2019 年 3 月高三调研考试
数学（文科）试卷
一、选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集 , ,则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解出集合 M，然后取补集即可.
【详解】 = ,全集
则
故选 C
【点睛】本题考查集合的补集运算，属于简单题.
2.已知是 虚数单位， 是 的共轭复数，若 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得： ，
则 ，据此可得， 的虚部为 .
本题选择 A 选项.
3.某中学 2018 年的高考考生人数是 2015 年高考考生人数的 1.5 倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，
统计了该校 2015 年和 2018 年的高考情况，得到如图柱状图：
U = R { }2 2 0M x x x= + ≤ UC M =
{ }x| 2 x 0− < < { }x| 2 x 0− ≤ ≤ { }x|x 2 x 0− 或 { }x|x 2 x 0或≤ − ≥
2{ | 2 }M x x x= − ≥ { }2| 0x x− ≤ ≤ U = R
{ | 2 0}UC M x x x= − 或
i z z 1 i(1 i) 1 iz
−+ = + z
1
2
1
2
− 1 i2
1 i2
−
( )2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 21
i iz ii ii
− −= = = − = − −
+
1 1
2 2z i= − + z 1
2则下列结论正确的是（ ）
A. 与 2015 年相比，2018 年一本达线人数减少
B. 与 2015 年相比，2018 二本达线人数增加了 0.5 倍
C. 2015 年与 2018 年艺体达线人数相同
D. 与 2015 年相比，2018 年不上线的人数有所增加
【答案】D
【解析】
【分析】
设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为 .
观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.
【详解】设 2015 年该校参加高考的人数为 ，则 2018 年该校参加高考的人数为 .
对于选项 A.2015 年一本达线人数为 .2018 年一本达线人数为 ，可见一本达线人
数增加了，故选项 A 错误；
对于选项 B，2015 年二本达线人数为 ，2018 年二本达线人数为 ，显然 2018 年二本
达线人数不是增加了 0.5 倍，故选项 B 错误；
对于选项 C，2015 年和 2018 年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项 C 错误；
对于选项 D，2015 年不上线人数为 .2018 年不上线人数为 .不达线人数有所增加.
故选 D.
【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的
关系列式计算是解题的关键．
4.中国古代词中，有一道“八子分绵” 数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，的
S 1.5S
S 1.5S
0.28S 0.24 1.5 0.36S S× =
0.32S 0.4 1.5 0.6S S× =
0.32S 0.28 1.5 0.42S S× =要将第八数来言”．题意是：把996 斤绵分给 8 个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小
的比年龄大的多 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是（ ）
A. 174 斤 B. 184 斤 C. 191 斤 D. 201 斤
【答案】B
【解析】
用 表示 8 个儿按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列 是公差为 17 的等差数列，且这 8 项的和为 996，
∴ ，
解得 ．
∴ ．选 B．
5.已知椭圆 的离心率为 ,则实数 等于（ ）
A. 2 B. 2 或 C. 2 或 6 D. 2 或 8.
【答案】D
【解析】
若 焦 点 在 轴 时 ， ， 根 据 ， 即
，焦点在 轴时， ，即 ，所以 等于 或 8，故选 D.
6.若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若 ，因为 垂直于平面 ，则 或 ；若 ，又 垂直于平面 ，则 ，所以
“ ”是“ 的必要不充分条件，故选 B．
考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．
7.如图，在平行四边形 中，对角线 与 交于点 ，且 ，则 （ ）
1 2 8, , ,a a a
1 2 8, , ,a a a
1
8 78 17 9962a
×+ × =
1 65a =
8 65 7 17 184a = + × =
2 24 1mx y+ = 2
2
m
8
3
x 2 21 1, 4a bm
= = 2 2 2 2
2 2 2
2 1 1 1
2 2 2 2
c c a b be a a a a
−= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
1 2 24 mm
= ⇒ = y 2 21 1,4a b m
= = 1 2 84 mm
= ⇒ = m 2
,l m m α l m⊥ / /l α
l m⊥ m α / /l α l α⊂ / /l α m α l m⊥
l m⊥ / /l α
ABCD AC BD O 2AE EO= ED =A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，以 为基底将向量 进行分解后可得结果．
