y1|=13 4 |y1|≤13 5 4 , 所以△PF1M 面积的最大值为13 5 4 .(14 分) 18. 解:设发酵池 AD 边长为 x m,则另一边长为225 x m,且 x≥225 x ,即 x≥15.(2 分) (1) 225×200+4(x+225 x )×150≤65 400,(4 分) 化简得 x2-34x+225≤0,解得 9≤x≤25,(6 分) 所以发酵池 AD 边长的范围是[15,25].(8 分) (2) 发酵馆占地面积 S=(x+8)(225 x +2b)=225+16b+2bx+1 800 x ,15≤x≤25,(10 分) 令 S′=2b-1 800 x2 =2bx2-1 800 x2 =0,解得 x=30 b , (0,30 b) 30 b (30 b ,+∞) S′ - 0 + S 递减 递增 当30 b <15,即 b>4 时,AD 边为 15 m,S 最小;(12 分)11 当 15≤30 b ≤25,即36 25≤b≤4 时,AD 边长为30 b m,S 最小;(14 分) 当30 b >25 时,即 0<b<36 25时,AD 边长为 25 m,S 最小.(16 分) 答:(1) 发酵池 AD 边长的范围是[15,25]. (2) 当 b>4 时,AD 边长为 15 m,S 最小;当36 25≤b≤4 时,AD 边长为30 b m,S 最小; 当 0<b<36 25时,AD 边长为 25 m,S 最小. (注:答不写扣 2 分) 19. 解:(1) 因为当 n≥2,n∈N*时 Sn-1=1-2an,所以 Sn=1-2an+1, 两式相减得 an=2an-2an+1,即 an=2an+1,所以an+1 an =1 2.(2 分) 当 n=2 时,a1=1-2a2,所以 a2=1 4,所以a2 a1=1 2, 所以数列{an}为等比数列,其通项公式为 an= 1 2n.(4 分) 当 n≥2,n∈N*,bn=2(T-T) bn+1+bn-1-2Tn-1,所以(bn+2Tn-1)(bn+1+bn-1)=2(T2n-T 2n-1), 所以(Tn+Tn-1)(bn+1+bn-1)=2(T2n-T 2n-1). 因为 Tn+Tn-1>0,所以 bn+1+bn-1=2(Tn-Tn-1)=2bn,(6 分) 所以数列{bn}为等差数列,且 b1=1,b2=2,所以数列{bn}的通项公式为 bn=n.(8 分) (2) 因为 cn=bn+2 b+bnan= n+2 (n2+n)·2n= 1 n·2n-1- 1 (n+1)·2n,(12 分) 所 以 Pn = ( 1 1 × 1- 1 2 × 2) + ( 1 2 × 2- 1 3 × 22) + … + [ 1 n·2n-1- 1 (n+1)·2n]= 1 - 1 (n+1)·2n, 即 Pn=1- 1 (n+1)·2n.(16 分) 20. (1) 解:因为 f′(x)=1 x-a=1-ax x ,x>0, 当 a<0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2 分) 当 a>0 时,x∈(0,1 a),f′(x)>0,x∈(1 a,+∞),f′(x)<0, 所以 f(x)在(0,1 a)上单调递增,在(1 a,+∞)上单调递减. 综上,当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无减区间; 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1 a),单调递减区间为(1 a,+∞).(4 分) (2) (Ⅰ) 解:由(1)可知: 当 a<0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数 f(x)至多有一个零点,不符合;(5 分) 当 a>0 时,f(1 a)=-ln a-1,12 ① 若 f(1 a)=-ln a-1<0,即 a>1 e时,f(x)<0 恒成立,所以函数 f(x)无零点,不符合; ② 若 f(1 a)=-ln a-1=0,即 a=1 e时,f(x)只有一个零点,不符合; ③ 若 f(1 a)=-ln a-1>0,即 0<a<1 e时,此时1 a>e. f(1)=-a<0,所以 f(x)在(0,1 a)上只有一个零点,(8 分) f(1 a2)=2ln 1 a-1 a,设1 a=t>e,则 g(t)=2ln t-t, 因为 g′(t)=2 t-1=2-t t <0,g(t)在(e,+∞)上单调递减,g(t)<g(e)=2-e<0,即 f(1 a2)< 0, 所以 f(x)在(1 a,1 a2)上只有一个零点,(9 分) 即 0<a<1 e时,f(x)有两个零点,函数有两个零点. 