江苏省无锡市2020届高三数学上学期期末试题（Word版附答案）

1 2020 届高三模拟考试试卷 数　　学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 2020．1 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 集合 A＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则 A∩B＝________． 2. 已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，且满足 iz＝9＋i(其中 i 为虚数单位)，则 a＋b＝ ________． 3. 某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有 7 人用时为 6 分钟，有 14 人用 时为 7 分钟，有 15 人用时为 8 分钟，还有 4 人用时为 10 分钟，则高二(4)班全体同学中午用 餐平均用时为________分钟． 4. 函数 f(x)＝(a－1)x－3(a＞1，a≠2)过定点________． 5. 已知等差数列{an}(公差不为 0)，其中 a1，a2，a6 成等比数列，则这个等比数列的公比 为________． 6. 小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从 4 道题中随机抽取 2 道做答，小李会做 其中的 3 道题，则抽到的 2 道题小李都会的概率为________． 7. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，点 E 为 BC 的中点，则点 A 到平面 A1DE 的距离是________． (第 7 题) 　　　　　 (第 8 题) 8. 如图所示的流程图中，输出 n 的值为________． 9. 圆 C ： (x ＋ 1)2 ＋ (y － 2)2 ＝ 4 关 于 直 线 y ＝ 2x － 1 对 称 的 圆 的 方 程 为 ________________． 10. 已知正方形 ABCD 的边长为 2，圆 O 内切于正方形 ABCD，MN 为圆 O 的一条动直 径，点 P 为正方形 ABCD 边界上任一点， 则PM → ·PN → 的取值范围是________．2 11. 双曲线 C：x2 4 －y2 3 ＝1 的左右顶点为 A，B，以 AB 为直径作圆 O，P 为双曲线右支上 不同于顶点 B 的任一点，连结 PA 交圆 O 于点 Q，设直线 PB，QB 的斜率分别为 k1，k2.若 k1 ＝λk2，则 λ＝________． 12. 若对于任意的正数 a，b，不等式(2ab＋a2)k≤4b2＋4ab＋3a2 恒成立，则 k 的最大值 为________． 13. 在直角三角形 ABC 中，∠C 为直角，∠BAC＞45°，点 D 在线段 BC 上，且 CD＝1 3 CB.若 tan∠DAB＝1 2，则∠BAC 的正切值为________． 14. 已知函数 f(x)＝|x2－1|＋x2＋kx＋9 在区间(0，3)内有且仅有两个零点，则实数 k 的取 值范围是________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(2a－3b， 3c)，向量 n＝ (cos B，cos C)，且 m∥n. (1) 求角 C 的大小； (2) 求 y＝sin A＋ 3sin(B－ π 3 )的最大值． 16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，O 为其中心，△PAD 为锐角三角形， 且平面 PAD⊥底面 ABCD，点 E 为 PD 的中点，CD⊥DP.求证： (1) OE∥平面 PAB； (2) CD⊥PA.3 17. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，焦距为 4，且椭圆过点(2， 5 3)，过点 F2 且不平行于坐标轴的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，点 Q 关于 x 轴的对称点为 R， 直线 PR 交 x 轴于点 M. (1) 求△PF1Q 的周长； (2) 求△PF1M 面积的最大值．4 18. (本小题满分 16 分) 一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形 MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有 一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形 ABCD(如图所示)，其中 AD≥AB.结合现有的生产 规模，设定修建的发酵池容积为 450 m3，深 2 m．若池底和池壁每平方米的造价分别为 200 元和 150 元，发酵池造价总费用不超过 65 400 元． (1) 求发酵池 AD 边长的范围； (2) 在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为 4 m 和 b m 的走道(b 为常数)．