八年级数学下册第18章《平行四边形》单元测试题4（新人教版）

1 第 18 章《平行四边形》单元测试题 4 （本检测题满分：120 分 时间：120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A.一组对角相等 B.对角线互相平分 C.一组对边相等 D.对角线互相垂直 2.如图，是我国古代数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中所画的图形，它是由四个相同的 直角三角形拼成的，下面关于此图形的说法正确的是（ ） A.它是轴对称图形，但不是中心对称图形 B.它是中心对称图形，但不是轴对称图形 C.它既是轴对称图形，又是中心对称图形 D.它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形 3.有下列四个命题: (1)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； (2)两条对角线相等的四边形是菱形； (3)两条对角线互相垂直的四边形是正方形； (4)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知三角形的三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法： 方法 1：直接法：计算三角形一边的长，并求出该边上的高； 方法 2：补形法：将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差； 方法 3：分割法：选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形． 现给出三点坐标： （-1，4）， （2，2）， （4，-1），请你选择一种方法计算△ABC 的面积，你的答案是（ ） A. B. C. D. 5.如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线 AC 等于（ ） A.20 B.15 C.10 D.5 A B C 1 2 5 2 7 2 9 2 第 2 题图 图2 6.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A.每一条对角线平分一组对角 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直 7.如图，将一个长为 10cm，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连 线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A. 10cm2 B. 20cm2 C. 40cm2 D. 80cm2 8.如图,是一张矩形纸片 ABCD，AD=10cm，若将纸片沿 DE 折叠，使 DC 落在 DA 上点 C 的对应 点为点 F，若 BE=6cm，则 CD=（　　） A.4cm B.6cm C. 8cm D. 10cm 9.有下列命题： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形； （2）邻边相等的矩形一定是正方形； （3）对角线相等的四边形是矩形； （4）三角形中至少有两个角是锐角； （5）菱形对角线长的平方和等于边长平方的 4 倍. 其中正确命题的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）3 10.如图所示，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个 与四边形 ABCD 对角线有关的条件为 ，使四边形 EFGH 是特殊的平行四边形，为 形. 11.已知在四边形 ABCD 中， ，若添加一个条件即可判定该四边形是 正方形，则这个条件可以是__________． 12.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 相交于点 ，若再补充一个条件能使菱形 ABCD 成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）． 13.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD， AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底 DC 的长是_______ cm . 14. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC=10， BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 _______ ． 三、解答题（共 69 分） 90A B C∠ = ∠ = ∠ = ° AC BD， O4 15. (9 分)如图，BD 是△ABC 的一条角平分线，DK∥AB 交 BC 于点 E，且 DK=BC，连接 BK， CK，得到四边形 DCKB，请判断四边形 DCKB 是哪种特殊四边形，并说明理由． 16.（9 分） 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠D ， AB=3，BC=6，求四边形 ABCD 的周 长． 17.（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 过点 O 分别交 AD、BC 于点 E、F，求证：OE=OF. 18.（10 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， 、 是对角线 上的两点，且 求证： 19.（10 分）如图，在△ 和△ 中， 与 交于点 ． （1）求证：△ ≌△ ； （2）过点 作 ∥ ，过点 作 ∥ ， 与 交于点 ， E F BD BF DE= ． AE CF= ．5 试判断线段 与 的数量关系，并证明你的结论． 20.（11 分）如图，点 是正方形 内一点，△ 是等边三角形，连接 ，延长 交边 于点 ． （1）求证：△ ≌△ ； （2）求∠ 的度数．