河北武邑中学2020届高三数学(理)下学期线上期中试题(Word版含解析)
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河北武邑中学2020届高三数学(理)下学期线上期中试题(Word版含解析)

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资料简介
河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期期中考试 数学试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和 II 卷(非选择题)两部分,满分 分,考试时间 分钟。 2.答题前请仔细阅读答题卡(纸)上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。 3.选择题答案涂在答题卡上,非选择题答案写在答题卡上相应位置,在试卷和草稿纸上作答无效。 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.已知集合 , .若 ,则实数 A. B. C. D. 2.设复数 满足 ( 为虚数单位), 在复平面内对应的点为( , ),则 A. B. C. D. 3.已知两个单位向量 ,若 ,则 的夹角为 A. B. C. D. 4.某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动,则甲、乙均被选中的概率为 A. 3 5 B. 1 2 C. 2 5 D. 3 10 5.已知点 满足不等式 ,点 是函数 的图像上任意一点, 则两点 P,Q 之间距离的最小值为 A. B. C.4 D. 6.若 ,则 A. B. C. D. 7.若 ,则 A. B. C. 或 D. 或 150 120 ( ){ }, | 2 0A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x my= + + = A B = ∅ m = 2− 1 2 − 1 2 2 z 1 iz z− = − i z x y y x= − y x= ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + = 1 2,e e ( )1 2 12− ⊥e e e 1 2,e e 2π 3 π 3 π 4 π 6 ( ),P x y 3 2 0 5 0 5 0 x y x y x − ≥  + − ≥  − ≤ ( ),Q x y 2( ) 1f x x= − 5 2 12 − 13 1− 5 2 2 ( ) 3 3 12 3 1log e,2 e,a b c − = = =    a b c> > c a b> > a c b> > c b a> > tan 3cos( )2 α α − = − π   π cos2α = 1− 7 9 0 7 9 1− 7 98. 若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对 应的函数为 ,则下列说法正确的是 A. 的图象关于 对称 B. 在 上有 2 个零点 C. 在区间 上单调递减 D. 在 上的值域为 9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它除 以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则输 出 i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 10.已知椭圆 ( )的左、右焦点分别为 , ,点 P 为椭圆上不同于左、右 顶点的任意一点,I 为 的内心,且 ,若椭圆的离心率为 e,则 A. B. C.e D. 11.已知双曲线 的一条渐近线方程为 , 是 上关于原点对称 的两点, 是 上异于 的动点,直线 的斜率分别为 ,若 ,则 的取 值范围为 A. B. C. D. 12.若函数 有极值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。 13.已知函数 f(x)=ae +x+b,若函数 f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=2x+3,则 ab 的值为______. 14. 展开式中 x 的系数为______. ( ) sin 2f x x= 11 6 π ( )g x ( )g x 12x π= − ( )g x [ ]0 π, ( )g x 5 3 6 π π    , ( )g x 02 π −  , 3 02  −    , 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 1 2PF F∆ 1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − λ = 1 e 2 e 2e 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 0x y− = ,A B C M C ,A B ,MA MB 1 2,k k 11 2k  2k 1 1,8 4      1 1,4 2      1 1,4 8  − −   1 1,2 4  − −   ( ) ln xf x a x e= − a ( ),e− +∞ ( )1,e ( )1,+∞ ( )0,+∞ x 41(1 )(1 2 )xx + + 215.