问： 发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．5 19. (本小题满分 16 分) 已知{an}，{bn}均为正项数列，其前 n 项和分别为 Sn，Tn，且 a1＝1 2，b1＝1，b2＝2，当 n≥2，n∈N*时，Sn－1＝1－2an，bn＝2（T－T） bn＋1＋bn－1－2Tn－1. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； (2) 设 cn＝ （bn＋2）an b＋bn ，求数列{cn}的前 n 项和 Pn.6 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f(x)＝ln x－ax，a∈R，a≠0. (1) 求函数 f(x)的单调区间； (2) 若函数 f(x)＝0 有两个零点 x1，x2(x1＜x2)． (Ⅰ) 求 a 的取值范围； (Ⅱ) 求证：x1·x2 随着x2 x1的增大而增大．7 2020 届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. (本小题满分 10 分) 已知 a，b∈R，矩阵 A＝[a　b c　d ].若矩阵 A 属于特征值 5 的一个特征向量为[1 1 ]，点 P(－2，1)在 A 对应的变换作用下得到点 P′(－1，2)，求矩阵 A. 22.(本小题满分 10 分) 已知曲线 C1：{x＝4cos θ， y＝4sin θ (其中 θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为 极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρcos(θ－ π 3 )＝2 3.设曲线 C1 与曲线 C2 交于 A，B 两点，求 AB 的长．8 23. (本小题满分 10 分) 如图，矩形 ABCD 所在的平面垂直于平面 AEB，点 O 为 AB 的中点， ∠AEB＝90°，∠ EAB＝30°，AB＝2 3，AD＝3. (1) 求异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值； (2) 求二面角 ADEC 的正弦值． 24.(本小题满分 10 分) 对于任意的 x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：ex－1> xn n！.9 2020 届高三模拟考试试卷(无锡) 数学参考答案及评分标准 1. {1，3}　2. －8　3. 15 2 　4. (0，－2)　5. 4　6. 1 2　7. 6 3 　8. 4　9. (x－3)2＋y2＝4　10. [0， 1] 11. －3 4　12. 2 2　13. 3　14. (－26 3 ，－8) 15. 解：(1) ∵ m∥n， ∴ (2a－ 3b)cos C－ 3ccos B＝0.(2 分) 由正弦定理可得 2sin Acos C－ 3sin Bcos C－ 3sin Ccos B＝0，(4 分) 即 2sin Acos C＝ 3sin(B＋C)＝ 3sin A．(6 分) 又 A 为△ABC 的内角，∴ sin A≠0，∴ cos C＝ 3 2 . 又 C 为△ABC 的内角，故 C＝ π 6 .(8 分) (2) y＝sin A＋ 3sin(B－ π 3 )＝sin(B＋ π 6 )＋ 3sin(B－ π 3 )(10 分) ＝1 2cos B＋ 3 2 sin B＋ 3 2 sin B－3 2cos B＝ 3sin B－cos B＝2sin(B－ π 6 )，(12 分) 当 B＝2π 3 时，y 的最大值为 2.(14 分) 16. 证明：(1) 连结 BD，因为底面是平行四边形，故 BD 经过 O 点，且点 O 为 BD 的中 点． 又点 E 为 PD 的中点，所以 OE∥PB.(4 分) 因为 OE⊄平面 PAB，PB⊂平面 PAB， 所以 OE∥平面 PAB.(6 分) (2) 在平面 PAD 内作 PH⊥AD，由于△PAD 为锐角三角形， 设 PH∩AD＝H. 因为平面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩底面 ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面 PAD， 所以 PH⊥平面 ABCD.(8 分) 又 CD⊂平面 ABCD，所以 PH⊥CD.(10 分) 而 CD⊥DP，PH∩PD＝P，PH，PD⊂平面 PAD，所以 CD⊥平面 PAD.(12 分) 而 PA⊂平面 PAD，则 CD⊥PA.(14 分) 17. 解：(1) 由椭圆的焦距为 4，则 c＝2，从而 a2－b2＝4.10 又椭圆过点(2，5 3)，所以4 a2＋ 25 9b2＝1，即 36b2＋25a2＝9a2b2， 消去 b，得 9a4－97a2＋144＝0，解得 a2＝9 或 a2＝16 9 (舍去)， 所以 a＝3.(4 分) 则△PF1Q 的周长为 4a＝12.