2020届东等六校高三联合模拟考试文科数学试题（解析版）

东 四平一中 松原 实验中学 2020 届高三联合模拟考试文科数学试题 一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解不等式求出集合 ， ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由 即 解得 ，则 ， 由 解得 ，则 ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，考查指数不等式的解法，属于基础 题． 2.已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据复数代数形式的运算性质化简求出复数 ，再根据虚部的定义即可求出答案． 【详解】解：∵ ， ∴复数 的虚部是 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算性质以及虚部的定义，属于基础题． { }2| 6 0A x x x= − − < { }2| log 1B x x= < A B = ( )2,3− ( ),3−∞ ( )2,2− ( )0,2 A B 2 6 0x x− − < ( )( )3 2 0x x− + < 2 3x− < < ( )2,3A = − 2log 1x < 0 2x< < ( )0,2B = ( )0,2A B = 1 iz i −= i z i i− z 1 iz i −= 1 1 i += − 1 i= − − z 1− 3.已知 ，且 为第三象限角，则 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据诱导公式得 ，再同角的平方关系得 ，再根据二倍角的正弦公式求解即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， 又 为第三象限角，∴ ， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式、诱导公式以及同角的平方关系，属于基础题． 4.已知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示计算即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， 又 ， ∴ ，解得 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题． 5.设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值等于（ ） A. -34 B. -36 C. -6 D. 6 ( ) 4cos 5 π α− = α sin 2α 7 25 7 25 − 24 25 24 25 − 4cos 5 α = − 3sin 5 α = − ( ) 4cos 5 π α− = 4cos 5 α = − α 3sin 5 α = − 24sin 2 2sin cos 25 α α α= = ( )2,3a = ( ),5b x= ( )a a b⊥ −   x = 3 8 1− 1 2 a b−  ( )2,3a = ( ),5b x= ( )2 , 2a b x− = − −  ( )a a b⊥ −   ( ) ( )2 2 3 2 0x− + × − = 1x = − { }na n nS 1 11a = − 2 8 6a a+ = − nS 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求出数列 的公差，再根据前 项和公式求出 ，再计算最小值即可． 【详解】解：设数列 的公差为 ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴当 时， 有最小值 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等差数列的前 项和的最值的求法，属于基础题． 6.已知 ， 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，且 ， ，则 【答案】B 【解析】 【分析】 以长方体为载体，结合平行与垂直 判定与性质求解． 【详解】解：作一个任意长方体， 的 { }na n nS { }na d 2 8 6a a+ = − 12 8 6a d+ = − 1 11a = − 2d = nS ( ) 1 1 2 n n dna −= + ( )11 1n n n= − + − 2 12n n= − ( )26 36n= − − 6n = nS 6 36S = − n m n α β //m α nα β = //m n m α⊥ //m β α β⊥ n β⊥ α β⊥ //n α m α⊂ n β⊂ lα β = m l⊥ n l⊥ α β⊥ A 中，如图，取 ， 面 ， 面 ， ，而 ，即 ，故 A 错； B 中，若 ，则根据线面平行的性质，平面 内必存在直线 ，而 ，则 ，由面面垂直 的判定定理可得 ，B 对； C 中，如图，取 ， 面 ， 面 ，则 ， ，而 ，故 C 错； D 中，取 面 ， 面 ， ， ， 则 ， ，但 不垂直，故 D 错； 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行于垂直的判定和性质，熟记八个定理并借助长方体为载体是解题关键，属于易 错的基础题． 7.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积 几何？”，该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得.” 通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解，如图是解 决这类问题的程序框图，若输入 ，则输出的结果为（ ） m AB= α = 1 1CC D D β = 1 1BB C C 1CC nα β = = 1AB CC⊥ m n⊥ //m β β //l m m α⊥ l α⊥ α β⊥ n AB= α = 1 1ABB A β = 1 1BB C C n β⊥ α β⊥ n ⊂ α α = 1 1AB C D β = 1 1BB C C 1 1B C lα β = = 1m AB α= ⊂ 1n BB β= ⊂ m l⊥ n l⊥ ,α β n 32n = A. 80 B. 47 C. 79 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 ， 的值，当 时，满足条件退出循环，即可得到输出的 值． 