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线,它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先 发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三 段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图中的两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的 边长比为 ,若从大的勒洛三角形中随机取一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率为 ______. 16.平行四边形 中, 是腰长为 2 的等腰直角三角形, ,现将 沿 折起,使二面角 大小为 ,若 A,B,C,D 四点在同一球面上,则该球的表 面积为______. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)数列 (1)求 的通项公式; (2)若数列 18.(本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P − ABC 中,平面 PAB ⊥ 平面 ABC , PA = PB ,∠APB = ∠ACB = 90 ,点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点,点 G 是△ BCE 的重心. (1)证明: GF / / 平面 PAC ; (2)若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ,求二面角B−AP−C的余弦值. 19.(本小题满分 12 分)已知点 P 到直线 y=﹣3 的距离比点 P 到点 A(0,1)的距离多 2. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)经过点 Q(0,2)的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M,N 两点,是否存在定点 R 使得∠MRQ=∠ NRQ?若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,请说明理由. 20.(本小题满分 12 分)华北“一票通”景区旅游年卡,是由衡水市旅游局策划,由市某旅游公司推出 的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游消 费支出情况(单位:百元),相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到 的数据列成如下所示的频数分布表: 1:3 ABCD ABD∆ 90ABD∠ = ° ABD∆ BD A BD C− − 2 3 π ).13(2 1}{ 321 −=++++ n nn aaaaa 满足: }{ na .T}{,3}{ n项和的前求满足: nbab n ba nn nn=组别 频数 10 390 400 188 12 (1)求所得样本的中位数(精确到百元); (2)根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 .若该市总人口为 450 万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上; (3)若年旅游消费支出在 40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取 3 人,一年内继续来该景点游玩记 2 分,不来该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视为概 率,且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望. 附:若 ,则 , , 21.(本小题满分 12 分)已知函数 . (1)求 的最大值; (2)若 恒成立,求实数 b 的取值范围. 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 已知直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以 为极点, 轴的正 半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; (2)设点 为 上的任意一点,求 到 距离的取值范围. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ( ),不等式 的解集为 . (1)求 的值; (2)若 , , ,且 ,求 的最大值. 河北武邑中学 2019—2020 学年高三年级下学期期中考试 数学试题(理科)答案 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) ( )245,15N ( )2~ ,x N µ σ ( ) 0.6826p Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544p xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973p µ σ µ σ− ≤ + = ( ) ln xef x x x x = − − ( )f x 1( ) ( ) 1xf x x e bxx + + − ≥ − xOy 1C 3 ,x t y t = − +  = t O x 2C 2 1 2 cosρ ρ θ= + 1C 2C P 2C P 1C ( ) 2f x x m x= − − + m R∈ ( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞, m 0a > 0b > 3c > 2 2a b c m+ + = ( )( )( )1 1 3a b c+ + −第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符 合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。 