2020年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷01（解析版）

2020 年高考数学（文）冲刺逆袭必备卷 01 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的） 1．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A．(1+i)2 B．i2(1-i) C．i(1+i)2 D．i(1+i) 【答案】A 【解析】由题意，对于 A 中，复数 为纯虚数，所以正确； 对于 B 中，复数 不是纯虚数，所以不正确； 对于 C 中，复数 不是纯虚数，所以不正确； 对于 D 中，复数 不是纯虚数，所以不正确，故选 A. 【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌 握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与 计算能力，属于基础题. 2．设全集 ，集合 ，则 ( ) 2(1 ) 2i i+ = 2 (1 ) 1i i i⋅ − = − + 2(1 ) 2i i⋅ + = − (1 ) 1i i i⋅ + = − + U = R { } { }| 2 1 , | 1 5xA x B x x= > = − ≤ ≤ ( )U A B =A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 所以 ， 又因为 ，所以 ，故选 C. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素的集合. 3．已知 ，则“ ”是“ ”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】D 【解析】不等式 表示圆内和圆上，不等式 表示直线的右下方.画出图像如下图 所示，由图可知， 点在圆上，而不在直线右下方，故两个部分没有包含关系，故为不充分不必要条件. 【点睛】本小题主要考查对于圆内、圆上和圆外的表示，考查二元一次不等式表示的区域，还考查了充要 条件的判断.属于基础题. 4．已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ） [ )1,0− ( ]0,5 [ ]1,0− [ ]0,5 { } { }| 2 1 | 0 ,xA x x x= > = > { }| 0U A x x= ≤ { }| 1 5B x x= − ≤ ≤ ( )U A B = { }| 1 0x x− ≤ ≤ = [ ]1,0− B A ,x y R∈ 2 2( 2) 8x y+ − ≤ 6 0x y− + > ( )22 2 8x y+ − ≤ 6 0x y− + > A ( ) 2f x x ln x= −A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意 ， 所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除 C、D； 又 ，所以排除 B． 故选 A． 【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数 在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 5．已知函数 ，若直线 过点 ，且与曲线 相切，则直线 的斜率为 　　 A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】函数 的导数为 ， 设切点为 ，则 ， 可得切线的斜率为 ， ( ) ( )2 lnf x x x f x− = − = ( )f x y ( ) 21 1 ln1 1 0f = − = > ( ) lnf x x x= l ( )0, e− ( )y f x= l ( ) 2− e− e ( ) lnf x x x= ( )' ln 1f x x= + ( ),m n n mlnm= 1 lnk m= +所以 ， 解得 ， ，故选 B． 【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要 体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设 出切点 利用 求解. 6．在平面直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ， ∴ ，∴ ． 则 .故选 D． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题． 7．在数列{an}中，若 ，a1＝8，则数列{an}的通项公式为（ ） A．an＝2（n+1）2 B．an＝4（n+1） C．an＝8n2 D．an＝4n（n+1） 【答案】A 【解析】因为 , ln1 ln n e m m em m m + ++ = = m e= 1 ln 2k e= + = ( )( )0 0,A x f x k ( )0k f x′= k ( )( )1 1, ,A x f x ( )1f x k′ = ( )( )1 1,M x f x ( )( )0 0, ,A x f x ( ) ( ) ( )1 0 0 1 0 f x f xk f xx x − ′= =− xOy θ x ( )3,1− cos 2θ = 3 5- 3 5 4 5 − 4 5 θ x ( )3,1− 10OP = 10sin 10 θ = 2 2 10 4cos2 1 2sin 1 2 10 5 θ θ  = − = − × =    1 2n na a+ = + 1 2n na a+ = +所以 , 所以 是首项为 ,公差为 的等差数列, 所以 , 所以 . 故选 A. 【点睛】本题考查了等差数列的定义以及通项公式,属于基础题. 8．过点（0，1）的直线 被圆 所截得的弦长最短时，直线 的斜率为（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【解析】点 在 圆内，要使得过点 的直线 被圆 所截得的弦长最 短，则该弦以 为中点，与圆心和 连线垂直，而圆心和 连线的斜率为 ，所以所求 直线斜率为 1，故选择 A． 9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A． B． 1 2n na a+ − = { }na 1 8 2 2a = = 2 2 2 ( 1) 2na n= + − ⋅ ( 1) 2n= + 22( 1)na n= + l 2 2( 1) 4x y− + = 2 2− ( )0,1 ( )2 21 4x y− + = ( )0,1 l ( )2 21 4x y− + = ( )0,1 ( )0,1 ( )0,1 0 1 11 0 − = −− 32 3 63 π+ 8 3 6π+C． D． 