【新题型】2020年新高考数学多选题与热点解答题组合练 提升套餐练01（解析版）

提升套餐练 01 一、多选题 1．由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的 快速发展，进而对 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行 业的发展，创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测. 结合下图，下列说法正确的是（ ） A．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】ABD 【解析】 【分析】 本题结合图形即可得出结果． 【详解】 由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误． 故选：ABD． 【点睛】 本题主要考查数学文字及图形的阅读理解能力．本题属基础题． 2．已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 GDP a b c d, ,, ,a b c d> > ac bd> 0, 0ab bc ad> − > 0c d a b − >C．若 则 D．若 则 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断即可． 【详解】 解：若 ， ，则 ，故 A 错； 若 ， ，则 ，化简得 ，故 B 对； 若 ，则 ，又 ，则 ，故 C 对； 若 ， ， ， ，则 ， ， ，故 D 错； 故选：BC． 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质，常结合特值法解题，属于基础题． 3．已知函数 f（x）＝|sinx||cosx|，则下列说法正确的是（ ） A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）的周期为 C．（π，0）是 f（x）的一个对称中心 D．f（x）在区间 上单调递增 【答案】AB 【解析】 【分析】 先根据二倍角公式化简变形函数 f（x），再作出其图象，即可判断各选项的真假． 【详解】 因为函数 f（x）＝|sinx||cosx|＝|sinxcosx| |sin2x|， 画出函数图象，如图所示； , ,a b c d> > a d b c− > − , 0,a b c d> > > a b d c > 0a b> > 0 c d> > ac bd< 0ab > 0bc ad− > 0bc ad ab − > 0c d a b − > c d> d c− > − a b> a d b c− > − 1a = − 2b = − 2c = 1d = 1a d = − 1b c = − 1a b d c = = − 2x π= 2 π 4 2 ，π π     1 2 =由图可知，f（x）的对称轴是 x ，k∈Z； 所以 x 是 f（x）图象的一条对称轴， A 正确； f（x）的最小正周期是 ，所以 B 正确； f（x）是偶函数，没有对称中心，C 错误； 由图可知，f（x） |sin2x|在区间 上是单调减函数，D 错误. 故选：AB. 【点睛】 本题主要考查二倍角公式的应用，以及利用函数图象研究其性质，意在考查学生的直观想象能力，属于基 础题． 4．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 ，则下列结论 中错误的是（ ） A． B． 平面 ABCD C．三棱锥 的体积为定值 D． 的面积与 的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】 通过特殊化，点 F 与点 重合可判定 A 错误；正方体 的两个底面平行，判定 B 正确， 三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 距离是定值，可判定 C 正确，△AEF 的面积与△BEF 的面积 4 kπ= 2 π= 2 π 1 2 = 4 2 π π    ， 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1B D ,E F 1 2EF = AC AF⊥ / /EF A BEF− AEF∆ BEF 1B 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1DD B B相等不正确，可判定 D 错误. 【详解】 A．由题意及图形知，当点 F 与点 重合时， 故选项 A 错误； B． 平面 ABCD，由正方体 的两个底面平行， 平面 ，故有 平面 ABCD，此命题正确，不是正确选项； C．三棱锥 A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 距离是定值，故可得三棱锥 A-BEF 的体积为定值，此命题正确，不是正确选项； D．由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 不正确，故 D 是错误的． 故选：AD 【点睛】 本题考查直线与平面平行、垂直的判定、棱锥的体积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题． 二、解答题 5． 分别为 的内角 的对边.已知 . （1）若 ，求 ； （2）已知 ，当 的面积取得最大值时，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据正弦定理，将 ，化角为边，即可求出 ，再利用正弦定理即可求出 ； （2）根据 ，选择 ，所以当 的面积取得最大值时， 最大， 结合（1）中条件 ，即可求出 最大时，对应的 的值，再根据余弦定理求出边 ，进而得到 的周长． 