2020 年广东省佛山市顺德区乐从镇中考数学模拟试卷（A 卷）
一．选择题（共 10 小题）
1．2020 的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
2．下列四个几何体的主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a4÷a＝a3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣ab）7＝a7b7 D．a2•a3＝a6
4．湖北省的总占地面积约为 18.59 万平方千米，将 18.59 万用科学记数法表示为（ ）
A．1.859×105 B．18.59×104 C．0.1859×106 D．1.86×105
5．一组数据：3、6、7、5、4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
6．如图，已知直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，B．若∠1＝54°，则∠2 等于
（ ）
A．126° B．134° C．136° D．144°
7．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+a﹣1＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
8．点 A、B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和 b，下列结论中正确的是（ ）
A．b+a＞0 B．a﹣b＜0 C．|a|＞|b| D． ＜0
9．如图，D、E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝2，DB＝7，EC
＝3，则 AE 的长是（ ）A． B．3 C．4 D．
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2﹣4ac＜0；③a﹣b+c＞0；④当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二．填空题（共 7 小题）
11．如果二次根式 有意义，则 x ．
12．因式分解 3xy﹣6y＝ ．
13．方程组 的解是 ．
14．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 P．若∠BPC＝130°，则∠A＝
°．
15．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E，连接 BE．若∠A
＝40°，则∠CBE 的度数为 ．16．如果 x+y＝5，xy＝6，那么 x2+y2＝ ．
17．如图，△A1B1C1 中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点 A2，B2，C2 分别是边 B1C1，
A1C1，A1B1 的中点；点 A3，B3，C3 分别是边 B2C2，A2C2，A2B2 的中点；…以此类推，
则第 2020 个三角形的周长是 ．
三．解答题（共 8 小题）
18．计算：（﹣2）2× +（ ﹣1）0+6sin60°
19．先化简，再求值： ，其中 ．
20．如图，已知平行四边形 ABCD，
（1）作∠B 的平分线交 AD 于 E 点．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若平行四边形 ABCD 的周长为 10，CD＝2，求 DE 的长．
21．某服装店老板到厂家选购 A、B 两种品牌的羽绒服，B 品牌羽绒服每件进价比 A 品牌羽
绒服每件进价多 200 元，若用 10000 元购进 A 种羽绒服的数量是用 7000 元购进 B 种羽绒
服数量的 2 倍．
（1）求 A、B 两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若 A 品牌羽绒服每件售价为 800 元，B 品牌羽绒服每件售价为 1200 元，服装店老
板决定一次性购进 A、B 两种品牌羽绒服共 80 件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不低于 30000 元，则最少购进 B 品牌羽绒服多少件？
22．央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就《主持人大赛》节目的喜
爱程度，在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比
较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作 A、B、C、D．根据调查结果
绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）本次被调查对象共有 人；扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应
圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整，并标明数据；
（3）若选“不太喜欢”的人中有两个女生和两个男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两
个学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰
好是一男一女的概率．
23．如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H，使得 AE＝
CG，BF＝DH，连结 EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形；
（2）若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求 AE 的
长．24．如图，双曲线 y1＝ 与直线 y2＝ 的图象交于 A、B 两点．已知点 A 的坐标为（4，
