2020年八年级数学开学摸底考A卷（苏教版，江苏专用）

2020 年开学摸底考八年级数学（苏教版） A 卷 一．选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1．下图中不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列说法：①“掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面”；②“从一副普通扑克 牌中任意抽取一张，点数一定是 3”（　　） A．只有①正确 B．只有②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【解答】掷一枚质地均匀的硬币，朝上一面可能是正面，可能是反面，所以①正确； 从一副普通扑克牌中任意抽取一张，点数不一定是 3，所以②错误， 故选：A． 3．下面给出四边形 ABCD 中∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比，其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（　　） A．3：4：4：3 B．2：2：3：3 C．4：3：2：1 D．4：3：4：3 【解答】根据平行四边形的两组对角分别相等，可知 D 正确．故选：D． 4．向一个半径为 2 的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的 内接正方形中的概率是（　　） A． 2 2 B．휋 2 C． 2 휋 D．2 휋 【解答】∵半径为 2 的圆内接正方形边长为 2 2， ∴圆的面积为 4π，正方形的面积为 8， 则石子落在此圆的内接正方形中的概率是 8 4휋 = 2 휋， 故选：D． 5．如果把分式푥 + 푦 푥푦 中的 x、y 同时扩大为原来的 2 倍，那么该分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的 2 倍 C．缩小为原来的1 2 D．缩小为原来的1 4 【解答】因为分式푥 + 푦 푥푦 中，x、y 都扩大 2 得到 푥 + 푦 2푥 ⋅ 2푦， 而 푥 + 푦 2푥 ⋅ 2푦 = 1 2•푥 + 푦 2푥푦 所以分式푥 + 푦 푥푦 中，x、y 都扩大 2 倍，分式的值缩小为原来的1 2． 故选：C． 6．下列说法正确的是（　　） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是菱形 D．有一组邻边相等并且有一个角是直角的四边形是正方形 【解答】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故正确；B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故错误； D、有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，故错误； 故选：A． 7．赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每 天要多读 21 页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半 时，平均每天读 x 页，则下面所列方程中，正确的是（　　） A．140 푥 + 140 푥 ― 21 = 14 B．280 푥 + 280 푥 + 21 = 14 C．140 푥 + 140 푥 + 21 = 14 D．10 푥 + 10 푥 + 21 = 1 【解答】读前一半用的时间为：140 푥 ， 读后一半用的时间为： 140 푥 + 21． 由题意得，140 푥 + 140 푥 + 21 = 14， 故选：C． 8．如图，已知 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点，∠AOB＝60°，作 DE∥AC，CE∥BD， DE、CE 相交于点 E．四边形 OCED 的周长是 20，则 BC＝（　　） A．5 B．5 3 C．10 D．10 3 【解答】∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形 OCED 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AC＝BD， ∴OC＝OD， ∴四边形 OCED 是菱形； ∵四边形 OCED 的周长是 20， ∴CO＝DO＝5， ∴BD＝10， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA＝OB＝OC＝AB＝5， ∴BC = 102 ― 52 = 5 3． 故选：B． 二．填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 9．当 x　 ≠ 1 2　时，分式 푥 + 1 2푥 ― 1有意义． 【解答】由题意得：2x﹣1≠0， 解得：x ≠ 1 2， 故答案为： ≠ 1 2． 10．分式1 푥， 1 2푥， 1 3푥的最简公分母是　6x　． 【解答】分式1 푥， 1 2푥， 1 3푥的最简公分母是 6x． 故答案为 6x．11．如图，在▱ABCD 中，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，EF＝3cm，则 AD＝　6　cm． 【解答】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BC＝AD， ∵点 E、F 分别是 BD、CD 的中点， ∴EF = 1 2BC，即 3 = 1 2BC， ∴BC＝6， ∴AD＝6． 