2019~2020 学年度高三年级第二学期期初调研测试
数学Ⅰ试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知 （ 为虚数单位），则复数 的模为 ．
2．已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为 ．
3．已知某校高一、高二、高三年级分别有 1000、800、600 名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽
取 120 名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 名学生．
4．从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概率
为 ．
5．某程序框图如下图所示，当输入 时，输出的 ．
6 ． 已 知 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 与 直 线 围 成 正 三 角 形 ， 则 双 曲 线 的 离 心 率
为 ．
7．已知变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 ．
8．已知 为锐角，且 ，则 ．
(1 )z 1i i− = + i z
{ }1, 2A = − { }2,B a a= { }1A B∩ = a
7x = y =
2 2
2 13
x y
b
− = 3x =
x y
0
0
2
x
y
x y
≥
≥
+ ≤
2y x−
α 1cos 6 3
πα + = sinα =
9 ． 已 知 正 四 棱 柱 中 ， ， ， 为 上 底 面 中 心 ． 设 正 四 棱 柱
与正四棱锥 的侧面积分别为 ， ，则 ．
10．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ．
11．已知圆 ，过点 的直线 与圆 在 轴上方交于 ， 两点，且
，则直线 的斜率为 ．
12．若 ， ，且 ，则 最小值为 ．
13 ． 已 知 中 ， ， ， 平 面 上 一 点 满 足 ， 则
．
14．已知 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤．
15．已知 ．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数 ， 的值域．
16．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，面 面 ，三角形 为正
三角形．
（1）若 ， 为 ， 中点，证明： 面 ；
（2）若 ，证明：面 面 ．
1 1 1 1ABCD A B C D− 2AB = 1 3AA = O
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 1 1O A B C D− 1S 2S 2
1
S
S
=
{ }na n nS 4 32 1S S += 4 3 22 2 3 2a a a= + + 1a =
2 2: 4 2 0C x y x y+ − − = (6,0)P l C x A B
3PA PB= l
2x > 0y > 2 1 1x y
+ = 1 1
2 1x y
+− −
ABC△ 2AB = 1AC = ABC D 3BC AD⋅ = −
( )BC BD CD⋅ + =
3 2( ) 3f x x a x a= − − [ ]1,1x∈ − ( ) 0f x ≥ a
2( ) 4sin sin cos24 2
xf x x x
π = + +
( ) 2 6g x f x
π = − 0, 2x
π ∈
P ABCD− ABCD PAD ⊥ ABCD PAD
E F PB CD EF∥ PAD
90PAB∠ = ° PAD ⊥ PAB
17．过椭圆 上一点 作两条直线 ， 与椭圆另交于 ， 点，设它们的斜率分别为 ，
．
（1）若 ， ，求 的面积 ；
（2）若 ， ，求直线 的方程．
18．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货
币．如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心
与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪
念品，其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径 1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正
方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于
刻铜钱上的字．设 ，五个正方形的面积和为 ．
（1）求面积 关于 的函数表达式，并求 的范围；
（2）求面积 最小值．
19．若函数 的图像上存在两个不同的点关于 轴对称，则称函数 图像上存在一对“偶
点”．
（1）写出函数 图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）
F
E
P
D C
BA
2 2
18 2
x y+ = ( 2, 1)P − − 1l 2l A B 1k
2k
1 1k = 2 1k = − PAB△ PABS△
