2020年八年级数学开学摸底考试卷（北师大版A卷）

2020 年八年级数学开学摸底考试卷（北师大版 A 卷） 一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计 18 分） 1.下列不等式的变形正确的是（ ） A．若 am>bm，则 a>b B．若 am2>bm2，则 a>b C．若 a>b，则 am2>bm2 D．若 a>b 且 ab>0，则 【答案】B 2.如图，△ABC 中，AC=AD=BD,∠DAC=80°，则∠B 的度数是（ ） A．20° B．25° C．35° D．40° 【答案】B 3.如图，将周长为 8 的△ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到△DEF，则四边形 ABFD 的周长是（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 4.如图，等腰△ABC 中，AB=AC,∠A=36°．用尺规作图作出线段 BD，则下列结论错误的是（ ） A．AD=BD B．∠DBC=36° ba 11 >C．S△ABD=S△BCD D．△ABC 的周长=AB+BC 【答案】C 5.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则△ CDE 的周长为（ ） A．20 B．12 C．14 D．13 【答案】C 6. 若不等式组 无解，那么 m 的取值范围是 ( ) A．m>2 B．m0 时，则 x 的取值范围为________．    < −1 9.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=40°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BE，则∠CBE 的度数为________°． 【答案】30 10.在如图所示的方格纸（1 格长为 1 个单位长度）中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点 O 按顺时 针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是________． 【答案】90° 11. 如 图 ， 将 矩 形 ABCD 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 90 ° 后 ， 得 到 矩 形 AB'C'D' ， 如 果 CD=3DA=3 ， 那 么 CC'=________． 【答案】 12.对于 x，符号[x]表示不大于 x 的最大整数．如：[3.14]=3,[-7.59]=-8，则满足关系式 的 x 的整 数值有 . 【答案】7,8,9. 三、解答题（本题共计 11 小题，共计 84 分） 52 47 73 =    +x13.（6 分）解下列不等式组 ；并把解集在数轴上表示． 【答案】 解：{2x + 7 > 1 - x… 6 - 3(1 - x) > 5x…， 由①得：x > -2 由②得：x < 3 2 ∴不等式的解是 -2 < x < 3 2． 数轴表示正确 14.（6 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AE⊥AB 于 A，∠BAC=120°，AE=3cm．求 BC 的长． 【答案】 解：过点A作AF ⊥ BC交BC于F， ∵AB = AC，∠BAC = 120∘， ∴∠B = ∠C = 30∘，BC = 2BF. 在Rt △ BAE中，    >−− −>+ xx xx 5)1(36 172BE = 2AE = 6cm，AB = BE2 - AE2 = 62 - 32 = 3 3. 在Rt △ AFB中， AF = 1 2AB = 3 3 2 ， BF = AB2 - AF2 = (3 3)2 - (3 3 2 )2 = 9 2. ∴BC = 2BF = 2 × 9 2 = 9． 15.（6 分）某批服装进价为每件 200 元，商店标价为每件 300 元．现商店准备将这批服装打折出售，但要 保证毛利润不低于 8%，商店最低可按标价的几折出售？（通过列不等式进行解答） 【答案】商店最低可按标价的7.2折出售 16.(6 分)如图，在平面直角坐标系中，Rt △ ABC的三个顶点分别是A( - 4, 2)，B(0, 4)，C(0, 2). (1)画出 △ ABC关于点C成中心对称的 △ A1B1C；平移 △ ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0, - 4)，画 出平移后对应的 △ A2B2C2； (2) △ A1B1C和 △ A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)根据网格结构找出点A，B关于点C成中心对称的点A1，B1的位置，再与点A顺次连接即可； 根据网格结构找出点A，B，C平移后的对应点A2，B2，C2的位置，然后顺次连接即可； 如图所示；(2)(2, - 1) 17.（6 分）已知：如图， △ ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于 点D、E，且DE // BC．若AB = 6cm，AC = 8cm，求 △ ADE的周长. 【答案】 解：∵DE // BC ∴∠DOB = ∠OBC， 又∵BO是∠ABC的角平分线， ∴∠DBO = ∠OBC， ∴∠DBO = ∠DOB， ∴BD = OD， 同理：OE = EC， ∴ △ ADE的周长 = AD + OD + OE + AE = AD + BD + AE + EC = AB + AC = 14cm． 18.（8 分）是否存在这样的整数m，使得关于x，y的方程组{x + y = 2m + 1 2x - y = m - 4 的解满足x < 0且y > 0？若存 在，求出整数m；若不存在，请说明理由． 【答案】解方程组{x + y = 2m + 1 2x - y = m - 4 得：{x = m - 1 y = m + 2 ， 根据题意，得：{m - 1 < 0 m + 2 > 0 ，解得： -2 < m < 1， 则整数m为 -1，0． 19.(8 分)某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品3件和B种商品4件共需220元；若购进A种商品5件和B 种商品2件共需250元． （1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）若每件A种商品售价48元，每件B种商品售价31元，且商店将购进A、B两种商品共50件全部售出后，要 获得的利润不少于360元，问A种商品至少购进多少件？ 