【详解】解：模拟程序的运行，可得 ， ， 执行循环体， ， 不满足条件 ，执行循环体， ， ， 不满足条件 ，执行循环体， ， ， 满足条件 ，可得 ，退出循环，输出 的值为 ； 故选：C． 【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的方法， 但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题． 8.设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ） n S 0n = S 32n = 32S = 24n = 56S = 0n = 16n = 72S = 0n = 8n = 80S = 0n = 79S = S 79 x y 2 0 2 4 0 2 4 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − − ≤ 2z x y= + A. 2 B. -4 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】 作出可行域，结合目标函数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：变量 ， 满足约束条件 的可行域如图， 由 得 ， 目标函数 变形为 ，平移直线经过点 时，目标函数取得最大值， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查简单的线性规划，属于基础题． 9.2002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，看起来象个转 动的风车，很有美感(图 1)；弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(图 2).如 果直角三角形的较短直角边长和较长直角边长分别为 1 和 2，则向大正方形内任投一质点，质点落在小正方 形内的概率为（ ） x y 2 0 2 4 0 2 4 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − − ≤ 2 4 0 2 4 0 x y x y − + =  − − = ( )4,4A 2z x y= + 2y x z= − + A 2 4 4 12z = × + = A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出大小正方形的面积，再根据几何概型的概率计算公式求出概率． 【详解】解：由题意可求出大正方形的边长为 ，则其面积为 ， 小正方形的边长为 1，其面积为 1， 则质点落在小正方形内的概率 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据题意选择合适的测度是解题关键，属于基础题． 10.已知函数 （ ）在 上恰有一个最大值 1 和一个最小值-1，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 的解析式，利用 的取值范围与三角函数图象与性质，列出不等式求出 的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又函数 在 上恰有一个最大值 和一个最小值 ， ∴ ， 解得 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质的应用问题，属于中档题． 11.已知 是双曲线 的左、右焦点，若点 关于双曲线渐近线的对称点 1 5 2 25 2 5 1 25 2 21 2 5+ = 5 1 5P = ( ) sin 6f x x πω = +   0>ω (0,2] ω 7 7,12 6 π π    7 7,12 6 π π     2 7,3 6 π π    2 7,3 6 π π     ( )f x x ω 0 2x< ≤ 26 6 6x π π πω ω< + ≤ + ( )f x (0,2] 1 1− 3 522 6 2 π π πω≤ + < 2 7 3 6 π πω≤ < 1 2,F F ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yE a ba b − = > > 1F P 满足 （ 为坐标原点），则 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先利用对称求出点 P 的坐标，结合∠OPF2＝∠POF2 可知 ，利用两点间距离公式可求得离心率. 【详解】设 是 关于渐近线 的对称点，则有 ； 解得 ； 因为∠OPF2＝∠POF2，所以 ， ； 化简可得 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质.离心率的求解一般是寻求 之间的关系式. 12.已知函数 与函数 的图象在区间 上恰有两对关于 轴对称的点，则 实数 取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由 题 意 可 得 在 上 恰 有 两 个 解 ， 分 离 变 量 得 ， 令 ，利用导数求出函数 在 上的函数值变化，由此可得答案． 【详解】解：由题意可得 在 上恰有两个解， 即 在 上恰有两个解， 2 2OPF POF∠ = ∠ O E 5 2 3 2 2PF c= 0 0( , )P x y 1F by xa = − 0 0 0 0 2 2 y a x c b y x cb a  = + − = − ⋅ 2 2 2( , )b a abP c c − 2PF c= 2 2 2 2 22( ) ( )b a abc cc c − − + = 2e = , ,a b c ( ) 1 2 af x x x = + ( ) 2ln 3xg x x = − [ ]1,4 x a 5[ ,4 2ln 2)2 − 5[4 4ln 2, ]2 − [4 4ln 2,4 2ln 2)− − (4 4ln 2,4 2ln 2)− − ( ) ( )f x g x= − [ ]1,4 213 2ln2a x x x= − − ( ) 213 2ln2h x x x x= − − ( )h x [ ]1,4 ( ) ( )f x g x= − [ ]1,4 1 2ln32 a xx x x + = − [ ]1,4 即 在 上恰有两个解， 令 ，则 ， ∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ， ， ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用导数讨论函数的单调性，考查转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知 ，则 __________． 