北京市延庆区2020届高三数学3月模拟试题（Word版带答案）

2020 北京延庆区高三一模 数 学 2020.3 本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作 答无效。考试结束后，将答题纸交回。 第一部分（选择题，共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1. 已知复数 是正实数，则实数 的值为 A. B. C. D. 2. 已知向量 若 与 方向相同，则 等于 A. B. C. D. 3. 下列函数中最小正周期为 的函数是 A. B. C. D. 4. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是 A. B. C. D. 5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为 , ， 则它的表面积为 A. 8 B. 12 C. D. 20 6. 的展开式中， 的系数是 A. 160 B. 80 C. 50 D. 10 7. 在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，设直线 与 轴正半轴所成的最小正角为 ，则 等于 A. B. C. D. 8. 已知直线 ，平面 ，那么“ ”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.某企业生产 两种型号的产品，每年的产量分别为 万支和 万支，为了扩大再生产，决 定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 两种产品的年产量的增长率分别为 和 ， 那 么 至 少 经 过 多 少 年 后 ， 产 品 的 年 产 量 会 超 过 产 品 的 年 产 量 （ 取 ） A. 6 年 B. 7 年 C. 8 年 D. 9 年 10. 已知双曲线 的右焦点为 ，过原点 的直线与双曲线 交于 两点，且 则 的面积为 A. B. C. D. 第二部分（非选择题，共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11. 已知集合 ,且 则 的取值范围是 12. 经过点 且与圆 相切的直线的方程是 13. 已知函数 则 14.某网店统计连续三天出售商品的种类情况：第一天售出 19 种商品，第二天售出 13 种商品， 第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店 第一天售出但第二天未售出的商品有 种；这三天售出的商品至少有 种. 15. 在 中， 是 边的中点.若 ，则 的长等于 ； 若 ，则 的面积等于 . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题 14 分） 如图，四棱锥 的底面 是正方形， 是 的中点， 平面 ， 是棱 上的一点， 平面 . （Ⅰ）求证： 是 的中点； （Ⅱ）求证： 和 所成角等于 17.（本小题 14 分） 已知数列 是等差数列， 是 的前 项和， ， . （Ⅰ）判断 是否是数列 中的项，并说明理由； （Ⅱ）求 的最值. 从① ，② ，③ 中任选一个，补充在上面的问题中并作 答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 18. （本小题 14 分） 三个班共有 名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周 的上网时长，数据如下表（单位：小时）： 班 班 班 （Ⅰ）试估计 班的学生人数；（Ⅱ）从这 120 名学生中任选 1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率； （Ⅲ）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 B 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求 这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率. 19. （本小题 14 分） 已知函数 其中 （Ⅰ）当 时，求曲线 在原点处的切线方程； （Ⅱ）若函数 在 上存在最大值和最小值，求 a 的取值范围. 20.（本小题 15 分） 已 知 椭 圆 的 左 焦 点 为 且 经 过 点 分别是 的右顶点和上顶点，过原点 的直线 与 交于 两点（点 在第一象限），且与线段 交于点 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）若 ，求直线 的方程； （Ⅲ）若 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程.21.（本小题 14 分） 在数 列 中， 若 且 则称 为 “数 列”。设 为“数列”，记 的前 项和为 （Ⅰ）若 ，求 的值； （Ⅱ）若 ，求 的值； （Ⅲ）证明： 中总有一项为 或 .2020 北京延庆区高三一模数学 参考答案 一、选择题: （每小题 4 分，共 10 小题，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1. C 2．