2020八年级数学下册《角的平分线》同步练习题

《角的平分线》同步练习 1．如图，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，下列说法： ①点 P 在∠BAC 的平分线上； ②点 P 在∠CBE 的平分线上； ③点 P 在∠BCD 的平分线上； ④点 P 在∠BAC，∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上. 其中正确的是(　　) A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③ 【答案】A 【解析】∵点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等， ∴点 P 在∠BAC 的平分线上，故①正确； 点 P 在∠CBE 的平分线上，故②正确； 点 P 在∠BCD 的平分线上，故③正确； 点 P 在∠BAC，∠CBE，∠BCD 的平分线的交点上，故④正确， 综上所述，正确的是①②③④． 故选 A. 2. 如图，△ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三 角形， 则 S△ABO︰S△BCO︰S△CAO 等于（ ） A. 1︰1︰1 B. 1︰2︰3 C. 2︰3︰4 D. 3︰4︰5 【答案】C 【解析】三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中 O 点为△ABC 的内心，则 O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为 r，有 S△ABO= ×AB×r，S△BCO= ×BC×r，S△CAO= ×CA×r，所 以 S△ABO:S△BCO:S△CAO=AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4. 故答案选 C. 3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，以顶点 A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 AC、AB 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于 点 D，若 CD＝5，AB＝18，则△ABD 的面积是（　　） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】C 【解析】由题意得 AP 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB 于 E， 又∵∠C＝90°，∴DE＝CD， ∴△ABD 的面积等于 AB⋅DE＝ ×18×5＝45.故选 C. 4. 如图，OP 平分 ， ， ，垂足分别为 A、B，下列结论中不一定成立的 是（ ） A. B. 平分 C. D. AB 垂直平分 OP 【答案】D 【解析】∵OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB ∴PA=PB ∴△OPA≌△OPB ∴∠APO=∠BPO，OA=OB AOB∠ PA OA⊥ PB OB⊥ PA PB= PO APB∠ OA OB=∴A、B、C 项正确 设 PO 与 AB 相交于 E ∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE ∴△AOE≌△BOE ∴∠AEO=∠BEO=90° ∴OP 垂直 AB 而不能得到 AB 平分 OP 故 D 不成立 故选 D． 5. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90º，BD 是角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，BC=6，CD=3，AE=4， 则 DE=_______，AD=_______，△ABC 的周长是_______． 【答案】 (1). 3 (2). 5 (3). 24 【解析】 ∵Rt△ABC 中，∠C=90º，BD 是角平分线，DE⊥AB， ∴CD=DE=3， ∴Rt△BCD ≌Rt△BED， ∴BC=BE=6， 又∵AE=4， ∴AB=10， ∴AC=8， ∴AD=5， ∴△ABC 周长=24. 故答案为 3,5,24. 6. 如图，△ABC 中，∠C=90º，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线，DE= BD， 且 DE=1.5cm，则 AC 等于________. 的 1 2【答案】4.5 【解析】 ∵∠C=90º，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， ∴DE=CD=1 5， 又∵DE= BD， ∴BD=3. ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴BD=AD=3. ∴AC=4.5， 故答案为 4.5. 7. 如图，已知 CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，CD 交 BE 于点 O. (1)若 OC=OB，求证：点 O 在∠BAC 的平分线上； (2)若点 O 在∠BAC 的平分线上，求证：OC=OB. 【解析】 (1)连接 AO， ∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠CEB=∠BDO=90°， 又∵∠COE=∠BOD（对顶角相等）， ∴∠C=∠B（等角的余角相等）， ∴ △CEO 和△BDO 中， ， . 在 1 2 C B OC OB COE BOD ∠ = ∠  = ∠ = ∠∴△CEO≌△BDO（ASA）， ∴OE=OD（全等三角形的对应边相等）， 又∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴点 O 在∠BAC 的平分线上； (2)∵AO 平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC， ∴OD=OE， 在△DOB 和△EOC 中， ， ∴△DOB≌△EOC（ASA）， ∴OB=OC． 8. 如图，已知 AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，且 BC=CD. （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）求证：AB+AD=2AE. 【答案】详见解析 【解析】（1）证明：∵AC 是角平分线，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F， ∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°， 在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中， ∴△BCE≌△DCF； （2）解：∵CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F， DOB EOC OD OE ODB OEC ∠ = ∠  = ∠ = ∠∴∠F=∠CEA=90°， 在 Rt△FAC 和 Rt△EAC 中， ， ∴Rt△FAC≌Rt△EAC， ∴AF=AE， ∵△BCE≌△DCF， ∴BE=DF， ∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.