故与前三式联立，得
2
1
1 2 3 1
2 4 1, 2, ,3 3 4 9
yy y y x ，
2
2
2 14
yx ，
2
3
3
4
49
yx ，
则 1 2 3 14
3 27
x x x ．故所求重心的坐标为 14( ,0)27
，故选：C ．
11. 【详解】连接 1BC，设平面 11A BCD 与对角线 1AC 交于 M ，
由 1 1 1,BC BC DC BC，可得 1BC平面 11A BCD ，即 1BC平面 1A DM ，
所以存在点 M ，使得平面 1ADM 平面 1BC D，所以①正确；
由 1 1 1 1/ / , / /BD B D AD BC ，
利用平面与平面平行的判定，可得证得平面 1 //A BD 平面 11B D C ，
设平面 1A BD 与 1AC 交于 M ，可得 //DM 平面 11BCD ，所以②正确；
连接 1AD 交 1AD于点O，过O点作 1OM AC ,
在正方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中， 1AD 平面 11ABC D ，所以 1AD OM ，
所以 OM 为异面直线 1AD与 1AC 的公垂线，
根据 11~AOE AC D，所以
1 1 1
OM OA
C D AC ，即 11
1
2 2 6
323
OA C DOM AC
，
所以 1A DM 的最小面积为
1 1
1 1 6 2 3222 2 3 3A DMS A D OM .
所以若 1A DM 的面积为 S ，则 23[ ,2 3)3S ，所以③不正确；
再点 P 从 1AC 的中点向着点 A运动的过程中， 1S 从1减少趋向于 0，即 1 (0,1)S ，
2S 从 0 增大到趋向于 2 ，即 2 (0,2)S ，在此过程中，必存在某个点 P 使得 12SS，
所以④是正确的.
综上可得①②④是正确的.故选：C.
12. 【详解】
由题意得：
2
' 1 1 (1 )( 1)( ) 1
x x x
xx xe x e x x xef x e xe x x x
，
易得 0, 1 0xx ，设 ' ( ) 0fx ，可得 10xxe ，可得 1xe x ，由 xye 与 1y x 图像可知存
在 0 (0,1)x ，使得 0
0
1xe x ，可得当 0(0, )xx ， ' ( ) 0fx ，当 0( , )xx ， ' ( ) 0fx ，可得
()fx得最小值为 0()fx ，即 0
0 0 0
0
1( ) ln 2 1xa f x x e xx
；
同理：
2 2 2 2
'
2 2 2
1 ( 1) (1 ) ( 1)( )( ) 1
x x x xxe e e x x x x e xgx x x x x
，
设 '( ) 0gx ，可得 1x 或者 2xex ，由 2xye 与 yx 得图像可知，存在 1 (0,1)x ，使得
1 2
1
xex ，可得当 1( , )x x x 时， '( ) 0gx ，当 1( ,1)xx 时， '( ) 0gx ，当 (1, )x 时， '( ) 0gx ，
可得 1()gx 即为 ()gx得最小值，可得
1
1
1
2
2
1 1 1 12( ) ln 1 2 1
x
x
x
eb g x e x x xe
，故
1ab ，故选：A.
13. 【答案】240 二项展开式的第 项的通项公式为
由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2︰5，可得： .
解得： .所以 令 ，解得： ，
所以 的系数为 故选：C
14. 解：假设甲，乙两个同学回答正确，
∵在[0，+∞）上函数单调递增；∴丙说“在定义域 R 上函数的图象关于直线 x＝1 对称”错误．此
时 f（0）是函数的最小值，∴丁的回答也是错误的，这与“四个同学中恰好有三个人说的正确”
矛盾．∴只有乙回答错误． 15. 4
5
16【答案】 2,4
【解析】 2 sin 2sin sin3 2sin sin cos2 cos sin2 1
sin sin sin sin2 sin cos
c b C B B B B B B B
b a B A B B B B
2211cos2 2cos 4cos 1cos cosB B BBB .又 2 0,B ，且 3 0,A B B ，所以
0, 3B
. 设 1cos ,12Bt
，令 22141cbt f tb a t ，则
3
22
1 8 180tf t t tt
，故 ft在 1 ,12
上单调递增，所以 24ft.