【详解】画出图形，如下图．
选取 为基底，则 ，
∴ ．
故选 C．
【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理
选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘
运算．
8.在矩形 ABCD 中，AB＝8，AD＝6，若向该矩形内随机投一点 P，那么使△ABP 与△ADP 的面积都小于 4 的
概率为（ ）
A. B. C. D.
1 2
3 3AD AB− 2 1
3 3AD AB+
2 1
3 3AD AB− 1 2
3 3AD AB+
, AB AD ED
, AB AD ( )2 1 1
3 3 3AE AO AC AB AD= = = +
( )1 2 1
3 3 3ED AD AE AD AB AD AD AB = − = − + = −
1
36
1
12
1
9
4
9【答案】A
【解析】
【分析】
以 AB 为底边，由△ABP 与△ADP 的面积都小于 4，得到两个三角形的高即为 P 点到 AB 和 AD 的距离，得到对
应区域，利用面积比求概率．
【详解】以 AB 为底边，要使面积都小于 4，
由于 AB×h＝4h＜4，
则点 P 到 AB 的距离 h＜1，
同样， AD×d＝3d＜4，
∴P 点到 AD 的距离要小于 ，满足条件的 P 的区域如图，
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是 1 ．
∴使得△ABP 与△ADP 的面积都小于 4 概率为：p ．
故选 A．
【点睛】本题考查几何概型、面积比求概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.已知集合 A={1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，
十位数和百位数，记这个三位数为 ，现将组成 的三个数字按从小到大排成的三位数记为 （ ），按从
大到小排成的三位数记为 D（ ）（例如 ＝219，则 （ ）＝129，D（ ）＝921），阅读如图所示的程序
框图，运行相应的程序，任意输入一个 ，则输出 b 的值为（ ）
1
2ABPS
=
1
2ADPS =
4
3
4 4
3 3
× =
4
13
8 6 36
= =×
a a I a
a a I a a
aA. 792 B. 693 C. 594 D. 495
【答案】D
【解析】
试 题 分 析 ： A ， 如 果 输 出 的 值 为 792 ， 则
，不满足题意．
B，如果输出的值为 693，则 ，
，不满足题意．
C，如果输出的值为 594，则
，不满足题意．
D，如果输出的值为 495，则 ， ，
满足题意．故选 D．
考点：程序框图
10.过点（0，1）的直线 被圆 所截得的弦长最短时，直线 的斜率为（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：点 在 圆内，要使得过点 的直线 被圆 所截得的弦
长最短，则该弦以 为中点，与圆心和 连线垂直，而圆心和 连线的斜率为 ，所以
所求直线斜率为 1，故选择 A．
考点：直线与圆的位置关系．
792a = ，
279 972 972 279 693I a D a b D a I a= = = − = − =（ ） ， （ ） ， （ ） （ ）
693,a =
369 963 963 369 594I a D a b D a I a= = = − = − =（ ） ， （ ） ， （ ） （ ）
594a = ，
459 954 954 459 495I a D a b D a I a= = = − = − =（ ） ， （ ） ， （ ） （ ） ，
495a = ， 459 954 954 459 495I a D a b D a I a= = = − = − =（ ） ， （ ） ， （ ） （ ）
l 2 2( 1) 4x y− + =
2 2−
( )0,1 ( )2 21 4x y− + = ( )0,1 l ( )2 21 4x y− + =
( )0,1 ( )0,1 ( )0,1 0 1 11 0
− = −−11.已知函数 ， ，若 ，且
，则 的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件 求出三角函数 的周期，再由 求出 的值，结合三角函数的单调
性求出单调增区间
【 详 解 】 设 的 周 期 为 ， 由 ， ， ， 得
，
由 ，得 ，即 ，
又 ，
∴ ， ．
由 ，
得 ．
∴ 的单调递增区间为 ．
故选 B．
【点睛】本题主要考查利用 的图象特征的应用，解析式的求法．属于基础题
12.已知定义在 上 函数 的图像关于直线 对称，且当 时, .若 , 是
函数 图像上的两个动点，点 ，则当 的最小值为 0 时，函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
