2020年高考数学（理）冲刺逆袭必备卷01（解析版）

2020 年高考数学（理）冲刺逆袭必备卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．设全集 是实数集 ，已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 本题选择 C 选项. 2．使不等式 成立的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解不等式 ，可得 ，即 ，故“ ”是“ ”的一个 必要不充分条件，故选 B. U R 2{ | 2 }A x x x= > 2{ | log ( 1) 0}B x x= − ≤ ( )UC A B = { |1 2}x x< < { |1 2}x x≤ < { |1 2}x x< ≤ { |1 2}x x≤ ≤ { }2 2 { | 0 2}, { | 0 2},UA x x x x x x C A x x= = ∴ = ≤ ≤或 ( ) ( )2{ | log 1 0} { |1 2}, { |1 2}.UB x x x x C A B x x= − ≤ = < ≤ ∴ ∩ = < ≤ 1 4x + ≤ 2 3x≤ ≤ 6 3x− ≤ ≤ 5 3x− ≤ ≤ 6 2x− ≤ ≤ 1 4x + ≤ 4 1 4x− ≤ + ≤ 5 3x− ≤ ≤ 6 3x− ≤ ≤ 5 3x− ≤ ≤3．设 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】 ， ， 复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限．故选 ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算法则，复数的几何意义应用． 4．某学院 三个专业共有 1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方 祛抽取一个容量为 120 的样本,已知该学院的 专业有 380 名学生, 专业有 420 名学生，则在该学院的 专 业应抽取的学生人数为（ ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【解析】 专业的学生有 由分层抽样原理，应抽取 名,故选 5．设方程 的两个根 、 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数图象如图所示： i 31(1 )z i = +  2 11 1 1i ii i −+ = + = −− ∴ 3 3 2 31(1 ) (1 ) 1 3 3 2 2z i i i i ii = + = − = − + − = − − ∴ 31(1 )z i = + ( 2, 2)− − C 、 、A B C A B C C 1200 380 420 400− − = 400120 401200 × = B 3 |ln |x x− = 1x 2x 1 2 0x x < 1 2 1=x x 1 2 1x x > 1 2 1x x 1 2ln ln 0x x− − > 1 2ln 0x x < 1 20 1x x< < a b 3a = 1b = x a xb a b+ ≥ +   a b θ tan 2θ = 2 2− 2 2− 2 2 x a xb a b+ ≥ +   2 2 2 1 0x a bx a b+ ⋅ − ⋅ − ≥   x 0∆ ≤ ( )2 2 4(2 1) 0a b a b  ⋅ + ⋅ + ≤又 所以 ，即 ，解得 又 ，所以 ，所以 因为 ，所以 故选 【考点】三角函数求值；恒成立问题；平面向量的数量积. 7．《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的秦九韶算法，如图所示的程 序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的 ，输出的 则判断框“ ” 中应填入的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】模拟程序的运行过程如下， cos 3 cosa b a b θ θ⋅ = ⋅ =   212cos 4(2 3 cos 1) 0θ θ+ + ≤ 23cos 2 3 cos 1 0θ θ+ + ≤ 2( 3 cos 1) 0θ + ≤ 3cos 3 θ = − 0 θ π≤ ≤ 6sin 3 θ = tanθ = 2− 2 2tantan 2 1 tan θθ θ= − tan 2 2 2θ = D 1 3x = 121 81 =y 2?k ≤ 3?k ≤ 4?k ≤ 5?≤k输入 ， ， ， ， 此时不满足循环条件，输出 ； 则判断框中应填入的是 ． 故选： ． 【点睛】本题考查了算法与程序框图的应用问题，理解框图的功能是解题的关键，是基础题． 8．函数 图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， 1 1 4, 1, 1 13 3 3x k y= = = × + = 4 1 132, 13 3 9k y= = × + = 13 1 403, 19 3 27k y= = × + = 40 1 1214, 127 3 81k y= = × + = 121 81 =y 4?k ≤ C 2( ) 1 cos1 xf x xe  = − +  2 1( ) 1 cos cos1 1 x x x ef x x xe e  − = − =   + +   所以 ， 所以函数 是奇函数，可排除 A、C； 又当 ， ，可排除 D； 故选：B. 【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像，属于中档题. 