【详解】 1B 1 60oCAB∠ = //EF 1 1 1 1ABCD A B C D− EF ⊂ 1111 DCBA //EF 1 1DD B B , ,a b c ABC , ,A B C ( )sin 4sin 8sina A B A+ = 1, 6b A π= = sin B 3C π= ABC ABC 1sin 8B = 5 13+ ( )sin 4sin 8sina A B A+ = a sin B 3C π= in1 2 sS ab C= ABC ab 4 8a b+ = ab ,a b c ABC（1）由 ，得 ， 即 . 因为 ，所以 . 由 ，得 . （2）因为 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立. 因为 的面积 . 所以当 时， 的面积取得最大值， 此时 ，则 ， 所以 的周长为 . 【点睛】 本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和 数学运算能力． 6．在数列 中，任意相邻两项为坐标的点 均在直线 上，数列 满足条件： ， . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意得出 ，利用等比数列的定义可证明出数列 是以 为首项，以 为公比的等 比数列，由此可求出数列 的通项公式； （2）求出数列 的通项公式，然后利用错位相减法能求出 . 【详解】 ( )sin 4sin 8sina A B A+ = ( )4 8a a b a+ = 4 8a b+ = 1b = 4a = 4 1 sinsin 6 B =π 1sin 8B = 4 8 2 4 4a b ab ab+ = ≥ = 4ab ≤ 4 4a b= = ABC 1 1sin 4 sin 32 2 3S ab C π= ≤ × × = 4 4a b= = ABC 2 2 24 1 2 4 1 cos 133c π= + − × × × = 13c = ABC 5 13+ { }na ( )1,n nP a a + 2y x k= + { }nb 1 2b = ( )* 1n n nb a a n N+= − ∈ { }nb 2 1logn n n c b b = ⋅ { }nc n nS ( )*2n nb n N= ∈ ( ) ( )1 *1 2 2n nS n n N+= − − × − ∈ 1 2n na a k+ = + { }nb 2 2 { }nb { }nc nS（1） 数列 中，任意相邻两项为坐标的点 均在直线 上， ， . ， ， ， 数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列. 数列 的通项公式为 ； （2）由于 ， ，① ，② ① ②得 . 【点睛】 本题考查利用等比数列的定义求数列的通项，同时也考查了利用错位相减法求数列的和，考查计算能力， 属于中等题. 7．如图，三棱柱 所有的棱长为 ， ， 是棱 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】  { }na ( )1,n nP a a + 2y x k= + 1 2n na a k+∴ = + 1 2n n n n n nb a a a k a a k+∴ = − = + − = + ( )1 1 2 2 2n n n n nb a k a k k a k b+ +∴ = + = + + = + = 1 2n n b b +∴ = 1 2b = ∴ { }nb 2 2 ∴ { }nb ( )*2n nb n N= ∈ 2 2 1 1log 2 log 22 n n n n n nc b nb = = ⋅ = − ⋅ 2 31 2 2 2 3 2 2n nS n∴− = × + × + × + + × ( )2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n nS n n +∴− = × + × + × + + − × + × − ( ) ( )2 3 1 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 21 2 n n n n n nS n n n+ + + × − = + + + + − × = − × = − − × −− 1 1 1ABC A B C− 2 1 1 2A B A C= = M BC 1A M ⊥ ABC 1B C 1 1ABB A 42 14【分析】 （1）由题意证明 ， ，即可证明 平面 ； （2）以点 为坐标原点，分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，求出向量 的坐标，求出平面 的法向量 ，计算 即可. 【详解】 （1）连接 ，三棱柱 所有的棱长为 ， ， 是棱 的中点；所以 ，所以 . 又 ， ，所以 ， 所以 ，且 ，所以 平面 ； （2）分别以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则 ， ， ， ， ， 又 ， ， 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ，所以 ； 所以 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 1A M BC⊥ 1A M AM⊥ 1A M ⊥ ABC M MA MB 1MA x y z 1B C 1 1ABB A n 1cos ,n B C AM 1 1 1ABC A B C− 2 1 1 2A B A C= = M BC 1A M BC⊥ ( )22 2 2 1 1 2 1 1A M A B BM= − = − = 3 3 2 32 2AM AB= = × = 1 2AA = 2 2 2 1 1AM A M AA+ = 1A M AM⊥ AM BC M= 1A M ⊥ ABC MA MB 1MA x y z ( )0,0,0M ( )3,0,0A ( )0,1,0B ( )0, 1,0C − ( )1 