的
( ) sin( )( 0,0 )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + > < < 1 2( ) 1, ( ) 0f x f x= = 1 2 minx x− 1
2
=
1 1( )2 2f = ( )f x
1 5[ 2 , 2 ],6 6k k k Z− + + ∈ 5 1[ 2 , 2 ],6 6k k k Z− + + ∈
5 1[ 2 , 2 ],6 6k k k Zπ π− + + ∈ 1 7[ 2 , 2 ],6 6k k k Z+ + ∈
1 2 min
1
2x x− = ( )f x 1 1
2 2f =
ϕ
( )f x T ( )1 1f x = ( )2 0f x = 1 2 min
1
2x x− =
1 224 2 2
T T
πω π= ⇒ = ⇒ = =
1 1
2 2f =
1 1sin 2 2
π ϕ + =
1cos 2
ϕ =
0 2
πϕ< <
3
πϕ = ( ) sin 3f x x
ππ = +
2 22 3 2k x k
π π ππ π π− + ≤ + ≤ +
5 12 2 ,6 6k x k k Z− + ≤ ≤ + ∈
( )f x 5 12 , 2 ,6 6k k k Z − + + ∈
( ) ( )sinf x A xω ϕ= +
R ( )f x ( 0)x a a= > x a≥ ( ) 2x af x e −= A B
( )f x ( ),0P a PA PB⋅ ( )f x
1
2e
− 1e− 3
2e
− 2e−【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据数量积最小值为 0，得到相切且垂直，再利用切点导数为斜率， 入手求得 值,问题得解 ．
【详解】解：如图， 显然 的模不为 0 ，
故当 最小值为 0 时,只能是图中的情况，此时， ，且 , 与函数图象相切，根据对称
性， 易得 ，
设 ， ，
当 时，
，
，
，
即 ，
，
，
当 时， ，递增，
故其最小值为： ，
a
,PA PB
PA PB
PA PB⊥ PA PB
45BPD∠ = °
0(B x 0 )y
x a
2( ) x af x e −′ =
∴ 0 2
0( ) 1x af x e −′ = =
0 2x a∴ =
( ,0)P a
PD a∴ =
BD a∴ =
(2 , )B a a
2 2a ae a−∴ =
1a\ =
∴ 1x
2( ) xf x e −=
1e−根据对称性可知， 函数 在 上最小值为 ．
故选 ．
【点睛】此题考查了数量积，导数,指数函数单调性等，综合性较强，难度适中 ．
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13.若实数 满足不等式组 则 的最小值为______．
【答案】-13
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC 及其内部，再将目标函数 z＝2x+y 对应的直线进行平
移，可得当 x＝y＝1 时，z＝2x+y 取得最小值．
【详解】作出不等式组 表示的平面区域：
得到如图的阴影部分，由 解得 B（﹣11，﹣2）设 z＝F（x，y）＝x+y，将直线 l：z＝x+y 进
行平移，
当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，
∴z 最小值＝F（﹣11，﹣2）＝﹣13．
故答案为﹣13
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区
域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
( )f x R 1e−
B
x y，
3 5 0
2 4 0
2 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
+ ≥
，
，
，
z x y= +
3 5 0
2 4 0
2 0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
+ ≥
y 2
3 5 0x y
= −
− + =14.若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由函数 y=f（x）的定义域为[ ，2]，知 ≤log2x≤2，由此能求出函数 y=f（log2x）的定义域即可．
【详解】∵函数 y=f（x）的定义域为[ ，2]，
∴ ≤log2x≤2，
∴ ≤x≤4．
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的定义域和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析
推理能力.