【答案】3 【解析】 【分析】 利用分段函数的解析式，转化求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查已知分段函数解析式求函数值，属于基础题． 14.正三棱柱 的所有棱长都相等， 是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦 值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则 为异面直线 与 所成角，解三角形即可． 【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱 ，其中 ， ， 213 2ln2a x x x= − − [ ]1,4 ( ) 213 2ln2h x x x x= − − ( ) 23h' x x x = − − ( )( )1 2x x x − −= − ( )h x [ ]1,2 [ ]2,4 ( ) 51 2h = ( )2 4 2ln 2h = − ( ) 54 4 4ln 2 2h = − < 5 4 2ln 22 a≤ < − ( ) ( ) 22 , 0 2 , 0 x x xf x f x x  + ≥=  + > F P C PF x A B AB OP POB∆ 1 2 O C F 1l 2l C M N S T MSNT S 2 2 12 x y+ = 16 9 2 ( , )bP c a − 2 2 2 2 1 1 2 2 OP AB POB b bk kac a S bc b c a ∆  −= = = −  = =  + =  1l x⊥ 2 //l x 2 21 2 2 2 22MSNT bS a ba = = =   1l 2l 1l 1x ky= − 2l 1 1x yk = − MN ST 1 2S MN ST=  2 ( , )bP c a − ( ,0)A a (0, )B b 则有： ，解得 ， ∴椭圆 的标准方程为 ； （2）①当 ， 时， ； ②当 ， 斜率存在时，设 ： ， ： ，分别联立椭圆方程 ， 联立 得 ， ∴ ， ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， 当且仅当 即 即 时等号成立， 故四边形 的面积 的最小值 ． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 21.已知函数 （ ）. （1）当 时，讨论函数 单调性； （2）若 ，（ ， 为 的两个零点，且 ）求 的取值范围. 2 2 2 2 1 1 2 2 OP AB POB b bk kac a S bc b c a ∆  −= = = −  = =  + =  2 1 1 a b c  = =  = C 2 2 12 x y+ = 1l x⊥ 2 //l x 2 21 2 2 2 22MSNT bS a ba = = =   1l 2l 1l 1x ky= − 2l 1 1x yk = − 2 2 12 x y+ = 2 2 1 12 x ky x y = − + = ( )2 22 2 1 0k y ky+ − − = 1 2 2 2 2 ky y k + = + 1 2 2 1 2y y k −= + ( )22 1 2 1 21 4MN k y y y y= + ⋅ + − 2 2 2 2 2 41 2 2 kk k k  = + ⋅ + + +  ( )2 2 2 2 1 2 k k + = + ( )22 2 2 12 2 1 2 2 1 1 1 22 kkST k k  +  + = = ++ 1 2S MN ST=  ( ) ( )( ) 22 2 2 8 11 2 2 2 1 k k k + = + + ( ) ( )( ) 22 2 2 4 1 2 2 1 k k k + = + + ( )22 2 2 2 4 1 2 2 1( )2 k k k + ≥ + + + ( ) 2 2 22 4( 1) 16 99 1 4 k k += = + 2 22 2 1k k+ = + 2 1k = 1k = ± MSNT S min 16 9S = ( ) 2 2 2lnf x x kx x= − + k R+∈ 5k = ( )f x ( ) ( )1 1 2 2 1( ) ( )4 xH f x f x Hx = − ≥ 1x 2x ( )'f x 1 2x x< k 【答案】（1） 在 和 上单调递增，在 上单调递减；（2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，求导后根据导数研究函数的单调性即可； （2）求导得 ，由题意知方程 在 上有两个不 等的实根 ， （ ），由此可得 ，根据韦达定理化简变形得 ，令 ，则 ，求导后根据导数研究函数的单调性，从而得出 ，再根据 基本不等式即可求出答案． 【详解】解：（1）当 时， ， 令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ， 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减； （2） ， 由题意知方程 在 上有两个不等的实根 ， （ ）， 所以 ，解得 ， ( )f x 5 1(0, )2 −< 5 1( , )2 + +∞ 5 1 5 1( )2 2 − +， 5[ , )2 +∞ 5k = ( ) 22 2 2 2' 2 2 x kxf x x k x x − += − + = 22 2 2 0x kx− + = (0, )+∞ 1x 2x 1 2x x< 2k > 1 2 1 1 2 1 2 2 ( ) 2lnx x x xH x x x x = − + 1 2 (0,1)xt x = ∈ ( ) 1 2lnH t t tt = − + 10 4t< ≤ 5k = ( ) 22 2 2 5 2' 2 2 5 x xf