1.已知集合 , .若 ,则实数 A. B. C. D. 【答案】C. 【解析】因为 ,所以直线 与直线 平行,所以 .故选 C. 2.设复数 满足 ( 为虚数单位), 在复平面内对应的点为( , ),则(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设 ,∵ ,∴ , 即 ,化简得 . 故选:B. 3.已知两个单位向量 ,若 ,则 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】因为 ,所以 ,所以 , 所以 ,又因为 ,所以 ,故选 B. 4.某学校拟从甲、乙等 5 位同学中随机选派 3 人去参加国防教育活动,则甲、乙均被选中的概率为 A. 3 5 B. 1 2 C. 2 5 D. 3 10 【答案】D  【解析】所求概率为C C= 3 10,故选 D. 5.已知点 满足不等式 ,点 是函数 的图像上任意一点, 则两点 P,Q 之间距离的最小值为( ) A. B. C.4 D. 【答案】A ( ){ }, | 2 0A x y x y= + = ( ){ }, | 1 0B x y x my= + + = A B = ∅ m = 2− 1 2 − 1 2 2 A B = ∅ 2 0x y+ = 1 0x my+ + = 1 2m = z 1 iz z− = − i z x y y x= − y x= ( ) ( )2 21 1 1x y− + − = ( ) ( )2 21 1 1x y+ + + = ( , )z x yi x y R= + ∈ 1 iz z− = − 1x yi x yi i+ − = + − 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y− + = + − y x= 1 2,e e ( )1 2 12− ⊥e e e 1 2,e e 2π 3 π 3 π 4 π 6 ( )1 2 12− ⊥e e e ( )1 2 12 0− ⋅ =e e e 1 1 2 22= ⋅e e e 1 2cos , =e e 1 2 [ ]1 2, 0,∈ πe e 1 2, π 3=e e ( ),P x y 3 2 0 5 0 5 0 x y x y x − ≥  + − ≥  − ≤ ( ),Q x y 2( ) 1f x x= − 5 2 12 − 13 1− 5 2 2【解析】如图所示,点 P 在平面区域内任一点 P,点 Q 在半圆 上, 过点 O 作直线的垂线,垂足为 P,交半圆于 Q,此时 取最小值, 求得 . 6.若 ,则 A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 , , 所以 , ,故 .故选 B. 7.若 ,则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D. 【解析】由 得 ,所以 , 所以 或 ,故 或 .故选 D. 8. 若函数 的图象向右平移 个单位得到的图象对应的函数为 ,则下列说法正 确的是( ) A. 的图象关于 对称 B. 在 上有 2 个零点 2 2 1(0 1)x y y+ = ≤ ≤ PQ min 5 2| | 12PQ = − ( ) 3 3 12 3 1log e,2 e,a b c − = = =    a b c> > c a b> > a c b> > c b a> > ( )2 1 3 032 2 2 1a = = > = 1 3 1 1 331 e 2e ac − = = >  =  1 a c< < 3 3log e log 3 1b = < = c a b> > tan 3cos( )2 α α − = − π   π cos2α = 1− 7 9 0 7 9 1− 7 9 tan 3cos( )2 α α − = − π   π sin 2 3cos cos 2 α α α π −   = −π −   cos 3cossin α αα = − cos 0α = sin 3 1α = − 2cos2 2cos 1 1α α= − = − 2cos2 1 2 7 9sinα α= − = ( ) sin 2f x x= 11 6 π ( )g x ( )g x 12x π= − ( )g x [ ]0 π,C. 在区间 上单调递减 D. 在 上的值域为 【答案】B 【解析】由题意 , 不是函数的最值, 不是对称轴,A 错; 由 , , ,其中 是 上 的零点,B 正确; 由 得 , , 因此 在 是递减,在 上递增,C 错; 时, , ,D 错. 故选:B. 9. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数.如果它是奇数.则对它乘 3 再加 1,如果它是偶数.则对它除 以 2,如此循环,最终都能够得到 1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入 n 的值为 10.则输 出 i 的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B ( )g x 5 3 6 π π    , ( )g x 02 π −  , 3 02  −    , 11 11( ) sin 2( ) sin(2 ) sin(2 )6 3 3g x x x x π π π= − = − = + 1( ) sin( )12 6 3 2g π π π− = − + = 12x π= − ( ) sin(2 ) 03g x x π= + = 2 ( )3x k k Z π π+ = ∈ 2 6 kx π π= − 5,3 6 π π [0, ]π 32 2 22 3 2k x k π π ππ π+ ≤ + ≤ + 7 12 12k x k π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈ ( )g x 7( , )3 12 π π 7 5( , )12 6 π π [ ,0]2x π∈ − 22 [ , ]3 3 3x π π π+ ∈ − 3( ) [ 1, ]2g x ∈ −【解析】 10.