八年级数学下册第18章《平行四边形》单元测试题3（新人教版）

1 第 18 章《平行四边形》单元测试题 3 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与 BC 的延长线交于点 E，与 DC 交 于点 F，且点 F 为边 DC 的中点，DG⊥AE，垂足为 G，若 DG=1，则 AE 的边长为（　　） 　 A．2 B．4 C．4 D．8 2. 下列命题中，真命题是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．四个角相等的四边形是矩形 3. 如图，等边△ABC 沿射线 BC 向右平移到△DCE 的位置，连接 AD、BD，则下列结论：① AD=BC；②BD、AC 互相平分；③四边形 ACED 是菱形． 其中正确的个数是（　　） 　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF 为正方形的是（　　） A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2 5. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列结论不一 定正确的是（　　） A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 6. 如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O．点 E 是 CD 的中点，BD=12，则△ DOE 的周长为　 　． 7. 如 图 ， ABCD 是 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 ， 且 OB=OD, 请 你 添 加 一 个 适 当 的 条 件 ____________,使 ABCD 成为菱形.（只需添加一个即可） 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0）， （0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角 形时，点 P 的坐标为 ．3 9. 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥ BC， ∠ B=90° ， ∠ C=45° ， AD=1， BC=4， 则 CD= ． 10.如图，□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿 AC 所在 直线翻折 180°到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B′，则 DB′的长为 ． 11. 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为 E，求证：AE=CE． 　 12. 如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、DC 上的点，且 AF⊥BE． （1）求证：AF=BE；4 （2）如图 2，在正方形 ABCD 中，M、N、P、Q 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 MP⊥ NQ．MP 与 NQ 是否相等？并说明理由． 13. 如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F,连接 CF. （1）求证：AF=DC； （2）若 AB⊥AC,试判断四边形 ADCF 的形状，并证明你的结论. 14. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，M、N 分别是边 AD、BC 的中点，E、F 分别是线段 BM、CM 的中点 （1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形 MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当 AD：AB=____________时，四边形 MENF 是正方形（只写结论，不需证明） F E D C B A A B C DM E N F5 15. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，E 是 CD 上一点，BE 交 AC 于 F，连接 DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD 是菱形； （3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由． 参考答案 第十八章 平行四边形 1. B 解析：∵AE 为∠ADB 的平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∵DC∥AB， ∴∠BAE=∠DFA， ∴∠DAE=∠DFA，6 ∴AD=FD， 又 F 为 DC 的中点， ∴DF=CF， ∴AD=DF= DC= AB=2， 在 Rt△ADG 中，根据勾股定理得：AG= ， 则 AF=2AG=2 ， 在△ADF 和△ECF 中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF=EF， 则 AE=2AF=4 ． 2. D 解析：对角线相等的四边形可能是等腰梯形、长方形、正方形等，所以 A 是假命题； 对角线互相垂直且平分的四边形可能是正方形、菱形等，所以 B 是假命题；对角线互相垂直 的四边形可能是菱形、正方形等，所以 C 是假命题；四个角相等的四边形是矩形是真命题. 3. D 解析：△ABC、△DCE 是等边三角形， ∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD， ∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴AD=AC=BC，故①正确； 由①可得 AD=BC， ∵AB=CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BD、AC 互相平分，故②正确； 由①可得 AD=AC=CE=DE， 故四边形 ACED 是菱形，即③正确． 综上可得①②③正确，共 3 个． 4. D 解析：∵EF 垂直平分 BC， ∴BE=EC，BF=CF，7 ∵CF=BE， ∴BE=EC=CF=BF， ∴四边形 BECF 是菱形； 当 BC=AC 时， ∵∠ACB=90°， ∴∠A=∠EBC=45° ∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90° ∴菱形 BECF 是正方形． 故选项 A 正确，但不符合题意； 当 CF⊥BF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，故选项 B 正确，但不符合题意； 当 BD=DF 时，利用正方形的判定得出，菱形 BECF 是正方形，故选项 C 正确，但不符合题意； 当 AC=BD 时，无法得出菱形 BECF 是正方形，故选项 D 错误，符合题意． 