故答案为：6． 12．如图，△ABC 为等边三角形，D 是 BC 边上的一点，△ABD 经过旋转 n°（0＜n＜360） 后到达△ACE 的位置，则旋转角度是　60°或 300°　． 【解答】因为正三角形的内角为 60°，旋转中心是点 A，旋转角为 0＜n＜360，若逆时 针旋转，则旋转角为 60°，若顺时针旋转，则旋转角度为 300°， 故答案为：60°或 300° 13．某商场为消费者设置了购物后的抽奖活动，总奖项数量若干，小红妈妈在抽奖的时候， 各个奖项所占的比例如图，则小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的可能性为　 1 2　．【解答】小红妈妈抽到三等奖以上（含三等奖）的概率 10%+15%+25%＝50% = 1 2， 故答案为1 2． 14 ． 若 矩 形 两 条 对 角 线 的 夹 角 是 60 ° ， 且 较 短 的 边 长 为 3 ， 则 这 个 矩 形 的 面 积 为 　 9 3　． 【解答】如图所示： ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝OC = 1 2AC，OB＝OD = 1 2BD，AC＝BD， ∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA＝AB＝3， ∴AC＝2OA＝6， ∴BC = 퐴퐶2 ― 퐴퐵2 = 3 3 ∴矩形 ABCD 的面积＝AB•BC＝9 3 故答案为：9 315．如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠CDA＝120°，则对角线 AC 的长为　2 3　． 【解答】连接 BD 交 AC 于 O，如图， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，AD＝AB＝2， ∴∠CDA＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∴△ADB 为等边三角形， ∴OA = 3 2 AB = 3， ∴AC＝2OA＝2 3． 故答案为：2 3． 16．已知푎 푏 = 4 3，那么푎 ― 푏 푏 = 　1 3　． 【解答】∵푎 푏 = 4 3， ∴a = 4 3b， ∴原式 = 4 3푏 ― 푏 푏 = 1 3． 故答案为1 3．17．某种衣服售价为 m 元时，每天的销量为 n 件，经调研发现：每降价 1 元可多卖 5 件， 那么降价 x 元后，一天的销售额是　（m﹣x）（n+5x）　元． 【解答】由题意可知，每件衣服降价 x 元后，售价为（m﹣x）元，每天的销量为（n+5x） 件， 根据销售额＝售价×销量，可得销售额为：（m﹣x）（n+5x）元． 故答案为：（m﹣x）（n+5x）． 18．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于 D，BE 平分∠ABC 交 AC 于 E，交 AD 于 F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF，②AE＝BD，③AG＝CE，④AB+FG ＝BC，其中正确的结论有　①③④　（填序号）． 【解答】∵BE 平分∠ABC， ∴∠FBD＝∠ABF， ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FBD+∠BFD＝90°，∠ABF+∠AEB＝90°， ∴∠BFD＝∠AEB， ∵∠BFD＝∠AFE， ∴∠AFE＝∠AEB， ∴AF＝AE，故①正确， ∵FG∥BC，FH∥AC， ∴四边形 FGCH 是平行四边形， ∴FH＝CG，FG＝CH，∠BHF＝∠C，∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠C＝90°， ∴∠BAF＝∠BHF， 在△FBA 和△FBH 中，{∠BAF = ∠BHF ∠퐹퐵퐴 = ∠퐹퐵퐻 퐵퐹 = 퐵퐹 ， ∴△FBA≌△FBH（AAS）， ∴FA＝FH，故 AB＝BH，AE＝FH，②不正确， ∵AF＝AE，FH＝CG， ∴AG＝CE，故③正确， ∵BC＝BH+HC，BH＝BA，CH＝FG， ∴BC＝AB+FG，故④正确． 故答案为：①③④． 三．解答题（本大题共 8 小题，共 84 分） 19．计算：푎 + 1 푎 ― 3 ― 푎 ― 3 푎 + 2 ÷ 푎2 ― 6푎 + 9 푎2 ― 4 【解答】原式 = 푎 + 1 푎 ― 3 ― 푎 ― 3 푎 + 2•(푎 + 2)(푎 ― 2) (푎 ― 3)2 = 푎 + 1 푎 ― 3 ― 푎 ― 2 푎 ― 3 = 3 푎 ― 3． 20．解方程： （1） 2 푥 ― 1 = 5 푥2 ― 1 ；（2） 푥 푥 ― 2 ―1 = 8 푥2 ― 4 【解答】（1）方程的两边都乘以（x+1）（x﹣1），得 2（x+1）＝5 ∴x = 3 2检验：当 x = 3 2时，（x+1）（x﹣1） = 5 2•1 2 = 5 4 ≠ 0， ∴原方程的解为：x = 3 2． （2）方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2），得 x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝8， 整理，得 2x＝4 ∴x＝2 检验：当 x＝2 时，（x+2）（x﹣2）＝0， ∴原方程无解． 21．随机掷一枚图钉，落地后只能出现两种情况：“钉尖朝上”和“钉尖朝下”．这两种情 况的可能性一样大吗？ （1）求真小组的同学们进行了实验，并将实验数据汇总填入下表．