9．已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点 的直线 交双曲线 的两条渐近线于 两点，且 ，则直线 的斜率 的值等于( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线 的离心率为 2，所以 ，则双曲线的两条渐 近线方程为 ，设过右焦点 的直线 的方程为 ，联立 ，得 ， 联立 ，得 ，由 ，得 ，即 ，解得 ，即直线 的斜率 的值等于 .故选 A. 10．设 x，y 满足约束条件 ，目标函数 z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 2，则 的 最小值为（ ） ( ) ( )1 1 1( ) cos cos cos1 1 1 x x x x x x e e ef x x x x f xe e e − −  − − −− = − = = = − + + +  ( )f x 0, 2x π ∈   ( ) 0f x < 2 2 2 2C: 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F l C ,A B 2 0FA FB+ =  l ( 0)k k > 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2, 3c b a a = = 3y x= ± F l x ty c= + 3y x x ty c  = = + 3 1 3A cy t = − 3y x x ty c  = − = + 3 1 3B cy t = − − 2 0FA FB+ =  2A By y= − 3 2 3 1 3 1 3 c c t t = − + 1 3 3 t = l ( 0)k k > 3 3 8 4 0 1 0 4 0 x y x y x y − − ≤  + + ≥  − ≥ 1 1 a b +A．5 B． C． D．9 【答案】C 【解析】画图可得, 取得最大值时的最优解在点 处, 此时 ,故 .故 , 故 ,当且仅当 时取等号. 故选：C 【点睛】本题主要考查了线性规划以及基本不等式的综合问题,需要根据题意确定最优解并代入利用基本不 等式求解,属于中档题. 5 2 9 2 z ax by= + A 8 4 0 1 4 0 4 x y x x y y − − = = ⇒ − = =  ( )1,4A 4 2a b+ = ( )1 1 1 1 1 1 44 1 42 2 b aa ba b a b a b    + = ⋅ + ⋅ + = ⋅ + + +       1 4 95 22 2 b a a b  ≥ ⋅ + ⋅ =    4b a a b =11．已知函数 的图象经过点 和 .若函数 在区间 上有唯一零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得 ， ，得 ，故 ，因为 ， ，所以 .由 ，得 ，因为 ，故 ，所以 ，从而当 时， ，令 ，则由题意得 在 上有唯一解，故由正弦函数图象可得 或 ，解得 . 故选 D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质以及函数零点问题，考查推理论证能力，属于中档题. 12．如图，在正方体 ，点 在线段 上运动，则下列判断正确的是（ ） ①平面 平面 ( ) 2sin( )(0 6, )2f x x πω ϕ ω ϕ= + < < < ( ,2)6 π 2( , 2)3 π − ( ) ( )g x f x m= − [ ,0]2 π− m ( 1,1]− 1 1{ 1} ( , ]2 2 − − 1( ,1]2 − { 2} ( 1,1]− − 2 1 3 6 2k T π π  − = +   k N∈ 2 1T k π= + 2 4 2kT πω = = + 0 6ω< < k N∈ 2ω = 2sin 26 3f π π ϕ   = + =       23 2k π πϕ π+ = + 2 πϕ < 6 πϕ = ( ) 2sin 2 6f x x π = +   ,02x π ∈ −   5 26 6 6x π π π− ≤ + ≤ 2 6t x π= + 2sin 0t m− = 5 ,6 6t π π ∈ −   12 m = − 1 1 2 2 2 m− < ≤ { } ( ]2 1,1m∈ − ∪ − 1 1 1 1ABCD A B C D− P 1BC 1PB D ⊥ 1ACD② 平面 ③异面直线 与 所成角的取值范围是 ④三棱锥 的体积不变 A．①② B．①②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，连接 DB1，根据正方体的性质，有 DB1⊥面 ACD1 ，DB1⊂平面 PB1D，从而可以证明平面 PB1D⊥平面 ACD1，正确． ②连接 A1B，A1C1 容易证明平面 BA1C1∥面 ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面 ACD1，正确． ③当 P 与线段 BC1 的两端点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最小值 ， 当 P 与线段 BC1 的中点重合时，A1P 与 AD1 所成角取最大值 ， 故 A1P 与 AD1 所成角的范围是 ，错误； ④ = ，C 到面 AD1P 的距离不变，且三角形 AD1P 的面积不变． ∴三棱锥 A﹣D1PC 的体积不变，正确； 正确的命题为①②④． 故选 B． 1 / /A P 1ACD 1AP 1AD 0, 3 π     1D APC− 3 π 2 π 3 2 π π    ， 1A D PCV − 1A CD PV −【点睛】本题考查空间点、线、面的位置关系，空间想象能力，中档题． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．在 的展开式中，常数项为__________． 【答案】 【解析】由二项展开式的通项公式得： ，显然 时可能有常数项，当 时， ，有常数项 ，当 ， 的展开式中含 ， 故常数项为 ，当 ，常数项为 1，所以展开式中的常数项 ． 14．已知一族双曲线 （ ，且 ），设直线 与 在第一象限内的交 点为 ，点 在 的两条渐近线上的射影分别为 ， .记 的面积为 ，则 __________. 【答案】 【解析】设 ， 双曲线 的渐近线为 ，互相垂直. 41 1x x  − −   5− ( ) 4 1 4 11 1 r r r r rT C x x − +  = − +   2,3,4r = 2r = 2 2 1 1 21 1x x x  + = + +   ( )2 2 2 4 2 11 6C x x − ⋅ = 3r = 31 1x  +   2 3 1C x ( )3 3 2 4 3 11 12C x C x − ⋅ = − 4r = 6 12 1 5− + = − 2 2: 2019n nE x y− = *n N∈ 2019n ≤ 2x = nE nA nA nE nB nC n n nA B C∆ na 1 2 3 2019a a a a+ + +…+ = 505 2 ( )0 0,nA x y 2 2: 2019n nE x y− = 0, 0x y x y+ = − =点 在两条渐近线上的射影为 ，则 易知 为直角三角形， 即 为等差数列，其前 2019 项的和为 【点睛】 本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题. 15．“克拉茨猜想”又称“ 猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在 1950 年世界数学家大会上公布的一个猜 想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半；如果 为奇数就将它乘 3 加 1,不断重复这样的运算， 经过有限步后，最终都能够得到 1.己知正整数 经过 6 次运算后得到 1，则 的值为__________． 【答案】10 或 64. 【解析】如果正整数 按照上述规则经过 6 次运算得到 1， 则经过 5 次运算后得到的一定是 2； 经过 4 次运算后得到的一定是 4； 经过 3 次运算后得到的为 8 或 1（不合题意）； 经过 2 次运算后得到的是 16； 经过 1 次运算后得到的是 5 或 32； 所以开始时的数为 10 或 64． 所以正整数 的值为 10 或 64． ( )0 0,nA x y ,n nB C 0 0 0 0, 2 2n n n n x y x yA B A C − += = n n nA B C 2 2 0 0 0 0 0 01 =2 4 2019 42 2n n nA B C x y x y x y nS − + −= × × = × 2019 4n na = × ( )1 2019 2019 1 2019 20192019 5052019 4 2019 4= 2 2 2 a aS  + × + × × × = = 3 1n + n n n m m m m故答案为 10 或 64． 【点睛】 本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属 于中档题． 16．已知 ， 是函数 （其中常数 ）图象上的两个动点，点 ，若 的最小值为 0，则函数 的最大值为__________． 【答案】 【解析】A，B 是函数 f（x） （其中 a＞0）图象上的两个动点， 当 x＜a 时，f（x）＝f（2a﹣x）＝﹣e（2a﹣x）﹣2a＝﹣e﹣x， ∴函数 f（x）的图象关于直线 x＝a 对称． 当点 A，B 分别位于分段函数的两支上， 且直线 PA，PB 分别与函数图象相切时， • 的最小值为 0， 设 PA 与 f（x）＝﹣e﹣x 相切于点 A（x0，y0）， ∴f′（x）＝e﹣x，∴kAP＝f′（x0）＝e ，解得 x0＝a﹣1， ∵ • 的最小值为 0，∴ ⊥ ， ∴kPA＝tan45°＝1，∴e 1，∴x0＝0， ∴a＝1，∴f（x）max ． 故答案为 A B 2 ,( )( ) (2 ),( ) x ae x af x f a x x a −− ≥=  − ( ,0)P a PA PB⋅  ( )f x 1 e − ( ) 2 2 x ae x a f a x x a − − ≥=  − ， ， ＜ PA PB 0 0 0 x x e x a − − −= − PA PB PA PB 0x− = 1 e = − 1 e −【点睛】 本题考查了分段函数的问题，以及导数的几何意义，考查化简运算能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）在锐角 中， ， ， 为内角 ， ， 的对边，且满足 ． （ ）求角 的大小． （ ）已知 ，边 边上的高 ，求 的面积 的值． 【解析】（ ）∵ ， 由正弦定理得 ， ∴ ， ， ∵ 且 ，∴ ， ∵ ， ． ABC∆ a b c A B C ( )2 cos 0c a cosB b A− − = 1 B 2 2c = AC 3 21 7BD = ABC∆ S 1 ( )2 cos 0c a cosB b A− − = ( )2sin sin cos sin cos 0C A B B A− − = ( )2sin sin sin cosC A cosB B A− = ( )2sin cos sin 0C B A B− + = πA B C+ = − sin 0C ≠ 1cos 2B = ( )0,πB∈ π 3B =（ ）∵ ， 代入 ， ， ，得 ， 由余弦定理得： ， 代入 ，得 ， 解得 ，或 ， 又∵锐角三角形，∴ ，∴ ， ∴ 18．