15.已知数列 的前 项和为 ， ．当 时， ，则 =_______
【答案】1010
【解析】
【分析】
由题意可得： ，整理变形可知当 时，数列任意连续两项之和为 1，据
此求解 的值即可.
【详解】由题意可得： ，
两式作差可得： ，即 ,
即当 时，数列任意连续两项之和为 1，
据此可知： .
【点睛】给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an 的递推关系，
再求其通项公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的关系，再求 an.
16.如图，在三棱锥 中 两两垂直，且 ，设 是底面三角形
内一动点，定义： ，其中 分别是三棱锥 、三棱锥 、
( )y f x= 1[ ,2]2 2(log )y f x=
[ 2,4]
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2,4
{ }na n nS 1 1a = 2n ≥ 12n na S n−+ = 2019S
1 12 , 2 1n n n na S n a S n− ++ = + = + 2n ≥
2019S
1 12 , 2 1n n n na S n a S n− ++ = + = +
1 2 1n n na a a+ − + = 1 1n na a+ + =
2n ≥
2019
20181 10102S = + =
nS na 1n n na S S −= −
P ABC− PA PB PC、 、 3, 2, 1PA PB PC= = = M
ABC ( ) ( , , )f M m n p= m n p、 、 M PAB− M PBC−三棱锥 的体积．若 ，且 恒成立，则正实数 的最小值是_____
【答案】
【解析】
【分析】
由垂直关系可知 平面 ，进而求得三棱锥 体积，通过体积桥可得 ；利用
可构造出符合基本不等式的形式，得到 ，由恒成立关系
可得关于 的不等式，解不等式求得最小值.
【详解】 两两垂直 平面
，即
（当且仅当
，即 时取等号）
又 恒成立， ，解得： ，
正实数 的最小值为
【点睛】本题考查与立体几何有关的新定义运算中的最值问题的求解；关键是能够对“ ”进行灵活应用，
配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得式子的最值，进而根据恒成立的关系得到不等式，从
而求得结果.
三、解答题：（本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（一）必考题：共 60 分
17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 ，且 .
（1）求 ；
M PAC− 1( ) ,2 ,2f M x y =
1 8a
x y
+ ≥ a
6 4 2−
PC ⊥ PAB P ABC− 4 2 1x y+ =
( )1 1 4 2a a x yx y x y
+ = + +
1 4 2 4 2a a ax y
+ ≥ + +
a
, ,PA PB PC PC∴ ⊥ PAB
1 1 1 3 2 1 13 3 2P ABC C PAB PABV V S PC− − ∆∴ = = ⋅ = × × × × = 1 2 12 x y+ + = 4 2 1x y∴ + =
( )1 1 2 4 2 44 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2a a y ax y axx y a a a ax y x y x y x y
∴ + = + + = + + + ≥ + + ⋅ = + +
2 4y ax
x y
= 2y ax=
1 8a
x y
+ ≥ 4 2 4 2 8a a∴ + + ≥ 6 4 2a ≥ −
∴ a 6 4 2−
1
ABC∆ , ,a b c 3 cos sina C c A=
C（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1） ;（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意利用正弦定理边化角可得 ，则 ，据此确定角 C 的值即可；
（2）由题意结合面积公式可得 ，结合余弦定理可得 ，据此求解△ABC 的周长即可.
【详解】（1）∵ ，∴由正弦定理可得： ，
∵ ，∴ ，可得： ，
∵ ，∴ .
（2）∵ ， ， 的面积为 ，
∴可得： ，
∵由余弦定理可得： ，
∴解得： ，
∴ 的周长 .
【点睛】本题主要考查正弦定理 应用，余弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的
转化能力和计算求解能力.
18.如图是某地区 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.
注：年份代码 分别表示对应年份 .