请补全表格： ①　0.625　，②　0.6　，③　0.62　 试验总次数 n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 “钉尖朝上”的次数 m 4 12 32 60 100 140 156 196 200 216 248 “钉尖朝上”的频率 0.2 0.3 0.4 0.5 0.625 0.7 0.65 0.7 ① ② ③ （2）为了加大试验的次数，老师用计算机进行了模拟试验，将试验数据制成如图所示的 折线图．据此，同学们得出三个推断： ①当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖朝上”的次数是 308，所以“钉尖朝上”的 概率是 0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖朝上”的频率在 0.618 附近摆动，显示出一定的稳定性， 据此估计“钉尖朝上”的概率是 0.618； ③若再次用计算机模拟实验，当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的次数一定是 620 次． 其中合理的是　②　． （3）向善小组的同学们也做了 1000 次掷图钉的试验，其中 640 次“钉尖朝上”．据此， 他们认为“钉尖朝上”的可能性比“钉尖朝下”的可能性大．你赞成他们的说法吗？请 说出你的理由． 【解答】（1）①的频率为200 320 = 0.625、②的频率为216 360 = 0.6、③的频率为248 400 = 0.62， 故答案为：0.625、0.6、0.62； （2）合理的是②． ①项，当投掷次数是 500 时，计算机记录“钉尖朝上”的次数是 308，所以“钉尖朝上” 的频率是 0.616，不能得其概率．故①项不符合题意． ②项，从图象可知，随着试验次数的增加，“钉尖朝上”的频率在 0.618 附近摆动，显示 出一定的稳定性，据此估计“钉尖朝上”的概率是 0.618．故②项符合题意． ③项，由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的频率是 0.62，由此可得当投掷次数为 1000 时，则“钉尖朝上”的频率在 0.62 左右，但不代表还 是 0.62，每次试验都具有偶然性，故③项不符合题意． 故答案为：②； （3）赞成． 理由：随机投掷一枚图钉 1000 次，其中“针尖朝上”的次数为 640 次，“针尖朝上”的频率为 0.64， 试验次数足够大，足以说明“钉尖朝上”的可能性大，赞成他们的说法． 22．如图，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于点 O，AD＝BD，∠ADB＝∠ EDC，DE＝DC． （1）求证：△ADE≌△BDC； （2）若∠AEB＝36°，求∠EDC； （3）若 OB＝OE，求证：四边形 ABCD 是平行四边形． 【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC， ∴∠ADE＝∠BDC， 在△ADE 和△BDC 中，{AD = BD ∠퐴퐷퐸 = ∠퐵퐷퐶 퐷퐸 = 퐷퐶 ， ∴△ADE≌△BDC（SAS）； （2）∵△ADE≌△BDC， ∴∠AED＝∠C， ∵∠AEB＝36°， ∴∠AED＝∠DEC＝∠C = 1 2（180°﹣36°）＝72°， ∴∠EDC＝1880°﹣2×72°＝36°； （3）证明：∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠OBE， ∴∠OEB＝∠DAE， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠OBE， ∴∠ADB＝∠DAE， ∴OA＝OD， ∴AE＝BD， ∵AD＝BD， ∴AE＝AD， ∵△ADE≌△BDC， ∴AE＝BC， ∴AD＝BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 23．如图，DE 为△ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且∠AFB＝90°，若 AB＝5cm，BC＝ 8cm，求 EF 的长． 【解答】∵DE 为△ABC 的中位线，BC＝8cm， ∴DE = 1 2BC＝4cm， ∵∠AFB＝90°，D 为 AB 的中点， ∴DF = 1 2AB＝2.5cm，∴EF＝DE﹣DF＝1.5cm． 24．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行 “月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员 A：月销售件数 200 件，月总收入 3400 元； 营业员 B：月销售件数 300 件，月总收入 3700 元； 假设营业员的月基本工资为 x 元，销售每件服装奖动 y 元． （1）求 x、y 的值； （2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装 3 件，乙服装 2 件，丙服装 1 件共需 390 元；如果购买甲服装 1 件，乙服装 2 件，丙服装 3 件共需 370 元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？ 【解答】（1）根据题意得：{x + 200y = 3400 푥 + 300푦 = 3700 ， 解得：{x = 2800 푦 = 3 ． （2）设购买一件甲服装需要 a 元，购买一件乙服装需要 b 元，购买一件丙服装需要 c 元， 根据题意得：{3a + 2b + c = 390① 푎 + 2푏 + 3푐 = 370② ， （①+②）÷4，得：a+b+c＝190． 