（本小题满分 12 分）在四棱锥 的底面是菱形， 底面 ， ， 分别是 的中点， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （III）在 边上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ，若存在，确定点 的位置；若不 存在，说明理由. 2 1 1sin2 2S ac B BD b= = ⋅ c 3 21 7BD = 3sin 2B = 7 3b a= 2 2 2 22 cos 4 2b a c ac B a a= + − = + − 7 3b a= 2 9 18 0a a− + = 3 7 a b = = 6 2 7 a b = = 2 2 2a c b< + 3a = 1 1 3 3 3sin 2 32 2 2 2ABCS ac B = = × × × = P ABCD— PO ⊥ ABCD O E ,AD AB 6, 5, 60AB AP BAD= = ∠ = ° AC PE⊥ PB POE DC F BF PA 3 3 10 F【解析】 (Ⅰ)由菱形的性质可得： ，结合三角形中位线的性质可知： ，故 ， 底面 ， 底面 ，故 ， 且 ，故 平面 ， 平面 ， (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知 ， ， ， 以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则： ， 设平面 的一个法向量为 , 则： ， 据此可得平面 的一个法向量为 ， 而 ， 设直线 与平面 所成角为 ， AC BD⊥ OE BD OE AC⊥ PO ⊥ ABCD AC ⊆ ABCD AC OP⊥ OP OE O∩ = AC ⊥ POE PE ⊆ POE AC PE∴ ⊥ OP OA⊥ OP OB⊥ OA OB⊥ O xyz− ( ) ( ) ( ) 3 30,0,4 , 0,3 3,0 ,0 0,0,0 , , 3,02 2P B E      POE ( ), ,m x y z= 4 0 3 3 3 02 2 m OP z m OB x y  ⋅ = = ⋅ = + =   POE ( )3, 1,0m = − ( )0,3 3, 4PB = − PB POE θ则 . (Ⅲ)由题意可得： ，假设满足题意的点 存在， 设 ， ， 据此可得： ，即： , 从而点 F 的坐标为 ， 据此可得： , ， 结合题意有： ，解得： . 故点 F 为 中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19．（本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1,2，……，8，其中 X≥5 为标准 A，X≥3 为标准 B，已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生 产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示： 且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本， 3 3 3sin 129862 13 PB m PB m θ ⋅ = = = ××     ( ) ( ) ( )3,0,0 , 6,3 3,0 , 3,0,0D C A− − F ( ), ,F x y z (0 1)DF DCλ λ= < > 6(1, )3A (0, 1)B − G y x m= + G M N MN P m BM BN= m G 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 61, 3A       (0, 1)B − 1b = 2 2 6 31 11a      + = 2 3a = G 2 2 13 x y+ = m 2 2 13 y x m x y = + + = ( )2 24 6 3 1 0x mx m+ + − =因为直线与椭圆有两个交点，所以 ，即 ， 设 的中点为 ， ， 分别为点 ， 的横坐标， 则 ，从而 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，而 ，所以 ， 即 ，与 矛盾，因此，不存在这样的实数 ，使得 . 【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，涉及根与系数的关系，中点，垂 直直线斜率的关系，属于中档题. 21．（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）当 时，求函数 的最小值； （2）若 在区间 上有两个极值点 . （ ）求实数 的取值范围； （ ）求证： . 【解析】（Ⅰ）当 时， ， ，令 ，得 . 的单调性如下表： ( )2 236 48 1 0m m∆ = − − > 2 4m < MN ( , )P PP x y Mx Nx M N 3 2 4 M N p x x mx += = − 4p p my x m= + = 1 4 3 p BP p y mk x m + += = − BM BN= BP MN⊥ 1BP MNk k⋅ = − 1MNk = 4 13 m m +− = − 2m = 2 4m < m BM BN= ( )2( ) lnf x x a x= + 0a = ( )f x ( )f x 2 1 ,e  +∞  ( )1 2 1 2,x x x x< i a i i ( )22 2 1 2f xe e − < < − 0a = ( ) 2lnf x x x= ( ) ( )' 2ln 1f x x x= + ( )' 0f x = 1x e = ( )f x x 10, e      1 e 1 , e  +∞   - 0 + 单调递减 单调递增 易知 . （Ⅱ）（i） .