1），点 P（a，b）是双曲线 y1＝ 上的任意一点，且 0＜a＜4．
（1）分别求出 y1、y2 的函数表达式；
（2）连接 PA、PB，得到△PAB，若 4a＝b，求三角形 ABP 的面积；
（3）当点 P 在双曲线 y1＝ 上运动时，设 PB 交 x 轴于点 E，延长 PA 交 x 轴于点 F，
判断 PE 与 PF 的大小关系，并说明理由．
25．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC 于点 D，BD＝8cm．点 M 从点 A 出发，
沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运
动，速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点
Q、交 BD 于点 F．连接 PM，设运动时间为 t 秒（0＜t＜5）．
（1）当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？
（2）设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM＝S△ABC？若存在，求出 t 的值；若不存在，
说明理由；
（4）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存在，求出
此时 t 的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．2020 的相反数是（ ）
A．2020 B．﹣2020 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：2020 的相反数是：﹣2020．
故选：B．
2．下列四个几何体的主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体，是长方形的
一定是柱体，由此分析可得答案．
【解答】解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有 D 是锥体．
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a4÷a＝a3 B．（a5）2＝a7
C．（﹣ab）7＝a7b7 D．a2•a3＝a6
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则
分别化简得出答案．
【解答】解：A、a4÷a＝a3，原题计算正确；
B、（a5）2＝a10，故原题计算错误；
C、（﹣ab）7＝﹣a7b7，故原题计算错误；
D、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
故选：A．
4．湖北省的总占地面积约为 18.59 万平方千米，将 18.59 万用科学记数法表示为（ ）
A．1.859×105 B．18.59×104 C．0.1859×106 D．1.86×105
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：18.59 万＝185900＝1.859×105．
故选：A．
5．一组数据：3、6、7、5、4，则这组数据的中位数是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【分析】将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两
个数的平均数），叫做这组数据的中位数．依此即可求解．
【解答】解：把数据按从小到大的顺序排列为：3，4，5，6，7，则中位数是 5．
故选：C．
6．如图，已知直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，B．若∠1＝54°，则∠2 等于
（ ）
A．126° B．134° C．136° D．144°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠3 的度数，再利用邻补角的性质得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵a∥b，∠1＝54°，
∴∠1＝∠3＝54°，
∴∠2＝180°﹣54°＝126°．
故选：A．
7．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+a﹣1＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4（a﹣1）＜0，∴a＞2，
故选：B．
8．点 A、B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 a 和 b，下列结论中正确的是（ ）
A．b+a＞0 B．a﹣b＜0 C．|a|＞|b| D． ＜0
【分析】根据图示，可得：0＜a＜3，b＜﹣3，据此逐项判断即可．
【解答】解：A、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴b+a＜0，故选项错误；
B、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴a﹣b＞0，故选项错误；
C、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴|a|＜|b|，故选项错误；
D、∵0＜a＜3，b＜﹣3，
∴ ＜0，故选项正确．
故选：D．
9．如图，D、E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝2，DB＝7，EC
＝3，则 AE 的长是（ ）
A． B．3 C．4 D．
【分析】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵AD＝2，DB＝7，
∴AB＝AD+DB＝9，
∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得，AE＝3，