(6 分) (2) 由(1)得椭圆方程为x2 9 ＋y2 5 ＝1，F2(2，0)． 设直线 l 的方程为 y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(m，0)，则 R(x2，－y2)， 直线 PR 的方程为 y－y1＝y1＋y2 x1－x2(x－x1)， 令 y＝0，则－y1＝y1＋y2 x1－x2(x－x1)，x＝y1（x2－x1） y1＋y2 ＋x1， 所以 m＝y1（x2－x1） y1＋y2 ＋x1＝y1x2＋y2x1 y1＋y2 ＝2x1x2－2（x1＋x2） x1＋x2－4 .(8 分) 将直线 l 的方程与椭圆方程联立，并消去 y，得(5＋9k2)x2－36k2x＋36k2－45＝0， 则 x1＋x2＝ 36k2 5＋9k2，x1x2＝36k2－45 5＋9k2 ，(10 分) 从而 m＝ 2 × 36k2－45 5＋9k2 －2 × 36k2 5＋9k2 36k2 5＋9k2－4 ＝ －90 －20＝9 2，(12 分) S△PF1M＝1 2F1M·|y1|＝1 2×|9 2＋2 |·|y1|＝13 4 |y1|≤13 5 4 ， 所以△PF1M 面积的最大值为13 5 4 .(14 分) 18. 解：设发酵池 AD 边长为 x m，则另一边长为225 x m，且 x≥225 x ，即 x≥15.(2 分) (1) 225×200＋4(x＋225 x )×150≤65 400，(4 分) 化简得 x2－34x＋225≤0，解得 9≤x≤25，(6 分) 所以发酵池 AD 边长的范围是[15，25]．(8 分) (2) 发酵馆占地面积 S＝(x＋8)(225 x ＋2b)＝225＋16b＋2bx＋1 800 x ，15≤x≤25，(10 分) 令 S′＝2b－1 800 x2 ＝2bx2－1 800 x2 ＝0，解得 x＝30 b ， (0，30 b) 30 b (30 b ，＋∞) S′ － 0 ＋ S 递减 递增 当30 b ＜15，即 b＞4 时，AD 边为 15 m，S 最小；(12 分)11 当 15≤30 b ≤25，即36 25≤b≤4 时，AD 边长为30 b m，S 最小；(14 分) 当30 b ＞25 时，即 0＜b＜36 25时，AD 边长为 25 m，S 最小．(16 分) 答：(1) 发酵池 AD 边长的范围是[15，25]． (2) 当 b＞4 时，AD 边长为 15 m，S 最小；当36 25≤b≤4 时，AD 边长为30 b m，S 最小； 当 0＜b＜36 25时，AD 边长为 25 m，S 最小． (注：答不写扣 2 分) 19. 解：(1) 因为当 n≥2，n∈N*时 Sn－1＝1－2an，所以 Sn＝1－2an＋1， 两式相减得 an＝2an－2an＋1，即 an＝2an＋1，所以an＋1 an ＝1 2.(2 分) 当 n＝2 时，a1＝1－2a2，所以 a2＝1 4，所以a2 a1＝1 2， 所以数列{an}为等比数列，其通项公式为 an＝ 1 2n.(4 分) 当 n≥2，n∈N*，bn＝2（T－T） bn＋1＋bn－1－2Tn－1，所以(bn＋2Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T2n－T 2n－1)， 所以(Tn＋Tn－1)(bn＋1＋bn－1)＝2(T2n－T 2n－1)． 因为 Tn＋Tn－1＞0，所以 bn＋1＋bn－1＝2(Tn－Tn－1)＝2bn，(6 分) 所以数列{bn}为等差数列，且 b1＝1，b2＝2，所以数列{bn}的通项公式为 bn＝n.(8 分) (2) 因为 cn＝bn＋2 b＋bnan＝ n＋2 （n2＋n）·2n＝ 1 n·2n－1－ 1 （n＋1）·2n，(12 分) 所 以 Pn ＝ ( 1 1 × 1－ 1 2 × 2) ＋ ( 1 2 × 2－ 1 3 × 22) ＋ … ＋ [ 1 n·2n－1－ 1 （n＋1）·2n]＝ 1 － 1 （n＋1）·2n， 即 Pn＝1－ 1 （n＋1）·2n.(16 分) 20. (1) 解：因为 f′(x)＝1 x－a＝1－ax x ，x＞0， 当 a＜0 时，f′(x)＞0，所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(2 分) 当 a＞0 时，x∈(0，1 a)，f′(x)＞0，x∈(1 a，＋∞)，f′(x)＜0， 所以 f(x)在(0，1 a)上单调递增，在(1 a，＋∞)上单调递减． 综上，当 a＜0 时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当 a＞0 时，f(x)的单调递增区间为(0，1 a)，单调递减区间为(1 a，＋∞)．