OA OB= PA PB= AB
OAB θ∠ = S
S θ tanθ
S
( )y f x= y ( )y f x=
( ) sinf x x=
（2）证明：函数 图像上有且只有一对“偶点”；
（3）若函数 图像上有且只有一对“偶点”，求 的取值范围．
20．已知数列 ， ， 满足： ， ．
（1）若 是等差数列，且公差 ，求数列 的通项公式 ；
（2）若 、 均是等差数列，且数列 的公差 ， ，求数列 的通项公式．
2019~2020 学年度高三年级第二学期期初调研测试
数学Ⅱ（附加题）
21．已知 ，向量 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量，求 ．
22．在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线 的参数
方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ，求直线 被曲线 所截
的弦长．
23．如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， ， 与
交于点 ．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
( ) ln( 2) 2g x x x= + − +
( ) 2( )xh x e mx m= − − ∈R m
{ }na { }nb { }nc 2n n nb a a+= − 1 23 2n n n nc a a a+ += + +
{ }nb 1 1 2 1d b a a= = = = { }nc nc
{ }nb { }nc { }nc 13 6d a= = 1 19c = { }na
x∈R 1
1
α =
1
0 2
xA
=
λ 1A−
xOy O x l
21 2
2
2
x t
y t
= +
=
，
t C 2 2 sin 4
πρ θ = + l C
1 1 1ABC A B C− 3AC = 4BC = 5AB = 1 4AA = 2
5AD AB=
1BC
1B C E
1AC 1DB
1A DE A− −
24．若排列 ， ，…， 中存在 使得 （ ，…， ），则称 为排列 ，
，…， 的一个“极小值”，例如：排列 2，1，4，3，5 中有两个极小值 1 和 3．记正整数 1，2，…，
的所有排列中有且仅有一个“极小值”的排列的个数为 ．
（1）求 ， ；
（2）求 ．
2019~2020 学年度高三年级第二学期期初调研测试
数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1．1 2． 3．50 4． 5．5
6． 7．2 8． 9． 10．1
11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．
15．解：（1）
1a 2a na ia 1 1i i ia a a− +> < 2i = 1n − ia 1a
2a na n
*( )( 3, )f n n n≥ ∈N
(3)f (4)f
( )f n
1− 1
3
2 3
3
2 6 1
6
− 10
6
8
15
− 2 3− 13 1 2, ,6 2
−−∞ ∪ +∞
( )
1 cos 24sin cos22
x
f x x x
π − + = +
( ) 22sin 1 sin 1 2sin 2sin 1x x x x= + + − = +
所以函数 的最小正周期为
（2） ，
因为 ，所以
所以
所以函数 的值域为
16．证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ．
在 中，因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 且
因为底面 为平行四边形，所以/ ，
为 的中点，所以
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）取 的中点 ，连接 ．
因为侧面 为正三角形，所以
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
( )y f x= 2π
( ) (2 ) 2sin 2 16 6g x f x x
π π = − = − + 0, 2x
π ∈
0, 2x
π ∈
52 ,6 6 6x
π π π − ∈ −
1sin 2 ,16 2x
π − ∈ −
( )y g x= [ ]0,3
PA G GD GE
PAB△ E G PB PA
GE AB∥ 1
2GE AB=
ABCD DC AB∥
F DC 1
2DF AB=
GE DF∥ GE DF=
GEFD GD EF∥
EF ⊄ PAD GD ⊂ PAD
EF∥ PAD
AD H PH
PAD PH AD⊥
PAD ⊥ ABCD PH ⊂ PAD
PAD ∩ ABCD AD= PH ⊥ ABCD
AB ⊂ ABCD PH AB⊥
90PAB∠ = ° AB AP⊥
因为 ， 平面 ，
所以 平面
因为 平面 ，所以平面 平面
17．解：（1）因为 ， ，
所以直线 ， 方程分别为 ，
由 ，得： ，
由此解得 ，所以 ，所以
同理可得：
所以直线 的方程为
所以
（2）设 的中点为 点
①当直线 过原点时，点 与点 重合．
因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为