综上,0<a<1 e时,函数有两个零点.(10 分) (Ⅱ) 证明: 因为函数 f(x)有两个零点 x1,x2, 所以{ln x1=ax1, ln x2=ax2 ⇒{ln(x1x2)=a(x1+x2), ln x2 x1=a(x2-x1), 两式相比可得 ln(x1x2)= (x2+x1)ln x2 x1 (x2-x1) .(12 分) 令x2 x1=t(t>1),则设 ln(x1x2)= (t+1)ln t (t-1) =m(t),m′(t)= t-1 t-2ln t (t-1)2 . 设 φ(t)=t-1 t-2ln t,φ′(t)=1+1 t2-2 t=t2-2t+1 t2 >0, 所以 φ(t)在(1,+∞)上单调递增,φ(t)>φ(1)=0,(14 分) 即 m′(t)>0,m(t)随着 t 的增大而增大, 所以 ln(x1x2)随着x2 x1的增大而增大. 又 e>1,即 x1·x2 随着x2 x1的增大而增大.(16 分)13 2020 届高三模拟考试试卷(无锡) 数学附加题参考答案及评分标准 21. 解:由题意得[ a b c d ][1 1 ]=5[1 1 ],可得{a+b=5, c+d=5. (2 分) 又[a b c d ][-2 1 ]=[-1 2 ],可得{-2a+b=-1, -2c+d=2, (4 分) 解得 a=2,b=3,c=1,d=4,(8 分) ∴ A=[ 2 3 1 4 ].(10 分) 22. 解:由 ρcos(θ- π 3 )=2 3可得 ρ(cos θcos π 3 +sin θsin π 3 )=2 3, 即曲线 C2 的直角坐标方程为 x+ 3y-4 3=0;(4 分) 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2+y2=16,(6 分) 所以圆心到直线的距离为 d=4 3 2 =2 3,(8 分) 所以 AB=2 16-12=4.(10 分) 23. 解:∵ AB=2 3,∠EAB=30°,∠AEB=90°, ∴ EB= 3,AE=3. 以点 E 为坐标原点,EB 所在直线为 x 轴,EA 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系, 则 E(0,0,0),A(0,3,0),B( 3,0,0),C( 3,0,3),D(0,3,3),O( 3 2 ,3 2,0), (1) OC → =( 3 2 ,-3 2,3),DE → =(0,-3,-3), ∴ |OC → |=2 3,|DE → |=3 2, ∴ OC → ·DE → =9 2-9=-9 2, ∴ cos〈OC → ,DE → 〉= OC → ·DE → |OC → ||DE → | = -9 2 2 3 × 3 2 =- 6 8 ,(2 分) ∴ 异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值 6 8 .(4 分)14 (2) 设平面 DCE 的一个法向量为 m=(x,y,z),CE → =(- 3,0,-3), 则{m·DC → = 3x-3y=0, m ·CE→ =- 3x-3z=0, 取 x= 3,得 m=( 3,1,-1).(6 分) 平面 EAD 的一个法向量 n=(1,0,0),(8 分) ∴ cos〈m,n〉= m·n |m||n|= 3 5 × 1 = 15 5 , ∴ sin〈m,n〉= 10 5 , ∴ 二面角 ADEC 的正弦值为 10 5 .(10 分) 24. 证明:① 当 n=1 时,只需证 ex-1>x,设 f(x)=ex-1-x(x>1),则 f(1)=0. 而 x>1 时,f′(x)=ex-1-1>0,故 f(x)在(1,+∞)上单调递增.(2 分) 因此 x>1 时,f(x)>0,即 ex-1>x.(4 分) ② 假设 n=k 时不等式成立,即 ex-1> xk k!, 则当 n=k+1 时,设 h(x)=ex-1- xk+1 (k+1)!,(6 分) 所以 h′(x)=ex-1- (k+1)xk (k+1)!=ex-1- xk k!>0, 故 h(x)=ex-1- xk+1 (k+1)!在(1,+∞)上单调递增. 又 h(1)=1- 1 (k+1)!>0, 则 h(x)=ex-1- xk+1 (k+1)!>0,即 ex-1> xk+1 (k+1)!,n=k+1 时也成立. 综上,对任意的 x>1,n∈N*,都有 ex-1> xn n!.(10 分)

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