令 ，则 . 令 ，得 . 的单调性如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 在区间 上有两个极值点，即 在区间 上有两个零点， 结合 的单调性可知， 且 ，即 且 . 所以 ，即 的取值范围是 . （ii）由（i）知 ，所以 . ( )'f x ( )f x 1 2e − ( )min 1 2f x e = − ( ) ( )2 2ln 1' x x af x x + += ( ) ( )2 2ln 1g x x x a= + + ( ) ( )' 4 ln 1g x x x= + ( )' 0g x = 1x e = ( )g x x 2 1 1,e e      1 e 1 ,e  +∞   ( )'g x ( )g x 2 1a e − ( )f x 2 1 ,e  +∞   ( )g x 2 1 ,e  +∞   ( )g x 2 1 0g e   >   1 0g e   2 1 0a e − < 4 2 3 1ae e < < a 4 2 3 1,e e      ( ) ( )2 2 2 20 2ln 1g x a x x= ⇒ = − + ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2ln 2 lnf x x a x x x= + = −又 ， ， ，结合 的单调性可知， . 令 ，则 .当 时， ， ， ， 所以 在 上单调递增，而 ， ， 因此 . 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关 系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个 题目计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），其中 .以坐标原点为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 . （1）求 的直角坐标方程； （2）已知点 ， 与 交于点 ，与 交于 两点，且 ，求 的普通方程. 【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， 方程 可化为 ， 2 1 0g e   >   1 0g e      ( )g x 2 1 1,x e e  ∈   ( ) ( )22 lnx x xϕ = − ( ) ( )' 4 ln ln 1x x x xϕ = − + 1 1,x e e  ∈   ln 0x < ln 1 0x + > ( )' 0xϕ > ( )xϕ 1 1,e e      2 1 2 e e ϕ   = −   1 1 2ee ϕ   = −   ( )22 2 1 2f xe e − < < − xOy l 2 ,x t y nt = − +  = t 0n > x 1C π ( )2 θ ρ= ∈R 2C 2 cos2 1ρ θ = 1 2,C C ( 2,0)P − l 1C Q 2C ,A B 2PA PB PQ⋅ = l 1C 0x = 2cos2 1ρ θ = ( )2 2 2cos sin 1ρ θ θ− =将 代入（*），得 .　 （2）由直线 的参数方程为 （ 为参数），得知直线 过点 另设直线 的参数方程为 （其中 为参数， 为 的倾斜角，且 ）， 则点 对应的参数值为 ，即 ， 代入 ，得 ， 整理，得 ， 设 对应的参数值分别为 ， 则 ， ， 因为 ，所以 ，　 所以 或 ， 解得 或 ， 故 的普通方程为 或 . 【点睛】本题考查极坐标转化为直角坐标方程,以及直线与曲线的位置关系,参数的几何意义,基础题. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 , , x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 1x y− = l 2 ,x t y nt = − +  = t l ( )2,0P − l 2 , , x tcos y tsin α α = − +  = t α l π0, 2 α  ∈   Q 2 cosα 2 cosPQ α= 2 2 1x y− = ( ) ( )2 22 cos sin 1t tα α− + − = ( )2 2 2cos sin 4 cos 3 0t tα α α− − + = ,A B 1 2,t t 1 2 2 2 4cos cos sint t α α α+ = − 1 2 2 2 3 cos sint t α α= − 2PA PB PQ⋅ = 2 2 2 3 4 cos sin cosα α α=− 2 2 2 3 4 cos sin cosα α α=− 2 2 2 3 4 cos sin cosα α α= −− 1tan 2 α = 7tan 2 α = l 1 12y x= + 7 72y x= +已知函数 的最大值为 3，其中 ． （1）求 的值； （2）若 ， ， ，求证： 【解析】（1）∵ ， ∴ . ∴当 时， 取得最大值 . ∴ . （2）由（Ⅰ），得 ， . ∵ ，当且仅当 时等号成立， ∴ . 令 ， . 则 在 上单调递减.∴ . ∴当 时， . ∴ . ( ) 2f x x m x m= − − + 0m > m ,a b R∈ 0ab > 2 2 2a b m+ = 3 3 1a b b a + ≥ 0m > ( ) 3 , 2 2 , 2 3 , 2 m x m f x x m x m x m m x m m x m − ≥ = − − + = − − − <