百师联盟2020届高三开学摸底大联考山东卷数学试题

百师联盟 2020 届全国高三开学摸底大联考 山东卷 数学试卷 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间 120 分钟，满分 150 分. 一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.） 1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数 的图象大致为：（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为 1，高为 ，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上下两部分，在原来 圆锥的表面上任取一点 ，则点 在圆锥上半部分的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 为圆 上任一点， ， 为直线 ： 上的两个动点，且 ， { }| 3 1A x x= − < ≤ { }2| 2B x y x= = − A B = 2,1 −  ( 2,1−  3, 2 −  ( 3, 2−  ( ) 1 sinf x x xx  = +   3 A A 1 6 2 3 1 2 1 5 P ( )2 21 1x y+ + = A B l 3 4 7 0x y+ − = 3AB = 则 面积的最大值为（ ） A. 9 B. C. 3 D. 5. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升， 上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米 四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第 四节竹子的装米量为（ ） A. 1 升 B. 升 C. 升 D. 升 6. 已知偶函数 在 上减函数，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中，含 项的系数为（ ） A. 100 B. 300 C. 500 D. 110 8. 若 ，则 （ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 9. 双曲线 ： ， ， 为其左、右焦点，线段 垂直直线 ，垂足为 点 ，与 交于点 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 10. 如图，棱长为 2 的正方体 中，点 、 分别为 、 的中点，则三棱锥 的外接球体积为（ ） A. B. PAB∆ 9 2 3 2 3 2 2 3 4 3 ( )f x [ )0,+∞ 3 1log 10a f  =    1 3 log 4b f  =     ( )0.53c f −= a b c c b a< < b a c< < a b c< < c a b< < ( ) ( )5 102 2 2 1x x x x+ − + 7x tan 2α = 2sin 2 cosα α+ = C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F 2F A by xa = A C B 2F B BA=  C 2 3 1 1 1 1ABCD A B C D− E F AB 1 1A B F ECD− 41 4 π 4 3 π C. D. 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得 4 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.） 11. 已知 为虚数单位，则下面命题正确的是（ ） A. 若复数 ，则 . B. 复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则 . C. 若复数 ， 满足 ，则 . D. 复数 的虚部是 3. 12. 下面四个结论正确的是（ ） A. 向量 ，若 ，则 . B. 若空间四个点 ， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线. C. 已知向量 ， ，若 ，则 为钝角. D. 任意向量 ， ， 满足 . 13. 在下列命题中正确命题是（ ） A. 长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，则长方体外接球的表面积为 B. 函数 图象的一个对称中心为点 C. 若函数 在 上满足 ，则 是周期为 2 的函数 D. ， 表示两条不同直线， ， 表示两个不同平面.若 ， 且 ，则 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，17 题每空 2 分.） 14. 在一次考试后，为了分析成绩，从 1，2，3 班中抽取了 3 名同学（每班一人），记这三名同学为 、 、 ，已知来自 2 班的同学比 成绩低， 与来自 2 班的同学成绩不同， 的成绩比来自 3 班的同学高. 由此判断，来自 1 班的同学为______. 15. 设函数 .若 的图像关于原点 对称，则曲线 在点 处的切线方程为______. 41 41 64 π 41 41 48 π i 3z i= + 1 3 10 10 i z = − z 2 1z i− = z ( ),x y ( )22 2 1x y+ − = 1z 2z 21z z= 1 2 0z z ≥ 1 3z i= − ( ), 0, 0a b a b≠ ≠    a b⊥  0a b⋅ =  P A B C 1 3 4 4PC PA PB= +   A B C ( )1,1,a x= ( )3, ,9b x= − 3 10x < ,a b  a b c ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅      a b c ( )2 2 2a b cπ + + sin 4 3y x π = −   5 ,024 π     ( )f x R ( ) ( )1f x f x+ = − ( )f x m n α β m α⊥ / /n β α β⊥ / /m n A B C B A C ( ) ( )3 2 2f x x ax a x= + + + ( )f x ( )0,0 ( )y f x= ( )1,3 16. 