【答案】B 【解析】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥 半个圆柱体积为： 四棱锥体积为： 原几何体体积为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解 各部分的体积. 10．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角 三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子， 则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，直角三角形的斜边长为 ， 设内切圆的半径为 ，则 ，解得 . 2 s g Lπ 168 3 3 π+ 2 2 1 1 1 2 3 62 2V r hπ π π= = × × = 2 1 1 4 3 2 3 8 33 3V Sh= = × × × = 1 2 8 3 6V V V π= + = + B 2 15 π 3 20 π 21 15 π− 31 20 π− 2 25 12 13+ = r 5 12 13r r− + − = 2r =所以内切圆的面积为 ， 所以豆子落在内切圆外部的概率 ，故选 C。 11．已知函数 ，则下列判断错误的是 A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点 对称 C． 的值域为 D． 的图象关于直线 对称 【答案】B 【解析】因为 ， 所以其最小正周期为 ，A 正确； 因为 ，所以 ，C 正确； 由 得 ，即函数 的对称轴为 ，D 正确； 由 得 ，即函数 的对称中心为 ，所以 B 错误. 故选 B. 12．在边长为 2 的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 对折，使二面角 的余弦值为 ，则所得三棱锥 的内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2 4rπ π= 4 2P 1 11 155 122 π π= − = − × × π π( ) cos(2 ) 3sin(2 ) 13 3f x x x= + + + + ( )f x π ( )f x 0π ,4  −   ( )f x [ ]1,3− ( )f x π 2x = π π π π( ) cos(2 ) 3sin(2 ) 1 2sin 2 1 2cos2 13 3 63f x x x x x = + + + + = + + + = +   2 π2πT = = 1 cos2 1x− ≤ ≤ [ ]( ) 2cos2 1 1,3f x x= + ∈ − 2 ( )πx k k= ∈Z π ( )2 kx k= ∈Z ( )f x π ( )2 kx k= ∈Z π2 π( )2x k k= + ∈Z π π ( )4 2 kx k= + ∈Z ( )f x π π ,1 ( )4 2 k k + ∈   Z ABCD 2 3BD = ABCD AC B AC D− − 1 3 A BCD− 4 3 π π 2 3 π 2 π【答案】C 【解析】如下图所示， 易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取 AC 的中点 N，则 DN⊥AC，BN⊥AC． 所以，∠BND 是二面角 B﹣AC﹣D 的平面角，过点 B 作 BO⊥DN 交 DN 于点 O，可得 BO⊥平面 ACD． 因为在△BDN 中， ，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND ， 则 BD＝2． 故三棱锥 A﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的 ，又正四面体的高为棱长的 ，故 ．因此，三棱锥 A﹣BCD 的内切球的表面积为 ．故选：C． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查 了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设 为 所在平面内一点， ，若 ，则 __________． 【答案】-3 【解析】∵ 为 所在平面内一点, ， ∴B，C，D 三点共线.若 ∴ ， 3BN DN= = 13 3 2 3 43 = + − × × = 1 4 6 3 6 6212 6R = × = 2 26 24 4 ( )6 3R ππ π= × = D ABC∆ 1 4 3 3AD AB AC= − +   ( )BC DC Rλ λ= ∈  λ = D ABC∆ 1 4 3 3AD AB AC= − +   BC DCλ=  ( ),Rλ ∈ AC AB AC ADλ λ− = −   化为： = + ，与 =− + ，比较可得： ，解得 . 即答案为-3. 14．在等比数列 中， ， ， 成等差数列，则 _______. 【答案】 【解析】 ， ， 成等差数列 即： ，解得： ， ,本题正确结果： 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础 题. 15．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为______． 【答案】4 【解析】按照程序框图运行程序，输入： ， ， ，符合 ，循环； ， ，符合 ，循环； ， ，符合 ，循环； AD 1 ABλ  1 AC λ λ −  AD 1 3 AB 4 3 AC 1 1 3λ = − 3λ = − { }na 14a 42a 7a 3 5 11 9 a a a a + =+ 1 4 14a 42a 7a 1 7 44 4a a a∴ + = 6 3 1 1 14 4a a q a q+ = 3 2q = 2 4 3 5 1 1 10 8 6 11 9 1 1 1 1 4 a a a q a q a a a q a q q + +∴ = = =+ + 1 4 i 1i = 72a = 0S = 50S < 720 361 2S = + =× 2i = 50S < 7236 482 3S = + =× 3i = 50S 1 3x− < < ( )f x ( )' 0f x < 3x > 1x < − ( )f x ( )f x 1x = − ( )1 2f e− = − 3x = ( ) 3 63f e = ( )f x x ( ) ( ) ( )2 2 12[ ] 0f x tf x t Re + − = ∈ ( )n f x= 2 2 12 0n nt e − − =由判别式 ，方程有两个不等实根， ， 则原方程有一正一负实根． 