已知椭圆 ( )的左、右焦点分别为 , ,点 P 为椭圆上不同于左、右 顶点的任意一点,I 为 的内心,且 ,若椭圆的离心率为 e,则 ( ) A. B. C.e D. 【答案】A 【解析】设 内切圆的半径为 r 则 , , . , 整理得 ,∵P 为椭圆上的点, ,解得 . 故选:A 11.已知双曲线 的一条渐近线方程为 , 是 上关于原点对称 的两点, 是 上异于 的动点,直线 的斜率分别为 ,若 ,则 的取 值范围为 A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】∵双曲线 的一条渐近线方程为 ,∴ , 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 1F 2F 1 2PF F∆ 1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − λ = 1 e 2 e 2e 1 2PF F∆ 1 1 1 2IPFS r PF∆ = ⋅ 2 2 1 2IPFS r PF∆ = ⋅ 1 2 1 2 1 2IF FS r F F∆ = ⋅ 1 1 2 2IPF IF F IPFS S Sλ∆ ∆ ∆= − 1 1 2 2 1 1 2 2 2r PF r F F r PF λ∴ ⋅ = ⋅ − ⋅ 1 2 1 2F F PF PFλ = + 2 2c aλ∴ ⋅ = 1 e λ = 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 0x y− = ,A B C M C ,A B ,MA MB 1 2,k k 11 2k  2k 1 1,8 4      1 1,4 2      1 1,4 8  − −   1 1,2 4  − −   2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 0x y− = 2a b=则双曲线的方程为: , 设 , ,则 ,所以 , 即 ,∵ ,∴ .故选 A. 12.若函数 有极值点,则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上相应位置。 13.已知函数 f(x)=ae +x+b,若函数 f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=2x+3,则 ab 的值为______. 【答案】2 【解析】 14. 展开式中 x 的系数为______. 【答案】56 2 2 2 2 1( 0)4 x y bb b − = > ( )1 1,A x y ( )0 0,M x y ( )1 1,B x y− − 2 2 1 1 2 2 2 2 0 0 2 2 1 4 , 1 4 x y b b x y b b  − =  − = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 1, 44 x x x x y y y y y y y y x x x xb b + − + − + −∴ = ∴ = + − 1 2 1 4k k⋅ = 11 2k  2 1 1,8 4k  ∈    ( ) ln xf x a x e= − a ( ),e− +∞ ( )1,e ( )1,+∞ ( )0,+∞ x 41(1 )(1 2 )xx + + 2【解析】 15.勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线,它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先 发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三 段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.如图中的两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的 边长比为 ,若从大的勒洛三角形中随机取一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率为 ______. 【答案】 . 【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为 ,则小 勒洛三角形的面积为 ,因为大 小两个勒洛三角形,它们所对应的等边三角形的边长比为 ,所 以大勒洛三角形的面积为 ,若从大的勒洛三角形中随机取 一点,则此点取自小勒洛三角形内的概率为 . 16.平行四边形 中, 是腰长为 2 的等腰直角三角形, ,现将 沿 折起,使二面角 大小为 ,若 A,B,C,D 四点在同一球面上,则该球的表 面积为______. 【答案】 【解析】由题意,取 , 的中点分别为 , , 过 作面 的垂线与过 作面 的垂线, 两垂线交点 O 即为所求外接球的球心, 取 中点 E,连结 , , 则 即为二面角 的平面角, 又由 ,连接 , 在 中,则 ,在 中, ,得 , 即球半径为 ,所以球面积为 1:3 1 9 a ( )2 1 2 2 3 2 3 46 2a aaS π − 3π= × − × = 1:3 ( )( ) ( )2 2 2 2 3 9 2 a a S π − 3 π − 3 = = 1 2 1 9 S SP = = ABCD ABD∆ 90ABD∠ = ° ABD∆ BD A BD C− − 2 3 π 20π AD BC 1O 2O 1O ABD 2O BCD BD 1O E 2O E 1 2O EO∠ A BD C− − 1 2 1O E O E= = OE 1Rt O OE∆ 1 3O O = 1Rt O OA∆ 1 2O A = 5OA = 5R OA= = 24 20S Rπ π= =. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)数列 (1)求 的通项公式; (2)若数列 【解】 6 分 ………………………7 分 9 分 ………………………10 分 ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分)如图,三棱锥 P − ABC 中,平面 PAB ⊥ 平面 ABC , PA = PB ,∠APB = ∠ACB = 90 ,点 E, F 分别是棱 AB, PB 的中点,点 G 是△ BCE 的重心. (1)证明: GF / / 平面 PAC ; (2)若 GF 与平面 ABC 所成的角为60 ,求二面角B−AP−C的余弦值. ).13(2 1}{ 321 −=++++ n nn aaaaa 满足: }{ na .T}{,3}{ n项和的前求满足: nbab n ba nn nn=【解】19.(本小题满分 12 分)已知点 P 到直线 y=﹣3 的距离比点 P 到点 A(0,1)的距离多 2. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)经过点 Q(0,2)的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M,N 两点,是否存在定点 R 使得∠MRQ=∠ NRQ?若存在,求出点 R 的坐标;若不存在,请说明理由. 【解】(1)根据题意,|PA|的距离与 P 到直线 y=﹣1 的距离相等, 故 P 的轨迹为以 A 为焦点,y=﹣1 为准线的抛物线, 所以方程为 x2=4y; (2)根据抛物线的对称性知,若点存在一定在 y 轴上,设 R(0,r), 由∠MRQ=∠NRQ 得 kNQ+kMQ=0, 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 , 由题意显然 l 的斜率存在,设 l 为:y=kx+2, 由 ,得 x2﹣4kx﹣8=0, 得 x1+x2=4k,x1x2=﹣8, 由 2k 2k , 故 r=﹣2, 所以存在定点 R(0,﹣2). 20.(本小题满分 12 分)华北“一票通”景区旅游年卡,是由衡水市旅游局策划,由市某旅游公司推出 的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游华北 19 家签约景区.为了解市民每年旅游消 费支出情况(单位:百元),相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到 的数据列成如下所示的频数分布表: 组别 频数 10 390 400 188 12 (1)求所得样本的中位数(精确到百元); (2)根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布 .若该市总人口为 450 万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在 7500 元以上; (3)若年旅游消费支出在 40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩.现从游客中随机抽取 3 人,一年内继续来该景点游玩记 2 分,不来该景点游玩记 1 分.将上述调查所得的频率视为概 率,且游客之间的选择意愿相互独立.记总得分为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望. 附:若 ,则 , , [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100) ( )245,15N ( )2~ ,x N µ σ ( ) 0.6826p Xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 2 2 ) 0.9544p xµ σ µ σ− < ≤ + = ( 3 3 ) 0.9973p µ σ µ σ− ≤ + =【解】(1)设样本的中位数为 x,则 , 解得 ,所得样本中位数为(百元).…………2 分 (2) , , , 旅游费用支出在 7500 元以上的概率为 , , 估计有 10.26 万市民旅游费用支出在 7500 元以上.…………6 分 (3)由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为 ,X 可能取值为 3,4,5,6 , , , , 故其分布列为 X 3 4 5 6 P .………12 分 21.(本小题满分 12 分)已知函数 . (1)求 的最大值; (2)若 恒成立,求实数 b 的取值范围. 【解】(1) ,定义域 , , 由 , 在 增,在 减, (2) ( )4010 390 400 0.51000 1000 1000 20 x −+ + ⋅ = 45x= 45µ = 15σ = 2 75µ σ+ = ( )2P x µ σ≥ + 1 ( 2 2 ) 1 0.9544 0.02282 2 P xµ σ µ σ− − < < + −= = = 0.0228 450 10.26× = 3 5 ( ) 32 83 5 125P X  = = =   ( ) 2 1 3 3 2 364 5 5 125P X C   = = =     ( ) 2 2 3 3 2 545 5 5 125P X C    = = =       ( ) 33 276 5 125P X  = = =   8 125 36 125 54 125 27 125 ( ) 8 36 54 27 243 4 5 6125 125 125 125 5E X = × + × + × + × = ( ) ln