②当直线 不过原点时．设
在 中，因为 ，所以 ，
在 中，因为 ，所以 ，
所以点 ， ， 三点共线，
PH PA P∩ = ,PA PH ⊂ PAD
AB ⊥ PAD
AB ⊂ PAB PAD ⊥ PAB
1 1k = 2 1k = −
1l 2l 1 0x y− + = 3 0x y+ + =
2 2
18 2
1
x y
y x
+ =
= +
25 8 4 0x x+ − =
2
5x = 7
5y = 2 7,5 5A
14 1,5 5B − −
AB 5 10 12 0x y− + =
2 2
2 2
1 2 14 7 1 12 48
2 5 5 5 5 255 10PABS = × + + + × = +△
AB H
AB H O
PA PB= PO AB⊥
AB 2 0x y+ =
AB ( )0 0,H x y
OAB△ OA OB= OH AB⊥
PAB△ PA PB= PH AB⊥
P H O
因为直线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为
设直线 的方程为 ，
由 ，得： ，所以 ，
所以直线 斜率为 ，所以直线 的斜率与直线 斜率不相等，
点 ， ， 三点不共线（与上面的结论矛盾）．
综上：所求直线 的方程为
18．解：（1）过点 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为 ，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点 ， 分别为小正方形和大正方形边的中点．
所以小正方形的边长为 ，
大正方形的边长为
所以五个正方形的面积和为
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ，
答：面积 关于 的函数表达式为 ，
OP 1
2 AB 2−
AB ( )2 0y x m m= − + ≠
2 2
18 2
2
x y
y x m
+ =
= − +
2 217 16 4 8 0x mx m− + − = 0
8
17
mx = 0 17
my =
OH 1
8
OP OH
P H O
AB 2 0x y+ =
O E F
E F
1 sin 2 sin2
θ θ × =
1 cos sin 2 cos 2sin2
θ θ θ θ − × = −
( )224sin cos 2sinS θ θ θ= + −
2 28sin cos 4sin cosθ θ θ θ= + −
sin cos 2sinθ θ θ< − 1tan 3
θ < 0 0, 2
πθ ∈
θ ( )00,θ 0
1tan 3
θ =
S θ 2 28sin cos 4sin cosS θ θ θ θ= + −
的取值范围为 ， ，
（2）法一：
，其中 ，
所以 ，此时 ，
因为 ，所以 ，
所以
所以
，化简得：
由此解得： ，
因为 ，所以
答：面积 最小值为
法二：
θ ( )00,θ 0
1tan 3
θ = 0 0, 2
πθ ∈
2 28sin cos 4sin cosS θ θ θ θ= + −
1 cos2 1 cos28 2sin 22 2
θ θ θ− += + −
9 72sin 2 cos22 2
θ θ = − +
( )9 65 sin 22 2
θ ϕ= − + 7tan 4
ϕ = 0, 2
πϕ ∈
min
9 65
2S
−= ( )sin 2 1θ ϕ+ =
( )00,θ θ∈ 0
30 2 2 2 2
πθ ϕ θ π< + < + <
2 2
πθ ϕ+ =
1 4tan 2 tan 2 tan 7
πθ ϕ ϕ
= − = =
2
2tan 4
1 tan 7
θ
θ =−
22tan 7tan 2 0θ θ+ − =
7 65tan 4
θ − ±=
10 tan 3
θ< < 7 65tan 4
θ − +=
S 9 65
2
−
2 28sin cos 4sin cosS θ θ θ θ= + −
2 2 2
2 2 2
8sin cos 4sin cos 8tan 4tan 1
sin cos tan 1
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ
+ − − += =+ +
令 ，则 ，设 ，
令 ，得：
0
极小值
所以 时，面积 最小值为
答：面积 最小值为
19．（1）函数 图像上一对“偶点”的坐标为
（2）设 ，
因为 的定义域为 ，且 ，
所以函数 为奇函数
要证：函数 图像上有且只有一对“偶点”，
只需证： 在 上有且只有一个零点，
令 ，得 ，
所以，函数 在 上为单调减函数，在 上为单调增函数
，
tant θ=
2
2
8t 4 1
t 1
tS
− += + ( ) 2
2
8t 4 1
t 1
tf t
− += +
10, 3t ∈
( ) ( )
( )
2
22
2 2 7 2
0
1
t t
f t
t
+ −′ = =
+
7 65 1
4 3t
− += <
t 7 650, 4
− +
7 65
4
− + 7 65 1,4 3
− +
( )f t′ − +
( )f t
7 65
4t
− += S 9 65
2
−
S 9 65
2
−
( ) sinf x x= ( )( ),0 ,0π π−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln 2 ln 2 2Q x g x g x x x x= − − = + − − + −