0,0,1A ( )3,1,0AB = − ( )1 3,0,1AA = − ( ) ( ) ( )1 1 1 0, 2,0 3,0,1 3, 2, 1B C BC BB BC AA= − = − = − − − = − −     1 1ABB A ( ), ,n x y z= 1 0 0 n AB n AA  ⋅ = ⋅ =   3 0 3 0 x y x z − + = − + = 1x = 3y z= = ( )1, 3, 3n = 1 1 1 3 2 3 3 42cos , 141 3 3 3 4 1 n B Cn B C n B C ⋅ − −= = − + + × + +×   1B C 1 1ABB A 42 14【点睛】 本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法计算线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力， 属于中等题. 8．高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： .其中 a，b，c 成等差数列且 .物 理成绩统计如表.（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分） 分组 频数 6 9 20 10 5 （1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3）若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优” 同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人数，求 X 的分布列和期望值. 【答案】（1） （分）；（2）75 分；（3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据频率之和等于 ，a，b，c 成等差数列， ，解出 的值，利用频率分布直方图，求出 9[80, 0) , [90,100), [100,110), [110,120), [120,130), [130,140), [140,150] 2c a= [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 117.8 1 2c a= , ,a b c平均分；（2）根据物理成绩统计表，得到中位数所在的成绩区间，得到答案；（3）根据数学成绩“优”和 物理成绩“优”，得到两科均为“优”的人数，计算出每种情况的概率，写出分布列，得到期望值. 【详解】 （1）根据频率分布直方图得， 又因 ， 解得 ， 故数学成绩的平均分 （分）， （2）总人数 50 分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间 ， 所以物理成绩的中位数为 75 分. （3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”有 5 人， 因为至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学， 故两科均为“优”的人数为 3 人， 故 X 的取值为 0、1、2、3. . 所以分布列为： X 0 1 2 3 P 期望值为： ( )2 0.024 0.020 0.04 10 1a b c+ + + + + × = 2 ,a c b+ = 2c a= 0.008,a = 0.012,b = 0.016c = 85 0.04 95 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08x = × + × + × + × + × + × + × 117.8= [70,80) 3 3 3 6 1( 0) ,20 CP X C = = = 1 2 3 3 3 6 9( 1) ,20 C CP X C = = = 2 1 3 3 3 6 9( 2) ,20 C CP X C = = = 3 3 3 6 1( 3) 20 CP X C = = = 1 20 9 20 9 20 1 20. 【点睛】 本题考查频率分布直方图的特点，根据频率分布直方图求平均值，根据统计表求中位数，求随机变量的分 布列和数学期望，属于简单题. 9．给定椭圆 C: ( ),称圆心在原点 O,半径为 的圆是椭圆 C 的“卫星圆”.若椭 圆 C 的离心率 ,点 在 C 上. (1)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程; (2)点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点,过点 P 作直线 , 使得 ,与椭圆 C 都只有一个交点,且 , 分别交其“卫星圆”于点 M,N,证明:弦长 为定值. 【答案】(1) , ;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意列出 再结合 即可解出 ， ，从而得到椭圆 C 的方程和其 “卫星圆”方程； (2) 根据 分类讨论，当有一条直线斜率不存在时(不妨假设 无斜率)，可知其方程为 或 ，这样可求出 ；当两条直线的斜率都存在时，设经过点 与椭圆只有一个 公共点的直线为 ，与椭圆方程联立，由 可得 ，所以线段 应为“卫星圆”的直径，即 ，故得 证． 