D． 3．D 4．C 5. B 6．B 7．A 8. C 9. B 10. A 二、填空题: （每小题 5 分，共 5 小题，共 25 分） 11． ； 12. ； 13． ； 14． ； 15． . 10. 考察知识：双曲线的定义和性质（对称性、渐近线、离心率），平行四边形的定义和性质 （相邻内角互补），三角形的性质（余弦定理、面积公式）. 15. 在 中， ，在 中， ， 相除得： ， 所以 ， 所以 . 三、解答题：（共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明、演算步骤.） ( ,3)−∞ 3 ( 2)3y x= ± + 1 3 2 − 16, 29 7, 42 ACD∆ sin 2 sin 45 AC CD=∠ ° ABD∆ sin 1 sin 3 AB BD=∠ ∠ 3sin 3 5 ∠ = 7 2sin sin(45 3) 10A∠ = ° + ∠ = 1 sin 422ABCS AB AC A∆ = ⋅ ⋅ =16.（Ⅰ）联结 ，设 与 交于 ，联结 ， …………1 分 因为 平面 ， 平面 平面 = , 所以 …………4 分 因为 是正方形， 所以 是 的中点 所以 是 的中点 …………6 分 （Ⅱ）（法一）因为 平面 ， 所 以 …………7 分 因为 是正方形， 所以 因为 所以 平面 …………10 分 所以 因为 因为 所以 平面 …………13 分 因为 平面 所以 所以 与 成 角. …………14 分 （法二）连接 ， 因为 平面 ， 所以 ， . ………7 分 因为 是正方形， 所以 . 所以 两两垂直. 以 分别为 、 、 建立空间直角坐标系 .………8 分 则 ， ， ， ， ………9 分 ， , ………10 分 （………1 分） ………13 分 所以所以 与 成 角. ………14 分 17. 解：选① （Ⅰ）因为 ， 所以 …………2 分 AC AC BD F EF / /PA BDE P A C  BDE EF / /PA EF ABCD F AC E PC PO ⊥ ABCD PO BC⊥ ABCD BC CD⊥ PO CD O= BC ⊥ PDC BC PD⊥ PD PC⊥ BC PC C= PD ⊥ PBC BE ⊂ PBC PD BE⊥ PD BE 90° OF PO ⊥ ABCD PO ⊥ CD PO ⊥ OF ABCD OF CD⊥ , ,OF OC OP , ,OF OC OP x y z O xyz− (0,0,2)P (0, 2,0)D − (4,2,0)B (0,1,1)E (0, 2, 2)PD = − − ( 3, 1,1)BE = − − 0 ( 3) ( 2) ( 1) ( 2) 1PD BE⋅ = × − + − × − + − ×  0= PD BE 90° 10 816, 10a a= = 3d =所以 …………4 分 所以 …………6 分 令 ，则 此方程无正整数解 所以 不是数列 中的项. …………8 分 不能只看结果； 某一步骤出错，即使后面步骤都对，给分不能超过全部分数的一半； 只有结果，正确给 1 分. （Ⅱ）（法一）令 ， 即 ，解得： 当 时， 当 时， …………11 分 当 时， 的最小值为 .…13 分 无最大值 …………14 分 只给出最小值-26，未说明 n=4 扣 1 分. 无最大值 …1 分 （Ⅱ）（法二） ， …………11 分 当 时， 的最小值为 .…13 分 无最大值 …………14 分 选② （Ⅰ） ， …………2 分 …………4 分 …………6 分 令 ，则 解得 1 8 7 10 21 11a a d= − = − = − 1 ( 1) 11 ( 1) 3na a n d n= + − = − + − × 3 14n= − 3 14 2024n − = 3 2038n = 2024 { }na 0na > 3 14 0n − > 14 243 3n > = ∴ 5n ≥ 0,na > 4n ≤ 0,na < ∴ 4n = nS 4 11 8 5 2 26S = − − − − = − nS nS 21( ) 3 25 2 2 2 n n n a aS n n += = − 25 142 6 6 b a − = = ∴ 4n = nS 4 3 2516 4 262 2S = × − × = − nS 10 816, 8a a= = 4d∴ = 1 8 7 8 28 20a a d∴ = − = − = − 1 ( 1) 20 ( 1) 4na a n d n∴ = + − = − + − × 4 24n= − 4 24 2024n − = 4 2048n = 512n =是数列 中的第 512 项. …………8 分 （Ⅱ）令 ， 即 ，解得： 当 时， 当 时， 当 时， …………11 分 当 或 时， 的最小值为 . …………13 分 无最大值 …………14 分 选③ （Ⅰ） ， …………2 分 …………4 分 …………6 分 令 ，则 （舍去） 不是数列 中的项. …………8 分 （Ⅱ）令 ， 即 ，解得： 当 时， 当 时， 当 时， …………11 分 当 或 时， 的最大值为 . …………13 分 无最小值. …………14 分 18．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 班的学生有 名．