5. C 解析：A、∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD， 故本选项正确； B、∵四边形 ABCD 是等腰梯形， ∴AB=DC，∠ABC=∠DCB， 在△ABC 和△DCB 中， ∵ ， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB=∠DBC， ∴OB=OC， 故本选项正确； C、∵无法判定 BC=BD， ∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等， 故本选项错误； D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC， AB DC ABC DCB BC CB  ∠  ∠   ＝ ＝ ＝8 ∴∠ABD=∠ACD． 故本选项正确． 6. 15 解析：∵□ABCD 的周长为 36， ∴2（BC+CD）=36，则 BC+CD=18． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=12， ∴OD=OB=BD=6． 又∵点 E 是 CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线，DE=CD， ∴OE=BC， ∴△DOE 的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，即△DOE 的周长为 15． 故答案是：15． 7. OA=OC 或 AD＝BC 或 AD∥BC 或 AB＝BC（答案不唯一） 8. （2，4）或（3，4）或（8，4） 解析：由题意，当△ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况： （1）如答图①所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的左侧． 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4． 在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE= = =3， ∴OE=OD-DE=5-3=2， ∴此时点 P 坐标为（2，4）； 2 2PD PE− 2 25 4−9 （2）如答图②所示，OP=OD=5． 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4． 在 Rt△POE 中，由勾股定理得：OE= = =3， ∴此时点 P 坐标为（3，4）； （3）如答图③所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的右侧． 过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4． 在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE= = =3， ∴OE=OD+DE=5+3=8， ∴此时点 P 坐标为（8，4）． 综上所述，点 P 的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）． 9. 解析：过点 D 作 DE⊥BC 于 E． ∵AD∥BC，∠B=90°， 2 2OP PE− 2 25 4− 2 2PD PE− 2 25 4− 3 210 ∴四边形 ABED 是矩形， ∴AD=BE=1， ∵BC=4， ∴CE=BC-BE=3， ∵∠C=45°， ∴CD= ． 10. 解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形，BD=2， ∴BE= BD=1． 如图 2，连接 BB′． 根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E． ∴∠BEB′=90°， ∴△BB′E 是等腰直角三角形，则 BB′= BE= ． 又∵BE=DE，B′E⊥BD， ∴DB′=BB′= ． 11. 证明：如图，过点 B 作 BF⊥CE 于 F， ∵CE⊥AD， ∴∠D+∠DCE=90°， ∵∠BCD=90°， ∴∠BCF+∠DCE=90°， ∴∠BCF=∠D， 在△BCF 和△CDE 中， ， 2 3 2CE = 211 ∴△BCF≌△CDE（AAS）， ∴BF=CE， 又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE， ∴四边形 AEFB 是矩形， ∴AE=BF， ∴AE=CE． 　 12. （1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE， ∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF， ∵在△ABE 和△DAF 中， ， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE； （2）解：MP 与 NQ 相等． 理由如下：如图，过点 A 作 AF∥MP 交 CD 于 F，过点 B 作 BE∥NQ 交 AD 于 E， 由（1）可知 MP＝NQ．12 13. 证明：（1）∵E 是 AD 的中点，∴AE=ED. ∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE, ∴△AFE≌△DBE. ∴AF=DB. ∵AD 是 BC 边上的中点，∴DB=DC,AF=DC （2）四边形 ADCF 是菱形. 理由：由（1）知，AF=DC, ∵AF∥CD, ∴四边形 ADCF 是平行四边形. 又∵AB⊥AC, ∴△ABC 是直角三角形 ∵AD 是 BC 边上的中线, ∴ . ∴平行四边形 ADCF 是菱形. 14. 解：（1）因为四边形 ABCD 是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又 MA＝MD， 所以，△ABM≌△DCM （2）四边形 MENF 是菱形； 理由：因为 CF＝FM，CN＝NB， 所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC， 所以，四边形 MENF 为平行四边形， 又△ABM≌△DCM ∴MB＝MC，又∵ ∴ME＝MF， ∴平行四边形 MENF 是菱形. 1 2AD BC DC= = 1 1,2 2ME MB MF MC= =13 （3）2：1 15. （1）证明：∵在△ABC 和△ADC 中 ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∵在△ABF 和△ADF 中 ， ∴△ABF≌△ADF， ∴∠AFD=∠AFB， ∵∠AFB=∠CFE， ∴∠AFD=∠CFE， ∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE. （2）证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， 又∵∠BAC=∠DAC， ∴∠CAD=∠ACD， ∴AD=CD， ∵AB=AD，CB=CD， ∴AB=CB=CD=AD， ∴四边形 ABCD 是菱形； （3）当 EB⊥CD 时，∠EFD=∠BCD， 理由：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， 在△BCF 和△DCF 中 ， ∴△BCF≌△DCF（SAS）， ∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC=∠DEF=90°，14 ∴∠EFD=∠BCD．