(4 分) (2) (Ⅰ) 解：由(1)可知： 当 a＜0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数 f(x)至多有一个零点，不符合；(5 分) 当 a＞0 时，f(1 a)＝－ln a－1，12 ① 若 f(1 a)＝－ln a－1＜0，即 a＞1 e时，f(x)＜0 恒成立，所以函数 f(x)无零点，不符合； ② 若 f(1 a)＝－ln a－1＝0，即 a＝1 e时，f(x)只有一个零点，不符合； ③ 若 f(1 a)＝－ln a－1＞0，即 0＜a＜1 e时，此时1 a＞e. f(1)＝－a＜0，所以 f(x)在(0，1 a)上只有一个零点，(8 分) f(1 a2)＝2ln 1 a－1 a，设1 a＝t＞e，则 g(t)＝2ln t－t， 因为 g′(t)＝2 t－1＝2－t t ＜0，g(t)在(e，＋∞)上单调递减，g(t)＜g(e)＝2－e＜0，即 f(1 a2)＜ 0， 所以 f(x)在(1 a，1 a2)上只有一个零点，(9 分) 即 0＜a＜1 e时，f(x)有两个零点，函数有两个零点． 综上，0＜a＜1 e时，函数有两个零点．(10 分) (Ⅱ) 证明： 因为函数 f(x)有两个零点 x1，x2， 所以{ln x1＝ax1， ln x2＝ax2 ⇒{ln（x1x2）＝a（x1＋x2）， ln x2 x1＝a（x2－x1）， 两式相比可得 ln(x1x2)＝ （x2＋x1）ln x2 x1 （x2－x1） .(12 分) 令x2 x1＝t(t＞1)，则设 ln(x1x2)＝ （t＋1）ln t （t－1） ＝m(t)，m′(t)＝ t－1 t－2ln t （t－1）2 . 设 φ(t)＝t－1 t－2ln t，φ′(t)＝1＋1 t2－2 t＝t2－2t＋1 t2 ＞0， 所以 φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，φ(t)＞φ(1)＝0，(14 分) 即 m′(t)＞0，m(t)随着 t 的增大而增大， 所以 ln(x1x2)随着x2 x1的增大而增大． 又 e＞1，即 x1·x2 随着x2 x1的增大而增大．(16 分)13 2020 届高三模拟考试试卷(无锡) 数学附加题参考答案及评分标准 21. 解：由题意得[ a b c d ][1 1 ]＝5[1 1 ]，可得{a＋b＝5， c＋d＝5. (2 分) 又[a　b c　d ][－2 1 ]＝[－1 2 ]，可得{－2a＋b＝－1， －2c＋d＝2， (4 分) 解得 a＝2，b＝3，c＝1，d＝4，(8 分) ∴ A＝[ 2 3 1 4 ].(10 分) 22. 解：由 ρcos(θ－ π 3 )＝2 3可得 ρ(cos θcos π 3 ＋sin θsin π 3 )＝2 3， 即曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋ 3y－4 3＝0；(4 分) 曲线 C1 的直角坐标方程为 x2＋y2＝16，(6 分) 所以圆心到直线的距离为 d＝4 3 2 ＝2 3，(8 分) 所以 AB＝2 16－12＝4.(10 分) 23. 解：∵ AB＝2 3，∠EAB＝30°，∠AEB＝90°， ∴ EB＝ 3，AE＝3. 以点 E 为坐标原点，EB 所在直线为 x 轴，EA 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系， 则 E(0，0，0)，A(0，3，0)，B( 3，0，0)，C( 3，0，3)，D(0，3，3)，O( 3 2 ，3 2，0)， (1) OC → ＝( 3 2 ，－3 2，3)，DE → ＝(0，－3，－3)， ∴ |OC → |＝2 3，|DE → |＝3 2， ∴ OC → ·DE → ＝9 2－9＝－9 2， ∴ cos〈OC → ，DE → 〉＝ OC → ·DE → |OC → ||DE → | ＝ －9 2 2 3 × 3 2 ＝－ 6 8 ，(2 分) ∴ 异面直线 OC 与 DE 所成角的余弦值 6 8 .(4 分)14 (2) 设平面 DCE 的一个法向量为 m＝(x，y，z)，CE → ＝(－ 3，0，－3)， 则{m·DC → ＝ 3x－3y＝0， m ·CE→ ＝－ 3x－3z＝0， 取 x＝ 3，得 m＝( 3，1，－1)．(6 分) 平面 EAD 的一个法向量 n＝(1，0，0)，(8 分) ∴ cos〈m，n〉＝ m·n |m||n|＝ 3 5 × 1 ＝ 15 5 ， ∴ sin〈m，n〉＝ 10 5 ， ∴ 二面角 ADEC 的正弦值为 10 5 .(10 分) 24. 证明：① 当 n＝1 时，只需证 ex－1＞x，设 f(x)＝ex－1－x(x＞1)，则 f(1)＝0. 而 x＞1 时，f′(x)＝ex－1－1＞0，故 f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2 分) 因此 x＞1 时，f(x)＞0，即 ex－1＞x.(4 分) ② 假设 n＝k 时不等式成立，即 ex－1＞ xk k！， 则当 n＝k＋1 时，设 h(x)＝ex－1－ xk＋1 （k＋1）！，(6 分) 所以 h′(x)＝ex－1－ （k＋1）xk （k＋1）！＝ex－1－ xk k！＞0， 故 h(x)＝ex－1－ xk＋1 （k＋1）！在(1，＋∞)上单调递增． 又 h(1)＝1－ 1 （k＋1）！＞0， 则 h(x)＝ex－1－ xk＋1 （k＋1）！＞0，即 ex－1＞ xk＋1 （k＋1）！，n＝k＋1 时也成立． 综上，对任意的 x＞1，n∈N*，都有 ex－1＞ xn n！.(10 分)