故选：B．
10．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的个数有（ ）
①c＞0；②b2﹣4ac＜0；③a﹣b+c＞0；④当 x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而减小
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】根据二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点情况即可判断①；根据
图象与 x 轴的交点情况即可判断②；根据当 x＝﹣1 时，y＞0，即可判断③；根据图象即
可判断④．
【解答】解：抛物线交 y 轴的正半轴，故 c＞0，故①正确；
抛物线与 x 轴有两个交点，故 b2﹣4ac＞0，故②错误；
当 x＝﹣1 时，y＞0，所以 a﹣b+c＞0，故③正确；
因为在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小，而对称轴 x＝﹣ ＞﹣1，故④错误；
故选：C．
二．填空题（共 7 小题）
11．如果二次根式 有意义，则 x ≥2 ．
【分析】根据二次根式被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故答案为：≥2．
12．因式分解 3xy﹣6y＝ 3y（x﹣2） ．
【分析】直接提取公因式进而分解因式即可．
【解答】解：3xy﹣6y＝3y（x﹣2）．
故答案为：3y（x﹣2）．13．方程组 的解是 ．
【分析】利用加减消元法解之即可．
【解答】解： ，
②﹣①得：
x＝6，
把 x＝6 代入①得：
6+y＝10，
解得：y＝4，
方程组的解为： ，
故答案为： ．
14．如图，在△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点 P．若∠BPC＝130°，则∠A＝ 80
°．
【分析】据三角形的内角和等于 180°，求出∠PBC+∠PCB 的度数，再根据角平分线的
定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC 中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC 的度
数．
【解答】解：在△PBC 中，∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣130°＝50°．
∵PB、PC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×50°＝100°，
在△ABC 中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．
15．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于点 E，连接 BE．若∠A
＝40°，则∠CBE 的度数为 10° ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA＝EB，得到∠ABE＝∠A＝40°，根据三
角形的外角的性质求出∠CEB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∴∠CEB＝80°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBE＝10°，
故答案为：10°．
16．如果 x+y＝5，xy＝6，那么 x2+y2＝ 13 ．
【分析】首先根据完全平方公式将（x+y）2 用（x+y）与 xy 的代数式表示，然后把 x+y，
xy 的值整体代入求解即可求得答案．
【解答】解：∵x+y＝﹣5，xy＝6
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy
＝25﹣12
＝13．
故答案为：13．
17．如图，△A1B1C1 中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7．点 A2，B2，C2 分别是边 B1C1，
A1C1，A1B1 的中点；点 A3，B3，C3 分别是边 B2C2，A2C2，A2B2 的中点；…以此类推，
则第 2020 个三角形的周长是 ．【分析】由三角形的中位线定理得：B2C2，A2C2，A2B2 分别等于 A1B1、B1C1、C1A1 的
，所以△A2B2C2 的周长等于△A1B1C1 的周长的一半，以此类推可求出结论．
【解答】解：∵△A1B1C1 中，A1B1＝4，A1C1＝5，B1C1＝7，
∴△A1B1C1 的周长是 16，
∵A2，B2，C2 分别是边 B1C1，A1C1，A1B1 的中点，
∴B2C2，A2C2，A2B2 分别等于 A1B1、B1C1、C1A1 的 ，
…，
以此类推，则△A4B4C4 的周长是 ×16，
∴△AnBn∁n 的周长是 ，
则第 2020 个三角形的周长是 ＝ ．
故答案为： ．
三．解答题（共 8 小题）
18．计算：（﹣2）2× +（ ﹣1）0+6sin60°
【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值
是多少即可．
【解答】解：（﹣2）2× +（ ﹣1）0+6sin60°
＝4×3 +1+6×
＝12 +1+3
＝15 +1
19．先化简，再求值： ，其中 ．
【分析】首先计算小括号里面的加法，再计算括号外的除法，化简后再代入 a 的值可得答案．
【解答】解：原式＝ ，
＝ ，
＝ ，
把 代入上式，得：原式＝ ＝ ＝ ．
20．如图，已知平行四边形 ABCD，
（1）作∠B 的平分线交 AD 于 E 点．（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若平行四边形 ABCD 的周长为 10，CD＝2，求 DE 的长．
【分析】（1）利用基本作图作 BE 平分∠ABC；