17（Ⅰ）由 a1=2，anan+1=2pn+1，得 ， ，
则 ， ， ， ．由 -a1， ，a4 成等差数列，得 a2=a4-a1，
即 2p=22p-2，解得：p=1；
（Ⅱ）假设存在 p，使得{an}为等比数列，
则 ，即 22p=2•2p+1=2p+2，则 2p=p+2，即 p=2．
此时 anan+1=2pn+1=22n+1， ，
∴ 2 4n
n
a
a
，当 n 为奇数时 2n
na ，当 n 为偶数， 2n
na
∴故存在实数 2p ，使得{an}为等比数列．
18.【解答】（1）证明：因为 ABCD 是矩形，所以 //BC AD ，又因为 BC 平面 ADE ，所以 //BC 平
面 ADE ，因为 //DE CF ，CF 平面 ADE ，所以 //CF 平面 ADE ，
又因为 BC CF C ，所以平面 //BCF 平面 ADF ，
而 BF 平面 BCF ，所以 //BF 平面 ADE（5 分）
（2）解：因为CD AD ，CD DE ，所以 60ADE ，
因为CD 平面 ADE ，故平面CDEF 平面 ADE ，作 AO DE 于点O ，则 AO 平面CDEF ，
以O为原点，平行于 DC 的直线为 x 轴，DE 所在直线为 y 轴，OA 所在直线为 z 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系O xyz ，
由 2AD ， 3DE ， 60ADE ，得 1DO ， 2EO ，
则 (0,0, 3), (3, 1,0), (0, 1,0), (0,2,0)A C D E ，
所以 (3,0, 3)OB OA AB OA DC ，
由已知 1(3, ,0)2G ，所以 1( 3,2, 3), (0, , 3)2BE BG ，
设平面 BEG 的一个法向量为 ( , , )m x y z ，则
3 2 3 0
1 302
m BE x y z
m BG y z
，
取 3, 6, 3x y z ，得 (3,6, 3)m ，又平面 DEG 的一个法向量为 (0,0,1)n ，
所以 31cos , | | | | 49 36 3
mnmn mn
，即二面角 B EG D的余弦值为 1
4（12 分）
19.【详解】（1）易知 ，因为 所以 为等腰三角形
所以 b=c，由 可知 故椭圆的标准方程为：
（2）由已知得 , 设椭圆的标准方程为 ，P 的坐标为
因为 ,所以
由题意得 ,所以 又因为 P 在椭圆上，所以 ,由以上两式可得
因为 P 不是椭圆的顶点，所以 ，故
设圆心为 ，则
圆的半径 假设存在过 的直线满足题设条件，并设该直线的方程为
由相切可知 ,所以 即 ，解得
故存在满足条件的直线。
20. 【详解】
（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，
∴ 0.01 5 0.014 5 5 0.034 5b 0.04 47 45 0.5 ，解得 0.026b ；
∴ 0.04 3 0.032 5 5 0.010 10 0.5a ，解得 0.024a ；
∴甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 1 0.01 10 0.9f 甲 ；
乙在 1 分钟内解开密码锁的频率是 1 0.035 5 0.025 5 0.7f 乙 ；
（2）由（1）知，甲、乙、丙在 1 分钟内解开密码锁的概率分别是 1 0.9p ， 2 0.7p ， 3 0.5p
且各人是否解开密码锁相互独立；
设按乙丙甲的顺序对应的数学期望为 1EX ，按丙乙甲的顺序对应的数学期望为 2EX
则 121P X p， 231 12PX pp ， 231 13 1ppPX ，
2133222 31 11E X p p p pp 2 3 2 332p p p p ，∴
1 2 3 2 3 23E X p p p p p ，
①∴ 1 2 3 2 3 23 1.45E X p p p p p
同理可求得 2 2 3 2 3 33 1.65E X p p p p p
所以按乙丙甲派出的顺序期望更小.
②答案：先派出甲，再派乙，最后派丙，
（下面是理由，给老师和学生参考）
设按先后顺序自能完成任务的概率分别为 1p ， 2p ， 3p ，且 1p ， 2p ， 3p 互不相等，
根据题意知 X 的取值为 1，2，3；
则 11P X p， 1221P X p p ， 1213 1 pP pX ，
12 21121 3 1 1E X p p p pp 1 2 1 232p p p p ，∴
1 2 1 2 13E p p p p pX ，
若交换前两个人的派出顺序，则变为 1 2 1 2 23 p p p p p ，
由此可见，当 12pp 时，交换前两人的派出顺序会增大均值，故应选概率最大的甲先开锁；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，
∵交换前 1 2 1 2 1 1 1 23 3 2 1p p p p pE pX pp ，
∴交换后的派出顺序则期望值变为 1 1 33 2 1p p p ，
当 23pp 时，交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，
这样能使所需派出的人员数目的均值（教学期望）达到最小.