根据分层抽样 方法， 班的学生人数估计为 ． …………3 分 2024∴ { }na 0na ≥ 4 24 0n − ≥ 6n ≥ ∴ 6n = 0,na = ∴ 6n > 0,na > 6n < 0,na < ∴ 5n = 6n = nS 5 6 20 16 12 8 4 60S S= =− − − − − =− nS 10 816, 20a a= = 2d∴ = − 1 8 7 20 14 34a a d∴ = − = + = 1 ( 1) 34 ( 1) ( 2)na a n d n∴ = + − = + − × − 2 36n= − + 2 36 2024n− + = 994n = − 2024∴ { }na 0na ≥ 2 36 0n− + ≥ 18n ≤ ∴ 18n = 0,na = ∴ 18n > 0,na < 18n < 0,na > ∴ 17n = 18n = nS 17 18 18 (34 0) 3062S S × += = = nS A 6 A 6120 3620 × =只有结果 36 扣 1 分 （Ⅱ）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，…………4 分 设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D, 其中 D 包含的选法有 3+2+4=9 种， …………6 分 . …………7 分 由此估计从 120 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的 概率为 . ……………8 分 只有结果 而无必要的文字说明和运算步骤，扣 2 分. （Ⅲ）设从 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，其中恰有 人一周上网超 过 15 小时为事件 ,从 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，此人一周上网超过 15 小时 为事件 则所求事件的概率为： . ……………14 分 （Ⅲ）另解：从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 种选法，从 B 班的 7 人中随机选 1 人， 有 种选法， 故选法总数为： 种 ……………10 分 设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为 ， 则 中包含以下情况： （1）从 A 班选出的 2 人超 15 小时，而 B 班选出的 1 人不超 15 小时， （2）从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时，而 B 班选出的 1 人 超 15 小时， ……………11 分 所以 . ……………14 分 只有 ，而无文字说明，扣 1 分 9( ) 20P D∴ = 9 20 9 20 A (1 2)i i≤ ≤ iE B F 2 1 1 1 1 3 5 3 3 2 2 1 2 1 6 7 15 18 11( ) 15 7 35 C C C C CP E F E F C C + += = =× 2 6C 1 7C 2 1 6 7 15 7 105C C⋅ = × = E E 2 1 1 1 1 3 5 3 3 2 2 1 6 7 15 18 11( ) 15 7 35 C C C C CP E C C + += = =× 2 1 1 1 1 3 5 3 3 2 2 1 6 7 15 18 11( ) 15 7 35 C C C C CP E C C + += = =×有设或答，有 ，给 3 分 19．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）解： . 切线的斜率 ； 曲线 在原点处的切线方程为： . ……………5 分 （Ⅱ） ……………7 分 （1）当 则 ……………9 分 0 （0， ） （ ） 0 递增 递减 法 1： ……………10 分 在 恒成立， . ……………13 分 所以 的取值范围为 . ……………14 分 法 2： ； ……………10 分 当 时， ， ， ； 11( ) 35P E = 22 2 )1( )1(2)(1 + −=′= x xxfa 时，当 ∴ 2)0( =′= fk 0)0( =f ∴ )(xfy = xy 2= 22 22 )1( 2)12()1(2)( + −+−+=′ x xaaxxaxf 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( 1) ( 1) ax a x a ax x a x x − + − + − − += =+ + （ ） （ ） 时，0>a 0100)( 21 >= 2 2ax > 2 22 1 1 0ax a a+ − > + > 0)(, →+∞→∴ xfx 时即 时， ； 时， ， 所以 的取值范围为 . ……………14 分 用趋近说： ，论述不严谨，扣 1 分. （2）当 . 则 0 （0， ） （ ） - 0 + 递减 递增 法 1： . 在 恒成立， . 综上： 的取值范围是 . 法 2： ； 当 时， ， ， ；（论述不严谨，扣 1 分） 即 时， ； 时， ， 综上： 的取值范围是 . 20．