而 ， 即当 ，则 ，此时 和 的图象有两个交点， 与 的图象有 1 个交点， 此时共有 3 个交点， 当 ，则 ，此时 和 的图象有 1 个交点， 与 的图象有 2 个交点， 此时共有 3 个交点， 当 ，则 ，此时 和 的图象有 3 个交点， 与 的图象有 0 交点， 此时共有 3 个交点， 当 ，则 ，此时 和 的图象有 2 个交点， 与 的图象有 1 个交点， 此时共有 3 个交点， 当 ，则 ，此时 和 的图象有 1 个交点， 与 的图象有 2 个交点， 此时共有 3 个交点， 当 ，则 ，此时 和 的图象有 0 个交点， 与 的图象有 3 个交点， 此时共有 3 个交点， 综上,方程 恒有 3 个不同的实数解，即 ， 即 的所有可能的值构成的集合为 ，故答案为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 2 2 48 0t e = + > 1 2 2 12 0n n e = − < 3 2 6 122e e e − × = − 1 3 6n e = 2 2n e= − 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x 1 3 6n e > 22 0e n− < < 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x 1 3 60 n e < < 2 2n e< − 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x 12 0e n− < < 2 3 6n e > 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x 1 2n e= − 2 3 6n e = 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x 1 2n e< − 2 3 60 n e < < 1y n= ( )f x 2y n= ( )f x ( ) ( ) ( )2 2 12[ ] 0f x tf x t Re + − = ∈ 3m = m { }3 { }317．（本小题满分 12 分）在 中，内角 所对的边分别为 ， . （1）求 的值； （2）求 的值. 【解析】（1）在 中，根据余弦定理， ， 于是 ， 解得 或 （舍去），故 . （2）在 中， ，于是 . 根据正弦定理，得 ， . 又 为钝角， 为锐角，即 . 从而 ， ， . 18．（本小题满分 12 分）如图，已知矩形 中， ，将矩形沿对角线 把 折起，使 A 移到 点，且 在平面 上的射影 O 恰好在 上 （1）求证： ； ABC∆ , ,A B C , ,a b c 14, 3,cos 4a c A= = = − b sin 2 6B π +   ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 22 3 14 0b b+ − = 2b = 7 2b = − 2b = ABC∆ 1cos 4A = − 2 15sin 1 cos 4A A= − = sin sin a b A B = ∴ 15sin 8B = A ∴ B 2 7cos 1 sin 8B B= − = 7 15sin2 2sin cos 32B B B= = 2 2 17cos2 cos sin 32B B B= − = ∴ 21 5 17sin 2 sin2 cos cos2 sin6 6 6 64B B B π π π + + = + =   ABCD 10 6AB BC= =， BD ABD△ 1A 1A BCD CD 1BC A D⊥（2）求证：平面 平面 ； （3）求三棱锥 的体积． 【解析】（1）∵ 在平面 上的射影 O 在 上， ∴ ⊥平面 ，又 平面 ，∴ 又 ，∴ 平面 ，又 ，∴ ， （2）∵ 为矩形 ，∴ ，由（1）知 ， ∴ 平面 ，又 平面 ，∴ 平面 平面 ， （3）∵ 平面 ，∴ . ∵ ， ∴ ，∴ . 19．（本小题满分 12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分 析研究，12 月 1 日至 12 月 5 日的昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数如下表所示： 日期 12 月 1 日 12 月 2 日 12 月 3 日 12 月 4 日 12 月 5 日 温差 x(℃) 10 11 13 12 8 发芽数 y(颗) 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这 5 组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求回归方程，再用被选 取的 2 组数据进行检验． (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 组数据的概率． (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 . (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过 2 颗，则认为得到的线性回归 方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ 【解析】 (1)设抽到不相邻 2 组数据为事件 A.因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况是 1A BC ⊥ 1A BD 1C A BD− 1A BCD CD 1A O BCD BC ⊂ BCD 1BC A O⊥ 1,BC CO A O CO O⊥ = BC ⊥ 1A CD 1 1A D A CD⊂ 平面 1BC A D⊥ ABCD 1 1A D A B⊥ 1 1,A D BC A B BC B⊥ = 1A D ⊥ 1A BC 1A D ⊂ 1A BD 1A BC ⊥ 1A BD 1A D ⊥ 1A BC 1 1A D A C⊥ 1 6, 10A D CD= = 1 8A C = 1 1 1 1( 6 8) 6 483 2C A BD D A BCV V− −= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ^ ^ ^ y b x a= +等可能出现的，其中抽到相邻 2 组数据的情况共有 4 种，所以 PA.＝1－ ＝ ，故选取的 2 组数据恰好是 不相邻的 2 组数据的概率为 . (2)利用 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据，求得 x＝ ×(11＋13＋12)＝12，y＝ ×(25＋30＋26)＝27， ， ， 由公式求得 ， . 