21.【详解】
（1）由 ，得
则 ，
若 时，即 时， 在 单调递减
若 ，即 时， 有两个零点
零点为： ， 又 开口向下当 时， ， ， 单调递减
当 时， ， ， 单调递增当 时， ， ， 单调递
减综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 和
上单调递减， 在 上单调递增
（2）由（1）知当 时， 单调递减，不可能有三个不同的零点；
当 时， 在 和 上单调递减， 在 上单调递增
，又 ，有
在 上单调递增， ，
令 ，
令 ， 单调递增
由 ，求得
当 时， 单调递减，
在 上单调递增故
故 ， ，
由零点存在性定理知 在区间 有一个根，设为：
又 ，得 ， ， 是 的另一个零点
故当 时， 存在三个不同的零点 ， ，
22.【解答】解：（1）由 ，得 （ρcosθ﹣ρsinθ）＝﹣2 ，
化成直角坐标方程得 （x﹣y）＝﹣2 ，
∴直线 l 的方程为 x﹣y+4＝0，依题意，设 P（2 cost，2sint），
则 P 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ＝2 +2 cos（t+ ），
当 t+ ＝2kπ，即 t＝2kπ﹣ ，k∈Z 时，dmax＝4 ，
故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 4 ．
（2）因为曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，
∀t∈R，acost﹣2sint+4＞0 恒成立，即 cos （t+φ）+4＞0（其中 tanφ＝ ）恒成立，
∴ ＜4，又 a＞0，解得 0＜a＜2 ，
故 a 取值范围（0，2 ）．
23. 证明：（1）（ a+b）（ ab+c2）＝a2b+ac2+ab2+bc2≥4 ＝4 ＝
4abc，当且仅当 a＝b＝c 时取等号，
（2）∵a，b，c 均为正实数，
∴ • ≤ ＝ ，当且仅当 a+1＝2，即 a＝1 时取等号，
同理可得 • ≤ ， • ≤ ，
相加可得 （ + + ≤ ＝6，
∴ + + ≤3 ，当且仅当 a＝b＝c＝1 时取等号
附加：2.(1)由正弦定理得，
sin sin
AB BC
BCA BAC
，即
23
1sin
4
BCA ,
解得 6sin 12BCA.
(2)设 ,3AC x AD x，在 Rt ACD中，
22 222 2 ,sin 3
CDCD AD AC x CAD AD ,
在 ABC中,由余弦定理得，
2 2 2 2 1cos 2 22
AB AC BC xBAC AB AC x
.
又 πBAC CAD ,2所以cos sinBAC CAD ，即
2 1 2 2
322
x
x
.
整理得 23 8 3 0xx ，解得 3x 或 1x 3 （舍去），即 3AC
2.试题解析：（Ⅰ）解：由 ，可得 .
下面分两种情况讨论：
（1）当 时，有 恒成立，所以 的单调递增区间为 .
（2）当 时，令 ，解得 31 3
ax ，或 31 3
ax .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
3( ,1 )3
a
31 3
a
33(1 ,1 )33
aa
31 3
a
3(1 , )3
a
＋
0
－
0
＋
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以 的单调递减区间为 33(1 ,1 )33
aa，单调递增区间为 3( ,1 )3
a ，
3(1 , )3
a .
（Ⅱ）证明：因为 存在极值点，所以由（Ⅰ）知 ，且 ，
由题意，得 ，即 ，
进而 .
又
，且 ，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数 1x 满足 ，
且 ，因此 ，所以 .
（Ⅲ）证明：设 在区间 上的最大值为 ， 表示 两数的最大值.下面分
三种情况讨论：
（1）当 时， 331 0 2 133
aa ，由（Ⅰ）知， 在区间 上单调递减，所
以 在区间 上的取值范围为 ，因此
max (2) , (0)
max 1 2 , 1
M f f
a b b
，
所以 .
（2）当 时， 2 3 3 3 2 31 0 1 1 2 13 3 3 3
a a a a ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f ， 2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f ，
所以 在区间 上的取值范围为 33[ (1 ), (1 )]33
aaff，因此
3 3 2 2max (1 ) , (1 ) max 3 , 33 3 9 9
a a a aM f f a a b a a b
.
（3）当 时， 2 3 2 30 1 1 233
aa ，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，
2 3 3(0) (1 ) (1 )33
aaf f f ， 2 3 3(2) (1 ) (1 )33
aaf f f ，
所以 在区间 上的取值范围为 ，因此
.
综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .
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