1
2020 届高三模拟考试试卷
数 学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
2020．4
参考公式：
圆锥的侧面积公式：S＝πrl，其中 r 为圆锥底面圆的半径，l 为圆锥的母线长．
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合 A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x(x－5)＜0}，则 A∩B＝________．
2. 已知复数 z＝1＋2i，其中 i 为虚数单位，则 z2 的模为________．
3. 如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为－1，则输入的实数 x 的值为
________．
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生 1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况，
统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐”测试数据(单位：个)，并绘制了如图频率分布直方图，
则 1 分钟至少能做到 30 个仰卧起坐的初三女生有________个．
5. 从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二
次抽得的卡片上数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为________．
6. 已知函敬 f(x)是定义在 R 上的奇函敷，且周期为 2，当 x∈(0，1]时，f(x)＝x＋
，则 f(a)的值为________．
7. 若将函数 f(x)＝sin(2x＋
π
3 )的图象沿 x 轴向右平移 φ(φ＞0)个单位长度后所得的图象与
f(x)的图象关于 x 轴对称，则 φ 的最小值为________．2
8. 在△ABC 中，AB＝2 5，AC＝ 5，∠BAC＝90°，则△ABC 绕 BC 所在直线旋转一
周所形成的几何体的表面积为________．
9. 已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，满足{a1，a2，a3}＝{b1，b2，b3}＝
{a，b，－2}，其中 a＞0，b＞0，则 a＋b 的值为________．
10. 已知点 P 是抛物线 x2＝4y 上动点，F 是抛物线的焦点，点 A 的坐标为(0，－1)，则PF
PA
的最小值为________．
11. 已知 x，y 为正实数，且 xy＋2x＋4y＝41，则 x＋y 的最小值为________．
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C：(x－m)2＋y2＝r2(m＞0)．已知过原点 O 且相互垂
直的两条直线 l1 和 l2，其中 l1 与圆 C 相交于 A，B 两点，l2 与圆 C 相切于点 D.若 AB＝OD，
则直线 l1 的斜率为________．
13. 在△ABC 中，BC 为定长，|AB
→
＋2AC
→
|＝3|BC
→
|.若△ABC 面积的最大值为 2，则边 BC
的长为________．
14. 已知函数 f(x)＝ex－x－b(e 为自然对数的底数，b∈R)．若函数 g(x)＝f(f(x)－1
2)恰有 4
个零点，则实数 b 的取值范围是________．
二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
如图，在三棱锥 PABC 中，点 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且平面 PDE 上平面 ABC.
(1) 求证：AC∥平面 PDE；
(2) 若 PD＝AC＝2，PE＝ 3，求证：平面 PBC⊥平面 ABC.
16. (本小题满分 14 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝bcos C＋csin B.
(1) 求 B 的值；
(2) 设∠BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D.已知 AD＝17
7 ，cos A＝－ 7
25，求 b 的值．3
17. (本小题满分 14 分)
如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 A 与小岛圆心 C 相距 3 千米．为方
便游人到小岛观光，从点 A 向小岛建三段栈道 AB，BD，BE，湖面上的点 B 在线段 AC 上，
且 BD，BE 均与圆 C 相切，切点分别为 D，E，其中栈道 AB，BD，BE 和小岛在同一个平面
上．沿圆 C 的优弧(圆 C 上实线部分)上再修建栈道DE
︵
，记∠CBD 为 θ.
(1) 用 θ 表示栈道的总长度 f(θ)，并确定 sin θ的取值范围；
(2) 求当 θ 为何值时，栈道总长度最短．4
18. (本小题满分 16 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为1
2，且过点(0，
3)．
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 已知△BMN 是椭圆 C 的内接三角形．
① 若点 B 为椭圆 C 的上顶点，原点 O 为△BMN 的垂心，求线段 MN 的长；
② 若原点 O 为△BMN 的重心，求原点 O 到直线 MN 距离的最小值．5
19. (本小题满分 16 分)
已知函数f(x)＝x 3－x2－(a－16)x，g(x)＝aln x，a∈R.函数h(x)＝f（x）
x －g(x)的导函数h′(x)
在[5
2，4]上存在零点．
(1) 求实数 a 的取值范围；
(2) 若存在实数 a，当 x∈[0，b]时，函数 f(x)在 x＝0 时取得最大值，求正实数 b 的最大
值；
(3) 若直线 l 与曲线 y＝f(x)和 y＝g(x)都相切，且 l 在 y 轴上的截距为－12，求实数 a 的
值．6
20. (本小题满分 16 分)
已知无穷数列{an}的各项均为正整数，其前 n 项和为 Sn.记 Tn 为数列{an}的前 an 项和，
即 Tn＝a1＋a2＋…＋an.
(1) 若数列{an}为等比数列，且 a1＝1，S4＝5S2，求 T3 的值；
(2) 若数列{an}为等差数列，且存在唯一的正整数 n(n≥2)，使得Tn
an
微信/支付宝扫码支付