x x x x − += − + = ( )' 0f x > 5 10 2x −< < 5 1 2x +> ( )' 0f x < 5 1 5 1 2 2x − +< < ( )f x 5 1(0, )2 −< 5 1( , )2 + +∞ 5 1 5 1( )2 2 − +， ( ) 22 2 2 2' 2 2 x kxf x x k x x − += − + = 22 2 2 0x kx− + = (0, )+∞ 1x 2x 1 2x x< 2 1 2 1 2 4 0 0 1 0 k x x k x x ∆ = − >  + = >  = > 2k > ( ) ( )1 1 2 2 ( )xH f x f xx = − ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 22 2 ln lnx x k x x x x= − − − + − ( ) ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 ln lnx x x x x x x x= − − + − + − ， 令 ，则 ， ， 所以 在 上单调递减，又 ，所以 ， 而 ，当且仅当 等号成立 即 ， 综上：实数 的取值范围为 ． 【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，属于难题． 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为直线 的倾斜角），以坐标 原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）写出曲线 的直角坐标方程，并求 时直线 的普通方程； （2）直线 和曲线 交于 、 两点，点 的直角坐标为 ，求 的最大值. 【答案】（1） ： ， ： ；（2） 【解析】 【分析】 （1）把 两边同时乘以 ，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线 的直角坐标方程， 由直线 的参数方程可知直线过定点，并求得直线的斜率，即可写出直线的普通方程； （2）把直线的参数方程代入曲线 的普通方程，化为关于 的一元二次方程，利用判别式、根与系数的关 系及此时 的几何意义求解． ( )2 2 2 1 1 22 ln lnx x x x= − + − 2 2 2 1 1 1 2 2 2lnx x x x x x −= + 2 1 1 1 2 2 2lnx x x x x x = − + 1 2 (0,1)xt x = ∈ ( ) 1 2lnH t t tt = − + ( ) 2 1 2' 1H t t t = − − + 2 2 2 1t t t − += − ( )2 2 1 0t t −= − < ( )H t (0,1) ( ) 1( )4H t H≥ 10 4t< ≤ 2 2 1 2 1 2 ( )x xk x x += 1 2 2 1 2x x x x = + + 1 252 4t t = + + ≥ 1 4t = 5 2k ≥ k 5[ , )2 +∞ xOy l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + t α l O x C 2sinρ θ= C 2 3 πα = l l C A B P ( )1,2 | | | |PA PB+ C 2 2 2 0x y y+ − = l 3 3 2 0x y+ − − = 2 2 2sinρ θ= ρ C l C t t 【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ∴曲线 的直角坐标方程为 ， 当 时，直线 的普通方程为 ； （2）把直线 的参数方程为 代入 ， 得 ， ， ，则 与 同号且小于 0， 由 得： 或 ， ∴ ， ∴ 的最大值为 ． 【点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程化普通方程，关键是直线 参数方程中参数 的几何意义的应用，属于中档题． 23.已知函数 ， . （1）当 时，解不等式 ； （2）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值的几何意义解出即可； （2）由题意 的值域为 ， 的值域为 ，根据 解出 即可． 【详解】解：（1）当 时， ， 由绝对值的几何意义得 ，或 ， ∴ 的解集为 ； （2）由题意可知： 的值域是 值域的子集， 2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= C 2 2 2 0x y y+ − = 2 3 πα = l 3 3 2 0x y+ − − = l 1 cos 2 sin x t y t α α = +  = + 2 2 2 0x y y+ − = ( )2 2sin 2cos 1 0t tα α+ + + = ( )1 2 2sin 2cost t α α+ = − + 1 2 1t t = 1t 2t ( )22sin 2cos 4 0α α∆ = + − > 2sin 2cos 2α α+ < − 2sin 2cos 2α α+ > ( )1 2| | | |PA PB t t+ = − + 2sin 2cosα α= + 2 2 sin( )4 πα= + | | | |PA PB+ 2 2 t ( ) | 1| | |f x x x a= − + + ( ) | 2 | 1g x x= − + 2a = ( ) 5f x ≥ 1x R∈ 2x R∈ ( ) ( )2 1g x f x= a ( ] [ ), 3 2,−∞ − +∞ ( ] [ ), 2 0,−∞ − +∞ ( )1f x [| 1|, )a + +∞ ( )2g x [1, )+∞ [| 1|, )a + +∞ [1, )⊆ +∞ 2a = | 1| | 2 | 5x x− + + ≥ 3x ≤ − 2x ≥ ( ) 5f x ≥ ( ] [ ), 3 2,−∞ − +∞ ( )1f x ( )2g x 的值域是： ， 的值域为： ， ∴ ，解得： 或 ， ∴实数 的取值范围是 ． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查集合的包含关系，属于中档题． ( )1f x [| 1|, )a + +∞ ( )2g x [1, )+∞ | 1| 1a + ≥ 0a ≥ 2a ≤ − a ( ] [ ), 2 0,−∞ − +∞