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 （ 线性相关较强）加以
说明；
（2）建立 与 的回归方程(系数精确到 0.01)，预测 2019 年该区生活垃圾无害化处理量.
.
的
3 2c = ABC∆ 3 ABC∆
3C
π= 30 3 2+
3sinAcosC sinCsinA= 3tanC =
4ab = 30a b+ =
3acosC csinA= 3sinAcosC sinCsinA=
0sinA ≠ 3cosC sinC= 3tanC =
( )0,C π∈
3C
π=
3 2c =
3C
π= ABC∆ 1 33 2 4absinC ab= =
4ab =
( ) ( )2 22 218 3 12a b ab a b ab a b= + − = + − = + −
30a b+ =
ABC∆ 30 3 2a b c+ + = +
1 7∼ 2012 2018
y t r 0.75r >
y t【参考数据】 ， ， ， ，
， ， .
【参考公式】相关系数 ，在回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公
式分别为： ， .
【答案】（1）见解析；（2）1.744
【解析】
【分析】
(1)根据题中所给的公式得到 r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将 2019 年所
对应的 t=8 代入方程可得到估计值..
【详解】(1)由题意得,
∴
所以 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.
（2）由已知得 ，
，
所以， 关于 的回归方程为：
将 2019 年对应 代入回归方程得： .
所以预测 2019 年该地区生活垃圾无害化处理量将约 万吨.
【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样
的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回
归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预
测值是预测变量的估计值，不是准确值.
的
7
1
9.32i
i
y
=
=∑ ( )( )7
1
2.89i i
i
t t y y
=
− − ≈∑ ( )7 2
1
0.55i
i
y y
=
− ≈∑ ( )7 2
1
2 2.646i
i
t t
=
− ≈ ×∑
( )7 2
1
28i
i
t t
=
− ≈∑ 2.89 0.992 2.646 0.55
≈× ×
2.89 0.10328
≈
( )( )
( ) ( )
1
22
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
t t y y
r
t t y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑ y bt a= +
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
=
=
− −
=
−
∑
∑
a y bt= −
( )( )
( ) ( )
7
1
7 72 2
1 1
i ii
i ii i
t t y y
r
t t y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
0.75>
( )( )
( )
7
1
7 2
1
2.89 0.10328
ˆ i ii
ii
t t y y
b
t t
=
=
− −
= = ≈
−
∑
∑
1.331 0.103 4 0.ˆ 92ˆa y bt= − = − × ≈
y t 0.92 0 10ˆ . 3y t= +
8t = 0.92 0.103 8ˆ 1.744y = + × =
1.74419.如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1 为三棱柱，且 AA1⊥平面 ABC， AA1=AC，四边形 ABCD 为平行四边形，
AD=2CD=4，∠ADC=60°.
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析；（2）4
【解析】
【分析】
（1）推导出 AC1⊥A1C，AC⊥AB，AA1⊥AB，从而 AB⊥平面 ACC1A1，进而 A1B1⊥AC1，由此能证明 AC1⊥
平面 A1B1CD．
（2）由 CD＝2，得 AD＝4，AC＝AA1 2 ，三棱谁 C1﹣A1CD 的体积： ，
由此能求出结果．
【详解】(1)∵ 为三棱柱，且 平面 ABC， ，
四边形 ABCD 为平行四边形， ， ．
是正方形， ，
设 ，则 ， ，
， ， ，
1 1 1AC A B CD⊥ 平面
1 1C ACD−
16 4= − = 3 1 1 1 1C A CD D A C CV V− −=
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ 1AA AC=
2AD CD= 60ADC ∠ =
1 1AAC C∴ 1 1AC AC∴ ⊥
CD a= 2AD a= 2 24 2 2 cos60 3AC a a a a a= + − × × × =
2 2 2CD AC AD∴ + = AC DC∴ ⊥ AC AB∴ ⊥， ， 平面 ，
，
， 平面 ．
解：(2)∵ ， ， ，
三棱谁 的体积：
，
．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关
系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知动圆 过定点 ，且与定直线 相切．
（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程；
（2）过点 的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点 ，试探究在 轴上是否存在定点 （异
于点 ），使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）假设存在点 满足题设条件，由题意可得直线 与 的斜率互为相反数，即
，设 ， ，设 ,再由直线与
抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.