( )y Q x= ( )2,2− ( ) ( )Q x Q x− = −
( )y Q x=
( ) ln( 2) 2g x x x= + − +
( )y Q x= ( )0,2
( ) ( )2
2
2 2
04
x
Q x x
−′ = =− 2x =
( )Q x ( )0, 2 ( )2,2
( ) ( )2 ln 3 2 2 2 2 0Q = + − <
4 4 4
1 1 22 ln 4 0Q e e e
− = − + >
所以函数 在 上有且只有一个零点
所以函数 图像上有且只有一对“偶点”
（3）设 ，
因为 的定义域为 ，且
所以函数 为奇函数．
因为函数 图像上有且只有一对“偶点”，
所以函数 在 有且只有一个零点
，
①当 时，因为 ，
所以函数 在 上为单调增函数，所以
所以函数 在 无零点
②当 时，由
得： ，
所以函数 在 上单调减函数，在 上单调增函数
所以 ，设
，所以函数 在 上单调增函数，在 上单调减函数
所以 ，所以
( )Q x 4
12,2 e
−
( ) ln( 2) 2g x x x= + − +
( ) ( ) ( ) 2x xF x h x h x e e mx−= − − = − − ( )0 0F =
( )y F x= R ( ) ( )F x F x− = −
( )y F x=
( ) 2( )xh x e mx m= − − ∈R
( )y F x= ( )0,+∞
( ) 1 2x
xF x e me
′ = + − ( )0,x∈ +∞
1m ≤ ( ) 2 2 0F x m′ > − ≥
( )y F x= ( )0,+∞ ( ) ( )0 0F x F> =
( )F x ( )0,+∞
1m > ( ) 21 2 12 0
x x
x
x x
e meF x e me e
− +′ = + − = =
( )2
0 ln 1x m m= + −
( )y F x= ( )00, x ( )0,x +∞
( ) ( )0 0 0F x F< = ( ) lnH x x x= −
( ) 1 xH x x
−′ = ( )H x ( )0,1 ( )1,+∞
( ) ( )1 1 0H x H≤ = − < ln x x ( ) ( ) 2xM x m x e x′= = −
( ) 2 2 0xM x e e′ = − > − > ( )M x ( )1,+∞
( ) ( )1 2 0M x M e> = − > ( )m x ( )1,+∞
( ) ( )1 2 0m x m e> = − > 1x > 2 1xe x> +
( ) 2 2 2 2
2
12 4 1 4 0m m
mF m e m e me
= − − > − − >
( )y F x= ( )0,x +∞
( )F x ( )0,2x m 1x ( )1 0F x =
m ( )1,+∞
{ }nb 1 1d b= = 2n n nb a a+= −
2n na a n+ − =
3 1 1n na a n+ +− = + 3 2a = 1 8c =
( )1 1 2 3 1 23 2 3 2n n n n n n n nc c a a a a a a+ + + + + +− = + + − + +
( )3 1 22 3 2n n n na a a a n+ + += − + − = +
2 1 3 1 2c c− = × +
3 2 3 2 2c c− = × +
( )1 3 1 2n nc c n−− = × − + ( )2n ≥
上面 式子相加得：
所以
当 时也满足上面 的通项
综上：数列 的通项公式
（2）因为 是等差数列，且数列 的公差 ，
所以 ①， ②，
得： ，即
所以 ， ，
因为 是等差数列，设等差数列 的公差为 ，
所以 ， ，由此解得： ，
所以 ，满足 ，即
因为 ，所以 ，所以 ，
①当 时， ，所以
②当 时， ，所以
综上：数列 的通项公式
数学Ⅱ附加题
21．解：因为向量 是矩阵 的属于特征值 的一个特征向量
所以 ，得： ，所以
1n − ( ) ( ) ( )
1
13 1 2 1 2 1 3 2 22n
n nc c n n n
−− = × + + + − + − = × + −…
( )23 1 6 22 2nc n n n= + + ≥
1n − { }nc
{ }nc 23 1 62 2nc n n= + +
{ }nc { }nc 19d =
1 23 2 6 13n n n nc a a a n+ += + + = + 1 1 2 33 2 6 19n n n nc a a a n+ + + += + + = +
−② ① ( )3 1 22 6n n n na a a a+ + +− + − = 12 6n nb b+ + =
2 12 6b b+ = 3 22 6b b+ =
{ }nb { }nb d′
13 2 6b d′+ = 13 5 6b d′+ = 1 2b = 0d′ =
2nb = 12 6n nb b+ + = 2 2n na a+ − =
1 1 2 33 2 19c a a a= + + = ( )22 3 2 2 2 19a+ + + = 2 3a =
( )*2 1n k k= − ∈N ( )2 1 2 2 1 2ka k k− = + − = 1na n= +
( )*2n k k= ∈N ( )2 3 2 1 2 1ka k k= + − = + 1na n= +
{ }na 1na n= +