（本小题满分 15 分） ]1,0[ ax∈ 2 2( ) [ 1, ]f x a a∈ − )1[ ∞+∈ ， ax 2( ) 0 ]f x a∈（ ， 01)0()( 2 ≤−= afxf 存在最小值，则若 a ]1,0( 0)(, →+∞→∴ xfx 时 时，0 1 2 1 2 2 40, 1 2x x x x k −+ = = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 4PQ x x y y k x x x x= − + − = + + − 2 2 2 2 4 11 0 4 4 31 2 1 2 kk k k − += + − = =+ + 2 7 14,2 2k k= = ± l 14 2y x= Q 1 1( , )Q x y 3,PQ = 3 ,2OQ∴ = 2 9 ,4OQ∴ = 2 2 1 1 9 ,4x y∴ + = 2 2 1 12 4,x y+ = 1 1 2 7, ,2 2x y∴ = =所以直线 的方程为 ，即 . （Ⅲ）设 ， ，则 ，易知 ， . 由 ， ，所以直线 的方程为 . …9 分 若使 的面积是 的面积的 4 倍，只需使得 ， …10 分 法一：即 ① . …11 分 设直线 的方程为 ，由 得， …12 分 由 得， ， …13 分 代入①可得 ，即： （约分后求解） 解得 ，所以 . …15 分 法二：所以 ，即 . …11 分 设直线 的方程为 ，由 得， …12 分 所以 ，因为点 在椭圆 上，所以 ， …13 分 代入可得 ，即： 解得 ， 所以 . …15 分 法三：所以 ，即 . …11 分 点 在线段 上，所以 ，整理得 ，① …12 分 l 1 1 yy xx = 14 2y x= ( , )m mM x y ( )0 0,Q x y ( )0 0,P x y− − 00 2x< < 00 1y< < ( )2,0A (0, 2)B AB 2 2 0x y+ − = BOP∆ BM Q∆ 4OQ MQ= 3 4 M Q x x = l y kx= + 2 2 0 y kx x y = − = 2 2( , ) 1 2 1 2 kM k k+ + 2 22 4 y kx x y =  + = 2 2 2 2( , ) 1 2 1 2 kQ k k+ + 214 18 2 7 0k k− + = 2 77 9 2 02k k− + = 9 2 8 14k ±= 9 2 8 14y x ±= 4 4 4( , )3 3 3m mOQ OM x y= =  4 4( , )3 3m mQ x y l y kx= 2 2 0 y kx x y = − − = 2 2( , ) 1 2 1 2 kM k k+ + 8 8( , ) 3 3 2 3 3 2 kQ k k+ + Q G 2 2 0 0 14 2 x y+ = 214 18 2 7 0k k− + = 2 77 9 2 02k k− + = 9 2 8 14k ±= 9 2 8 14y x ±= 0 0 3 3 3( , )4 4 4OM OQ x y= =  0 0 3 3( , )4 4M x y M AB 0 0 3 3 2 2 04 4x y+ − = 0 0 8 23x y= −因为点 在椭圆 上，所以 ，② 把①式代入②式可得 ，解得 . …13 分 于是 ，所以， . 所以，所求直线 的方程为 . …15 分 21.解：（Ⅰ）当 时， 中的各项依次为 ， 所以 . …………………………3 分 （Ⅱ）① 若 是奇数，则 是偶数， ， 由 ，得 ，解得 ，适合题意. ② 若 是偶数，不妨设 ，则 . 若 是偶数，则 ，由 ，得 ，此方程无整数解； 若 是奇数，则 ，由 ，得 ，此方程无整数解. 综上， . …………………………8 分 （Ⅲ）首先证明：一定存在某个 ，使得 成立. 否则，对每一个 ，都有 ，则在 为奇数时，必有 ； 在 为偶数时，有 ，或 . 因此，若对每一个 ，都有 ，则 单调递减， 注意到 ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个 ，使得 成立. 经检验，当 ，或 ，或 时， 中出现 ； 当 时， 中出现 ， l Q G 2 2 0 0 14 2 x y+ = 2 0 09 12 2 7 0y y− + = 0 2 2 1 3y ±= 0 0 8 4 223 3x y= − =  0 0 9 2 8 14 yk x ±= = 9 2 8 14y x ±= 1 10a = { }na 10,5,8,4,2,1,4,2,1, 3 7 16nS n= + 1a 2 1 3a a= + 2 1 3 3 2 2 a aa += = 3 17S = 1 1 1 3( 3) 172 aa a ++ + + = 1 5a = 1a * 1 2 ( )a k k= ∈ N 1 2 2 aa k= = k 2 3 2 2 a ka = = 3 17S = 2 172 kk k+ + = k 3 3a k= + 3 17S = 2 3 17k k k+ + + = 1 5a = ia 6ia ≤ *i ∈ N 6ia > ia 2 3 2 i i i aa a+ += < ia 2 32 i i i aa a+ = + < 2 4 i i i aa a+ = < *i ∈ N 6ia > 1 3 5, , ,a a a  * na ∈N ia 6ia ≤ 2ia = 4ia = 5ia = { }na 1 6ia = { }na 3 综上， 中总有一项为 或 . …………………………14 分{ }na 1 3