【详解】（1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其中 ．
动圆圆心 的轨迹 的方程为 ．
解法 2：设动圆圆心 ，依题意： .
1AA AB⊥ 1AC AA A∩ = AB∴ ⊥ 1 1ACC A
1 1 1A B AC∴ ⊥
1 1 1 1A B AC A∩ = 1AC∴ ⊥ 1 1A B CD
2CD = 4AD∴ = 1 16 4 2 3AC AA= = − =
∴ 1 1C ACD−
1 1 1 1 1 1
1
3C A CD D A C C A C CV V CD S− −= = × ×
1 12 2 3 2 3 43 2
= × × × × =
C ( )F 1,0 x 1= −
C E
( )M 2,0− l E P,Q x N
M QNM PNM π∠ ∠+ = N
2 4y x=
( )0 ,0N x PN QN
0PN QNk k+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2
1 0 2 0
PN QN
y yk k x x x x
+ = +− − : 2PQ x my= −
C ( )1,0F 1x = −
C ( )1,0F 1x = − 2p =
∴ C E 2 4y x=
C ( ),x y ( )2 21 1x y x− + = +化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程
（2）解：假设存在点 满足题设条件．
由 可知，直线 与 的斜率互为相反数，
即 ①
直线 的斜率必存在且不为 ，设 ,
由 得 ．
由 ,得 或 ．
设 ，则 ．
由①式得 ,
,即 ．
消去 ，得 ,
,
,
存在点 使得 ．
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将
该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求
定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
21.已知 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
2 4y x= C E
( )0 ,0N x
QNM PNM π∠ + ∠ = PN QN
0PN QNk k+ =
PQ 0 : 2PQ x my= −
2 4
2
y x
x my
=
= −
2 4 8 0y my− + =
( )24 4 8 0m∆ = − − × > 2m > 2m < −
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 24 , 8y y m y y+ = =
1 2
1 0 2 0
PN QN
y yk k x x x x
+ = +− −
( ) ( )
( )( )1 2 0 2 1 0
1 0 2 0
0y x x y x x
x x x x
− + −= =− −
( ) ( )1 2 0 2 1 0 0y x x y x x∴ − + − = ( )1 2 2 1 0 1 2 0y x y x x y y+ − + =
1 2,x x ( )2 2
1 2 2 1 0 1 2
1 1 04 4y y y y x y y+ − + =
( ) ( )1 2 1 2 0 1 2
1 04 y y y y x y y+ − + =
1 2 0,y y+ ≠ 0 1 2
1 24x y y∴ = =
∴ ( )2,0N QNM PNM π∠ + ∠ =
( ) ln
xef x a x axx
= + −
0a < ( )f x
1a = − 1( ) ( ) 0xf x bx b e xx
+ − − − ≥ [1, )+∞ b
1[ , )e
+∞【分析】
（1） 的定义域为 ，且 ，据此确定函数的单调性即可；
（2）由题意可知 在 上恒成立，分类讨论 和 两种情况确定实数 b 的
取值范围即可.
【详解】（1） 的定义域为
∵ ， ，
∴当 时， ； 时，
∴函数 在 上单调递减；在 上单调递增.
（2）当 时，
由题意， 在 上恒成立
①若 ，当 时，显然有 恒成立；不符题意.
②若 ，记 ，则 ,
显然 在 单调递增，
（i）当 时，当 时，
∴ 时，
（ii）当 ， ，
∴存在 ，使 .