已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为______. 17. ，则 的最小正周期是______，在区间 上的最大值是 ______. 四、解答题（本大题共 6 小题，共 82 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18. 在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 . （1）求 ； （2）若 ，三角形的面积 ，求 . 19. 已知数列 满足 ， . （1）证明数列 为等比数列并求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 20. 如图所示的多面体的底面 为直角梯形，四边形 为矩形，且 ， ， ， ， ， ， 分别为 ， ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 21. 已知椭圆 ： 的离心率 ，椭圆的左焦点为 ，短轴的两个顶点分别为 、 ，且 . （1）求椭圆 的标准方程. （2）若过左顶点 作椭圆的两条弦 、 ，且 ，求证：直线 与 轴的交点为定点. ( ) 2 3 1 2 logf x x x= − ( ) ( )3 2 1f a f− ≥ a ( ) ( )2sin sin 3 cosf x x x x= + ( )f x ,6 6 π π −   ABC∆ A B C a b c ( ) ( )sin sin sina c A c A B b B− + + = B 8a c+ = 4 3ABCS∆ = b { }na 1 1a = ( ) ( )* 1 3 1n nna n a n N+ = + ∈ na n     { }na { }na n nS ABCD DCFE DE BC⊥ AD DC⊥ AD AB⊥ 1 22AB AD DE CD= = = = M N P EF BF BC BC ⊥ MNP MN BCF C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2e = 1F 1B 2B 1 1 1 2 2F B F B⋅ =  C A AM AN 0AM AN⋅ =  MN x 22. 函数 . （1）试讨论函数 的单调性； （2）若 ，证明： （ 为自然对数的底数）. 23. 自 2017 年起，全国各省市陆续实施了新高考，许多省市采用了“ ”的选科模式，即：考生除必考 的语、数、外三科外，再从物理、化学、生物、历史、地理、政治六个学科中，任意选取三科参加高考， 为了调查新高考中考生的选科情况，某地调查小组对某中学进行了一次调查，研究考生选择化学与选择物 理是否有关.已知在调查数据中，选物理的考生与不选物理的考生人数相同，其中选物理且选化学的人数占 选物理人数的 ，在不选物理的考生中，选化学与不选化学的人数比为 . （1）若在此次调查中，选物理未选化学的考生有 100 人，将选物理且选化学的人数占选化学总人数的比作 为概率，从该中学选化学的考生中随机抽取 4 人，记这 4 人中选物理且选择化学的考生人数为 ，求 的 分布列（用排列数、组合数表示即可）和数学期望. （2）若研究得到在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，认为选化学与选物理有关，则选物理且选化学的人数 至少有多少？（单位：百人，精确到 0.01） 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 百师联盟 2020 届全国高三开学摸底大联考 山东卷 数学答案 一、单项选择题 1-5：DAABB 6-10：CAAAD 1. D 【解析】 ，所以 . 2. A 【解析】函数 为偶函数，排除选项 B，C；当 ， ，排除选项 D， 故选 A. ( ) ( )ln 1f x x a x a R= − + ∈ ( )f x 3a = ( ) ( )1f xe f x− ≥ e 3 3+ 4 5 1:9 Y Y ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 2, 2B  = −  ( 3, 2A B = −  ( ) 1 sinx xx xf  = +   4x π= ( ) 0f x > 3. A 【解析】圆锥的母线长为 ，所以概率 . 4. B 【解析】圆心到直线的距离为 ，所以圆上的点到直线的最大距离为 ， 所以 的最大值为 . 5. B 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为 ， … ，则有 ，由等差数列的 性质可得 ，所以 . 6. C 【解析】 为偶函数，在 上为减函数. ， ， ， ， ，所以 . 7. A 【解析】 ，其中 ， ，则 ，所以可取 ， 或 ， 或 ， ，分别代入求和得 项得系数为 100. 8. A 【解析】 . 9. A 【解析】 所在的直线方程为 ，与直线 的焦点为 ， 为线段 的中点，所以 ，代入双曲线方程得 ，得 ，所以 . 10. D 【解析】连接 ， ，三棱锥 的外接球即为三棱柱 的外接球，在三角 形 中，取 中点 ，连接 ，则 为 的垂直平分线，所以三角形 的外心在 上， 设为点 ，同理可得三角形 的外心 ，连接 ，则三棱柱外接球的球心为 的中点，设为点 ，由图可得， ，又 ， ，可得 ，所以 ，解得 ，所以 . 