（2）先根据平行四边形的性质得到 AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝BC，则 AD＝3，再证
明∠ABE＝∠AEB 得到 AE＝AB＝2，然后计算 AD﹣AE 即可．
【解答】解：（1）如图，BE 为所作；
（2）∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝2，AD＝BC，
∵平行四边形 ABCD 的周长为 10
∴AB+AD＝5，
∴AD＝3，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣2＝1．
21．某服装店老板到厂家选购 A、B 两种品牌的羽绒服，B 品牌羽绒服每件进价比 A 品牌羽
绒服每件进价多 200 元，若用 10000 元购进 A 种羽绒服的数量是用 7000 元购进 B 种羽绒
服数量的 2 倍．
（1）求 A、B 两种品牌羽绒服每件进价分别为多少元？
（2）若 A 品牌羽绒服每件售价为 800 元，B 品牌羽绒服每件售价为 1200 元，服装店老
板决定一次性购进 A、B 两种品牌羽绒服共 80 件，在这批羽绒服全部出售后所获利润不
低于 30000 元，则最少购进 B 品牌羽绒服多少件？
【分析】（1）求 A、B 两种品牌的羽绒服每件进价分别为多少元，可设 A 种品牌的羽绒
服每件进价为 x 元，根据题意列出方程解方程．
（2）先设 B 种品牌得羽绒服购进 m 件，根据全部出售后所获利润不低于 30000 元列出
不等式求解即可．
【解答】解：（1）设 A 种羽绒服每件的进价为 x 元，根据题意的
解得 x＝500
经检验 x＝500 是原方程的解 x+200＝700（元）
答：A 种羽绒服每件的进价为 500 元，B 种羽绒服每件的进价为 700 元．
（2）设购进 B 品牌的羽绒服 m 件，根据题意的
（800﹣500）（80﹣m）+（1200﹣700）m≥30000
解得 m≥30
∵m 为整数
∴m 的最小值为 30．
答：最少购进 B 品牌的羽绒服 30 件．
22．央视举办的《主持人大赛》受到广泛的关注．某中学学生会就《主持人大赛》节目的喜
爱程度，在校内对部分学生进行了问卷调查，并对问卷调查的结果分为“非常喜欢”、“比
较喜欢”、“感觉一般”、“不太喜欢”四个等级，分别记作 A、B、C、D．根据调查结果
绘制出如图所示的扇形统计图和条形统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次被调查对象共有 50 人；扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆
心角的度数为 144° ；
（2）将条形统计图补充完整，并标明数据；
（3）若选“不太喜欢”的人中有两个女生和两个男生，从选“不太喜欢”的人中挑选两
个学生了解不太喜欢的原因，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的这两名学生恰
好是一男一女的概率．
【分析】（1）根据等级 A 的人数除以占的百分比求出调查的学生数，进而确定出等级 D
的人数即可；
（2）求出等级 B 与 C 占的百分比，以及等级 B 与 C 的人数，补全统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出所选两位同学恰好都是男同学的情况数，即可
求出所求的概率．
【解答】解：（1）本次被调查对象共有：16÷32%＝50（人），被调查者“比较喜欢”
有：50﹣16﹣4﹣50×20%＝20（人）；
∴扇形统计图中被调查者“比较喜欢”等级所对应圆心角的度数为 360°× ＝144°
故答案为：50，144°；
（2）∵等级 B 与 C 的人数分别为 20 和 10，
∴将条形统计图补充完整如图所示；
（3）画树状图如图所示，∵所有等可能的情况有 12 种，其中所选 2 位同学恰好一男一女的情况有 8 种，
∴两名学生恰好是一男一女的概率为： ＝ ．
23．如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H，使得 AE＝
CG，BF＝DH，连结 EF、FG、GH、HE．
（1）求证：四边形 EFGH 为平行四边形；
（2）若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求 AE 的
长．
【分析】（1）证△BEF≌△DGH 即可；
（2）设：AE＝x，则 EB＝x+1，tan∠AEH＝2＝ ＝ ，即可求解．
【解答】解：（1）∵ABCD 是矩形，AE＝CG，BF＝DH，
∴EB＝DG，FC＝AH，∠EBF＝∠GDH＝90°，
∴△BEF≌△DGH，（SAS），∴EF＝GH，同理 EH＝FG，∴四边形 EFGH 为平行四边形；
（2）设：AE＝x，则 EB＝x+1，
∵∠FEB＝45°，
∴FB＝EB＝x+1＝DH，
在 Rt△AEH 中，tan∠AEH＝2＝ ＝ ，
解得：x＝2，
即：AE 的长为 2．
24．如图，双曲线 y1＝ 与直线 y2＝ 的图象交于 A、B 两点．已知点 A 的坐标为（4，
1），点 P（a，b）是双曲线 y1＝ 上的任意一点，且 0＜a＜4．
（1）分别求出 y1、y2 的函数表达式；
（2）连接 PA、PB，得到△PAB，若 4a＝b，求三角形 ABP 的面积；
（3）当点 P 在双曲线 y1＝ 上运动时，设 PB 交 x 轴于点 E，延长 PA 交 x 轴于点 F，
判断 PE 与 PF 的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）由 P（a，b）在 y1＝ 的图象上，得到 ab＝4，再根据 4a＝b 即可求得 a，根据题
意求得 B（﹣4，﹣1），过点 P 作 PQ∥y 轴交 AB 于点 G，易得 G（1， ），即可求得 PG
＝ ，然后根据三角形面积公式即可求得；
（3）P 是双曲线 y1＝ 上的点，得出 P（a， ），然后根据待定系数法求得直线 PB 的
解析式，进而求得 E 点的坐标为（a﹣4，0），同理 F 点的坐标为（a+4，0），它们到 H点的距离相等，根据垂直平分线的性质即可证得 PE＝PF．