xef x x x x = − − ( )f x 1( ) ( ) 1xf x x e bxx + + − ≥ ( ) ln xef x x x x = − − (0, )+∞ 2 2 1 ( 1) ( 1)( )( ) 1 x xe x x x ef x x x x − − −′ = − − = 1xe x x≥ + > ( )f x (0,1] (1, )+∞ max( ) (1) 1f x f e= = − 1( ) ( )e 1xf x x bxx + + − ≥ e eln e 1 x x xx x x bxx x ⇔− + − + + − ≥ ln e 1 0xx x x bx⇔ − + + − − ≥ e ln 1xx x x bx − − +⇔ ≥令 , 令 , 在 单调递增, , 在 存在零点 , 即 , 由于 在 单调递增,故 即 在 减,在 增, 所以 . 请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程 已知直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数).以 为极点, 轴的正 半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出 的普通方程和 的直角坐标方程; (2)设点 为 上的任意一点,求 到 距离的取值范围. 【解】(1) 的普通方程为 ,即 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 的直角坐标方程为 ,即 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 (2)由(1)知, 是以 为圆心,半径 的圆, 圆心 到 的距离 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 所以直线 与圆 相离, 到 距离的最小值为 ;∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 最大值为 ,∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 所以 到 距离的取值范围为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 xOy 1C 3 ,x t y t = − +  = t O x 2C 2 1 2 cosρ ρ θ= + 1C 2C P 2C P 1C 1C 3x y− = − 3 0x y− + = 2C 2 2 1 2x y x+ = + ( )2 21 2x y− + = 2C ( )1,0 2r = 2C ( )1,0 1C 1 0 3 2 2 2 2 d − += = > 1C 2C P 1C 2 2 2 2d r− = − = 2 2d r+ = + 2 3 2= P 1C 2,3 2   min e ln 1( ) , xx x x bx − − +⇔ ≥ e ln 1( ) xx x xx x ϕ − − += 2 ln( ) xx e xx x ϕ +′ = 2( ) lnxh x x e x= + ( )h x (0, )+∞ 0, ( )x h x→ → −∞ (1) 0h e= > ( )h x (0,1) 0x 02 0 0 0( ) ln 0xh x x e x= + = 0 0 0 1ln 2 0 0 0 0 0 0 ln 1ln 0 (ln )( )x x xxx e x x e ex x + = ⇔ = − = xy xe= (0, )+∞ 0 0 0 1ln ln ,x xx = = − 0 0 1xe x = ( )xϕ 0(0, )x 0( , )x +∞ 0 0 0 0 0 0 min 0 0 e ln 1 1 1( ) 2 xx x x x xx x x ϕ − − + + − += = = 2b ≤ −已知函数 ( ),不等式 的解集为 . (1)求 的值; (2)若 , , ,且 ,求 的最大值. 【解】(1)∵ , , 所以不等式 的解集为 , 即为不等式 的解集为 , ∴ 的解集为 , 即不等式 的解集为 , 化简可得,不等式 的解集为 , 所以 ,即 . (2)∵ ,∴ . 又∵ , , , ∴ , 当且仅当 , 等号成立, 即 , , 时,等号成立, ∴ 的最大值为 32. ( ) 2f x x m x= − − + m R∈ ( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞, m 0a > 0b > 3c > 2 2a b c m+ + = ( )( )( )1 1 3a b c+ + − ( ) 2f x x m x= − − + ( )2 2 2 2f x x m x∴ − = − − − − + ( )2 0f x − ≥ ( ] 4−∞, 2 0x m x− − − ≥ ( ] 4−∞, 2x m x− − ≥ ( ] 4−∞, ( )2 22x m x− − ≥ ( ] 4−∞, ( )( )2 2 2 0m m x+ + − ≥ ( ] 4−∞, 2 42 m + = 6m = 6m = 2 12a b c+ + = 0a > 0b > 3c > ( )( )( ) ( )( )( )1 2 2 31 1 3 2 a b ca b c + + −+ + − = ( ) ( ) ( ) 3 3 31 2 2 31 1 2 1 12 322 3 2 3 2 3 a b c a b c+ + + + −  + +   ≤ = = =          1 2 2 3a b c+ = + = − 2 12a b c+ + = 3a = 1b = 7c = ( )( )( )1 1 3a b c+ + −

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