6 参考答案 1.B 解析：由平行四边形的判定定理知选项 B 正确. 2.B 解析：根据轴对称图形、中心对称图形的定义解题. 3.D 解析：只有（1）正确，（2）（3）（4）错误. 4.B 解析：选择方法 2．过点 A 向 轴引垂线，过点 B 向 轴引垂线，两垂线相交于点 D， 连接 CD，则△ABC 的面积= ，直接计算即可．即 △ABC 的面积 .故选 B． 点拨：补形法是常用的方法，关键是得到若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．易 错点在于准确找到各三角形相应的底与高． 5.D 解析：在菱形 中，由∠ = ，得 ∠ .又∵ ， ∴ △ 是等边三角形，∴AC=AB=5 . 6.C 解析：根据矩形、菱形、正方形的性质解题. 7.A 解析：由题意知 AC=4 ，BD=5 ，∴ . 8.A 解析：由折叠的性质知 DC=DF，四边形 CDFE 为正方形， ∴ . 9. C 解析：分别根据等腰三角形的性质、正方形的判定、矩形的判定、三角形内角和定 理以及菱形的性质判断即可得出答案． （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出此命题正确. （2）邻边相等的矩形一定是正方形，根据正方形的判定得出此命题正确. （3）对角线相等的四边形也可能是等腰梯形，故此命题错误. （4）三角形中至少有两个角是锐角，根据三角形内角和定理得出 此命题 正确. （5）如图所示，∵菱形的对角线互相垂直，∴ . ∵ ， ∴ 菱形对角线长的平方和等于边长平方的 4 倍，故此命题正确. 因此正确的有 4 个，故选 C． 10.对角线相等 菱 解析：如图，连接 ， ∵ 分别是 的中点， y x S S SACD BCD ABD− −    ACD BCD ABDS S S= − − =    1 1 1 53 5 2 2 3 22 2 2 2 × × − × × − × × = 1 4 5 102 2 菱形 （cm)ABCDS = × × = 10 6 4( cm)CD CE BC BE= = − = − = 2 2 2a b c+ = 2 2 2 2 22 2 4 4（ ） （ ） （ ）a b a b c+ = + = 、AC BD 、 、 、E F G H 、 、 、AB BC CD DA7 ∴ , ， ∴ ，∴ 四边形 是平行四边形. ∵ ，∴ ， ∴ 平行四边形 是菱形. 点拨：本题主要考查对三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点的理 解和掌握，能求出四边形是平行四边形是解此题的关键． 11. 12. 或 或 （答案不唯一） 13.2 解析：∠ . 在等腰梯形 ABCD 中，∠ ∠ ， ∵ ∠ ∠ ∠ 又∵ ∥ ∴ ∠ ∠ ∠ . ∴ . 14.28 解析：由勾股定理得 ，又 ， ，所以 所 以五个小矩形的周长之和为 15. 分析：由角平分线的性质可得到 ，再根据平行线的性质可推出 ，利用 SAS 即可判定 ，由全等三角形的性质得 ，再分 或 确定四边形的形状． 解：∵ 平分 ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ .∴ . ∵ ，∴ .∴ . ∵ ，∴ , ∴ .∵ ,∴ △ ≌△ , ∴ ∠KBD=∠CDB. （1）当 时，四边形 是等腰梯形．理由如下： ∵ ， 平分 ,∴ 与 不垂直. 1 2EH BD= 1 2HG AC= ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥ ，EH BD HG AC FG BD EF AC ∥ ， ∥EH FG HG EF EFGH AC BD= EH HG= EFGH 90BAD∠ =  AD AB⊥ AC BD= ABD DBC∠ = ∠ ABD BDK∠ = ∠ ≌BDK DBC  KBD CDB∠ = ∠ BA BC≠ BA BC= BD ABC∠ ABD DBC∠ = ∠ ∥DK AB ABD BDK∠ = ∠ CBD BDK∠ = ∠ EB ED= DK BC= EK EC= EKC ECK∠ = ∠ BED CEK∠ = ∠ 180（ ）EKC ECK CBD BDK BED∠ = ∠ = ∠ = ∠ = ° − ∠ ∥BD CK BD DB= BDK DBC BA BC≠ DCKB BA BC≠ BD ABC∠ BD AC8 ∴ .∴ 与 不平行. ∴ 四边形 是等腰梯形. （2）当 时，四边形 是矩形．理由如下： ∵ ， 平分 ,∴ 与 垂直， ∴ ∠DBK=∠BDC=90°,∴ CD BK.∴ 四边形 是矩形. 点拨：此题考查了学生对等腰梯形的判定、矩形的判定的理解及运用． 16.解：∵ ∥ ，∴ . 又∵ ，∴ ∠ , ∴ ∥ , ∴ 四边形 是平行四边形 , ∴ ∴ 四边形 的周长 . 17.证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ∥ ， ， ∴ ∴ △ ≌△ ，故 . 18.证明:∵ 四边形 是平行四边形,∴ ∴ . 在 和 中， ， ∴ ，∴ . 19.（1）证明：在△ 和△ 中， ， ， ∴ △ ≌△ ． （2）解 ．证明如下：∵ ∥ ， ∥ ， ∴ 四边形 是平行四边形． 由（1）知，∠ =∠ ，∴ ， ∴ 四边形 是菱形．∴ . 20.（1）证明：∵ 四边形 是正方形， ∴ ∠ ∠ ， ． 2 180KBD CDB CDB∠ + ∠ = ∠ ≠ ° DC BK DCKB BA BC= DCKB BA BC= BD ABC∠ BD AC ∥ BDCK ABCD ， ∥ ．AD BC AD BC= ∠ ∠ADE FBC= △ADE △CBF ，∠ ∠ ，AD BC ADE FBC DE BF= = = △ ≌△ADE CBF AE CF=9 ∵△ 是等边三角形，∴ ∠ ∠ ， ． ∵∠ ∠ ，∠ ∠ ， ∴ ∠ ∠ ． ∵ ，∠ ∠ ， ∴△ ≌△ ． （2）解：∵ △ ≌△ ，∴ ， ∴ ∠ ∠ ． ∵ ∠ ∠ ，∠ ∠ ，∠ ∠ ， ∴ ∠ ∠ ． ∵ ，∴ ∠ ∠ ． ∵ ∠ ，∴ ∠ ， ∴ ∠ ．