【解答】解：（1）把点 A（4，1）代入双曲线 y1＝ 得 k1＝4，
∴双曲线 y1＝ ；
代入直线 y2＝ 得 k2＝4，
∴直线为 y＝ x；
（2）∵点 P（a，b）在 y1＝ 的图象上，
∴ab＝4，
∵4a＝b，
∴4a2＝4，则 a＝±1，
∵0＜a＜4，
∴a＝1，
∴P（1，4），
又∵双曲线 y1＝ 与直线 y2＝ 的图象交于 A、B 两点，且 A（4，1）
∴B（﹣4，﹣1），
过点 P 作 PG∥y 轴交 AB 于点 G，如图所示，
把 x＝1 代入 y＝ x，得到 y＝ ，
∴G（1， ），
∴PG＝4﹣ ＝ ，
∴S△ABP＝ PG（xA﹣xB）＝ × ×8＝15；
（3）PE＝PF．
理由如下：∵点 P（a，b）在 y＝ 的图象上，
∴b＝ ，
∵B（﹣4，﹣1），
设直线 PB 的表达式为 y＝mx+n，∴ ，∴
∴直线 PB 的表达式为 y＝ x+ ﹣1，
当 y＝0 时，x＝a﹣4，
∴E 点的坐标为（a﹣4，0），
同理 F 点的坐标为（a+4，0），
过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图所示，
∵P 点坐标为（a，b），
∴H 点的坐标为（a，0），
∴EH＝xH﹣xE＝a﹣（a﹣4）＝4，
同理可得：FH＝4，
∴EH＝FH，
∴PE＝PF．
25．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC 于点 D，BD＝8cm．点 M 从点 A 出发，
沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2cm/s；同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运
动，速度为 1cm/s，运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点
Q、交 BD 于点 F．连接 PM，设运动时间为 t 秒（0＜t＜5）．
（1）当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？
（2）设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM＝S△ABC？若存在，求出 t 的值；若不存在，
说明理由；（4）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存在，求出
此时 t 的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）假设 PQCM 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得
到 AP＝AM，列出关于 t 的方程，求出方程的解得到满足题意 t 的值；
（2）根据 PQ∥AC 可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△BPQ 也
为等腰三角形，即 BP＝PQ＝t，再由证得的相似三角形得底比底等于高比高，用含 t 的
代数式就可以表示出 BF，进而得到梯形的高 PE＝DF＝8﹣t，又点 M 的运动速度和时间
可知点 M 走过的路程 AM＝2t，所以梯形的下底 CM＝10﹣2t．最后根据梯形的面积公式
即可得到 y 与 t 的关系式；
（3）根据三角形的面积公式，先求出三角形 ABC 的面积，又根据 S 四边形 PQCM＝S△ABC，
求出四边形 PQCM 的面积，从而得到了 y 的值，代入第二问求出的 y 与 t 的解析式中求
出 t 的值即可；
（4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到 MP＝MC，
过点 M 作 MH 垂直 AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得到△AHM∽△
ADB，由相似得到对应边成比例进而用含 t 的代数式表示出 AH 和 HM 的长，再由 AP 的
长减 AH 的长表示出 PH 的长，从而在直角三角形 PHM 中根据勾股定理表示出 MP 的平
方，再由 AC 的长减 AM 的长表示出 MC 的平方，根据两者的相等列出关于 t 的方程进而
求出 t 的值．
【解答】解：（1）假设四边形 PQCM 是平行四边形，则 PM∥QC，
∴AP：AB＝AM：AC，
∵AB＝AC，
∴AP＝AM，即 10﹣t＝2t，
解得：t＝ ，∴当 t＝ 时，四边形 PQCM 是平行四边形；
（2）∵PQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC，
∴△PBQ 为等腰三角形，PQ＝PB＝t，
∴ ，即 ，
解得：BF＝ t，
∴FD＝BD﹣BF＝8﹣ t，
又∵MC＝AC﹣AM＝10﹣2t，
∴y＝ （PQ+MC）•FD＝ （t+10﹣2t）（8﹣ t）＝ t2﹣8t+40；
（3）不存在；
∵S△ABC＝ ＝ ×10×8＝40，
当 S 四边形 PQCM＝S△ABC 时，y＝ t2﹣8t+40＝40，
解得：t＝0，或 t＝20，都不合题意，因此不存在；
（4）假设存在某一时刻 t，使得 M 在线段 PC 的垂直平分线上，则 MP＝MC，
过 M 作 MH⊥AB，交 AB 与 H，如图所示：
∵∠A＝∠A，∠AHM＝∠ADB＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴ ，
又∵AD＝ ＝6，
∴ ，
∴HM t，AH＝ t，
∴HP＝10﹣t﹣ t＝10﹣ t，
在 Rt△HMP 中，MP2＝ + ＝ t2﹣44t+100，
又∵MC2＝（10﹣2t）2＝100﹣40t+4t2，
∵MP2＝MC2，∴ t2﹣44t+100＝100﹣40t+4t2，
解得 ，t2＝0（舍去），
∴t＝ s 时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上．
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