【详解】 1 9 9 1( ) 0 1 2 320 20 20 20E X = × + × + × + × 3 2 = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2a b+ 2 2 ( )2, 2 1l 2l 1l ⊥ 2l 1l 2l MN 2 2 18 4 x y+ = 2 2 12x y+ = 2 2 2 2 4 2 1 c a a b  =  + = 2 2 2a b c= + 2 2a = 2b = 1l ⊥ 2l 1l 2 2x = 2 2x = − 4 3MN = ( )0 0,P x y ( )0 0y t x x y= − + 0∆ = ( )22 00 1 2 2 2 0 0 32 8 1232 8 164 8 64 8 xyt t x x − −−⋅ = = = −− − MN 4 3MN =(1)由条件可得: 解得 ， 所以椭圆的方程为 ， 卫星圆的方程为 (2)①当 ， 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率， 因为 与椭圆只有一个公共点，则其方程为 或 ， 当 方程为 时，此时 与“卫星圆”交于点 和 ， 此时经过点 且与椭圆只有一个公共点的直线是 或 ，即 为 或 ， ∴ ∴线段 应为“卫星圆”的直径， ∴ ②当 ， 都有斜率时，设点 ，其中 ， 设经过点 与椭圆只有一个公共点的直线为 ， 则， 消去 y 得到 ， ∴ ∴ 所以 ，满足条件的两直线 ， 垂直． 2 2 2 2 4 2 1 c a a b  =  + = 2 2a = 2b = 2 2 18 4 x y+ = 2 2 12x y+ = 1l 2l 1l 1l 2 2x = 2 2x = − 1l 2 2x = 1l ( )2 2,2 ( )2 2, 2− ( )2 2,2 ( )2 2, 2− 2y = 2y = − 2l 2y = 2y = − 1 2l l⊥ MN 4 3MN = 1l 2l ( )0 0,P x y 2 2 0 0 12x y+ = ( )0 0,P x y ( )0 0y t x x y= − + ( )0 0 2 2 18 4 y tx y tx x y  = + − + = ( ) ( ) ( )22 2 0 0 0 01 2 4 2 8 0t x t y tx x y tx+ + − + − − = ( )2 2 2 0 0 0 064 8 16 32 8 0x t x y t y∆ = − + + − = ( )22 00 1 2 2 2 0 0 32 8 1232 8 164 8 64 8 xyt t x x − −−⋅ = = = −− − 1 2 1t t⋅ = − 1l 2l∴线段 应为“卫星圆”的直径，∴ 综合①②知：因为 ， 经过点 ，又分别交“卫星圆”于点 ，且 ， 垂直，所以线段 是“卫星圆” 的直径，∴ 为定值． 【点睛】 本题主要考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，两直线垂直的斜率关系的应用，韦 达定理的应用，意在考查学生运用分类讨论思想的意识以及数学运算能力，属于中档题． 10．已知函数 . （1）若 ，求函数 的单调区间； （2）若存在两个不等正实数 、 ，满足 ，且 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）单调减区间为 ，单调增区间为 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）将 代入函数 的解析式，求导，分别解不等式 和 可得出函数 的减区间和增区间； （2）根据题意，化简变形已知，构造新函数，利用导数求解即可. 【详解】 （1）当 时 ，定义域为 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以，函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 ； （2）设 ，由 得 ，则 ， ， 又 ， ， 设 ，则 ， MN 4 3MN = 1l 2l ( )0 0,P x y MN 1l 2l MN 2 2 0 0 12x y+ = =4 3MN ( ) ( )1lnf x a x ax = + ∈ R 1a = ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 2x x+ = a ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1,+∞ 1a = ( )y f x= ( ) 0f x′ < ( ) 0f x′ > ( )y f x= 1a = ( ) 1lnf x x x = + ( )0, ∞+ ( ) 2 2 1 1 1xf x x x x −′ = − = 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )0,1 ( )1,+∞ 1 2 0x x> > ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 1 2 1 1ln lna x a xx x + = + 1 1 2 2 1 2 ln x x xa x x x −= 0a∴ > 1 2 2x x+ = 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ln x x x x xa x x x x x −∴ = = − 1 2 1xt x = > 12 lna t t t = −令 ，则 且 ， 由题意可知，函数 在区间 上有且只有一个零点， 设函数 的两个极值点分别为 、 ，则 ， 函数 在 上有且只有一个实根， ，解得 . 综上，实数 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查利用导数求函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数的零点问题，考查分析问题和解决 问题的能力，属于中等题. ( ) ( )1 2 ln 1g t t a t tt = − − > ( ) 2 2 2 1t atg t t − +′ = ( )1 0g = ( )y g t= ( )1,+∞ ( )y g t= 1t 2t 1 2 1t t = ∴ ( )y g t′= ( )1,+∞ ( )1 2 2 0g a′ = − < 1a > a ( )1,+∞