α A λ
1 1 1
0 2 1 1
x λ =
1
2
x λ
λ
+ =
= 1x =
若 ，且 ，则
所以
22．因为直线 的参数方程为
所以直线 的直角坐标方程为
因为曲线 的极坐标方程是 ，所以 ，
因为 ， ，所以
所以曲线 的直角坐标方程为
曲线 的圆心到直线 的距离
所以直线 被曲线 截得弦长为
23．（1）因为 ， ， ，所以 ，所以
以 为坐标原点，射线 ， ， 分别为 轴、 轴和 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．
则 ， ， ， ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
a bA c d
= 0A ≠ 1
d b
A A
A c a
A A
−
−
= −
1
11 2
10 2
A−
−
=
l
21 2
2
2
x t
y t
= +
=
l 1 0x y− − =
C 2 2 sin 4
πρ θ = +
2 2 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= +
cosx ρ θ= siny ρ θ= ( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
C ( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
C l 1 1 1 2
22
d
− −= =
l C 2 2 12 2 2 62R d− = − =
3AC = 4BC = 5AB = 2 2 2AB AC BC= + AC BC⊥
C CA CB 1CC x y z
( )3,0,0A ( )1 0,0,4C ( )1 0,4,4B ( )0,4,0B ( )0,2,2E ( )0 0 0, ,D x y z
2
5AD AB= ( ) ( )0 0 0
23, , 3,4,05x y z− = −
所以
所以 ，
设异面直线 与 所成角为 ， ，
所以
所以异面直线 与 所成角的余弦值为
（2）设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ．
， ，
所以 ，令 ，得： ， ，
所以 ，同理可得：
所以 ，
由图可知二面角 的平面角为锐角，
二面角 的余弦值为
24．解：（1）若将 1，2，3 排成满足题意的排列，只需将 1 排中间即可，所以 ．
若将 1，2，3，4 排成满足题意的排列，可分成两类：
9 8, ,05 5D
( )1 3,0,4AC = −
1
9 12, ,45 5DB = −
1AC 1DB θ 0, 2
πθ ∈
1 1
1 1 2 2
1 1
27 16 1075cos cos , 1259 125 165 5
AC DBAC DB
AC DB
θ
+⋅= = = =
⋅ + +
1AC 1DB 107
125
ADE ( )1 1 1 1, ,n x y z=
1A DE ( )2 2 2 2, ,n x y z=
6 8, ,05 5AD = −
( )3,2,2AE = −
1 1
1 1 1
6 8 05 5
3 2 2 0
x y
x y z
− + =
− + + =
1 3y = 1 4x = 1 3z =
( )1 4,3,3n = ( )2 2,4,1n =
1 2
1 2
1 1
23 23cos , 71471434 21
n nn n
n n
⋅= = =
××
1A DE A− −
1A DE A− − 23 714714
(3) 2f =
1）1 排在首位或末位，此时 2 必须排在 3、4 之间，共有 个；
2）1 不排在首位也不在末端，共有 个．
所以 ．
（2）一般地，
1）若 1 排在两端，1 必不为“极小值”，则余下 个数中必须有且只有一个“极小值”，此时满足题意的
排列共有 个；
2）若 1 排在第 号位，1 必为极小值，则余下 个数中不得再有“极小值”出现，从余
下 个数中抽取 个数排在 1 的左侧，这 个数中的最小数必须排在首位或紧靠 1 的左侧，否则它
即为极小值，矛盾．依次类推，这 个数共有 种排法．
故，此时满足题意的排列共有 个
所以 1 不排在两端的排列个数为 ．
所以
，特别地，当 时，也适合．
所以
1 2
2 2 4C A =
1 3
2 3 12C A =
(4) 16f =
1n −
1
2 ( 1)C f n −
( 2, , 1)i i n= −… 1n −
1n − 1i − 1i −
1i − 1 2
12i i
nC − −
−
1 2 1 1 3
1 12 2 2i i n i i n
n nC C− − − − − −
− −⋅ =
1
1 3 3 1
1
2
2 2 (2 2)
n
i n n n
n
i
C
−
− − − −
−
=
= −∑
2 4 2 2 2 4 2 5 2 2( ) 2 ( 1) 2 2 2 ( 2) 2 2 2 2n n n n n nf n f n f n− − − − − −= − + − = − + + − −
3 2 4 22 (3) (2 2 ) 2 ( 3)n n n nf n− − −= = + + + − −… …
2 12 (2 )( 4)n n= n n− − − ≥ 3n =
2 1( ) 2 (2 )n nf n n− −= −
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