【答案】 (1)A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元 (2)A种商品至少购进30件 20.(8 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E 为 AB 边的中点，以 BE 为边作等边△BDE， 连结 AD，CD． （1）求证：△ADE≌△CDB; （2）若 BC= ，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）证明：在Rt △ ABC中，∠BAC = 30∘，E为AB边的中点， ∴BC = EA，∠ABC = 60∘． ∵ △ DEB为等边三角形， ∴DB = DE，∠DEB = ∠DBE = 60∘， 3∴∠DEA = 120∘，∠DBC = 120∘， ∴∠DEA = ∠DBC， ∴ △ ADE≅ △ CDB(SAS)． （2）解：如解图，作点E关于直线AC对称点E'，连结BE'交AC于点H． 则点H即为符合条件的点，连结AE'． 由作图可知：EH + BH = BE'，AE' = AE，∠E'AC = ∠BAC = 30∘． ∴∠EAE' = 60∘，∴ △ EAE'为等边三角形， ∴EE' = EA = 1 2AB，∴∠AE'B = 90∘， 在Rt △ ABC中，∠BAC = 30∘，BC = 3， ∴AB = 2 3，AE' = AE = 3， ∴在Rt △ ABE'中，由勾股定理得BE' = AB2 - AE'2 = 3， ∴BH + EH的最小值为3． 21. (9 分)如图在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3). （1）若 △ ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点 C1 坐标为(4,0)，画出△A1B1C1 并写出顶点 A1,B1 的坐标； （2）将△ABC 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2． （3）求出△A2B2C2 的面积.【答案】(1)如图所示， △ A1B1C1即为所求，其中A1的坐标为(2, 2)，B1的坐标为(3, - 2)． (2)如图所示， △ A2B2C2即为所求． (3) △ A2B2C2的面积＝2 × 4 - 1 2 × 2 × 2 - 1 2 × 1 × 2 - 1 2 × 1 × 4＝3． 22.(9 分)某甜品店用 A,B 两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售，制作每份甜品的原料所需用量如表所 示．该店制作甲款甜品 x 份，乙款甜品 y 份，共用去 A 原料 2000 克． 原料款式 A 原料（克） B 原料（克） 甲款甜品 30 15 乙款甜品 10 20 （1）求 y 关于 x 的函数表达式． （2）已知每份甲甜品的利润为 a 元（a 正整数），每份乙甜品的利润为 2 元．假设两款甜品均能全部卖 出． ①当 a=3 时，若获得总利润不少于 220 元，则至少要用去 B 原料多少克？ ②现有 B 原料 3100 克，要使获利为 450 元且尽量不浪费原材料，甲甜品的每份利润应定为多少元？ 【答案】(1)由题可得，30x +10y＝2000，即y＝200 - 3x故y关于x的函数表达式为y＝200 - 3x (2)①由题意：3x +2y ≥ 220， 而由（1）可知3x＝200 - y代入可得：200 - y +2y ≥ 220 ∴y ≥ 20 设B原料的用量为w，则w＝15x +20y，即w＝15y +1000 ∵k＝15，w随y的增大而增大 ∴当y取最小值20时，可得w的最小值为15 × 20 + 1000＝1300 故若获得总利润不少于220元，则至少要用去B原料1300克． ②由题意：15x +20y ≤ 3100 即：15x +20(200 - 3x) ≤ 3100，解得x ≥ 20 又∵ax +2y＝450 即：ax +2(200 - 3x)＝450，a＝6 + 50 x ， 而a，x均为正整数且x ≥ 20， 于是可得x＝50，a＝7或x＝25，a＝8 当x＝50时，需要B原料1750； 当x＝25时，需要B原料2875，为了尽量不浪费原材料，a应取8． 故在设定条件下，甲甜品的每份利润应定为8元． 23. (12 分)如图（1），在等边△ABC 中，点 D,E 分别在边 AB,AC 上，AD=AE，连结 BE,CD，点 M,N,P 分别 是 BE,CD,BC 的中点，连结 DE,PM,PN,MN.（1）观察猜想 图（1）中△PMN 是________（填特殊三角形的名称）． （2）探究证明 如图（2），△ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转，则△PMN 的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由． （3）拓展延伸 若△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，AD=1,AB=3,请直接写出△PMN 的周长的最大值． 【答案】 （1）等边三角形 解：（2） △ PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形．理由如下： 连结BD，CE． 由旋转可得∠BAD = ∠CAE， ∵ △ ABC是等边三角形， ∴AB = AC，∠ACB = ∠ABC = 60， 又∵AD = AE， ∴ △ ABD≅ △ ACE， ∴BD = CE，∠ABD = ∠ACE． ∵M是BE的中点，P是BC的中点， ∴PM是 △ BCE的中位线， ∴PM = 1 2CE，且PM//CE． 同理可证PN = 1 2BD且PN//BD， ∴PM = PN，∠MPB = ∠ECB，∠NPC = ∠DBC，∴∠MPB +∠NPC = ∠ECB +∠DBC = (∠ACB +∠ACE) + (∠ABC -∠ABD) = ∠ACB +∠ABC = 120， ∴∠MPN = 60， ∴ △ PMN是等边三角形． （3） △ PMN的周长的最大值为6． 解法提示：易证在 △ ADE的旋转的过程中， △ PMN恒为等边三角形． 如图，当点E，A，C在同一线上，且点A在EC上时， △ PMN的周长最大， 易知此时点D，A，B在同一直线上． ∵点M，P分布为BE，BC的中点， ∴MP = 1 2EC = 1 2(1 + 3) = 2， 故 △ PMN周长的最大值为2 × 3 = 6．