二、多项选择题 ( )2 3 1 2+ = 2 1 12 1 12 2 1 62 2 12 P π π π × × × = = × × + × 3 7 25 − − = 2 1 3+ = PABS∆ 1 93 32 2 × × = 1a 2a 7a 1 2 6 7 6a a a a+ + + = 1 7 42 3a a a+ = = 4 3 2a = ( )f x [ )0,+∞ 0.50 2 1−< < ( )1 10 10 3 3log logf f   =    10 3log 2> ( )4 4 1 3 3 log logf f   =    4 31 log 2< < a b c< < ( ) ( )30 1 1 5 201 k r kr k r kT T C C x − + + + = − 0 5r≤ ≤ 0 20k≤ ≤ 23r k+ = 3r = 20k = 4r = 19k = 5r = 18k = 7x 2 2 2 2 cos 2sin coscos sin 2 sin cos α α αα α α α ++ = + 2 2 1 2tan 1 2 2 1tan 1 2 1 α α + + ×= = =+ + 2F A ( )ay x cb = − − by xa = 2 ,a abA c c      B FA 2 2 ,2 2 c a abB c c  +    ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2 24 4 a c a bb a a bc c + × − × = 2 22c a= 2ce a = = 1FC 1FD F ECD− 1 1FC D ECD− ECD CD H EH EH CD ECD EH M 1 1FC D N MN MN O 2 2 2 2EM CM CH MH= = + 2MH EM= − 1CH = 5 4EM CM= = 2 2 2 2 51 4OC MO CM  = + = +    41 4OC = 3 4 41 41 41 3 4 48V π  = =    11. ABC 12. AB 13. AC 14. B 11. ABC 【解析】 的虚部是-3.D 不正确. 12. AB 【解析】 时，两个向量共线，夹角为 ，C 不正确；向量运算不满足结合律，D 不正确. 13. AC 【解析】当 ， .不是 0.所以 不是对称中心，B 不正确.D 答案 ， 不一定平行， 也可以异面及相交. 14. B 【解析】由题， 不是来自 2 班， 不是来自 2 班，所以 来自 2 班，又 的成绩比来自 2 班的同 学高， 的成绩比来自 3 班的同学高，所以 不能来自 3 班，只能来自 1 班. 三、填空题 15. 16. 17. ，2 15. 【解析】由题知 为奇函数，可得 ， .所以切线方程为 . 16. 【解析】由题： 为偶函数，且在 上单调递增，所以只需 ， 解得 或 . 17. ，2 【解析】 ，所以 最小正周期为 ， 区间 上的最大值是 2. 四、解答题 18. 解：（1）由 得 ， 由正弦定理得， ， 即 所以 ， 所以 . （2）由（1）知 ， 得， ， 又 ，解得 ， ， 所以 ，得 . 1 3z i= − 3x = − π 5 24x π= 1y = 5 ,024 π     m n B A C B C B 5 2 0x y− − = [ )1, 1,3  −∞ +∞    π 5 2 0x y− − = ( )f x 0a = ( )' 1 5f k= = 5 2 0x y− − = [ )1, 1,3  −∞ +∞    ( )f x ( )0,+∞ 3 2 1a − ≥ 1 3a ≤ 1a ≥ π ( ) ( )2sin sin 3 cos 2sin 2 16f x x x x x π = + = − +   ( )f x π ,6 6 π π −   ( ) ( )sin sin sina c A c A B b B− + + = ( )sin sin sina c A C c b B− + = ( ) 2 2a c a c b− × + = 2 2 2 1 2 2 a c b ac + − = 1cos 2B = 3B π= 3B π= 1 sin 4 32ABCS ac B∆ = = 16ac = 8a c+ = 4a = 4c = 2 2 2 2 cos 16b a c ac B= + − = 4b = 19. 解：（1）因为 ，所以 ， 设 ，所以 .又 ，所以 ， 所以数列 是首项为 1、公比为 3 的等比数列. ， . （2） （1） （2） （1）-（2）得， ， . 20. 解：（1）证明：因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ，因为四边形 为矩形，所以 ， 又因为 ，所以 平面 ，所以 ， 取 中点 ，连接 ， ， ，则 ， 所以点 ， ， ， 同在平面 内. 在 中， ， ， ， 为 中点， 所以 . 又因为 交 于点 ，所以 平面 . （2）由（1）知 ， ， 三条直线两两垂直且交于点 ，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系. 则 ， ， ， 因为 ， 分别为 ， 中点，可得 ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，可得 ， ，所以 ， 所以 . ( )1 3 1n nna n a+ = + 1 31 n na a n n + =+ n n ab n = 1 3n nb b+ = 1 1a = 1 1b = na n     13nn n ab n −= = 13n na n −= ⋅ ( )0 1 2 2 11 3 2 3 3 3 1 3 3n n nS n n− −= × + × + × + + − × + × ( )1 2 3 13 3 3 2 3 3 3 1 3 3n n nS n n−= + + × + × + + − × + × 1 2 12 1 3 3 3 3n n nS n−− = + + + − × ( )2 1 3 13 3 1 2 4 4 4 nn n n nnS − × +×= − + = P N BC BF / / / /PN CF DE EDCF DE CD⊥ DE BC⊥ DE ⊥ ABCD PN BC⊥ CD H PH BH MH / / / /MH CF PN M N P H MNP BHC∆ 2BH AD= = 2CH CD AB= − = 90BHC∠ = ° P BC HP BC⊥ PN HP P BC ⊥ MNP AD DE CD D D DA DG DE x y z ( )2,2,0B ( )0,4,0C ( )0,4,2F M N EF BF ( )0,2,2M ( )1,3,1N BCF ( ), ,n m n p= 0 0 n BF n BC  ⋅ = ⋅ =     2 2 0 2 2 2 0 m n m n p − + = − + + = 1m = 1n = 0p = ( )1,1,0n = 6cos , 3 n MNn MN n MN ⋅= =      所以 与平面 所成角的余弦值为 . 