答：购买甲、乙、丙服装各一件共需 190 元． 25．如图，矩形 ABCD 中，点 P 是线段 AD 上一动点，O 为 BD 的中点，PO 的延长线交 BC 于 Q． （1）求证：OP＝OQ； （2）若 AD＝8 厘米，AB＝6 厘米，P 从点 A 出发，以 1 厘米/秒的速度向 D 运动（不与 D 重合）．设点 P 运动时间为 t 秒，求 t 为何值时，四边形 PBQD 是菱形．并求此时菱形 PBQD 的面积．【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC，∴∠PDO＝∠QBO， 又∵O 为 BD 的中点， ∴OB＝OD， 在△POD 与△QOB 中， {∠PDO = ∠QBO 푂퐵 = 푂퐷 ∠푃푂퐷 = ∠푄푂퐵 ∴△POD≌△QOB（ASA）， ∴OP＝OQ； （2）依题意得 PD＝8﹣t， ∵OB＝OD，OP＝OQ ∴四边形 PBQD 是平行四边形 ∴PD＝BP＝8﹣t 时，四边形 PBQD 是菱形， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A＝90°， 在 Rt△ABP 中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，即 62+t2＝（8﹣t）2，解得：t = 7 4， 即运动时间为7 4秒时，四边形 PBQD 是菱形． 此时 PD = 25 4 ，S 菱形 BEDF＝PD•AB = 25 4 × 6 = 75 2 ． 26．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题 如图 1，△ABC≌△ADE，其中 ∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点 C 与点 E 重合， 操作探究 1 （1）小凡将图 1 中的两个全等的△ABC 和△ADE 按图 2 方式摆放，点 B 落在 AE 上，CB 所在直线交 DE 所在直线于点 M，连结 AM，求证：BM＝DM． 操作探究 2 （2）小彬将图 1 中的△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转角度 a（0°＜a＜90°），然后， 分别延长 BC，DE，它们相交于点 F． 如图 3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①a＝30°时，求证：△CEF 为等边三角形； ②当 a＝　45°　时，AC∥FE．（直接回答即可） 操作探究 3 （3）小颖将图 1 中的△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转角度 β（0°＜β＜90°），线段 BC 和 DE 相交于点 F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答： ①如图 4，当 β＝60°时，直接写出线段 CE 的长为　2 2　； ②如图 5，当旋转到点 F 是边 DE 的中点时，直接写出线段 CE 的长为　4 5 5 　． 【解答】（1）证明：如图 2 中， ∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL）， ∴BM＝DM． （2）①证明：如图 3 中， ∵CA＝AE，∠CAE＝30°， ∴∠ACE＝∠AEC＝75°， ∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90° ∴∠ACB＝∠AED＝45°， ∴∠BCE＝∠CDE＝120°， ∴∠FCE＝∠FEC＝60°， ∴△EFC 是等边三角形． ②∵AC∥EF， ∴∠CAE＝∠AED＝45°， ∴当 α＝45°时，AC∥EF． 故答案为 45°． （3）①如图 4 中，连接 EC． ∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC， ∴△AEC 是等边三角形， ∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE = 퐴퐷2 + 퐷퐸2 = 22 + 22 = 2 2， ∴EC＝AE＝2 2． 故答案为 2 2． ②如图 5 中，连接 AF，BD 交于点 O． ∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD， ∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF， ∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1， ∵BC＝2，∴BF＝CF＝1， ∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE， ∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD． ∵AB＝AD，FB＝FD， ∴AF 垂直平分线段 BD， ∴OB＝OD， 在 Rt△ABF 中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1， ∴AF = 퐴퐵2 + 퐵퐹2 = 22 + 12 = 5， ∵S△ABF = 1 2•AB•BF = 1 2•OB•AF，∴OB = 퐴퐵 ⋅ 퐵퐹 퐴퐹 = 2 5 5 ， ∴BD＝2OB = 4 5 5 ， ∴EC＝BD = 4 5 5 ． 故答案为4 5 5 ．