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ＝ x－3. (3)当 x＝10 时， ＝ x－3＝22，|22－23| 2 15 1x y a b + = 30 4 C (0,2)P P l l C A B | |AB C l 1x y a b + = 0bx ay ab+ − =依题意 ，解得 ，故椭圆 的方程式为 . （2）假若存在这样的直线 ， 当斜率不存在时，以 为直径的圆显然不经过椭圆 的左顶点， 所以可设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 . 由 ，得 . 由 ，得 . 记 ， 的坐标分别为 ， ， 则 ， ， 而 . 要使以 为直径的圆过椭圆 的左顶点 ，则 ， 即 ， 所以 ， 整理解得 或 ， 所以存在过 的直线 ，使 与椭圆 交于 ， 两点，且以 为直径的圆过椭圆 的左顶点，直线 的 2 2 2 2 2 2 2 15 30 4 ab ab a b a b c  =   = +  = + 5 3 a b  = = C 2 2 15 3 x y+ = l AB C l k l 2y kx= + 2 2 2 3 5 15 y kx x y = +  + = ( )2 23 5 20 5 0k x kx+ + + = ( )2 2400 20 3 5 0k k∆ = − + > 5 5, ,5 5k    ∈ −∞ − ∪ +∞          A B ( )1 1,x y ( )2 2,x y 1 2 2 20 3 5 kx x k + = − + 1 2 2 5 3 5x x k = + ( )( )1 2 1 22 2y y kx kx= + + ( )2 1 2 1 22 4k x x k x x= + + + AB C ( )5,0D − 0DA DB⋅ =  ( )( )1 2 1 25 5y y x x+ + + ( ) ( )( )2 1 2 1 21 2 5 9k x x k x x= + + + + + 0= ( ) ( )2 2 2 5 201 2 5 93 5 3 5 kk kk k + − + ++ + 0= 2 5 5k = 8 5 5k = P l l C A B AB C l方程为 或 . 21．（本小题满分 12 分）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 ，试判断 的零点个数. 【解析】（1）函数 的定义域为 ， ，令 ， 则 ， ， （i）若 ，则 恒成立，所以 在 上是增函数， （ii）若 ，则 ， 当 时， ， 是增函数， 当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数， （iii）若 ，则 ， 当 时， ， 是增函数， 当 时， ， 是减函数， 当 时， ， 是增函数， 2 5 25y x= + 8 5 25y x= + ( ) ( )21 ln ( 0)2 af x x x x a= − − + > ( )f x 1 a e< < ( )f x ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )( )1 111 1 x axf x a x x x − −= − − + =′ ( ) 0f x′ = 1 1x = 2 1x a = 1a = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )0,+∞ 0 1a< < 1 1a > ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x 11,x a  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x 1 ,x a  ∈ +∞   ( ) 0f x′ > ( )f x 1a > 10 1a < < 10,x a  ∈   ( ) 0f x′ > ( )f x 1 ,1x a  ∈   ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x综上所述：当 时， 在 上是增函数， 当 ， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数， 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数； （2）当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数， 所以 的极小值为 ， 的极大值为 , 设 ，其中 ， , 所以 在 上是增函数，所以 ， 因为 ， 所以有且仅有 1 个 ，使 . 所以当 时， 有且仅有 1 个零点. 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个 题目计分． 1a = ( )f x ( )0,+∞ 0 1a< < ( )f x ( )0,1 11, a      1 ,a  +∞   1a > ( )f x 10, a      1 ,1a      ( )1,+∞ 1 a e< < ( )f x 10, a      1 ,1a      ( )1,+∞ ( )f x ( )1 1 0f = − < ( )f x 21 1 1 1 11 ln ln 12 2 2 a af aa a a a a    = − − + = − − −       ( ) 1 ln 12 2 ag a aa = − − − ( )1,a e∈ ( ) ( )22 2 2 2 11 1 1 2 1 02 2 2 2 aa ag a a a a a −− + =′ = + − = > ( )g a ( )1,e ( ) ( ) e 1e 2 02 2eg a g< = − − < ( ) ( )2 1 14 4 1 4 ln4 9 4 ln4 ln4 02 2 2 af = − − + > × − + = + > ( )0 1,4x ∈ ( )0 0f x = 1 a e< < ( )f x22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 是参数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若射线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 交于 ， 两点，求 取 最大值时 的值 【解析】（1）由 得 ， 将 代入得： ，故曲线 的极坐标方程为 . 由 得 ， 将 代入得 ，故曲线 的直角坐标方程为 . （2）设点 、 的极坐标分别为 ， ， 将 分别代入曲线 、 极坐标方程得： ， ， 则 ，其 中 为锐角，且满足 ， ，当 时， 取最大值， xOy 1C 2 2 cos 2 sin x y α α  = + = α O x 2C 4sinρ θ= 1C 2C θ β= 0 2 πβ <