21. 解：（1）设 ， ， ，由题意， ① ② 又 ③ 由①②③得： ， ，所以椭圆方程为： . （2）由题可知： ，直线 ， 斜率存在且不为零，设直线 斜率为 ， 则直线 斜率为 ， 设直线 方程为 ，与椭圆方程联立得 ，得： ① 方程①的一根为-2，设 ，则 ，得 ， 所以 ，得 ， 得 ，同理可得（将 换为 ）得 ， 则 ， 所以直线 的方程为 ， MN BCF 2 6 31 3 3  − =    ( )1 ,0F c− ( )1 0,B b ( )2 0,B b− 3 2 c a = ( ) ( )1 1 1 2 , , 2F B F B c b c b⋅ = ⋅ − =  2 2 2c a b= − 2 4a = 2 1b = 2 2 14 x y+ = ( )0, 2A − AM AN AM k AN 1 k − AM ( )2y k x= + ( ) 2 2 2 4 4 0 y k x x y  = +  + − = ( )2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k+ + + − = ( ),M MM x y 2 2 16 42 1 4M kx k −− = + 2 2 2 8 1 4M kx k −= + ( )2M My k x= + 2 4 1 4M ky k = + 2 2 2 2 8 4,1 4 1 4 k kM k k  −  + +  k 1 k − 2 2 2 2 8 4,4 4 k kN k k  − −  + +  ( ) 32 2 2 2 4 2 2 4 4 20 201 4 4 2 8 2 8 16 16 1 4 4 MN k k k kk kk k k k k k + ++ += =− − − −−+ + ( ) ( )( ) 2 2 2 20 1 16 1 1 k k k k + = − − + 2 5 4 4 k k −= − MN 2 2 2 2 4 5 2 8 4 4 4 4 k k ky xk k k  − −+ = − + − +  令 ，则 . 所以，直线 与 轴的交点为定点 . 22. 解：（1） 的定义域为 ， ， ①当 时， ， 在 单调递增. ②当 时， 时， ， 单调递增. 当 时， ， 单调递减. （2） ， ，即 ， 设 ，则 ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 时取得极小值，即为最小值 . 所以 . 令 ，则 ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 时取得极小值，即为最小值. 所以 ， 所以 恒成立. 23. 解：（1）列联表如图： 选化学 不选化学 合计（人数） 选物理 400 100 500 不选物理 50 450 500 合计（人数） 450 550 1000 （分别计算出数值也可） 则分布列为 0 1 2 3 4 0y = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 16 1 2 8 6 24 45 4 5 4 k k kx kk k − − − −= + =++ + ( ) ( ) 2 2 6 4 6 55 4 k k − + = = − + MN x 6 ,05  −   ( )f x ( )0,+∞ ( ) 1' a x a xf xx −= − = 0a ≤ ( )' 0f x > ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )0,x a∈ ( )' 0f x > ( )f x ( ),x a∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x 3a = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0f x f xe f x e f x− −≥ ⇔ − ≥ ( )3ln 3ln 1 0x xe x x− − − − ≥ 3lnx x t− = ( )3' 31 0x xxt x −− = >= 0 3x< < ' 0t < 3x = ' 0t = 3x > ' 0t > t 3x = 3 3ln3− [ )3 3ln3,t ∈ − +∞ ( ) 1th t e t= − − ( )' 1th t e= − ( )3 3ln3,0t ∈ − ( )' 0h t < 0t = ( )' 0h t = ( )0,t ∈ +∞ ( )' 0h t > ( )h t 0t = ( ) ( )min 0 0h t h= = ( ) ( )1f xe f x− ≥ Y 由题：选物理且选化学的人数占选化学总人数的比为 ， 且 符合超几何分布，所以 . （2）设选物理又选化学的人数为 ，则列联表如下： 选化学 不选化学 合计（人数） 选物理 不选物理 合计（人数） 所以： . 在犯错误概率不超过 0.01 的前提下，则 ，即 ， 即： . 所以选物理又选化学的人数至少有 5.37（百人），即至少 537 人. P 4 50 4 450 C C 1 3 400 50 4 450 C C C 2 2 400 50 4 450 C C C 3 1 400 50 4 450 C C C 4 400 4 450 C C 8 9 Y ( ) 8 324 9 9E Y = × = x x 1 4 x 5 4 x 1 8 x 9 8 x 5 4 x 9 8 x 11 8 x 5 2 x 2 2 2 5 9 1 2452 8 32 5 5 9 11 198 4 4 8 8 x x x K x x x x x  −  = = × × × 2 6.635K ≥ 245 6.635198 x ≥ 5.37x ≥