当 时， ， 时，
∴ 在 上单调递减；在 上单调递增
∴当 时， ，不符合题意
综上所述，所求 的取值范围是
( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )( )
2
1 xx e ax
f x x
− −
′ =
( )1 0xb x e lnx− − ≥ [ )1,+∞ 0b ≤ 0b >
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )( )
2
1 xx e ax
f x x
− −
′ = 0a <
( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( )0,1 ( )1,+∞
1a = − ( ) 1 xf x bx b e xx
+ − − −
( )1 xb x e lnx= − −
( )1 0xb x e lnx− − ≥ [ )1,+∞
0b ≤ 1x ≥ ( )1 0xb x e lnx− − ≤
0b > ( ) ( )1 xh x b x e lnx= − − ( ) 1xh x bxe x
′ = −
( )h x′ [ )1,+∞
1b e
≥ 1x ≥ ( ) ( )1 1 0h x h be≥ = −′ ≥′
[ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0h x h≥ =
10 b e
< < ( )1 1 0h be −′ = <
11 1 0bh e b eb
= − >
′ − >
0 1x > ( ) 0h x′ =
( )01,x x∈ ( ) 0h x′ < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x ( )01, x ( )0 ,x +∞
( )01,x x∈ ( ) ( )1 0h x h< =
b 1 ,e
+∞ 【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在
考查学生的转化能力和计算求解能力.
（二）选考题：共 10 分，考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝asinθ（a≠0）.
（1）求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；
（2）设直线 l 截圆 C 的弦长是半径长的 倍，求 a 的值.
【答案】（1）圆C 的方程为 ；直线 l 的方程为 ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）结合极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆 C 的直角坐标方程，消去参数 ，即可求得直线 l 的
普通方程；
（2）由（1）中直线和圆的方程，结合直线与圆的位置关系，利用题设条件和点到直线的距离公式，列出
方程，即可求解.
【详解】（1）由题意，圆 C 的极坐标方程为 ，即 ，
又由 ，所以 ，即圆 C 的直角坐标方程为 ，
由直线 l 的参数方程为 为参数），可得 为参数），
两式相除，化简得直线 l 的普通方程为 .
（2）由（1）得圆 C： ，直线 l： ，
3 25 (4
5
x t
t
y t
= − +
=
3
2
2 2( )2 4
a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − =
32a = 32
11a =
t
sinaρ θ= 2 sinaρ ρ θ=
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2x y ay+ =
2
2 2( )2 4
a ax y+ − =
3 25 (4
5
x t
t
y t
= − +
=
32 5 (4
5
x t
t
y t
− = −
=
4 3 8 0x y+ − =
2
2 2( )2 4
a ax y+ − = 4 3 8 0x y+ − =因为直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 倍，
所以圆心 C 到直线 l 的距离 ，解得 或 .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆
的位置关系的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，结合直线与圆的位置关系，
准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23.已知关于 x 的不等式|x－3|＋|x－5|≤m 的解集不是空集，记 m 的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）已知 a＞0，b＞0，c＝max { ， }，求证：c≥1．
注：max A 表示数集 A 中的最大数．
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值三角不等式求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值即可求出 t；（2）由（1）得： 根
据基本不等式的性质求出即可．
【详解】解：（1）因为 .
当 时取等号，故 ，即 .
（2）由（1）知 ，则 ，
等号当且仅当 ， 即 时成立.
∵ ，∴ .
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
3
2 2
3 8 12
2 24 3
a
ad
−
= = ×
+
32a = 32
11a =
t
t
1
a
2 2a b
tb
+
2t =
c =
2 21 , a b
a tb
+
( ) ( )3 5 3 5 2x x x x− + − ≥ − − − =
3 5x≤ ≤ 2m ≥ 2t =
2 21max , 2
a bc a b
+=
2 2 2 2
2 1 12 2
a b a bc a b ab
+ +≥ ⋅ = ≥
2 21 12
a b
a b
+= = 1a b= =
0c > 2 1c ≥
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